Apéndice B　Constantes físicas y sistemas de unidades

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Resumen de capítulos anteriores: A lo largo del texto principal, la velocidad de la luz \(c\), la constante de Planck \(\hbar\) y la constante gravitacional de Newton \(G\) han aparecido repetidamente. En particular, a partir de Cap. 12 escribimos "\(\hbar = c = 1\)" para simplificar las ecuaciones. Aquí organizamos el significado de esta convención y los métodos concretos de conversión.

Objetivo de este apéndice

• Comprender los valores de las constantes físicas que aparecen en el texto principal, así como la idea detrás de las unidades naturales (\(\hbar = c = 1\)) y las unidades de Planck (\(\hbar = c = G = 1\))
• Además, captar la relación con las escalas propias de la teoría de cuerdas (\(\ell_s\), \(\alpha'\)) y ser capaz de reconvertir por cuenta propia las fórmulas de Cap. 12 en adelante a unidades SI

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🟡 Lina: Si alguna vez te pierdes con los valores de las constantes o la conversión de unidades que aparecen en las fórmulas, vuelve aquí. En particular, las unidades naturales se usan como algo completamente natural a partir de Cap. 12, así que conviene echarles un vistazo al menos una vez.

🔵 Kai: Sinceramente, cuando escriben \(c = 1\) me confundo pensando "¿pero la velocidad de la luz no era \(3 \times 10^8\) m/s?".

⚪ Mei: A mí también me pasa. Pero ya lo vimos una vez en Relatividad General, en Relatividad General Apéndice D. Aquella vez fue en el contexto de la relatividad.

🟡 Lina: Así es. La idea básica es la misma que en Relatividad General Apéndice D de Relatividad General y en Teoría Cuántica de Campos Apéndice D de Teoría Cuántica de Campos. Aquí vamos a reunirlo todo en un solo lugar, incluyendo \(\alpha'\) y \(\ell_s\) que se añaden en la teoría de cuerdas.

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B.1　Lista de constantes físicas fundamentales

Tabla B.1: Lista de constantes físicas fundamentales

Constante	Símbolo	Valor (SI)	Aparición en el texto
Velocidad de la luz	\(c\)	\(2.998 \times 10^8\) m/s	Cap. 2, Cap. 5
Constante de Planck	\(h\)	\(6.626 \times 10^{-34}\) J·s	Cap. 4, Cap. 7
Constante de Planck reducida	\(\hbar = h/(2\pi)\)	\(1.055 \times 10^{-34}\) J·s	Cap. 7 en adelante
Constante gravitacional de Newton	\(G\)	\(6.674 \times 10^{-11}\) m³/(kg·s²)	Cap. 1, Cap. 6, Cap. 12
Constante de Boltzmann	\(k_B\)	\(1.381 \times 10^{-23}\) J/K	Cap. 3
Carga elemental	\(e\)	\(1.602 \times 10^{-19}\) C	Cap. 4, Cap. 7
Masa del electrón	\(m_e\)	\(9.109 \times 10^{-31}\) kg	Cap. 7, Cap. 9
Constante de estructura fina	\(\alpha = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\)	\(\approx 1/137\)	Cap. 8

🔵 Kai: \(\alpha \approx 1/137\)... ¿cómo se escribe en unidades naturales?

🟡 Lina: En unidades naturales (\(\hbar = c = 1\)), si además se cambia la forma de definir las unidades electromagnéticas (existen sistemas llamados "unidades de Lorentz-Heaviside" o "unidades gaussianas", donde el \(4\pi\varepsilon_0\) que aparece en la expresión SI \(\alpha = e^2/(4\pi\varepsilon_0 \hbar c)\) se absorbe en la definición de la carga. Por ahora basta con conocer los nombres — para más detalles consulta Teoría Cuántica de Campos Apéndice D de Teoría Cuántica de Campos), la expresión de \(\alpha\) cambia a \(e^2/(4\pi)\) o \(e^2\). Pero lo importante es que, como \(\alpha\) es una cantidad adimensional, su valor es el mismo \(\approx 1/137\) en cualquier sistema de unidades (solo cambia el valor numérico de \(e\) según el sistema). Esto se discute en detalle en Teoría Cuántica de Campos Cap. 9 de Teoría Cuántica de Campos como la constante de acoplamiento de la QED.

⚪ Mei: Es decir, aunque la apariencia de la fórmula cambie, el "valor numérico" de \(\alpha\) no depende del sistema de unidades. Como es adimensional, es obvio si lo piensas bien.

📝 Ejercicios:

• Verificación de la expresión de la constante de estructura fina en unidades naturales → Problema M-2. Constante de estructura fina en unidades naturales

✅ Verificación de comprensión: ¿Cómo se define la constante de Planck reducida \(\hbar\) en términos de \(h\)?

Respuesta

Se define como \(\hbar = h/(2\pi)\).

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es el valor aproximado de la constante de estructura fina \(\alpha\)?

Respuesta

\(\alpha \approx 1/137\). Como es una cantidad adimensional, no depende del sistema de unidades.

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B.2　Unidades naturales (\(\hbar = c = 1\))

¿Por qué usar unidades naturales?

🟡 Lina: En el sistema SI, la energía se mide en J, la longitud en m, el tiempo en s, cada uno con dimensiones independientes. Pero cuando combinamos la relatividad especial con la mecánica cuántica, todos se conectan. \(E = mc^2\) conecta masa y energía, y \(E = \hbar\omega\) conecta energía y frecuencia.

⚪ Mei: Es decir, las dimensiones que creíamos separadas en realidad están relacionadas por factores de conversión.

🟡 Lina: Exacto. Veámoslo con más detalle.

Paso 1: Establecer \(c = 1\)

En la relatividad especial (ver Relatividad General Relatividad General Cap. 3), el intervalo espacio-temporal se escribe como

\[ ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \]

Aquí \(c\) no es más que "un factor de conversión entre unidades de tiempo y longitud". Si medimos la longitud en "la distancia que recorre la luz en cierto tiempo" (por ejemplo, tomando 1 segundo-luz \(= 3 \times 10^8\) m como unidad de longitud), \(c\) se vuelve innecesario.

🔵 Kai: Espera un momento. "Establecer \(c = 1\)", ¿significa que la velocidad de la luz es 1 m/s? ¿O que se cambian las unidades mismas?

🟡 Lina: Lo segundo. "Elegimos las unidades de modo que la velocidad de la luz sea 1". El ejemplo del "segundo-luz" que acabo de mencionar es exactamente eso — si la unidad de longitud es "la distancia que recorre la luz en 1 segundo", entonces la velocidad de la luz es "1 segundo-luz / 1 segundo = 1", ¿verdad? Es decir, al medir tanto la longitud como el tiempo con "la propagación de la luz", el factor de conversión \(c\) se vuelve innecesario. Al establecer \(c = 1\):

\[ [c] = \frac{[\text{longitud}]}{[\text{tiempo}]} = 1 \quad \Longrightarrow \quad [\text{longitud}] = [\text{tiempo}] \]

Además, a partir de \(E = mc^2\):

\[ [\text{energía}] = [\text{masa}] \cdot [c]^2 = [\text{masa}] \]

Es decir, masa y energía tienen la misma dimensión.

🔵 Kai: Vaya, las dimensiones se reducen de golpe. Longitud = tiempo, y masa = energía.

Paso 2: Establecer \(\hbar = 1\)

En mecánica cuántica (ver Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Cap. 7), la relación fundamental es \(E = \hbar\omega\). Al establecer \(\hbar = 1\):

\[ [\hbar] = [\text{energía}] \cdot [\text{tiempo}] = 1 \]

Como ya con \(c = 1\) tenemos \([\text{energía}] = [\text{masa}]\) y \([\text{longitud}] = [\text{tiempo}]\):

\[ [\text{energía}] \cdot [\text{tiempo}] = 1 \quad \Longrightarrow \quad [\text{tiempo}] = [\text{energía}]^{-1} \]

Y también obtenemos \([\text{longitud}] = [\text{tiempo}] = [\text{energía}]^{-1}\).

⚪ Mei: Resumiendo: con \(c = 1\) obtenemos "longitud = tiempo, masa = energía", y al añadir \(\hbar = 1\) se suma "tiempo = inverso de la energía"... entonces, ¿eso significa que longitud, tiempo y masa se pueden expresar todo en términos de energía?

