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Apéndice D Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Grupo aditivo de los enteros

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Sobre \((\mathbb{Z}, +)\):

  1. Clausura: Para enteros \(a, b\), \(a + b\) es un entero ✓
  2. Asociatividad: \((a + b) + c = a + (b + c)\) ✓ (asociatividad de la suma)
  3. Elemento neutro: \(0\) (\(a + 0 = 0 + a = a\)) ✓
  4. Elemento inverso: El inverso de \(a\) es \(-a\) (\(a + (-a) = 0\)) ✓

Como se satisfacen las 4 condiciones, \((\mathbb{Z}, +)\) es un grupo.

B-2. Grupo multiplicativo de los números reales positivos

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Para \((\mathbb{R}^+, \times)\):

  1. Clausura: Para reales positivos \(a, b\), \(a \times b\) es un real positivo ✓
  2. Asociatividad: \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\) ✓
  3. Elemento neutro: \(1\) (\(a \times 1 = 1 \times a = a\)) ✓
  4. Elemento inverso: El inverso de \(a\) es \(1/a\) (\(a \times (1/a) = 1\)). Si \(a > 0\), entonces \(1/a > 0\) ✓

Como se satisfacen las 4 condiciones, \((\mathbb{R}^+, \times)\) es un grupo.

B-3. La multiplicación de enteros no es un grupo

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Sobre \((\mathbb{Z}, \times)\):

  1. Clausura: ✓ (entero × entero = entero)
  2. Asociatividad: ✓
  3. Elemento neutro: \(1\) ✓
  4. Elemento inverso: El inverso de \(a = 2\) es \(1/2\), pero \(1/2 \notin \mathbb{Z}\). ✗

Como la condición de elemento inverso no se cumple, \((\mathbb{Z}, \times)\) no es un grupo. (Solo \(a = \pm 1\) poseen inverso)

B-4. Condiciones de grupo de \(U(1)\)

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\(U(1) = \{e^{i\theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\}\) con la multiplicación:

  1. Clausura: \(e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \in U(1)\) ✓
  2. Asociatividad: trivial a partir de la asociatividad de la multiplicación de números complejos ✓
  3. Elemento identidad: \(e^{i \cdot 0} = 1\) ✓
  4. Elemento inverso: \((e^{i\theta})^{-1} = e^{-i\theta} \in U(1)\) ✓

B-5. Rotación 3D alrededor del eje \(z\)

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\(R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\\sin\theta & \cos\theta & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

Calculamos \(R_z(\theta_1) R_z(\theta_2)\). Nos centramos en el bloque \(2 \times 2\) superior izquierdo:

\(\begin{pmatrix}\cos\theta_1 & -\sin\theta_1\\\sin\theta_1 & \cos\theta_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta_2 & -\sin\theta_2\\\sin\theta_2 & \cos\theta_2\end{pmatrix}\)

Componente \((1,1)\): \(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 = \cos(\theta_1 + \theta_2)\)

Componente \((1,2)\): \(-\cos\theta_1\sin\theta_2 - \sin\theta_1\cos\theta_2 = -\sin(\theta_1 + \theta_2)\)

Componente \((2,1)\): \(\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2 = \sin(\theta_1 + \theta_2)\)

Componente \((2,2)\): \(-\sin\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_1\cos\theta_2 = \cos(\theta_1 + \theta_2)\)

Por lo tanto \(R_z(\theta_1) R_z(\theta_2) = R_z(\theta_1 + \theta_2)\) ✓

B-6. Relación de conmutación de las matrices de Pauli \([\sigma_1, \sigma_2]\)

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\(\sigma_1\sigma_2 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}\)

\(\sigma_2\sigma_1 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}\)

\([\sigma_1, \sigma_2] = \sigma_1\sigma_2 - \sigma_2\sigma_1 = \begin{pmatrix}2i&0\\0&-2i\end{pmatrix} = 2i\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = 2i\sigma_3\) ✓

B-7. Relaciones de conmutación de las matrices de Pauli (todas las combinaciones)

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\([\sigma_2, \sigma_3]\):

\(\sigma_2\sigma_3 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}\)

\(\sigma_3\sigma_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}\)

\([\sigma_2, \sigma_3] = \begin{pmatrix}0&2i\\2i&0\end{pmatrix} = 2i\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = 2i\sigma_1\) ✓

\([\sigma_3, \sigma_1]\):

\(\sigma_3\sigma_1 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)

\(\sigma_1\sigma_3 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\)

\([\sigma_3, \sigma_1] = \begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix} = 2i\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} = 2i\sigma_2\) ✓

En resumen: \([\sigma_i, \sigma_j] = 2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\) se cumple para todas las combinaciones cíclicas.

