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Cap. 3 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo del término de interferencia

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Estrategia de resolución: Calcular sucesivamente el módulo al cuadrado de las amplitudes de probabilidad dadas \(\phi_1\), \(\phi_2\), el módulo al cuadrado de su suma y el término de interferencia.

1. \(P_1 = |\phi_1|^2\)

\[P_1 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/3}\right|^2 = \frac{1}{2} |e^{i\pi/3}|^2 = \frac{1}{2}\]

2. \(P_2 = |\phi_2|^2\)

\[P_2 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\pi/6}\right|^2 = \frac{1}{2} |e^{-i\pi/6}|^2 = \frac{1}{2}\]

3. \(P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2\)

Primero calculamos la diferencia de fase:

\[\delta = \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\]

Utilizando la fórmula \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\):

\[P_{12} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\frac{\pi}{2} = 1 + 1 \cdot 0 = 1\]
\[\boxed{P_{12} = 1}\]

4. Término de interferencia \(2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2)\)

\[\phi_1^* \phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\pi/3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\pi/6} = \frac{1}{2} e^{-i(\pi/3 + \pi/6)} = \frac{1}{2} e^{-i\pi/2}\]
\[2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2) = 2 \cdot \mathrm{Re}\left(\frac{1}{2} e^{-i\pi/2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0\]
\[\boxed{2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2) = 0}\]

Verificación: \(P_{12} = P_1 + P_2 + 2\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1\) ✓. Dado que la diferencia de fase es \(\pi/2\), el hecho de que el término de interferencia sea cero es consistente con \(\cos(\pi/2) = 0\).

B-2. Diferencia de fase e intensidad de la interferencia

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Estrategia de resolución: Cuando \(I_1 = I_2 = I_0\), la ecuación (3.2) se convierte en

\[I_{12} = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot I_0}\cos\delta = 2I_0(1 + \cos\delta)\]

1. \(\delta = 0\)

\[I_{12} = 2I_0(1 + \cos 0) = 2I_0(1 + 1) = \boxed{4I_0}\]

2. \(\delta = \pi/2\)

\[I_{12} = 2I_0(1 + \cos(\pi/2)) = 2I_0(1 + 0) = \boxed{2I_0}\]

3. \(\delta = \pi\)

\[I_{12} = 2I_0(1 + \cos\pi) = 2I_0(1 - 1) = \boxed{0}\]

4. \(\delta = 2\pi/3\)

\[I_{12} = 2I_0\left(1 + \cos\frac{2\pi}{3}\right) = 2I_0\left(1 - \frac{1}{2}\right) = 2I_0 \cdot \frac{1}{2} = \boxed{I_0}\]

Verificación: Para \(\delta = 0\) se obtiene el máximo \(4I_0\) (interferencia constructiva total), y para \(\delta = \pi\) se obtiene el mínimo \(0\) (interferencia destructiva total). Este es el resultado típico de la interferencia con amplitudes iguales. Para \(\delta = \pi/2\) se obtiene \(2I_0 = I_1 + I_2\) (término de interferencia nulo), lo cual también es correcto.

B-3. Desarrollo del módulo al cuadrado de la amplitud compleja

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Estrategia de resolución: Usar \(|z|^2 = z^* z\) para expandir \((\phi_1 + \phi_2)^*(\phi_1 + \phi_2)\).

\[|\phi_1 + \phi_2|^2 = (\phi_1 + \phi_2)^*(\phi_1 + \phi_2)\]
\[= \phi_1^*\phi_1 + \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 + \phi_2^*\phi_2\]

Calculamos cada término: - \(\phi_1^*\phi_1 = (Ae^{-i\alpha})(Ae^{i\alpha}) = A^2\) - \(\phi_2^*\phi_2 = (Be^{-i\beta})(Be^{i\beta}) = B^2\) - \(\phi_1^*\phi_2 = (Ae^{-i\alpha})(Be^{i\beta}) = ABe^{i(\beta - \alpha)}\) - \(\phi_2^*\phi_1 = (Be^{-i\beta})(Ae^{i\alpha}) = ABe^{i(\alpha - \beta)}\)

Agrupamos los términos cruzados:

\[\phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = AB\left(e^{i(\beta-\alpha)} + e^{-i(\beta-\alpha)}\right) = 2AB\cos(\alpha - \beta)\]