🟡 Lina: Exactamente. Al final, todas las magnitudes físicas se expresan como potencias de la energía. En Fig. B.1「Proceso de unificación dimensional hacia las unidades naturales」 he resumido todo el proceso, échale un vistazo.

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flowchart TD
    subgraph SI["Sistema SI"]
        M["Masa kg"]
        L["Longitud m"]
        T["Tiempo s"]
        E["Energía J"]
    end
    subgraph step1["Paso 1: c = 1"]
        LT["Longitud = Tiempo"]
        EM["Energía = Masa"]
    end
    subgraph step2["Paso 2: ℏ = 1"]
        ALL["Todo = potencia de E"]
    end
    M -->|"E = mc²"| EM
    L -->|"c = longitud/tiempo"| LT
    T -->|"c = longitud/tiempo"| LT
    E --> EM
    LT -->|"E = ℏω"| ALL
    EM -->|"E = ℏω"| ALL
    ALL --> R1["Masa → E¹"]
    ALL --> R2["Longitud → E⁻¹"]
    ALL --> R3["Tiempo → E⁻¹"]
    ALL --> R4["Velocidad → E⁰"]

Fig. B.1: Proceso de unificación dimensional hacia las unidades naturales

Resumen: Todas las magnitudes físicas como potencias de la energía

🟡 Lina: El resultado se resume así.

Tabla B.2: Dimensiones de las magnitudes físicas en unidades naturales

Magnitud física	Dimensión SI	Dimensión en unidades naturales	Razón
Energía	kg·m²/s²	\([\text{E}]^1\)	Referencia
Masa	kg	\([\text{E}]^1\)	\(E = mc^2\), \(c = 1\)
Momento	kg·m/s	\([\text{E}]^1\)	\(E = pc\), \(c = 1\)
Longitud	m	\([\text{E}]^{-1}\)	\(\hbar c / E\), \(\hbar = c = 1\)
Tiempo	s	\([\text{E}]^{-1}\)	\(\hbar / E\), \(\hbar = 1\)
Velocidad	m/s	\([\text{E}]^0\) (adimensional)	\(v/c\), \(c = 1\)
Momento angular	kg·m²/s	\([\text{E}]^0\) (adimensional)	\(L/\hbar\), \(\hbar = 1\)
Fuerza	kg·m/s²	\([\text{E}]^2\)	\(F = E/\ell\), \([\ell] = [\text{E}]^{-1}\)

🔵 Kai: Entonces, ¿qué dimensión tiene la constante gravitacional de Newton \(G\) en unidades naturales?

🟡 Lina: Buena pregunta. La dimensión SI de \(G\) es \(\text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\). Traducido a unidades naturales:

\[ [G] = [\text{longitud}]^3 \cdot [\text{masa}]^{-1} \cdot [\text{tiempo}]^{-2} \]

\[ = [\text{E}]^{-3} \cdot [\text{E}]^{-1} \cdot [\text{E}]^{2} = [\text{E}]^{-2} \]

⚪ Mei: \(-3 - 1 + 2 = -2\)... efectivamente \([\text{E}]^{-2}\). Solo hay que sustituir directamente "fuerza = \([\text{E}]^2\)" o "longitud = \([\text{E}]^{-1}\)" de la tabla.

🟡 Lina: Así es. Es decir, \(G\) tiene dimensión de energía a la \(-2\). Concretamente:

\[ G = \frac{1}{M_P^2} \quad (\text{unidades naturales}) \]

donde \(M_P\) es la masa de Planck (que derivaremos en la siguiente sección).

📝 Ejercicios:

• Verificación de la dimensión de \(G\) en unidades naturales → Problema M-1. Dimensión de \(G\) en el sistema de unidades naturales

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la potencia de \([\text{E}]\) de la dimensión de la constante gravitacional de Newton \(G\) en unidades naturales?

Respuesta

\([\text{E}]^{-2}\) (energía a la \(-2\)). Esto corresponde a que se puede escribir \(G = 1/M_P^2\).

✅ Verificación de comprensión: En unidades naturales, ¿como potencia de qué se pueden expresar todas las magnitudes físicas?

Respuesta

Como potencias de la energía (\([\text{E}]^n\)).

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la potencia de \([\text{E}]\) de la dimensión de la longitud en unidades naturales?

Respuesta

\([\text{E}]^{-1}\) (energía a la \(-1\)).

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B.3　Unidades de Planck

Significado de las unidades de Planck

🟡 Lina: En unidades naturales tenemos \(\hbar = c = 1\), pero \(G\) todavía tiene dimensiones (\([G] = [\text{E}]^{-2}\)). Si además añadimos \(G = 1\), todas las magnitudes físicas se convierten en números puros. Esto es el sistema de unidades de Planck.

⚪ Mei: Pero, ¿cuál es la referencia?

🟡 Lina: Se toma como referencia "la escala en la que la mecánica cuántica (\(\hbar\)), la relatividad (\(c\)) y la gravedad (\(G\)) son simultáneamente importantes". En las escalas cotidianas, solo una o dos de estas tres son relevantes.

• Movimiento planetario: \(G\) y \(c\) son importantes, pero \(\hbar\) es despreciable
• Física atómica: \(\hbar\) y \(c\) son importantes, pero \(G\) es despreciable
• Mecánica cotidiana: las tres son despreciables

Las tres se vuelven simultáneamente importantes en el centro de un agujero negro o en el instante del Big Bang — es decir, en situaciones donde se necesita gravedad cuántica (Cap. 12).

🔵 Kai: Ya veo, las unidades de Planck son unidades ajustadas a "la escala donde todo actúa simultáneamente". Por eso se usan en los libros de texto de gravedad cuántica.

Derivación de la longitud de Planck

🟡 Lina: Vamos a derivar la longitud de Planck mediante análisis dimensional. Queremos construir una cantidad con dimensiones de "longitud" usando solo \(\hbar\), \(c\) y \(G\).

\[ \ell_P = \hbar^\alpha \, c^\beta \, G^\gamma \]

Sustituyendo las dimensiones SI de cada magnitud:

\[ [\hbar] = \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \]

\[ [c] = \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \]

\[ [G] = \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2} \]

Las dimensiones del lado derecho son:

\[ [\ell_P] = \text{kg}^{\alpha-\gamma} \cdot \text{m}^{2\alpha+\beta+3\gamma} \cdot \text{s}^{-\alpha-\beta-2\gamma} \]

Esto debe ser igual a \([\text{m}]^1 = \text{kg}^0 \cdot \text{m}^1 \cdot \text{s}^0\), por lo que planteamos el sistema de ecuaciones:

\[ \begin{cases} \alpha - \gamma = 0 & (\text{exponente de kg}) \\ 2\alpha + \beta + 3\gamma = 1 & (\text{exponente de m}) \\ -\alpha - \beta - 2\gamma = 0 & (\text{exponente de s}) \end{cases} \]

🔵 Kai: Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Lo que aprendimos en el instituto.

🟡 Lina: Sí, la resolución es sencilla. De la primera ecuación, \(\alpha = \gamma\). Sustituyendo en la tercera ecuación:

$$ -\alpha - \beta - 2\alpha = 0 \quad \Longrightarrow \quad \beta = -3\alpha $$ Sustituyendo \(\beta = -3\alpha\) y \(\gamma = \alpha\) en la segunda ecuación:

\[ 2\alpha + (-3\alpha) + 3\alpha = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2\alpha = 1 \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \frac{1}{2} \]

Por lo tanto \(\alpha = \gamma = 1/2\), \(\beta = -3/2\).

\[ \boxed{\ell_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}} \]

⚪ Mei: Qué fórmula tan elegante. Es fascinante que combinando solo tres constantes fundamentales la longitud quede determinada de forma única.

🟡 Lina: Sustituyendo los valores numéricos:

\[ \ell_P = \sqrt{\frac{(1.055 \times 10^{-34})(6.674 \times 10^{-11})}{(2.998 \times 10^8)^3}} \]

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuáles son las tres constantes fundamentales utilizadas en la derivación de la longitud de Planck?

