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Cap. 3 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Ecuación de Euler-Lagrange a partir de la densidad lagrangiana (campo de Klein-Gordon)

La densidad lagrangiana del campo escalar real \(\phi(x)\) está dada por

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]

Utilizando la ecuación de Euler-Lagrange (3.7), calcula explícitamente cada uno de los siguientes pasos.

(a) Obtén \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\).

(b) Obtén \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\).

(c) Sustituye los resultados de (a) y (b) en la ecuación de Euler-Lagrange y deriva la ecuación de Klein-Gordon.

Pista

En (b), reescribe \(\mathcal{L}\) como \(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) y toma la derivada parcial respecto a \(\partial_\mu\phi\). Aparecerá la delta de Kronecker \(\delta^\mu_\alpha\), y el tensor métrico cumplirá el papel de subir los índices.

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B-2. Desarrollo de los índices del término cinético

Desarrolla explícitamente el término cinético de la densidad lagrangiana \(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) en sus componentes temporal y espaciales, utilizando la métrica de Minkowski \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\), y demuestra que

\[ \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 \]

donde \(\dot{\phi} = \partial_0\phi\) y \(\nabla\phi = (\partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi)\).

Pista

Usa \(\partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\) para verificar que \(\partial^0\phi = \partial_0\phi\) y \(\partial^i\phi = -\partial_i\phi\) (\(i=1,2,3\)), y luego suma sobre \(\mu\).

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B-3. Relación de dispersión para un campo sin término de masa

A partir de la ecuación de movimiento obtenida de la densidad lagrangiana \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\), sustituye la solución de onda plana

\[ \phi(x) = A\,e^{-ik_\mu x^\mu} = A\,e^{-iEt + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \]

y deduce la relación de dispersión \(E^2 = |\mathbf{p}|^2\). Aquí \(k^\mu = (E, \mathbf{p})\).

Pista

Utiliza \(\partial_0\phi = -iE\,\phi\), \(\partial_i\phi = ip_i\,\phi\) para calcular \(\partial_\mu\partial^\mu\phi\).

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B-4. Lagrangiano con término de interacción

Cuando la densidad lagrangiana de un campo escalar real está dada por

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4 \]

(donde \(\lambda\) es la constante de acoplamiento), deriva la ecuación de Euler-Lagrange y demuestra que

\[ (\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0 \]
Pista

Dado que el término \(\phi^4\) no contiene \(\partial_\mu\phi\), no contribuye a \(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\). Utiliza \(\dfrac{\partial}{\partial\phi}\left(\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right) = \frac{\lambda}{3!}\phi^3\).

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B-5. Expresión en componentes del d'Alembertiano

Escribe explícitamente el d'Alembertiano \(\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu\) en términos de derivadas temporales y espaciales. Además, escribe la ecuación de Klein-Gordon \((\Box + m^2)\phi = 0\) en componentes \((t, x, y, z)\).

Pista

Se tiene que \(\partial_\mu\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\), y se usa \(\eta^{00} = +1\), \(\eta^{ii} = -1\).

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B-6. Desarrollo en componentes de la ecuación de continuidad

Supón que la corriente conservada \(j^\mu = (j^0, j^1, j^2, j^3)\) satisface \(\partial_\mu j^\mu = 0\).

(a) Descompón esta expresión en componente temporal y componentes espaciales, y escríbela en la forma de la ecuación de continuidad.

(b) Demuestra, usando el teorema de Gauss, que la carga conservada \(Q = \int d^3x\,j^0\) no depende del tiempo. Supón que \(\mathbf{j}\) decrece suficientemente rápido en el infinito espacial.

Pista

(a) Se desarrolla como \(\partial_\mu j^\mu = \partial_0 j^0 + \partial_i j^i = \frac{\partial j^0}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j}\). (b) Calcula \(\frac{dQ}{dt}\) y utiliza el resultado de (a) junto con el teorema de Gauss \(\int d^3x\,\nabla\cdot\mathbf{j} = \oint_{\partial V} \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}\).

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B-7. Derivadas parciales del campo escalar complejo

Se tratan el campo escalar complejo \(\phi(x)\) y su conjugado complejo \(\phi^*(x)\) como variables independientes. Cuando la densidad lagrangiana está dada por

\[ \mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi \]

calcula lo siguiente.

(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^*}\)

(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}\)

(c) Escribe la ecuación de Euler-Lagrange para \(\phi^*\).

Pista

Se tratan \(\phi\) y \(\phi^*\) como variables independientes. Al derivar respecto a \(\phi^*\), se considera \(\phi\) como constante. En (b), escribe \(\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi\) y luego deriva respecto a \(\partial_\mu\phi^*\).