Por lo tanto:

\[\boxed{|\phi_1 + \phi_2|^2 = A^2 + B^2 + 2AB\cos(\alpha - \beta)}\]

Verificación: Cuando \(A = B\), \(\alpha = \beta\), se tiene \(|2Ae^{i\alpha}|^2 = 4A^2\), y la fórmula también da \(A^2 + A^2 + 2A^2\cos 0 = 4A^2\) ✓. Cuando \(\alpha - \beta = \pi\), se obtiene \(A^2 + B^2 - 2AB = (A-B)^2\), y \(|Ae^{i\alpha} + Be^{i(\alpha+\pi)}|^2 = |A - B|^2 = (A-B)^2\) ✓.

B-4. Condiciones de máximos y mínimos en el patrón de interferencia

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Estrategia de resolución: La diferencia de fase correspondiente a la diferencia de camino \(\Delta = dx/L\) es \(\delta = 2\pi\Delta/\lambda = 2\pi dx/(\lambda L)\).

1. Condición de máximos (interferencia constructiva)

La interferencia constructiva ocurre cuando \(\cos\delta = +1\), es decir, cuando \(\delta = 2n\pi\) (\(n\) es un entero).

\[\frac{2\pi\Delta}{\lambda} = 2n\pi \implies \boxed{\Delta = n\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)}\]

2. Condición de mínimos (interferencia destructiva)

La interferencia destructiva ocurre cuando \(\cos\delta = -1\), es decir, cuando \(\delta = (2n+1)\pi\).

\[\frac{2\pi\Delta}{\lambda} = (2n+1)\pi \implies \boxed{\Delta = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)}\]

3. Separación entre máximos adyacentes \(\Delta x\)

La posición del máximo de orden \(n\) se obtiene de \(\Delta = n\lambda\), es decir, \(dx_n/L = n\lambda\), lo que da \(x_n = n\lambda L/d\).

La separación entre máximos adyacentes es:

\[\boxed{\Delta x = x_{n+1} - x_n = \frac{\lambda L}{d}}\]

Verificación: Análisis dimensional: \([\lambda L/d] = \mathrm{m} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{m} = \mathrm{m}\) ✓. Cuanto mayor es \(\lambda\) o \(L\), mayor es la separación entre franjas, y cuanto mayor es \(d\), menor es dicha separación. Esto es físicamente razonable.

B-5. Cálculo concreto de franjas de interferencia

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1. Longitud de onda de de Broglie del electrón \(\lambda\)

Momento del electrón acelerado con un voltaje de aceleración \(V\):

\[eV = \frac{p^2}{2m_e} \implies p = \sqrt{2m_e eV}\]
\[p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.60 \times 10^{-19} \times 150}\]
\[= \sqrt{2 \times 9.11 \times 1.60 \times 150 \times 10^{-50}}\]
\[= \sqrt{4373 \times 10^{-50}} = \sqrt{4.373 \times 10^{-47}}\]
\[= 6.61 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg \cdot m/s}\]

Longitud de onda de de Broglie:

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.61 \times 10^{-24}} = 1.00 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\]
\[\boxed{\lambda \approx 1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0\,\text{Å}}\]

2. Separación entre franjas de interferencia \(\Delta x\)

Usando el resultado de D4:

\[\Delta x = \frac{\lambda L}{d} = \frac{1.0 \times 10^{-10} \times 0.50}{1.0 \times 10^{-6}}\]
\[= \frac{5.0 \times 10^{-11}}{1.0 \times 10^{-6}} = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\]
\[\boxed{\Delta x = 50\,\mu\mathrm{m} = 0.050\,\mathrm{mm}}\]

Verificación: Que la longitud de onda de de Broglie de un electrón acelerado a 150 V sea aproximadamente 1 Å coincide con los valores típicos de difracción de electrones (del mismo orden en el experimento de Davisson-Germer). La separación entre franjas de 50 μm es una escala perfectamente observable con un microscopio óptico, lo cual es razonable.

B-6. Normalización de la distribución de probabilidad

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Estrategia de resolución: Determinar \(C\) de modo que \(\int P(x)\,dx = 1\) en un período \(-\frac{\lambda L}{2d} \le x \le \frac{\lambda L}{2d}\).

Realizando la sustitución \(u = \frac{\pi d x}{\lambda L}\), se obtiene \(du = \frac{\pi d}{\lambda L}dx\), es decir, \(dx = \frac{\lambda L}{\pi d}du\).