Respuesta

Las tres son \(\hbar\) (constante de Planck reducida), \(c\) (velocidad de la luz) y \(G\) (constante gravitacional de Newton). Con su combinación se construye una cantidad con dimensiones de longitud.

Calculando el numerador:

\[ 1.055 \times 10^{-34} \times 6.674 \times 10^{-11} = 7.04 \times 10^{-45} \]

Calculando el denominador:

\[ (2.998 \times 10^8)^3 = 2.694 \times 10^{25} \]

Dividiendo y tomando la raíz cuadrada:

\[ \ell_P = \sqrt{\frac{7.04 \times 10^{-45}}{2.694 \times 10^{25}}} = \sqrt{2.613 \times 10^{-70}} \approx 1.616 \times 10^{-35} \;\text{m} \]

🔵 Kai: ¡\(10^{-35}\) m! Es 20 órdenes de magnitud más pequeño que el núcleo atómico (\(10^{-15}\) m). Ni puedo imaginar lo pequeño que es.

🟡 Lina: Mira Fig. B.2「Jerarquía de escalas de longitud desde la escala cotidiana hasta la escala de Planck」. Se puede ver que la distancia desde la escala cotidiana hasta la escala de Planck es descomunal.

Fig. B.2: Jerarquía de escalas de longitud desde la escala cotidiana hasta la escala de Planck. Se muestra en escala logarítmica la posición relativa desde el núcleo atómico/protón (\(\sim 10^{-15}\) m) hasta la longitud de Planck (\(\sim 10^{-35}\) m)

🟡 Lina: Por eso, verificar experimentalmente la física a esta escala es prácticamente imposible con la tecnología actual. Esta es una de las razones fundamentales por las que la verificación de la teoría de cuerdas es tan difícil.

Derivación del tiempo de Planck

El tiempo de Planck se define naturalmente como "el tiempo que tarda la luz en recorrer la longitud de Planck":

\[ t_P = \frac{\ell_P}{c} = \frac{1}{c}\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \]

Calculando el valor numérico:

\[ t_P = \frac{1.616 \times 10^{-35}}{2.998 \times 10^8} \approx 5.39 \times 10^{-44} \;\text{s} \]

🔵 Kai: \(10^{-44}\) segundos... ¿hay algo con qué compararlo?

🟡 Lina: La edad del universo es aproximadamente 13800 millones de años, que en segundos es \(1.38 \times 10^{10} \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 4.4 \times 10^{17}\) s. El tiempo de Planck es más de 60 órdenes de magnitud menor.

⚪ Mei: Tanto en longitud como en tiempo, la escala de Planck es inimaginablemente pequeña comparada con lo cotidiano.

Derivación de la masa de Planck

🟡 Lina: Vamos a hacer el mismo análisis dimensional para la "masa". Planteamos de nuevo \(M_P = \hbar^\alpha c^\beta G^\gamma\) para obtener \([\text{kg}]^1\) (los valores de \(\alpha, \beta, \gamma\) serán diferentes a los de la longitud de Planck). Las dimensiones del lado derecho tienen la misma forma que antes:

\[ [M_P] = \text{kg}^{\alpha-\gamma} \cdot \text{m}^{2\alpha+\beta+3\gamma} \cdot \text{s}^{-\alpha-\beta-2\gamma} \]

Ahora el objetivo es \(\text{kg}^1 \cdot \text{m}^0 \cdot \text{s}^0\), así que solo el exponente de kg es 1, y los exponentes de m y s son 0.

\[ \begin{cases} \alpha - \gamma = 1 & (\text{exponente de kg}) \\ 2\alpha + \beta + 3\gamma = 0 & (\text{exponente de m}) \\ -\alpha - \beta - 2\gamma = 0 & (\text{exponente de s}) \end{cases} \]

De la primera ecuación, \(\alpha = \gamma + 1\). Sustituyendo en la tercera:

\[ -(\gamma+1) - \beta - 2\gamma = 0 \]

\[ -\gamma - 1 - \beta - 2\gamma = 0 \quad \Longrightarrow \quad -3\gamma - 1 - \beta = 0 \quad \Longrightarrow \quad \beta = -3\gamma - 1 \]

Sustituyendo \(\alpha = \gamma + 1\) y \(\beta = -3\gamma - 1\) en la segunda ecuación:

\[ 2(\gamma+1) + (-3\gamma-1) + 3\gamma = 2\gamma + 2 - 3\gamma - 1 + 3\gamma = 2\gamma + 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \gamma = -\frac{1}{2} \]

Por lo tanto \(\alpha = 1/2\), \(\beta = 1/2\), \(\gamma = -1/2\).

\[ \boxed{M_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}} \]

🔵 Kai: A diferencia de la longitud de Planck, ahora \(G\) está en el denominador en lugar del numerador.

🟡 Lina: Así es, la masa es mayor cuanto más débil es la gravedad (cuanto menor es \(G\)). Sustituyendo valores numéricos:

\[ M_P = \sqrt{\frac{(1.055 \times 10^{-34})(2.998 \times 10^8)}{6.674 \times 10^{-11}}} \]

\[ = \sqrt{\frac{3.163 \times 10^{-26}}{6.674 \times 10^{-11}}} = \sqrt{4.740 \times 10^{-16}} \approx 2.18 \times 10^{-8} \;\text{kg} \]

🔵 Kai: Oye, la longitud y el tiempo de Planck eran increíblemente pequeños, pero la masa de Planck es \(10^{-8}\) kg ≈ 0.02 mg, que está cerca de una escala visible, ¿no? Es más o menos el peso de un grano de arena. ¿Por qué la longitud y el tiempo son ultra-microscópicos pero la masa es "normal"?

🟡 Lina: Buena observación. La masa de Planck es "enorme como partícula elemental". Intuitivamente, es la masa que resulta de concentrar toda la energía en una región extremadamente pequeña como la longitud de Planck, por eso es inversamente grande. Convertida en energía:

\[ E_P = M_P c^2 \approx 2.18 \times 10^{-8} \times (2.998 \times 10^8)^2 \approx 1.96 \times 10^9 \;\text{J} \]

Convirtiendo a GeV (\(1\;\text{GeV} = 1.602 \times 10^{-10}\;\text{J}\)):

\[ E_P = \frac{1.96 \times 10^9}{1.602 \times 10^{-10}} \approx 1.22 \times 10^{19} \;\text{GeV} \]

⚪ Mei: \(10^{19}\) GeV... El LHC alcanza \(10^4\) GeV, así que faltan 15 órdenes de magnitud.

🟡 Lina: Así es. Como la energía de colisión del LHC es \(\sim 10^4\) GeV, la energía de Planck es \(10^{15}\) veces mayor. Es una escala absolutamente inalcanzable.

📝 Ejercicios:

• Evaluar la masa de Planck en GeV → Problema B-2. Masa de Planck en GeV

✅ Verificación de comprensión: ¿La masa de Planck es grande o pequeña comparada con la escala de las partículas elementales? ¿Y aproximadamente cuántos GeV es la energía de Planck?

Respuesta

La masa de Planck es enorme como partícula elemental (aproximadamente \(2.18 \times 10^{-8}\) kg). La energía de Planck es aproximadamente \(1.22 \times 10^{19}\) GeV, que es \(10^{15}\) veces la energía de colisión del LHC (\(\sim 10^4\) GeV).

Tabla de unidades de Planck

Tabla B.3: Definiciones y valores numéricos de las unidades de Planck

Cantidad	Definición	Valor
Longitud de Planck	\(\ell_P = \sqrt{\hbar G / c^3}\)	\(1.616 \times 10^{-35}\) m
Tiempo de Planck	\(t_P = \ell_P / c = \sqrt{\hbar G / c^5}\)	\(5.39 \times 10^{-44}\) s
Masa de Planck	\(M_P = \sqrt{\hbar c / G}\)	\(2.18 \times 10^{-8}\) kg
Energía de Planck	\(E_P = M_P c^2\)	\(1.22 \times 10^{19}\) GeV
Temperatura de Planck	\(T_P = E_P / k_B\)	\(1.42 \times 10^{32}\) K

⚪ Mei: En unidades de Planck (\(\hbar = c = G = 1\)), todos estos valen "1", ¿verdad?

