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Cap. 5 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Métrica en coordenadas del cono de luz

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Estrategia de resolución: A partir de la definición de las coordenadas del cono de luz, calculamos \(dx^+ dx^-\) y obtenemos su relación con \((dx^0)^2 - (dx^1)^2\).

Cálculo:

Por la definición de las coordenadas del cono de luz

\[ dx^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(dx^0 + dx^1), \qquad dx^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(dx^0 - dx^1) \]

Calculando el producto

\[ dx^+ dx^- = \frac{1}{2}(dx^0 + dx^1)(dx^0 - dx^1) = \frac{1}{2}\left[(dx^0)^2 - (dx^1)^2\right] \]

Es decir

\[ (dx^0)^2 - (dx^1)^2 = 2\,dx^+ dx^- \]

Sustituyendo en \(ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2\):

\[ ds^2 = -[(dx^0)^2 - (dx^1)^2] + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 \]
\[ \boxed{ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2} \]

Verificación: Si \(dx^2 = dx^3 = 0\) y \(dx^0 = dx^1\) (luz en la dirección positiva de \(x^1\)), entonces \(dx^- = 0\), por lo que \(ds^2 = 0\). ✓

B-2. Representación matricial de la métrica en coordenadas del cono de luz

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Estrategia de resolución: El bloque \((+,-)\) es una matriz anti-diagonal de \(2 \times 2\). Al calcular la inversa a partir de la definición de la matriz de cofactores, se comprueba que coincide con la matriz original. El bloque \((2,3)\) es la matriz identidad, por lo que permanece igual.

Cálculo:

Sea el bloque \(2 \times 2\) de \((+, -)\)

\[ M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]

Dado que la inversa de una matriz \(2 \times 2\) \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) es \(\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\), se tiene:

\[ M^{-1} = \frac{1}{(0)(0) - (-1)(-1)}\begin{pmatrix} 0 & -(-1) \\ -(-1) & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = M \]

Es decir, \(M\) es una matriz involutiva (equivalente a \(M^2 = I\)). El bloque \((2, 3)\) es la matriz identidad, por lo que permanece igual. Por lo tanto,

\[ \boxed{\hat{\eta}^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \hat{\eta}_{\mu\nu}} \]

Escrito en componentes: \(\hat{\eta}^{+-} = \hat{\eta}^{-+} = -1\), \(\hat{\eta}^{22} = \hat{\eta}^{33} = +1\), y el resto son cero.

Verificación de \(\hat{\eta}^{\mu\lambda}\hat{\eta}_{\lambda\nu} = \delta^\mu{}_\nu\): Por ejemplo, \((\mu, \nu) = (+, +)\):

\[ \hat{\eta}^{+\lambda}\hat{\eta}_{\lambda+} = \hat{\eta}^{+-}\hat{\eta}_{-+} = (-1)(-1) = 1 = \delta^+{}_+ \quad \checkmark \]

\((\mu, \nu) = (+, -)\):

\[ \hat{\eta}^{+\lambda}\hat{\eta}_{\lambda-} = \hat{\eta}^{+-}\hat{\eta}_{--} = (-1)(0) = 0 = \delta^+{}_- \quad \checkmark \]

Las demás componentes se verifican de forma análoga.

Nota: En coordenadas del cono de luz, la subida y bajada de índices no consiste en un cambio de signo temporal/espacial como en las coordenadas habituales, sino en un intercambio de \(+\) y \(-\): \(A_+ = -A^-\), \(A_- = -A^+\), \(A_i = A^i\) (\(i = 2, 3\)).