B-8. Antisimetría de las relaciones de conmutación

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Por definición:

\([A, B] = AB - BA\)

\([B, A] = BA - AB = -(AB - BA) = -[A, B]\)

Por lo tanto \([A, B] = -[B, A]\). En particular, de \([A, A] = -[A, A]\) se obtiene \([A, A] = 0\).

B-9. Autovalores y autovectores del espín 1/2

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\(\sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)

Ecuación de valores propios \(\sigma_3 |\psi\rangle = \lambda |\psi\rangle\):

\(\det(\sigma_3 - \lambda I) = (1-\lambda)(-1-\lambda) = 0\)

Valores propios: \(\lambda = +1, -1\)

\(\lambda = +1\): \(\sigma_3 |\psi\rangle = |\psi\rangle\) → \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \equiv |\uparrow\rangle\) (espín hacia arriba)

\(\lambda = -1\): \(\sigma_3 |\psi\rangle = -|\psi\rangle\) → \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \equiv |\downarrow\rangle\) (espín hacia abajo)

Los valores propios de \(\sigma_3/2\) son \(\pm 1/2\) (en unidades de \(\hbar\)), y corresponden a los estados "hacia arriba" y "hacia abajo" del espín \(1/2\).

Intermedio

M-1. Representación exponencial de los elementos de \(SU(2)\)

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\(\sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) es una matriz diagonal, por lo que:

\(\frac{i\theta\sigma_3}{2} = \begin{pmatrix}i\theta/2&0\\0&-i\theta/2\end{pmatrix}\)

La exponencial de una matriz diagonal es la exponencial de cada componente:

\(U = e^{i\theta\sigma_3/2} = \begin{pmatrix}e^{i\theta/2}&0\\0&e^{-i\theta/2}\end{pmatrix}\)

Verificación de unitariedad:

\(U^\dagger = \begin{pmatrix}e^{-i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2}\end{pmatrix}\)

\(U^\dagger U = \begin{pmatrix}e^{-i\theta/2} \cdot e^{i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2} \cdot e^{-i\theta/2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I\) ✓

Verificación del determinante:

\(\det U = e^{i\theta/2} \cdot e^{-i\theta/2} = e^0 = 1\) ✓

M-2. Identidad de Jacobi (verificación con matrices de Pauli)

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Con \(A = \sigma_1, B = \sigma_2, C = \sigma_3\):

\([A, [B, C]] = [\sigma_1, 2i\sigma_1] = 2i[\sigma_1, \sigma_1] = 0\)

\([B, [C, A]] = [\sigma_2, 2i\sigma_2] = 2i[\sigma_2, \sigma_2] = 0\)

\([C, [A, B]] = [\sigma_3, 2i\sigma_3] = 2i[\sigma_3, \sigma_3] = 0\)

\(0 + 0 + 0 = 0\) ✓

(En este caso cada término es individualmente cero, pero en general no tiene por qué ser así. Lo que establece la identidad de Jacobi es que la suma de los 3 términos es cero.)

M-3. Número de parámetros de \(SU(N)\)

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Contamos el número de parámetros de una matriz unitaria \(U\) de \(N \times N\) (\(U^\dagger U = I\)).

Una matriz compleja de \(N \times N\) tiene \(2N^2\) parámetros reales. La condición de unitariedad \(U^\dagger U = I\) impone \(N^2\) condiciones reales (el número de componentes independientes de una matriz hermítica de \(N \times N\)). Por lo tanto, el número de parámetros de una matriz unitaria \(U(N)\) es \(2N^2 - N^2 = N^2\).

\(SU(N)\) impone además la condición \(\det U = 1\) (una condición real), por lo que:

\(\dim SU(N) = N^2 - 1\)

Verificación: - \(N = 2\): \(4 - 1 = 3\) (\(SU(2)\) tiene 3 parámetros) ✓ - \(N = 3\): \(9 - 1 = 8\) (\(SU(3)\) tiene 8 parámetros) ✓