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B-8. Construcción de la corriente de Noether (aplicación de la fórmula)

Según el teorema de Noether, cuando bajo una transformación infinitesimal del campo \(\phi \to \phi + \delta\phi\) la densidad lagrangiana es invariante (\(\delta\mathcal{L} = 0\)), la corriente conservada viene dada por

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi \]

Para el campo de Klein-Gordon \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\), considera un desplazamiento constante infinitesimal \(\delta\phi = \epsilon\) (\(\epsilon\) es una constante infinitesimal).

(a) Calcula \(\delta\mathcal{L}\) bajo esta transformación y verifica que para \(m \neq 0\) esta no es una simetría.

(b) Verifica que para \(m = 0\) esta transformación sí es una simetría y escribe la corriente conservada \(j^\mu\) correspondiente.

Pista

Como \(\delta\phi = \epsilon\) es una constante, \(\partial_\mu(\delta\phi) = 0\). Por lo tanto \(\delta(\partial_\mu\phi) = 0\). Entonces \(\delta\mathcal{L}\) se reduce únicamente a \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi\).

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Intermedio

M-1. Derivación del momento conjugado y la densidad Hamiltoniana

Dada la densidad Lagrangiana del campo escalar real \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\), realiza lo siguiente.

(a) Define la densidad de momento conjugado al campo \(\phi\), \(\pi(x)\), mediante

\[ \pi(x) \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} \]

y obtén su expresión explícita.

(b) Construye la densidad Hamiltoniana \(\mathcal{H}\) mediante la transformación de Legendre

\[ \mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L} \]

y escríbela en términos de \(\pi\), \(\phi\) y \(\nabla\phi\).

(c) Explica el significado físico de cada término de la \(\mathcal{H}\) obtenida, por analogía con el Hamiltoniano de la mecánica de partículas \(H = T + V\).

Pista

(a) \(\dot{\phi} = \partial_0\phi\); expande \(\mathcal{L}\) en la forma de la ecuación (3.9) y luego deriva respecto a \(\dot{\phi}\). (b) Usa \(\dot{\phi} = \pi\) para eliminar \(\dot{\phi}\) en \(\mathcal{L}\).

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M-2. Simetría interna del campo escalar complejo y corriente de Noether

La densidad lagrangiana del campo escalar complejo

\[ \mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi \]

es invariante bajo la transformación global \(U(1)\)

\[ \phi(x) \to e^{i\alpha}\phi(x), \qquad \phi^*(x) \to e^{-i\alpha}\phi^*(x) \]

(donde \(\alpha\) es una constante real).

(a) Bajo la transformación infinitesimal (\(\alpha \ll 1\)), utilizando \(\delta\phi = i\alpha\phi\) y \(\delta\phi^* = -i\alpha\phi^*\), verifica explícitamente que \(\delta\mathcal{L} = 0\).

(b) Utilizando el teorema de Noether, deriva la corriente conservada \(j^\mu\).

(c) Escribe la carga conservada \(Q = \int d^3x\,j^0\) y explica cualitativamente por qué corresponde al "número de partículas \(-\) número de antipartículas".

Pista

(b) En el caso del campo escalar complejo, la corriente de Noether tiene la forma \(j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\delta\phi^*\). Extrae el coeficiente de \(\alpha\).

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M-3. Invariancia bajo traslaciones espacio-temporales y tensor energía-momento

Supongamos que la densidad lagrangiana \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) es invariante bajo traslaciones espacio-temporales \(x^\mu \to x^\mu + a^\mu\) (donde \(a^\mu\) es un vector constante infinitesimal). Bajo esta transformación, el campo varía como \(\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi\).

(a) Demuestra que la variación de la propia densidad lagrangiana puede escribirse en forma de divergencia total: \(\delta\mathcal{L} = -a^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = \partial_\mu(-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L})\).

(b) Utilizando la generalización del teorema de Noether (cuando \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\), la corriente conservada es \(j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi - K^\mu\)), deriva el tensor energía-momento canónico (canonical energy-momentum tensor):

\[ T^{\mu}{}_\nu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\,\mathcal{L} \]

(c) Para la densidad lagrangiana del campo de Klein-Gordon \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\alpha\phi\,\partial^\alpha\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\), calcula \(T^{00}\) y verifica que coincide con la densidad hamiltoniana \(\mathcal{H}\).

Pista

(a) Dado que \(\mathcal{L}\) no depende explícitamente de \(x^\mu\), \(\delta\mathcal{L}\) surge únicamente a través de la variación de los campos. Por otro lado, la variación total de \(\mathcal{L}\) vista como función de \(x\) es igual a \(a^\nu\partial_\nu\mathcal{L}\). (b) Establece \(K^\mu = -a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\) y, como \(a^\nu\) es arbitrario, se obtiene una corriente conservada para cada valor de \(\nu\).

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M-4. Ecuación de Euler-Lagrange del campo de Dirac

La densidad lagrangiana del campo de Dirac \(\psi(x)\) (espinor de 4 componentes) viene dada por

\[ \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi \]

donde \(\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0\) es el conjugado de Dirac y \(\gamma^\mu\) son las matrices gamma.