B-3. Cuadrimomento en coordenadas del cono de luz y \(p^-\)

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(a) Expresión de la norma invariante en coordenadas del cono de luz

Cálculo:

En coordenadas ordinarias

\[ p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2 \]

Por el mismo cálculo que en el problema 5.1, \((p^0)^2 - (p^1)^2 = 2 p^+ p^-\), por lo que:

\[ \boxed{p^\mu p_\mu = -2\,p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2} \]

(b) Derivación de \(p^-\)

Sustituyendo \(p^\mu p_\mu = -m^2\) en (a):

\[ -2 p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2 = -m^2 \]

Resolviendo para \(p^-\):

\[ 2 p^+ p^- = (p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2 \]
\[ \boxed{p^- = \frac{(p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2}{2\,p^+}} \]

(c) Interpretación física de la desaparición de la ambigüedad de signo

Coordenadas ordinarias: Si resuelves \(p^\mu p_\mu = -m^2\) para \(p^0\), obtienes la ecuación cuadrática \((p^0)^2 = |\vec{p}|^2 + m^2\), con \(p^0 = \pm\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}\). Aparecen tanto la solución de energía positiva como la de energía negativa. En QFT, la solución de energía negativa se interpreta físicamente como una antipartícula, pero en el procedimiento de cuantización es necesario especificar por separado "cómo tratar cada signo de la solución".

Coordenadas del cono de luz: Por otro lado, en \(p^\mu p_\mu = -2 p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2\) de (a), \(p^-\) aparece solo en primer orden. Por eso, \(p^\mu p_\mu = -m^2\) es una ecuación lineal en \(p^-\), y como se muestra en (b), \(p^-\) queda determinado unívocamente a partir de \(p^+, p^2, p^3, m\). No hay ambigüedad de signo. La región físicamente significativa del "cono de luz futuro \(p^0 > 0\)" corresponde a \(p^+ > 0\), \(p^- > 0\) (cuando \(m^2 \geq 0\), si eliges \(p^+ > 0\), entonces automáticamente \(p^- > 0\) por (b)), y al especificar la dirección de propagación de la partícula \(p^+ > 0\), solo los estados de energía positiva se seleccionan automáticamente.

Esta es la razón fundamental por la que en la cuantización en el cono de luz de la cuerda (Cap. 14) se simplifica el tratamiento de antipartículas y la eliminación de estados de norma negativa. Como contrapartida, la covariancia de Lorentz se pierde de manera explícita (porque se trata \(p^+\) de forma especial), pero los resultados físicos son invariantes.

Verificación: Para \(m = 0\) (fotón), \(p^- = [(p^2)^2 + (p^3)^2]/(2 p^+)\). En particular, para un fotón con momento transversal nulo (\(p^2 = p^3 = 0\)), \(p^- = 0\), es decir \(p^0 = p^1\), lo cual es consistente con el movimiento de la luz propagándose en la dirección positiva de \(x^1\) a velocidad \(c = 1\). ✓

Intermedio

M-1. Producto interior en coordenadas del cono de luz

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Estrategia de resolución: Reescribir \(A^\mu B_\mu = -A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3\). Resolviendo inversamente la definición \(A^\pm = (A^0 \pm A^1)/\sqrt{2}\) se obtiene \(A^0 = (A^+ + A^-)/\sqrt{2}\), \(A^1 = (A^+ - A^-)/\sqrt{2}\). Sustituimos esto (análogamente para \(B\)).

Cálculo:

Expandiendo \(A^0 B^0\) en componentes del cono de luz:

\[ A^0 B^0 = \frac{1}{2}(A^+ + A^-)(B^+ + B^-) = \frac{1}{2}(A^+ B^+ + A^+ B^- + A^- B^+ + A^- B^-) \]

De manera similar, \(A^1 B^1\):

\[ A^1 B^1 = \frac{1}{2}(A^+ - A^-)(B^+ - B^-) = \frac{1}{2}(A^+ B^+ - A^+ B^- - A^- B^+ + A^- B^-) \]

Al tomar la diferencia, los términos \(A^+ B^+\) y \(A^- B^-\) se cancelan, quedando solo los términos cruzados:

\[ -A^0 B^0 + A^1 B^1 = -(A^+ B^- + A^- B^+) \]

Por lo tanto

\[ \boxed{A^\mu B_\mu = -(A^+ B^- + A^- B^+) + A^2 B^2 + A^3 B^3} \]