El rango de \(x\) \(\left[-\frac{\lambda L}{2d}, \frac{\lambda L}{2d}\right]\) corresponde al rango de \(u\) \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\).

\[\int_{-\lambda L/(2d)}^{\lambda L/(2d)} C\cos^2\!\left(\frac{\pi d x}{\lambda L}\right)dx = C \cdot \frac{\lambda L}{\pi d} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 u\,du\]

Usando \(\cos^2 u = \frac{1}{2}(1 + \cos 2u)\):

\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 u\,du = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2}(1 + \cos 2u)\,du = \frac{1}{2}\left[u + \frac{\sin 2u}{2}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\]
\[= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin\pi}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(-\pi)}{2}\right)\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right] = \frac{\pi}{2}\]

Por lo tanto:

\[C \cdot \frac{\lambda L}{\pi d} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 \implies C \cdot \frac{\lambda L}{2d} = 1\]
\[\boxed{C = \frac{2d}{\lambda L}}\]

Verificación: La dimensión de \(C\) es \([1/\text{longitud}]\) (dimensión de densidad de probabilidad), y \(d/(\lambda L) = \mathrm{m}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{m}) = \mathrm{m}^{-1}\) ✓. Además, el ancho del intervalo de integración es \(\lambda L/d\), y el valor medio de \(P(x)\) es \(C/2 = d/(\lambda L)\). Valor medio × ancho del intervalo \(= d/(\lambda L) \times \lambda L/d = 1\) ✓.

B-7. Visibilidad de la interferencia (visibility)

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Estrategia de resolución: A partir de la ecuación (3.2) \(I_{12} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta\), se obtienen \(I_{\max}\) e \(I_{\min}\).

Cuando \(\cos\delta = +1\), se tiene el máximo:

\[I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\]

Cuando \(\cos\delta = -1\), se tiene el mínimo:

\[I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2}\]

Se calcula la visibilidad:

\[\mathcal{V} = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}) - (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2})}{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}) + (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2})}\]
\[= \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)}\]
\[\boxed{\mathcal{V} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}}\]

Verificación: - Cuando \(I_1 = I_2 = I_0\): \(\mathcal{V} = \frac{2\sqrt{I_0^2}}{2I_0} = \frac{2I_0}{2I_0} = 1\) ✓ (visibilidad perfecta) - Cuando \(I_1 \gg I_2\): \(\mathcal{V} \approx \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1} = 2\sqrt{I_2/I_1} \to 0\) ✓ (cuando una intensidad domina, las franjas son difíciles de observar) - Que \(0 \le \mathcal{V} \le 1\) se confirma a partir de la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica (\(I_1 + I_2 \ge 2\sqrt{I_1 I_2}\)) ✓

Intermedio

M-1. Comparación cuantitativa entre suma de probabilidades y suma de amplitudes

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1. Distribución de probabilidad cuántica \(P_{12}^{\mathrm{QM}}(x)\)

\[P_{12}^{\mathrm{QM}} = |\phi_1 + \phi_2|^2 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ikr_1} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{ikr_2}\right|^2\]
\[= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(k(r_1 - r_2))\]

Utilizando la aproximación de diferencia de caminos \(r_1 - r_2 \approx dx/L\), la diferencia de fase es \(\delta = k \cdot dx/L = \frac{2\pi dx}{\lambda L}\).

\[\boxed{P_{12}^{\mathrm{QM}}(x) = 1 + \cos\left(\frac{kdx}{L}\right) = 1 + \cos\left(\frac{2\pi dx}{\lambda L}\right)}\]

2. Distribución de probabilidad en la imagen clásica de partículas \(P_{12}^{\mathrm{cl}}(x)\)

\[P_{12}^{\mathrm{cl}} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\]
\[\boxed{P_{12}^{\mathrm{cl}}(x) = 1}\]

(Uniforme, independiente de la posición \(x\))

3. Discusión del término de interferencia

\[P_{12}^{\mathrm{QM}} - P_{12}^{\mathrm{cl}} = \cos\left(\frac{kdx}{L}\right)\]

Rango de \(x\) donde es positivo (interferencia constructiva):

\[\cos\left(\frac{kdx}{L}\right) > 0 \iff -\frac{\pi}{2} + 2n\pi < \frac{kdx}{L} < \frac{\pi}{2} + 2n\pi\]
\[\iff \left(n - \frac{1}{4}\right)\frac{\lambda L}{d} < x < \left(n + \frac{1}{4}\right)\frac{\lambda L}{d}\]

Es decir, es positivo en regiones de ancho \(\lambda L/(2d)\) centradas en cada posición de máximo \(x_n = n\lambda L/d\).