🟡 Lina: Así es. Si en unidades de Planck dices "longitud = 10", eso significa \(10 \ell_P \approx 1.6 \times 10^{-34}\) m.

✅ Verificación de comprensión: ¿En qué escala se vuelven importantes las unidades de Planck, es decir, cuando cuáles tres áreas de la física son simultáneamente relevantes?

Respuesta

La escala donde la mecánica cuántica (\(\hbar\)), la relatividad (\(c\)) y la gravedad (\(G\)) son simultáneamente importantes.

✅ Verificación de comprensión: Escribe la fórmula de definición de la longitud de Planck \(\ell_P\).

Respuesta

\(\ell_P = \sqrt{\hbar G / c^3}\).

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B.4　Unidades y escalas de la teoría de cuerdas

La pendiente de Regge \(\alpha'\) y la longitud de la cuerda \(\ell_s\)

🟡 Lina: En la teoría de cuerdas existe, además de la escala de Planck, otra escala propia. Es la longitud de la cuerda \(\ell_s\).

Como se discute en detalle en Cap. 13, el parámetro fundamental de la teoría de cuerdas es una cantidad llamada pendiente de Regge \(\alpha'\) (se lee "alfa prima"). Históricamente proviene de las trayectorias de Regge de los hadrones (los hadrones son el nombre colectivo para las partículas compuestas formadas por quarks, como protones, neutrones y piones). Las trayectorias de Regge son una regla empírica descubierta en los experimentos con aceleradores en la década de 1960, donde se observó una relación lineal muy limpia entre el momento angular \(J\) y el cuadrado de la masa \(M^2\) de los hadrones:

\[ J = \alpha' M^2 + \text{const.} \]

Intuitivamente, cuanto más rápido gira una cuerda rotante (= mayor momento angular), más aumenta su energía, y a través de \(E = Mc^2\) también aumenta su masa — el coeficiente de proporcionalidad es \(\alpha'\).

🔵 Kai: Espera, ¿por qué es el cuadrado de \(M\) y no la primera potencia? Intuitivamente "cuanto más pesado, más difícil de hacer girar", así que esperaría \(J \propto M\).

🟡 Lina: Buena pregunta. A grandes rasgos, la longitud de la cuerda misma es proporcional a la energía (= masa). Una cuerda más larga es más pesada. Y como el momento angular es "masa × velocidad × brazo de palanca", y el brazo de palanca (longitud de la cuerda) también es proporcional a la masa, resulta \(J \propto M \times M = M^2\). La derivación rigurosa la haremos en Cap. 13, por ahora quédate con esta imagen. Por ahora basta con entender "el origen del símbolo \(\alpha'\) y su dimensión".

🔵 Kai: Ya veo, cuanto más pesada la cuerda más larga es, y cuanto más larga mayor es el brazo de rotación, por eso sale el cuadrado. ...Entonces volviendo a las dimensiones, en la tabla de antes el momento angular era adimensional (\([\text{E}]^0\)) en unidades naturales. \(M^2\) es \([\text{E}]^2\), así que... para que se cumpla \(J = \alpha' M^2\), ¿la dimensión de \(\alpha'\) tiene que ser \([\text{E}]^{-2}\) para que cuadre?

🟡 Lina: Correcto. En unidades naturales \([\alpha'] = [\text{E}]^{-2} = [\text{longitud}]^2\). Por tanto, la raíz cuadrada de \(\alpha'\) tiene dimensiones de longitud. Esto se define como la longitud de la cuerda:

\[ \boxed{\ell_s = \sqrt{\alpha'}} \]

La longitud de la cuerda \(\ell_s\) representa "el tamaño típico de la cuerda".

Tensión de la cuerda \(T\)

🟡 Lina: Como la cuerda es "un objeto unidimensional con tensión", la tensión \(T\) es una magnitud física fundamental. Piensa en las dimensiones de la tensión.

🔵 Kai: A ver, la tensión tiene las mismas dimensiones que la fuerza, ¿no? La fuerza era... ¿\([\text{E}]^2\)?

⚪ Mei: Sí, así aparecía en la tabla de antes.

🔵 Kai: ...Espera un momento. Para empezar, ¿por qué la fuerza es \([\text{E}]^2\)? Energía al cuadrado no es nada intuitivo.

🟡 Lina: Buena pregunta. Recuerda la definición de trabajo. \(W = F \times d\) (fuerza × distancia = energía), así que inversamente \(F = W/d = E/\ell\). En unidades naturales \([\ell] = [\text{E}]^{-1}\), así que \([F] = [\text{E}]/[\text{E}]^{-1} = [\text{E}]^2\). Es decir, "energía al cuadrado" no es más que reescribir "energía dividida por longitud" en unidades naturales. Si lo piensas en SI, la fuerza es N = J/m, que efectivamente es "energía ÷ longitud", ¿verdad? Así que la tensión también tiene dimensión \([\text{E}]^2\).

🔵 Kai: Ah, es solo traducir J/m a unidades naturales. Así sí lo entiendo.

🟡 Lina: Sin embargo, la "tensión" en la teoría de cuerdas tiene un significado intuitivo ligeramente diferente a "la fuerza de tirar" cotidiana.

🔵 Kai: ¿Eh? La tensión es "la fuerza con la que se tira", ¿no? ¿Qué otro significado tiene?

🟡 Lina: Buena pregunta. La energía en reposo de una cuerda es proporcional a su longitud — una cuerda de longitud \(L\) tiene energía \(E = T \times L\). Por tanto \(T = E/L\), es decir, "la energía necesaria para estirar la cuerda una unidad de longitud" es la tensión. Tiene la misma dimensión que "la fuerza de tirar" cotidiana (\([\text{E}]/[\text{longitud}] = [\text{E}]^2\)), pero en la teoría de cuerdas la perspectiva de "energía por unidad de longitud" es más esencial.

⚪ Mei: Es decir, para la cuerda, la tensión es "la energía tipo densidad lineal que tiene por el mero hecho de existir".

🟡 Lina: Bien, para describir el movimiento de la cuerda se usa una cantidad llamada "acción". ¿Recuerdas el principio de mínima acción que aprendimos en Relatividad General Cap. 1 de Relatividad General? Es la misma idea. La acción de la cuerda se llama acción de Nambu-Goto — lleva el nombre de los físicos japoneses Yōichirō Nambu y Tetsuo Gotō (ver Cap. 13). Su forma es

\[ S = -T \int d(\text{área de la hoja de mundo}) \]

🔵 Kai: Espera. ¿Qué es la "hoja de mundo"? Y la acción la vimos en Relatividad General, pero ¿cómo cambia para cuerdas?

🟡 Lina: Te lo explico por orden. Primero la hoja de mundo — cuando una partícula puntual se mueve en el espacio-tiempo, su trayectoria es una "línea" (línea de mundo). Como la cuerda es unidimensional, al moverse en el espacio-tiempo su trayectoria es una "superficie" — esa es la hoja de mundo.

Ahora la acción \(S\). Como aprendimos en Relatividad General Cap. 1 de Relatividad General, existe el principio de que "el movimiento que realmente se realiza es el camino donde la acción es estacionaria". Para una partícula puntual, la acción era proporcional a la longitud de la línea de mundo. Para la cuerda, esto se generaliza al "área de la hoja de mundo". Piensa en una película de jabón — si fijas un marco de alambre (condiciones de contorno), la película de jabón adopta la forma que minimiza el área, ¿verdad? La hoja de mundo de la cuerda funciona igual. La superficie que minimiza el área corresponde al movimiento real de la cuerda.

🔵 Kai: Entiendo, la "longitud de la línea" de la partícula puntual se convierte en el "área de la superficie" para la cuerda. Entonces, ¿cuál es la dimensión de la acción?

🟡 Lina: Buena pregunta. La dimensión de la acción es la misma tanto para cuerdas como para partículas puntuales. Recordando el caso de la partícula puntual, la acción es \(S = \int L \, dt\), donde \(L\) es el lagrangiano (la diferencia entre energía cinética y energía potencial, introducido en Relatividad General Cap. 1 de Relatividad General). Así que su dimensión en SI es \([\text{energía}] \times [\text{tiempo}]\), la misma dimensión que \(\hbar\). Para la cuerda la integración es bidimensional (integral de superficie), pero la dimensión de la acción total no cambia — la dimensión de la tensión \(T\) absorbe la dimensión de la integral de superficie.