Forma alternativa: Usando la métrica del cono de luz \(\hat{\eta}_{\mu\nu}\) y expandiendo \(A^\mu B_\mu = \hat{\eta}_{\mu\nu}A^\mu B^\nu\), las componentes no nulas son \(\hat{\eta}_{+-} = \hat{\eta}_{-+} = -1\), \(\hat{\eta}_{22} = \hat{\eta}_{33} = 1\), de modo que

\[ A^\mu B_\mu = \hat{\eta}_{+-}A^+ B^- + \hat{\eta}_{-+}A^- B^+ + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -A^+ B^- - A^- B^+ + A^2 B^2 + A^3 B^3 \]

El mismo resultado.

Verificación: Haciendo \(A = B\) se obtiene \(A^\mu A_\mu = -2 A^+ A^- + (A^2)^2 + (A^3)^2\), consistente con el problema 5.1. ✓

M-2. Transformación de Lorentz (boost) en coordenadas del cono de luz

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(a) Demostración de que se convierte en una transformación de escala

Cálculo:

El boost en la dirección \(x^1\) con rapidez \(\varphi\) es

\[ x^{0'} = \cosh\varphi\cdot x^0 - \sinh\varphi\cdot x^1 \]
\[ x^{1'} = -\sinh\varphi\cdot x^0 + \cosh\varphi\cdot x^1 \]

Transformando a coordenadas del cono de luz:

\[ x^{+\prime} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^{0'} + x^{1'}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[(\cosh\varphi - \sinh\varphi)x^0 + (\cosh\varphi - \sinh\varphi)x^1\right] \]
\[ = (\cosh\varphi - \sinh\varphi)\cdot\frac{x^0 + x^1}{\sqrt{2}} = e^{-\varphi}\,x^+ \]

Aquí se usó \(\cosh\varphi - \sinh\varphi = e^{-\varphi}\).

De manera similar

\[ x^{-\prime} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^{0'} - x^{1'}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[(\cosh\varphi + \sinh\varphi)x^0 - (\cosh\varphi + \sinh\varphi)x^1\right] \]
\[ = (\cosh\varphi + \sinh\varphi)\cdot\frac{x^0 - x^1}{\sqrt{2}} = e^{\varphi}\,x^- \]
\[ \boxed{x^{+\prime} = e^{-\varphi}\,x^+, \qquad x^{-\prime} = e^{\varphi}\,x^-} \]

(b) Invariancia de \(x^+ x^-\)

De (a)

\[ x^{+\prime}\,x^{-\prime} = (e^{-\varphi}\,x^+)(e^{\varphi}\,x^-) = e^{-\varphi + \varphi}\,x^+ x^- = x^+ x^- \]

Por lo tanto, \(x^+ x^-\) es invariante bajo boosts en la dirección \(x^1\).

Consistencia con \(ds^2\): En forma diferencial también se cumple lo mismo: \(dx^{+\prime}\,dx^{-\prime} = dx^+ dx^-\). Además, \(x^2, x^3\) no cambian bajo el boost en \(x^1\), por lo que \((dx^{2\prime})^2 + (dx^{3\prime})^2 = (dx^2)^2 + (dx^3)^2\). Entonces

\[ ds^{\prime 2} = -2\,dx^{+\prime}\,dx^{-\prime} + (dx^{2\prime})^2 + (dx^{3\prime})^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 = ds^2 \]

Esto es consistente con la invariancia del intervalo espacio-temporal. ✓

Interpretación geométrica: Mientras que en el plano usual \((x^0, x^1)\) el boost de Lorentz aparece como una rotación hiperbólica (\(\cosh, \sinh\)), en el plano \((x^+, x^-)\) el boost se convierte en una transformación de escala a lo largo de los ejes. Esto es más directo que la formulación hiperbólica, y se ve de inmediato que las direcciones del cono de luz se preservan. Esta es otra ventaja de las coordenadas del cono de luz.