Rango de \(x\) donde es negativo (interferencia destructiva):

\[\cos\left(\frac{kdx}{L}\right) < 0 \iff \frac{\pi}{2} + 2n\pi < \frac{kdx}{L} < \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\]
\[\iff \left(n + \frac{1}{4}\right)\frac{\lambda L}{d} < x < \left(n + \frac{3}{4}\right)\frac{\lambda L}{d}\]

Es decir, es negativo en las cercanías de cada posición de mínimo.

Significado físico: El término de interferencia se anula al promediar sobre un período completo (el promedio del \(\cos\) es cero). La mecánica cuántica, en comparación con la predicción clásica, hace que en ciertos lugares los electrones lleguen con mayor facilidad (interferencia constructiva por redistribución de probabilidad) y en otros con menor facilidad (interferencia destructiva). La suma total de probabilidades se conserva.

Verificación: Al integrar \(P_{12}^{\mathrm{QM}}\) respecto a \(x\) sobre un período, \(\int_0^{\lambda L/d}(1 + \cos(\cdots))dx = \lambda L/d\). La integral de \(P_{12}^{\mathrm{cl}}\) en el mismo intervalo también es \(\lambda L/d\). Las sumas totales de probabilidad son iguales ✓.

M-2. Información sobre "por cuál camino pasó" y desaparición del término de interferencia

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1. Identificación completa de la trayectoria (\(b = 0\), \(b' = 0\), \(|a|^2 = |a'|^2 = 1\))

Sustituyendo en la ecuación (3.9):

\[P_{12}' = |a\phi_1 + b\phi_2|^2 + |b'\phi_1 + a'\phi_2|^2\]

Sustituyendo \(b = 0\), \(b' = 0\):

\[P_{12}' = |a\phi_1|^2 + |a'\phi_2|^2 = |a|^2|\phi_1|^2 + |a'|^2|\phi_2|^2\]

Sustituyendo \(|a|^2 = |a'|^2 = 1\):

\[P_{12}' = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = P_1 + P_2\]
\[\boxed{P_{12}' = P_1 + P_2}\]

El término de interferencia desaparece completamente. \(\blacksquare\)

Interpretación física: \(b = 0\) significa que "la probabilidad de que un fotón sea detectado en \(D_1\) cuando el electrón pasó por la rendija 2 es cero", por lo que la trayectoria del electrón puede identificarse completamente a partir de la posición de detección del fotón. En este caso, las dos trayectorias corresponden a estados finales distinguibles, por lo que se suman las probabilidades.

2. Caso en que la identificación de la trayectoria es imposible (\(a = a' = b = b' = 1/\sqrt{2}\))

Sustituyendo en la ecuación (3.9):

\[P_{12}' = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2\right|^2 + \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2\right|^2\]
\[= \frac{1}{2}|\phi_1 + \phi_2|^2 + \frac{1}{2}|\phi_1 + \phi_2|^2 = |\phi_1 + \phi_2|^2\]
\[\boxed{P_{12}' = |\phi_1 + \phi_2|^2}\]

El patrón de interferencia se recupera completamente. \(\blacksquare\)

Interpretación física: Cuando \(a = b\) y \(a' = b'\), ya sea que el fotón llegue a \(D_1\) o a \(D_2\), no se obtiene ninguna información sobre por cuál rendija pasó el electrón. Como las trayectorias son indistinguibles, se aplica la regla de sumar las amplitudes antes de elevar al cuadrado.

Verificación: En (2) confirmamos que los dos términos son idénticos. Primer término: \(|a\phi_1 + b\phi_2|^2 = |\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + \phi_2)|^2 = \frac{1}{2}|\phi_1 + \phi_2|^2\). Segundo término: \(|b'\phi_1 + a'\phi_2|^2 = |\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + \phi_2)|^2 = \frac{1}{2}|\phi_1 + \phi_2|^2\). La suma es \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) ✓.

