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Cap. 4 Soluciones

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Índice

Básico

Avanzado

Básico

B-1. Verificación de la catástrofe ultravioleta

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Problema:

Integra la ley clásica de Rayleigh-Jeans \(u(\nu) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T\) con respecto a \(\nu\) desde \(0\) hasta \(\infty\), y verifica que la densidad de energía total diverge.

Solución:

\[\int_0^\infty u(\nu)\,d\nu = \int_0^\infty \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \,d\nu = \frac{8\pi k_B T}{c^3}\int_0^\infty \nu^2 \,d\nu\]

\(\int_0^\infty \nu^2 \,d\nu\) diverge (\(\nu^3/3 \to \infty\)).

\[\boxed{\text{Densidad total de energía} = \infty}\]

Punto clave: La ley clásica de Rayleigh-Jeans concuerda con los experimentos a bajas frecuencias, pero diverge a altas frecuencias. La hipótesis cuántica de Planck \(E = h\nu\) resolvió esta divergencia.

B-2. Frecuencia umbral del efecto fotoeléctrico

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Problema:

Se ilumina un metal con función de trabajo \(W = 4.5\) eV. Calcula la frecuencia mínima \(\nu_{\min}\) para que los electrones sean emitidos, a partir de \(h\nu_{\min} = W\) (\(h = 6.626 \times 10^{-34}\) J·s, \(1\) eV \(= 1.602 \times 10^{-19}\) J).

Solución:

\[h\nu_{\min} = W = 4.5 \;\text{eV} = 4.5 \times 1.602 \times 10^{-19} = 7.209 \times 10^{-19} \;\text{J}\]
\[\nu_{\min} = \frac{W}{h} = \frac{7.209 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} = \boxed{1.09 \times 10^{15} \;\text{Hz}}\]

Esto corresponde a la región del ultravioleta. Con luz visible (\(\sim 4\text{--}8 \times 10^{14}\) Hz) los electrones no son emitidos.

Avanzado

A-1. Precesión del perihelio de Mercurio y límites del modelo de Newton

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Problema:

En la gravitación universal de Newton, la órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse cerrada (la órbita no rota). Sin embargo, las observaciones muestran que la órbita elíptica de Mercurio rota aproximadamente 5600 segundos de arco por siglo, y aun descontando todas las influencias de los demás planetas, queda una discrepancia de 43 segundos de arco.

(a) Explica por qué las "influencias de los demás planetas" pueden calcularse dentro del modelo de Newton, contrastando con el descubrimiento de Neptuno en Cap. 1.

(b) Frente a la discrepancia de 43 segundos de arco, se pueden considerar dos hipótesis: "existe un planeta desconocido" y "hay que modificar el modelo de Newton". Describe qué predicciones genera cada hipótesis y, como adelanto de Cap. 6, indica cuál resultó ser la correcta.

Nota: El cálculo cuantitativo mediante la relatividad general (derivación de \(\delta\phi\) y verificación numérica) se aborda en el problema 6.4 de Cap. 6.

Respuesta (formato de informe):

Cuando se calculan todas las perturbaciones de los demás planetas en el modelo de Newton, se predice una precesión del perihelio de Mercurio de aproximadamente 532 segundos de arco por siglo. El valor observado es de aproximadamente 575 segundos de arco. La diferencia es de 43 segundos de arco/siglo.

43 segundos de arco equivalen a aproximadamente 0.012 grados en ángulo. Es extremadamente pequeño, pero considerando la precisión del modelo de Newton (que puede calcular con exactitud los 532 segundos de arco incluyendo las perturbaciones de los demás planetas), este residuo es significativo.

La relatividad general de Einstein explicó con exactitud estos 43 segundos de arco sin ningún parámetro adicional. Esta fue la primera verificación experimental de la relatividad general y un ejemplo histórico en el que una "pequeña desviación" condujo a una revolución en el modelo.