🔵 Kai: ¿Es coincidencia que tenga la misma dimensión que \(\hbar\)?

🟡 Lina: No es coincidencia. En mecánica cuántica, la acción \(S\) siempre se compara con \(\hbar\). Por ejemplo, el lado derecho del principio de incertidumbre \(\Delta x \cdot \Delta p \gtrsim \hbar\) tiene dimensiones de "posición × momento" — que es exactamente la misma dimensión que "energía × tiempo", es decir, la dimensión de la acción. Por eso \(S/\hbar\) es adimensional. Si este cociente es grande o pequeño determina la importancia de los efectos cuánticos (\(S \gg \hbar\) → clásico, \(S \sim \hbar\) → efectos cuánticos importantes). Por ahora basta con recordar que "dimensión de la acción = dimensión de \(\hbar\) = energía × tiempo".

🔵 Kai: Claro, si \(S/\hbar\) no fuera adimensional no se podría hacer una comparación con significado físico.

🟡 Lina: Exacto. Por eso en unidades naturales (\(\hbar = 1\)), \(S\) también se vuelve adimensional. Es decir, \([S] = [\text{E}]^0\).

⚪ Mei: O sea, como \(S\) originalmente tenía la misma dimensión que \(\hbar\), al poner \(\hbar = 1\) se vuelve adimensional.

🟡 Lina: Ahora voy a obtener la dimensión de la tensión. La hoja de mundo es una superficie bidimensional en el espacio-tiempo — la trayectoria de la cuerda (1 dimensión espacial) que avanza en la dirección temporal, así que una dirección es "la dirección espacial a lo largo de la cuerda" y la otra es "la dirección temporal". Si lo dibujas en un papel con el eje horizontal como posición de la cuerda y el eje vertical como tiempo, la cuerda existiendo a lo largo del tiempo forma una superficie en forma de banda, ¿verdad? Esa es la hoja de mundo.

🔵 Kai: ¿"Longitud en la dirección temporal"?... Ah, en B.2 pusimos \(c = 1\) así que tiempo y longitud tienen la misma dimensión. Pero el "área" de la hoja de mundo es "dirección espacial × dirección temporal", que es diferente del área normal (largo × ancho), ¿verdad? ¿Aun así sale \([\text{E}]^{-2}\)?

🟡 Lina: Sí, buena verificación. En SI el área de la hoja de mundo es "longitud × tiempo" = m·s, que ciertamente tiene dimensiones diferentes del área normal m². Pero en unidades naturales tanto el tiempo como la longitud son \([\text{E}]^{-1}\), así que el área de la hoja de mundo también es \([\text{E}]^{-1} \times [\text{E}]^{-1} = [\text{E}]^{-2}\). En unidades naturales esa distinción desaparece. Por lo tanto:

\[ [T] = \frac{[S]}{[\text{área}]} = \frac{[\text{E}]^0}{[\text{E}]^{-2}} = [\text{E}]^2 \]

⚪ Mei: Coincide con lo que confirmamos antes de que la dimensión de la fuerza es \([\text{E}]^2\).

🟡 Lina: Veamos la relación entre \(T\) y \(\alpha'\). El coeficiente de la acción de Nambu-Goto se establece como \(T = 1/(2\pi\alpha')\) (el \(2\pi\) proviene de la normalización donde el parámetro de la cuerda cerrada tiene período \(2\pi\) — los detalles se explican en Cap. 13):

\[ \boxed{T = \frac{1}{2\pi\alpha'}} \]

Verificando las dimensiones: \([\alpha'] = [\text{E}]^{-2}\), así que \([1/\alpha'] = [\text{E}]^2 = [T]\). ✓

Reescrito en términos de \(\ell_s\):

\[ T = \frac{1}{2\pi \ell_s^2} \]

🔵 Kai: Entonces cuanto mayor es la tensión de la cuerda, menor es \(\ell_s\), es decir, la cuerda es más corta... Pero espera, con una goma elástica, si la tensión es grande se estira, ¿no? ¿No es al revés?

🟡 Lina: Buena pregunta. La goma elástica "aumenta su tensión al estirarla", pero la cuerda fundamental de la teoría es al revés: "la tensión está fijada, y esa tensión determina el tamaño típico de la cuerda". Cuanto mayor es la tensión, mayor es el coste de estirar la cuerda, por lo que el rango en que puede expandirse por fluctuaciones cuánticas es menor — por eso \(\ell_s\) disminuye.

🔵 Kai: Ah, con la goma elástica hablas de "aplicar fuerza para estirarla", pero en la teoría de cuerdas "la tensión está determinada primero, y eso limita el tamaño de la cuerda" — el orden es inverso.

Relación con la escala de Planck

🟡 Lina: La longitud de la cuerda \(\ell_s\) y la longitud de Planck \(\ell_P\) son en general diferentes. La relación entre ambas se establece a través de la constante de acoplamiento de la cuerda \(g_s\) (introducida en Cap. 14).

La teoría de cuerdas se formula en un espacio-tiempo de 10 dimensiones (ver Cap. 13). Cuando el número de dimensiones aumenta, la dimensión de la constante gravitacional también cambia.

🔵 Kai: ¿Por qué cambia la dimensión de la constante gravitacional al aumentar las dimensiones?

🟡 Lina: Intuitivamente, al aumentar las dimensiones la gravedad se "diluye" en más direcciones, así que se necesita una constante mayor para producir la misma intensidad gravitacional. A partir de aquí la discusión se vuelve algo avanzada, pero como necesitaremos la dimensión de \(G_{10}\) a partir de Cap. 13, la derivamos ahora. Si te pierdes, basta con recordar el resultado (\([G_D] = [\text{E}]^{2-D}\)) y seguir adelante.

⚪ Mei: Entendido. Si nos muestras el resultado primero, me quedo tranquila aunque me pierda en el camino.

🟡 Lina: Veámoslo con más precisión. La ley de gravitación universal de Newton \(F = GMm/r^2\) puede reescribirse en una forma que conecta "cuánta masa hay en cierta región" con "cómo se comporta el campo gravitacional a su alrededor". Eso es lo que se llama la ecuación de Poisson, que usando el potencial gravitacional \(\Phi\) (la energía potencial de un objeto de masa \(m\) en ese lugar dividida por \(m\)) se escribe como \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho\) (derivado en Relatividad General Cap. 1 de Relatividad General). El objetivo a partir de aquí es "obtener la dimensión de la constante gravitacional \(G_D\) en \(D\) dimensiones". La conclusión es \([G_D] = [\text{E}]^{2-D}\), y sustituyendo \(D=4\) se recupera el \([G] = [\text{E}]^{-2}\) de B.2. Si la derivación intermedia te resulta difícil, puedes recordar solo esta conclusión y seguir adelante.

La estrategia de la derivación es simple — solo hay que contar las dimensiones de cada término en la ecuación de Poisson \(\nabla^2 \Phi \sim G_D \rho\) y despejar \(G_D\). Al generalizar a \(D\) dimensiones, la estructura de esta ecuación — "derivada espacial del potencial = constante gravitacional × densidad de masa" — no cambia. Lo que cambia es solo el número de dimensiones espaciales. Me concentraré únicamente en el análisis dimensional.

🔵 Kai: ¿Qué es \(\nabla^2\)? Y \(\Phi\), antes dijiste "energía potencial dividida por la masa", pero ¿puedes dar una explicación más visual?

🟡 Lina: Voy por orden. Primero \(\Phi\) (potencial gravitacional) — recuerda \(mgh\) del instituto. Un objeto de masa \(m\) a altura \(h\) tiene energía potencial \(mgh\), ¿verdad? Si divides por \(m\), obtienes \(gh\), que es el "potencial gravitacional" de ese lugar. En un campo gravitacional general se usa \(\Phi\) en lugar de \(gh\).

Ahora \(\nabla^2\) (laplaciano) — es la suma de las derivadas segundas en cada dirección espacial. En 3 dimensiones, \(\nabla^2 = \partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 + \partial^2/\partial z^2\). Intuitivamente mide "cuánto está hundido (o abultado) el valor en ese punto comparado con su entorno". El lado derecho \(\rho\) es la densidad de masa, así que la ecuación de Poisson es una relación que dice "donde hay masa, el potencial gravitacional tiene una fuente".