M-3. Relación entre diferencia de camino y longitud de onda de de Broglie

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1. Longitud de onda de de Broglie

Energía cinética de un electrón acelerado con una diferencia de potencial \(V\):

\[\frac{p^2}{2m_e} = eV \implies p = \sqrt{2m_e eV}\]

Longitud de onda de de Broglie:

\[\boxed{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}}\]

2. Posición del máximo de interferencia de orden \(n\)

La condición de máximo es \(\Delta = n\lambda\), es decir, \(dx_n/L = n\lambda\):

\[\boxed{x_n = \frac{n\lambda L}{d} = \frac{nhL}{d\sqrt{2m_e eV}}}\]

3. Cuando se cambia la tensión de aceleración a \(4V\)

Nueva longitud de onda:

\[\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m_e e(4V)}} = \frac{h}{2\sqrt{2m_e eV}} = \frac{\lambda}{2}\]

Nuevo espaciado entre franjas de interferencia:

\[\Delta x' = \frac{\lambda' L}{d} = \frac{\lambda L}{2d} = \frac{\Delta x}{2}\]
\[\boxed{\text{El espaciado entre franjas se reduce a } \frac{1}{2} \text{ del original (las franjas se vuelven más finas)}}\]

Verificación: Al aumentar la tensión de aceleración, el momento del electrón aumenta y la longitud de onda de de Broglie disminuye. Cuanto menor es la longitud de onda, más finas son las franjas de interferencia, lo cual es físicamente coherente. Análisis dimensional: la dimensión de \(\lambda = h/\sqrt{2m_e eV}\) es \(\mathrm{J\cdot s}/\sqrt{\mathrm{kg \cdot C \cdot V}} = \mathrm{J\cdot s}/\sqrt{\mathrm{kg \cdot J}} = \mathrm{J\cdot s}/\sqrt{\mathrm{kg \cdot kg \cdot m^2/s^2}} = \mathrm{m}\) ✓.

M-4. Comprender la desaparición de la interferencia mediante la "descomposición condicional de probabilidades"

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1. Fallo de la fórmula de probabilidad total

Asumiendo rendijas simétricas, \(P(A_1) = P(A_2) = 1/2\). La fórmula clásica de probabilidad total es:

\[P(x) = P(x|A_1)P(A_1) + P(x|A_2)P(A_2)\]

Aquí \(P(x|A_1)\) es "la probabilidad de llegar a \(x\) dado que pasó por el agujero 1" = \(P_1(x)\) (la distribución cuando solo está abierto el agujero 1, normalizada apropiadamente), y de manera similar \(P(x|A_2) = P_2(x)\). Por lo tanto, la fórmula de probabilidad total predice:

\[P_{12}^{\mathrm{cl}}(x) = \frac{1}{2}P_1(x) + \frac{1}{2}P_2(x)\]

Por otro lado, la distribución de probabilidad cuántica observada experimentalmente es:

\[P_{12}^{\mathrm{QM}}(x) = |\phi_1 + \phi_2|^2 = P_1 + P_2 + 2\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)\]

(donde se ajusta la normalización de modo que \(|\phi_1|^2 = P_1/1 = P_1\), etc.)

Dado que existe el término de interferencia \(2\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2) \neq 0\):

\[\boxed{P_{12}^{\mathrm{QM}}(x) \neq \frac{1}{2}P_1(x) + \frac{1}{2}P_2(x) = P_{12}^{\mathrm{cl}}(x)}\]

La fórmula de probabilidad total no se cumple. \(\blacksquare\)

2. Causa del fallo

Las condiciones previas para que la fórmula de probabilidad total \(P(x) = \sum_i P(x|A_i)P(A_i)\) sea válida son:

  1. Los sucesos \(A_1\) y \(A_2\) son mutuamente excluyentes (no ocurren simultáneamente)
  2. Los sucesos \(A_1\) y \(A_2\) son exhaustivos (necesariamente ocurre uno de los dos)
  3. Cada suceso \(A_i\) existe como un hecho determinado

Cuando se observa un patrón de interferencia en el experimento de doble rendija, la condición que falla es la condición 3.

Los sucesos "el electrón pasó por el agujero 1" y "el electrón pasó por el agujero 2" no existen como hechos determinados a menos que sean observados. En una situación donde la trayectoria no está determinada (no es real), la descomposición en probabilidades condicionadas basada en la premisa de "por cuál pasó" se vuelve inadecuada en sí misma.