(a) Tratando \(\bar{\psi}\) como una variable independiente, deriva la ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(\bar{\psi}\) y obtén la ecuación de Dirac

\[ (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0 \]

(b) Deriva la ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(\psi\) y obtén la ecuación de Dirac adjunta para \(\bar{\psi}\)

\[ \bar{\psi}(i\overleftarrow{\partial}_\mu\gamma^\mu + m) = 0 \]

donde \(\overleftarrow{\partial}_\mu\) representa la derivada que actúa hacia la izquierda.

Pista

(a) Considera \(\mathcal{L}\) como función de \(\bar{\psi}\) y \(\partial_\mu\bar{\psi}\). Observando que no hay términos que contengan \(\partial_\mu\bar{\psi}\), la ecuación de Euler-Lagrange se reduce a \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = 0\). (b) En el caso de derivar respecto a \(\psi\), es necesario realizar una integración por partes.

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Avanzado

A-1. Generalización del teorema de Noether

Consideremos el caso en que, bajo la transformación del campo \(\phi \to \phi + \delta\phi\), la densidad lagrangiana no es invariante, sino que cambia en la forma de una divergencia total (divergencia en 4 dimensiones) mediante un cierto 4-vector \(K^\mu\):

\[ \delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu \]

(a) Muestra que la variación de la acción \(\delta S\), donde \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\), se anula también en este caso (bajo condiciones de contorno apropiadas), y confirma que las ecuaciones de movimiento no se modifican.

(b) Demuestra que la corriente de Noether modificada

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu \]

satisface \(\partial_\mu j^\mu = 0\) cuando se cumplen las ecuaciones de movimiento.

(c) Como aplicación, considera un campo escalar real con \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - V(\phi)\) bajo una transformación de boost de Lorentz (en la dirección \(x\) con rapidez infinitesimal \(\delta\omega\)):

\[ \delta\phi = -\delta\omega\,(t\,\partial_x\phi + x\,\partial_t\phi) \]

Construye la corriente conservada correspondiente. Discute el significado físico de la carga conservada asociada.

Pista

(a) \(\delta S = \int d^4x\,\partial_\mu K^\mu\) se convierte, mediante el teorema de Gauss, en una integral sobre la superficie frontera, que se anula por las condiciones de contorno. (b) Se reorganiza \(\delta\mathcal{L}\) siguiendo el mismo procedimiento que en la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange, y se compara con \(\partial_\mu K^\mu\). (c) Bajo el boost de Lorentz, \(\delta x^0 = -\delta\omega\,x^1\), \(\delta x^1 = -\delta\omega\,x^0\), y se utiliza la regla de transformación del campo escalar \(\delta\phi = -\delta x^\nu\partial_\nu\phi\). La carga conservada corresponde al generador del boost (una cantidad relacionada con el movimiento del centro de masa).

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A-2. Lagrangiano del campo de Maxwell e invariancia de gauge

La densidad lagrangiana del campo electromagnético viene dada por

\[ \mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \]

donde el tensor de intensidad de campo es \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) y \(A_\mu(x)\) es el cuadripotencial.

(a) Deriva la ecuación de Euler-Lagrange para \(A_\nu\) y obtén las ecuaciones de Maxwell en el vacío (sin fuentes)

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 \]

Muestra explícitamente el cálculo de \(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\) en el proceso.

(b) Demuestra que \(F_{\mu\nu}\) es invariante bajo la transformación de gauge \(A_\mu(x) \to A_\mu(x) + \partial_\mu\Lambda(x)\) (donde \(\Lambda(x)\) es una función escalar arbitraria), y por lo tanto confirma que \(\mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}}\) también es invariante de gauge.

(c) Discute qué ocurre cuando se intenta aplicar directamente el teorema de Noether a la transformación de gauge. En particular, explica cómo el hecho de que el parámetro de la transformación de gauge \(\Lambda(x)\) sea una función del espacio-tiempo (transformación local) se relaciona con el teorema de Noether, que presupone simetrías globales, y menciona la existencia del segundo teorema de Noether (Noether's second theorem).

Pista

(a) Expande \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)\) y diferencia con respecto a \(\partial_\mu A_\nu\). Aprovechando la antisimetría \(F_{\mu\nu} = -F_{\nu\mu}\) se obtiene \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = -F^{\mu\nu}\). (b) Usa \(\partial_\mu(\partial_\nu\Lambda) - \partial_\nu(\partial_\mu\Lambda) = 0\) (conmutatividad de las derivadas parciales). (c) La corriente de Noether correspondiente a un parámetro local \(\Lambda(x)\) se conserva idénticamente (se convierte en una identidad que se cumple sin necesidad de usar las ecuaciones de movimiento). Este es el contenido del segundo teorema de Noether y está relacionado con los grados de libertad redundantes de las teorías de gauge.

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