🔵 Kai: OK, \(\Phi\) es "energía potencial por unidad de masa", y \(\nabla^2\) es lo que mide "la diferencia con el entorno".

🟡 Lina: Así es. Al generalizar a \(D\) dimensiones, omitiendo coeficientes numéricos podemos escribir \(\nabla^2 \Phi \sim G_D \rho\) (\(\sim\) significa "dimensionalmente igual", ignorando coeficientes numéricos como \(4\pi\)). Lo importante aquí son solo las dimensiones. Cada término de \(\nabla^2\) tiene dimensión \([\text{longitud}]^{-2}\) — ya sean 3 términos (3 dimensiones) o 9 términos (9 dimensiones), la dimensión de cada término es la misma, así que la dimensión de la suma no cambia. Es decir, \([\nabla^2] = [\text{longitud}]^{-2} = [\text{E}]^2\).

⚪ Mei: Sí, como la dimensión está determinada por cada término, aunque haya más términos sigue siendo \([\text{longitud}]^{-2}\).

🟡 Lina: Correcto. Ahora sobre la densidad de masa \(\rho\). La densidad es "masa ÷ volumen", ¿verdad? En nuestro universo (\(D=4\)) el espacio es tridimensional, así que el volumen es m³ y la densidad es kg/m³. En unidades naturales esto se escribe como \([\rho] = [\text{E}]^1 / [\text{E}]^{-3} = [\text{E}]^4\).

Un espacio-tiempo general de \(D\) dimensiones está compuesto por "1 dimensión temporal + \(D-1\) dimensiones espaciales", así que el volumen espacial tiene \(D-1\) dimensiones. La densidad es "cuánta masa hay concentrada en cierta región del espacio en un instante dado", así que se divide solo por el volumen en las direcciones espaciales, sin incluir la dirección temporal. En un espacio-tiempo de 10 dimensiones, el espacio tiene 9 dimensiones, y el volumen tiene dimensiones como m⁹. Como la dimensión del volumen es \([\text{longitud}]^{D-1} = [\text{E}]^{-(D-1)}\), la densidad de masa es "masa ÷ volumen":

\[ [\rho] = \frac{[\text{masa}]}{[\text{volumen}]} = \frac{[\text{E}]^1}{[\text{E}]^{-(D-1)}} = [\text{E}]^{1+(D-1)} = [\text{E}]^D \]

Sustituyendo \(D=4\) obtenemos \([\rho] = [\text{E}]^4\), que coincide con lo que acabamos de verificar.

🔵 Kai: ¿Y la dimensión del potencial \(\Phi\)?

🟡 Lina: Antes dije que es "energía potencial dividida por la masa". Es decir, \([\Phi] = [\text{energía}]/[\text{masa}]\). Verificándolo concretamente en SI, \([\Phi] = \text{J}/\text{kg} = \text{m}^2/\text{s}^2\). Por ejemplo, cerca de la superficie terrestre \(\Phi = gh\), con \(g \approx 9.8\;\text{m/s}^2\) y \(h\) en m, así que efectivamente da m²/s².

🔵 Kai: Sí, eso lo entiendo. ¿Y en unidades naturales?

🟡 Lina: En unidades naturales, tanto la energía como la masa son \([\text{E}]^1\), así que \([\Phi] = [\text{E}]^1 / [\text{E}]^1 = [\text{E}]^0\) (adimensional).

🔵 Kai: ¿Eh? ¿El potencial es adimensional? ¿No es raro? En el instituto decíamos "energía potencial"...

🟡 Lina: Ten cuidado — "energía potencial" y "potencial gravitacional" son cosas diferentes. La energía potencial es \(m\Phi\), donde se multiplica por la masa. \(\Phi\) en sí es "energía por unidad de masa", así que en unidades naturales es \([\text{E}]^1 / [\text{E}]^1 = [\text{E}]^0\) (adimensional). Por cierto, esta distinción también apareció en Relatividad General Cap. 1 de Relatividad General.

⚪ Mei: Es decir, solo al multiplicar \(\Phi\) por la masa \(m\) se obtiene la dimensión de energía. \(\Phi\) solo es "energía ÷ masa", por eso es adimensional.

🟡 Lina: Exacto. Por lo tanto \([\nabla^2 \Phi] = [\text{E}]^2 \cdot [\text{E}]^0 = [\text{E}]^2\), y \([G_D] = [\nabla^2 \Phi] / [\rho] = [\text{E}]^2 / [\text{E}]^D = [\text{E}]^{2-D}\) (la derivación detallada se hace en Cap. 13). Por ejemplo, en nuestras 4 dimensiones (\(D=4\)), \([G_4] = [\text{E}]^{2-4} = [\text{E}]^{-2}\), que coincide con el resultado de B.2.

⚪ Mei: Ya veo, sustituyendo \(D=4\) en la fórmula general para cualquier \(D\) se reproduce el resultado de B.2. Me quedo tranquila viendo la consistencia.

🔵 Kai: Entonces en 10 dimensiones \([G_{10}] = [\text{E}]^{2-10} = [\text{E}]^{-8}\). Al aumentar las dimensiones, la dimensión de \(G\) baja cada vez más. ...Entonces \(G_{10}\) y \(G\) en 4 dimensiones son cosas completamente diferentes, ¿no? ¿Cómo se relacionan entre sí?

🟡 Lina: Buena pregunta. De hecho, cuando se compactifican (se enrollan) las dimensiones extra, de \(G_{10}\) se deriva el \(G\) de 4 dimensiones. Concretamente, usando el volumen de las dimensiones extra \(V_6\) se tiene la relación \(G_4 \sim G_{10} / V_6\) (detalles en Cap. 14). Primero veamos la relación con los parámetros de la cuerda en 10 dimensiones. La derivación la dejamos para Cap. 14, pero adelantando solo el resultado:

\[ G_{10} \sim g_s^2 \, \ell_s^8 \]

Aquí \(g_s\) es un parámetro adimensional llamado constante de acoplamiento de la cuerda, que representa la intensidad de la interacción de división y unión de cuerdas (la definición formal y el significado físico se introducen en Cap. 14). El coeficiente numérico exacto depende del tipo de teoría. Por qué aparece \(g_s\) al cuadrado también se explica en Cap. 14. \(\ell_s^8\) es el factor necesario para que las dimensiones cuadren.

🔵 Kai: Verificando las dimensiones... el lado izquierdo es \([G_{10}] = [\text{E}]^{-8}\), el lado derecho es \([g_s^2] \cdot [\ell_s^8] = [\text{E}]^0 \cdot [\text{E}]^{-8} = [\text{E}]^{-8}\). ¡OK, cuadra!

🟡 Lina: Exacto. De esta ecuación se obtiene la relación entre \(\ell_s\) y \(\ell_P\). En 4 dimensiones \([G_4] = [\text{E}]^{-2}\), así que \(G_4^{1/2}\) tiene dimensión de longitud \([\text{E}]^{-1}\) — ese es el origen de la longitud de Planck \(\ell_P \sim \sqrt{G_4}\), ¿verdad? Con la misma idea, en 10 dimensiones \([G_{10}] = [\text{E}]^{-8}\), así que \(G_{10}^{1/8}\) tiene dimensión de longitud \([\text{E}]^{-1}\). Esta es la definición de la longitud de Planck en 10 dimensiones \(\ell_P^{(10)} \sim G_{10}^{1/8}\) (ten cuidado de no confundirla con \(\ell_P^{(11)} \sim g_s^{1/3} \ell_s\) en 11 dimensiones que apareció en Cap. 18, ya que tienen dimensiones diferentes). Sustituyendo \(G_{10} \sim g_s^2 \ell_s^8\) se obtiene \(\ell_P^{(10)} \sim g_s^{1/4} \ell_s\). Es decir:

• Si \(g_s \ll 1\) (acoplamiento débil), entonces \(g_s^{1/4} \ll 1\), por lo que \(\ell_P^{(10)} \ll \ell_s\): la escala de la cuerda es mayor que la escala de Planck
• Si \(g_s \sim 1\) (acoplamiento fuerte), entonces \(\ell_s \sim \ell_P^{(10)}\): ambas son del mismo orden

⚪ Mei: Solo con el valor de \(g_s\) se determina la relación de magnitud entre la escala de la cuerda y la escala de Planck.