Esto corresponde al argumento presentado en el texto: "si se asume la proposición A (cada electrón pasa por una u otra rendija), se deduce \(P_{12} = P_1 + P_2\), lo cual contradice los resultados experimentales". Esto significa que el realismo clásico —"las magnitudes físicas tienen valores determinados incluso sin ser medidas"— se derrumba.

Verificación: Cuando se observa efectivamente "por cuál pasó" (el experimento con la fuente de luz encendida), la trayectoria se convierte en un hecho determinado, por lo que la fórmula de probabilidad total se recupera y \(P_{12}' = P_1 + P_2\). Esto coincide con la ecuación (3.6) del texto ✓.

Avanzado

A-1. Información parcial de camino y visibilidad de la interferencia

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1. Distribución de probabilidad tras trazar sobre la etiqueta

Estado del sistema total:

\[|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_1(x)|m_1\rangle + \phi_2(x)|m_2\rangle\right)\]

La distribución de probabilidad del electrón en la pantalla se obtiene trazando sobre los grados de libertad de la etiqueta. Usando una base ortonormal completa arbitraria \(\{|e_k\rangle\}\) del espacio de la etiqueta:

\[P(x) = \sum_k |\langle e_k|\Psi\rangle|^2\]

Sin embargo, calculamos de forma más directa mediante la matriz densidad. La probabilidad de que el electrón llegue a la posición \(x\) es:

\[P(x) = \langle\Psi|\Psi\rangle \text{ componente en } x\]

Más precisamente, \(P(x)\) se expresa como la traza sobre el espacio de estados de la etiqueta:

\[P(x) = \mathrm{Tr}_m\left[|\Psi(x)\rangle\langle\Psi(x)|\right]\]

donde \(|\Psi(x)\rangle\) es el vector en el espacio de la etiqueta \(\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x)|m_1\rangle + \phi_2(x)|m_2\rangle)\).

\[P(x) = \langle\Psi(x)|\Psi(x)\rangle = \frac{1}{2}\left(|\phi_1|^2\langle m_1|m_1\rangle + \phi_1^*\phi_2\langle m_1|m_2\rangle + \phi_2^*\phi_1\langle m_2|m_1\rangle + |\phi_2|^2\langle m_2|m_2\rangle\right)\]

Sustituyendo \(\langle m_1|m_1\rangle = \langle m_2|m_2\rangle = 1\), \(\langle m_1|m_2\rangle = \gamma\) (real), \(\langle m_2|m_1\rangle = \gamma^*= \gamma\):

\[P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \frac{1}{2}\gamma(\phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1)\]
\[\boxed{P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \gamma\,\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)}\]

El coeficiente del término de interferencia está suprimido por \(\gamma\).

2. Expresión de la visibilidad \(\mathcal{V}\) en función de \(\gamma\)

Sea \(|\phi_1| = |\phi_2| = A\). Escribiendo \(\phi_1^*\phi_2 = A^2 e^{-i\delta}\):

\[P(x) = \frac{1}{2}A^2 + \frac{1}{2}A^2 + \gamma A^2\cos\delta = A^2(1 + \gamma\cos\delta)\]

Valor máximo (\(\cos\delta = 1\)): \(P_{\max} = A^2(1 + \gamma)\)

Valor mínimo (\(\cos\delta = -1\)): \(P_{\min} = A^2(1 - \gamma)\)

\[\mathcal{V} = \frac{P_{\max} - P_{\min}}{P_{\max} + P_{\min}} = \frac{A^2(1+\gamma) - A^2(1-\gamma)}{A^2(1+\gamma) + A^2(1-\gamma)} = \frac{2\gamma}{2}\]
\[\boxed{\mathcal{V} = \gamma}\]

3. Verificación de los límites

Cuando \(\gamma = 1\) (\(|m_1\rangle = |m_2\rangle\), la etiqueta no contiene información de camino):

\[P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2) = \frac{1}{2}|\phi_1 + \phi_2|^2\]

(La última igualdad se verifica a partir de \(|\phi_1+\phi_2|^2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + 2\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)\).)

Se recupera el patrón de interferencia completo. \(\mathcal{V} = 1\). Esto coincide con la discusión del texto: "la interferencia se recupera cuando no es posible ninguna identificación de camino". ✓

Cuando \(\gamma = 0\) (\(\langle m_1|m_2\rangle = 0\), completamente distinguibles):

\[P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)\]

El término de interferencia desaparece completamente. \(\mathcal{V} = 0\). Esto coincide con la discusión del texto: "la interferencia desaparece con identificación completa de camino". ✓

4. Desigualdad de complementariedad de Englert \(\mathcal{V}^2 + \mathcal{D}^2 = 1\)

A partir de \(\mathcal{V} = \gamma\) y \(\mathcal{D} = \sqrt{1 - \gamma^2}\):

\[\mathcal{V}^2 + \mathcal{D}^2 = \gamma^2 + (1 - \gamma^2) = 1\]
\[\boxed{\mathcal{V}^2 + \mathcal{D}^2 = 1} \quad \blacksquare\]

Significado físico: La visibilidad de la interferencia (indicador del carácter ondulatorio) y la distinguibilidad de camino (indicador del carácter corpuscular) están en una relación complementaria. Al obtener completamente una, la otra se pierde por completo, y en el caso de información parcial, ambas se encuentran en una relación de compromiso (trade-off). Esta es la expresión cuantitativa del principio de complementariedad de Bohr.

Verificación: - \(\gamma = 1\): \(\mathcal{V} = 1\), \(\mathcal{D} = 0\), \(1 + 0 = 1\) ✓ - \(\gamma = 0\): \(\mathcal{V} = 0\), \(\mathcal{D} = 1\), \(0 + 1 = 1\) ✓ - \(\gamma = 1/\sqrt{2}\): \(\mathcal{V} = 1/\sqrt{2}\), \(\mathcal{D} = 1/\sqrt{2}\), \(1/2 + 1/2 = 1\) ✓

A-2. Análisis del experimento de elección retardada (delayed choice experiment)

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1. Amplitudes de salida en un divisor de haz 50:50

Con \(t = 1/\sqrt{2}\), \(r = i/\sqrt{2}\):

\[\phi_A = t\phi_1 + r\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_2\]
\[\phi_B = r\phi_1 + t\phi_2 = \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2\]

Definimos \(\phi_1 = |\phi_1|e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = |\phi_2|e^{i\beta}\), \(\delta = \alpha - \beta\).

Cálculo de \(|\phi_A|^2\):

\[|\phi_A|^2 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_2\right|^2 = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \frac{1}{2}((-i)\phi_1^*\cdot\phi_2 + i\phi_2^*\cdot\phi_1) \cdot \frac{1}{1}\]

Calculamos cuidadosamente los términos cruzados:

\[\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1^* \cdot \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_2 + \frac{-i}{\sqrt{2}}\phi_2^* \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1\]
\[= \frac{i}{2}\phi_1^*\phi_2 + \frac{-i}{2}\phi_2^*\phi_1 = \frac{i}{2}(\phi_1^*\phi_2 - \phi_2^*\phi_1)\]

Como \(\phi_1^*\phi_2 = |\phi_1||\phi_2|e^{i(\beta-\alpha)} = |\phi_1||\phi_2|e^{-i\delta}\):

\[\phi_1^*\phi_2 - \phi_2^*\phi_1 = |\phi_1||\phi_2|(e^{-i\delta} - e^{i\delta}) = -2i|\phi_1||\phi_2|\sin\delta\]

Por lo tanto:

\[\text{términos cruzados} = \frac{i}{2} \cdot (-2i|\phi_1||\phi_2|\sin\delta) = |\phi_1||\phi_2|\sin\delta\]
\[\boxed{|\phi_A|^2 = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + |\phi_1||\phi_2|\sin\delta}\]

Cálculo de \(|\phi_B|^2\):

\[\phi_B = \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2\]

Términos cruzados:

\[\frac{-i}{\sqrt{2}}\phi_1^* \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2^* \cdot \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_1 = \frac{-i}{2}\phi_1^*\phi_2 + \frac{i}{2}\phi_2^*\phi_1\]
\[= \frac{-i}{2}(\phi_1^*\phi_2 - \phi_2^*\phi_1) = \frac{-i}{2}(-2i|\phi_1||\phi_2|\sin\delta) = -|\phi_1||\phi_2|\sin\delta\]
\[\boxed{|\phi_B|^2 = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 - |\phi_1||\phi_2|\sin\delta}\]

2. Cuando \(|\phi_1| = |\phi_2| = 1/\sqrt{2}\)

\[|\phi_A|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\sin\delta = \frac{1}{2}(1 + \sin\delta)\]
\[|\phi_B|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin\delta = \frac{1}{2}(1 - \sin\delta)\]
\[\boxed{|\phi_A|^2 = \frac{1}{2}(1 + \sin\delta), \quad |\phi_B|^2 = \frac{1}{2}(1 - \sin\delta)}\]

Tanto \(|\phi_A|^2\) como \(|\phi_B|^2\) oscilan como función de la diferencia de fase \(\delta\). Dado que \(\delta\) depende de la posición en la pantalla (o de la diferencia de camino óptico entre las dos trayectorias), se observa interferencia.