🟡 Lina: Esta relación está ilustrada en Fig. B.3「Relación entre la jerarquía de escalas y la constante de acoplamiento en la teoría de cuerdas」.

Fig. B.3: Relación entre la jerarquía de escalas y la constante de acoplamiento en la teoría de cuerdas. Según la magnitud de la constante de acoplamiento \(g_s\), la relación entre la longitud de la cuerda \(\ell_s\) y la longitud de Planck \(\ell_P\) cambia

🔵 Kai: Ah, entonces la longitud de la cuerda es algo diferente a la longitud de Planck. ¿Por qué la teoría de cuerdas necesita su propia escala?

🟡 Lina: Buena pregunta. La escala de Planck nos indica "la escala donde la gravedad cuántica se vuelve importante", pero el tamaño de la cuerda es otro asunto. \(\alpha'\) (es decir, \(\ell_s\)) y \(g_s\) son los dos parámetros libres de la teoría de cuerdas, que existen independientemente de la escala de Planck. Sus valores no se determinan solo con la teoría; en principio deberían determinarse experimentalmente — pero la situación actual es que esa escala es demasiado pequeña para medirse directamente.

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuáles son los dos parámetros libres de la teoría de cuerdas? ¿Se determinan unívocamente a partir de la teoría?

Respuesta

Son \(\alpha'\) (o \(\ell_s\)) y la constante de acoplamiento de la cuerda \(g_s\). Sus valores no se determinan solo con la teoría; en principio deben determinarse experimentalmente.

Tabla de parámetros de la teoría de cuerdas

Tabla B.4: Tabla de parámetros de la teoría de cuerdas

Cantidad	Definición	Dimensión en unidades naturales	Relación con unidades de Planck
Pendiente de Regge	\(\alpha'\)	\([\text{E}]^{-2}\)	\(\alpha' = \ell_s^2\)
Longitud de la cuerda	\(\ell_s = \sqrt{\alpha'}\)	\([\text{E}]^{-1}\)	\(\ell_s \geq \ell_P\) (normalmente)
Tensión de la cuerda	\(T = 1/(2\pi\alpha')\)	\([\text{E}]^2\)	\(T = 1/(2\pi\ell_s^2)\)
Constante de acoplamiento de la cuerda	\(g_s\) (definición en Cap. 14)	Adimensional	Introducida en Cap. 14

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la relación entre la longitud de la cuerda \(\ell_s\) y la pendiente de Regge \(\alpha'\)?

Respuesta

\(\ell_s = \sqrt{\alpha'}\).

✅ Verificación de comprensión: Expresa la tensión de la cuerda \(T\) en términos de \(\alpha'\).

Respuesta

\(T = 1/(2\pi\alpha')\).

---

B.5　Ejemplos prácticos de conversión

Herramienta básica: el valor de \(\hbar c\)

🟡 Lina: La herramienta más importante para volver de unidades naturales a SI es el valor de \(\hbar c\).

\[ \hbar c = (1.055 \times 10^{-34}\;\text{J·s}) \times (2.998 \times 10^8\;\text{m/s}) \]

\[ = 3.162 \times 10^{-26}\;\text{J·m} \]

Convirtiendo a MeV·fm (\(1\;\text{MeV} = 1.602 \times 10^{-13}\;\text{J}\), \(1\;\text{fm} = 10^{-15}\;\text{m}\)):

\[ \hbar c = \frac{3.162 \times 10^{-26}}{1.602 \times 10^{-13} \times 10^{-15}} = \frac{3.162 \times 10^{-26}}{1.602 \times 10^{-28}} \approx 197.3\;\text{MeV·fm} \]

\[ \boxed{\hbar c \approx 197.3\;\text{MeV·fm} = 0.1973\;\text{GeV·fm}} \]

🔵 Kai: 197.3 MeV·fm. Solo tengo que recordar este número.

🟡 Lina: Con este valor memorizado, puedes hacer casi cualquier conversión.

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la combinación de constantes más importante para convertir de unidades naturales a SI, y cuál es su valor?

Respuesta

\(\hbar c \approx 197.3\) MeV·fm (\(= 0.1973\) GeV·fm). Con este valor se puede convertir inmediatamente entre energía y longitud.

Ejemplo 1: ¿Cuánto es 1 GeV en m\(^{-1}\)?

En unidades naturales \([\text{E}] = [\text{longitud}]^{-1}\), así que para una energía \(E\) dada, la cantidad \(\lambda = 1/E\) tiene dimensiones de longitud. Físicamente corresponde a la escala de longitud típica asociada a una partícula de energía \(E\) (por ejemplo, la longitud de onda de Compton). Para volver a SI, hay que ajustar las dimensiones de modo que \(\lambda\) sea longitud (m) y \(E\) sea energía (J). Como \([\hbar c] = [\text{energía}] \times [\text{longitud}]\), \(\hbar c / E\) tiene dimensiones de longitud:

\[ \lambda = \frac{1}{E} \quad \xrightarrow{\text{restaurar SI}} \quad \lambda = \frac{\hbar c}{E} \]

Para \(E = 1\;\text{GeV}\):

\[ \lambda = \frac{0.1973\;\text{GeV·fm}}{1\;\text{GeV}} = 0.1973\;\text{fm} \]

Dicho de otra forma:

\[ 1\;\text{GeV} = \frac{1}{0.1973\;\text{fm}} = 5.068\;\text{fm}^{-1} = 5.068 \times 10^{15}\;\text{m}^{-1} \]

⚪ Mei: Solo con "dividir por \(\hbar c\)" se puede ir de longitud a energía y viceversa. Simple.

Ejemplo 2: Longitud de onda de Compton del electrón

La masa del electrón en unidades naturales es \(m_e = 0.511\;\text{MeV}\). Restaurando la longitud de onda de Compton \(\bar{\lambda}_C = 1/m_e\) (unidades naturales) a SI:

\[ \bar{\lambda}_C = \frac{\hbar}{m_e c} = \frac{\hbar c}{m_e c^2} = \frac{197.3\;\text{MeV·fm}}{0.511\;\text{MeV}} = 386\;\text{fm} = 3.86 \times 10^{-13}\;\text{m} \]

📝 Ejercicios:

• Cálculo en SI de la longitud de onda de Compton → Problema B-1. Cálculo en SI de la longitud de onda de Compton del electrón

Ejemplo 3: Valor de \(G\) en unidades naturales

En unidades naturales \([G] = [\text{E}]^{-2}\), así que \(G\) puede expresarse en GeV\(^{-2}\).

Partiendo de la definición de la masa de Planck \(M_P = \sqrt{\hbar c / G}\) y despejando, \(G = \hbar c / M_P^2\). En unidades naturales (\(\hbar = c = 1\)):

\[ G = \frac{\hbar c}{M_P^2} = \frac{1}{M_P^2} \quad (\text{unidades naturales}) \]

Con más detalle: usando \(G = 1/M_P^2\) (unidades naturales), solo necesitamos expresar \(M_P\) en GeV. La masa de Planck obtenida en B.3 era \(M_P = 2.18 \times 10^{-8}\) kg en SI, que convertida en energía da \(M_P c^2 = 1.22 \times 10^{19}\) GeV. En unidades naturales (\(c = 1\)), como masa y energía tienen la misma dimensión, podemos escribir directamente \(M_P = 1.22 \times 10^{19}\) GeV. Por lo tanto:

\[ G = \frac{1}{M_P^2} = \frac{1}{(1.22 \times 10^{19}\;\text{GeV})^2} \approx 6.71 \times 10^{-39}\;\text{GeV}^{-2} \]

🔵 Kai: Vaya, \(10^{-39}\)... increíblemente pequeño. Se ve claramente lo débil que es la gravedad como fuerza.

🟡 Lina: También es posible convertir directamente desde el valor en SI \(G = 6.674 \times 10^{-11}\;\text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\). Usando \(\hbar c = 0.1973\) GeV·fm y reemplazando m, kg, s por potencias de GeV (es algo tedioso, así que el método anterior es más práctico).