Concretamente: - Cuando \(\delta = \pi/2\): \(|\phi_A|^2 = 1\), \(|\phi_B|^2 = 0\) (todos los electrones salen por el puerto A) - Cuando \(\delta = -\pi/2\): \(|\phi_A|^2 = 0\), \(|\phi_B|^2 = 1\) (todos los electrones salen por el puerto B) - Cuando \(\delta = 0\): \(|\phi_A|^2 = |\phi_B|^2 = 1/2\) (distribución equitativa)

El hecho de que la probabilidad de detección en los puertos de salida varíe en función de la diferencia de fase es una evidencia clara de interferencia.

Verificación: \(|\phi_A|^2 + |\phi_B|^2 = \frac{1}{2}(1+\sin\delta) + \frac{1}{2}(1-\sin\delta) = 1\) ✓ (conservación de la probabilidad).

3. Caso en que se retira el divisor de haz

Al retirar el divisor de haz, se tiene \(\phi_A = \phi_1\), \(\phi_B = \phi_2\).

\[|\phi_A|^2 = |\phi_1|^2 = \frac{1}{2}, \quad |\phi_B|^2 = |\phi_2|^2 = \frac{1}{2}\]

Si el electrón se detecta en el detector A, se puede concluir que "pasó por la trayectoria 1"; si se detecta en el detector B, que "pasó por la trayectoria 2". Se obtiene información de trayectoria.

Sin embargo, tanto \(|\phi_A|^2\) como \(|\phi_B|^2\) son constantes (\(1/2\)) que no dependen de la diferencia de fase \(\delta\). No se observa interferencia.

Este es un ejemplo concreto de la regla del texto: "cuando los procesos son distinguibles en principio → se suman las probabilidades (sin interferencia)".

4. Contradicción con el realismo clásico

Hipótesis del realismo clásico: El electrón posee una trayectoria definida (agujero 1 o agujero 2) en el momento de pasar por la rendija. Esta trayectoria no cambia sin importar lo que se haga después (los hechos del pasado están determinados).

Demostración de la contradicción:

Si la trayectoria del electrón estuviera determinada en el momento de pasar por la rendija:

  • Existirían dos conjuntos: "electrones que pasaron por el agujero 1" y "electrones que pasaron por el agujero 2"
  • Insertar o no el divisor de haz posteriormente no puede cambiar la trayectoria ya recorrida por el electrón
  • Por lo tanto, independientemente de la presencia o ausencia del divisor de haz, el patrón de detección debería ser el mismo (\(P_1 + P_2\))

Sin embargo, los resultados experimentales muestran que: - Al insertar el divisor de haz aparece un patrón de interferencia (dependencia en \(\sin\delta\)) - Al retirar el divisor de haz la interferencia desaparece y se obtiene información de trayectoria

Incluso si se decide la inserción/remoción del divisor de haz después de que el electrón haya pasado por la rendija (elección retardada), los resultados no cambian. Esto contradice la hipótesis de que "la trayectoria estaba determinada en el momento del paso".

Conclusión: El electrón no posee como hecho determinado "por cuál trayectoria pasó" hasta que la configuración final del aparato de medición queda establecida. El experimento de elección retardada de Wheeler sugiere que ni siquiera los eventos del pasado poseen una realidad definida hasta que la medición se completa. Esto constituye una negación fundamental del realismo clásico (las magnitudes físicas poseen valores definidos independientemente de la medición).

Verificación: Esta conclusión no viola la causalidad. Esto se debe a que no es posible "enviar una señal" al pasado mediante la elección del divisor de haz. La posición de detección de cada electrón individual es aleatoria, y el patrón de interferencia solo aparece al acumular estadísticas de muchos electrones. Por lo tanto, es imposible realizar comunicación superlumínica utilizando los resultados de la elección retardada ✓.