Ejemplo 4: ¿Cuántos segundos es 1 GeV\(^{-1}\)?

En unidades naturales el tiempo es \([\text{E}]^{-1}\). Para volver a SI:

\[ t = \frac{\hbar}{E} \]

Para \(E = 1\;\text{GeV} = 1.602 \times 10^{-10}\;\text{J}\):

\[ \frac{1}{1\;\text{GeV}} \to t = \frac{\hbar}{1\;\text{GeV}} = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{1.602 \times 10^{-10}} = 6.58 \times 10^{-25}\;\text{s} \]

Tabla útil de conversiones

Tabla B.5: Tabla útil de conversión de unidades

Conversión	Valor
\(\hbar c\)	\(197.3\) MeV·fm \(= 0.1973\) GeV·fm
\(1\) fm	\(10^{-15}\) m
\(1\) GeV	\(1.602 \times 10^{-10}\) J
\(1\) GeV	\(5.068 \times 10^{15}\) m\(^{-1}\) (inverso de longitud)
\(1\) GeV\(^{-1}\)	\(0.1973\) fm (longitud)
\(1\) GeV\(^{-1}\)	\(6.58 \times 10^{-25}\) s (tiempo)
\(1\) GeV\(^{-2}\)	\(0.389\) mb (sección eficaz, \(1\;\text{mb} = 10^{-31}\;\text{m}^2\))
\((\hbar c)^2\)	\(0.3894\) GeV²·mb

🔵 Kai: Entiendo que con solo recordar \(\hbar c = 197.3\) MeV·fm se puede sacar todo. Pero al revés, si me equivoco en "¿a qué potencia de \([\text{E}]\) está este término?" se desplaza todo. Eso es lo que me da miedo.

🟡 Lina: Buena observación. Primero organicemos el procedimiento. Cuando quieras pasar una fórmula del texto donde dice "\(c = \hbar = 1\)" a SI, restauras las potencias apropiadas de \(\hbar\) y \(c\) mediante análisis dimensional. He resumido el procedimiento en Fig. B.4「Procedimiento para restaurar unidades SI desde unidades naturales」:

1. En la fórmula en unidades naturales, verifica la potencia de \([\text{E}]\) de cada término
2. Decide las dimensiones SI de la cantidad que quieres (m, kg, s)
3. Multiplica por las potencias apropiadas de \(\hbar\) (\([\text{E}] \cdot [\text{tiempo}]\)) y \(c\) (\([\text{longitud}]/[\text{tiempo}]\)) para ajustar las dimensiones

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flowchart TD
    A["Fórmula en unidades naturales"] --> B["Paso 1: Verificar [E]ⁿ de cada término"]
    B --> C["Paso 2: Decidir la dimensión SI deseada\n(¿m? ¿kg? ¿s?)"]
    C --> D["Paso 3: Restaurar potencias de ℏ y c\nℏ = [E]·[tiempo]\nc = [longitud]/[tiempo]"]
    D --> E["Fórmula en unidades SI"]
    D -.->|"Constante útil"| F["ℏc = 197.3 MeV·fm"]
    F -.-> E

Fig. B.4: Procedimiento para restaurar unidades SI desde unidades naturales

⚪ Mei: Es decir, cuando veas una fórmula en unidades naturales: "contar la potencia de \([\text{E}]\) de cada término → multiplicar por \(\hbar\) y \(c\) para que cuadre con la dimensión SI deseada", son 2 pasos. Y \(\hbar c \approx 197\) MeV·fm es el factor de conversión universal.

🔵 Kai: Con 4 ejemplos concretos me quedo tranquilo. Pero oye, si me equivoco en la potencia de \([\text{E}]\) se desplaza todo, ¿no? ¿Hay alguna forma de verificarlo?

🟡 Lina: Comprueba que la potencia de \([\text{E}]\) coincida en ambos lados de la ecuación. Es la misma idea que el análisis dimensional en SI. Por ejemplo, \(E = mc^2\) en unidades naturales se escribe \(E = m\), y el lado izquierdo es \([\text{E}]^1\), la masa del lado derecho también es \([\text{E}]^1\) — coinciden correctamente. Si piensas "vaya, no coincide", es señal de que te has equivocado al restaurar \(\hbar\) o \(c\). Cuando tengas problemas a partir de Cap. 12, vuelve aquí.

🔵 Kai: Ya veo, es hacer lo mismo que en SI cuando "verificas que las unidades coincidan en ambos lados", pero con potencias de \([\text{E}]\). A ver, verificando con \(G = 1/M_P^2\) de antes... lado izquierdo \([G] = [\text{E}]^{-2}\), lado derecho \([1/M_P^2] = [\text{E}]^{-2}\). ¡OK, coincide!

⚪ Mei: Sí, la verificación dimensional funciona igual tanto en unidades naturales como en SI.

🔵 Kai: Pero sinceramente, cuando las fórmulas del texto se vuelvan más complicadas, no estoy seguro de poder responder al instante. Por ejemplo, si en la acción de la cuerda aparecen \(\alpha'\) y \(g_s\) a la vez, ya solo contar las potencias de \([\text{E}]\) parece un trabajo...

🟡 Lina: Buena preocupación. Pero el truco es el mismo — "primero escribir la potencia de \([\text{E}]\) de cada término de la fórmula". Si es \(\alpha'\), es \([\text{E}]^{-2}\); si es \(g_s\), es \([\text{E}]^0\) (adimensional), y solo sustituyes. Concretamente, por ejemplo \(g_s^2 \alpha'^4\) sería \([\text{E}]^0 \cdot [\text{E}]^{-8} = [\text{E}]^{-8}\) — así se cuenta mecánicamente.

🔵 Kai: OK, el método en sí es sencillo. Solo queda acostumbrarse cuando aparezca en el texto. ...Aunque cuando en la acción de la cuerda aparezcan \(\alpha'\) y \(g_s\) simultáneamente, me parece difícil juzgar si necesito volver a SI o no.

🟡 Lina: Buena observación. De hecho, en los cálculos de la teoría de cuerdas casi nunca es necesario volver a SI. Lo habitual es razonar en unidades naturales: "¿cuántas veces \(\ell_s\)?", "¿qué fracción de \(M_P\)?". Solo se vuelve a SI cuando se compara con valores experimentales.

🔵 Kai: ¿En serio? Entonces puedo leer el texto en unidades naturales y volver aquí solo cuando quiera comparar con experimentos.

⚪ Mei: Sí, si vuelves a este apéndice encontrarás tablas y ejemplos de conversión, así que puedes consultarlo en ese momento.

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Avance del siguiente capítulo

En Apéndice C organizaremos los fundamentos de tensores y geometría diferencial, incluyendo la subida y bajada de índices y la derivada covariante. El tensor métrico \(g_{\mu\nu}\) y los símbolos de Christoffel, que describen el espacio-tiempo curvo, son herramientas que aparecen repetidamente desde la relatividad general (Cap. 6) hasta el espacio-tiempo de fondo donde se propagan las cuerdas (Cap. 12 en adelante). Experimentaremos el poder de la descripción geométrica independiente de coordenadas.

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Problemas de práctica

📝 Ejercicios:

• Verificación de la expresión de la constante de estructura fina en unidades naturales → Problema M-2. Constante de estructura fina en unidades naturales
• Verificación de la dimensión de \(G\) en unidades naturales → Problema M-1. Dimensión de \(G\) en el sistema de unidades naturales
• Evaluar la masa de Planck en GeV → Problema B-2. Masa de Planck en GeV
• Cálculo en SI de la longitud de onda de Compton → Problema B-1. Cálculo en SI de la longitud de onda de Compton del electrón

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Referencias

• Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Ch.2: "Special Relativity and Extra Dimensions" — Unidades naturales, transformaciones de Lorentz
• Elias Kiritsis, String Theory in a Nutshell, Ch.1 — Discusión de la escala de Planck
• Michael Peskin & Daniel Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, introducción — Introducción de unidades naturales y conversiones
• Relatividad General Appendix D (Procedimiento de conversión de unidades geométricas a unidades SI)
• Teoría Cuántica de Campos Appendix D (Sistemas de unidades y constantes físicas — convenciones en Teoría Cuántica de Campos)

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