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Cap. 4 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Valor absoluto y conjugado complejo de números complejos

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Estrategia: Para \(z = a + bi\), se aplica \(z^* = a - bi\), \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(z \cdot z^* = |z|^2 = a^2 + b^2\).

1. \(z = 1 + i\)

(a) \(z^* = 1 - i\)

(b) \(|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)

(c) \(z \cdot z^* = 1^2 + 1^2 = 2\)

2. \(z = 3 - 4i\)

(a) \(z^* = 3 + 4i\)

(b) \(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

(c) \(z \cdot z^* = 9 + 16 = 25\)

3. \(z = -2i\) (\(a = 0\), \(b = -2\))

(a) \(z^* = +2i\)

(b) \(|z| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2\)

(c) \(z \cdot z^* = (-2i)(2i) = -4i^2 = 4\)

4. \(z = 5\) (\(a = 5\), \(b = 0\))

(a) \(z^* = 5\)

(b) \(|z| = 5\)

(c) \(z \cdot z^* = 25\)

Verificación: Se confirma que en todos los casos se cumple \(z \cdot z^* = |z|^2\). ✓

B-2. Multiplicación de números complejos y fase

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Estrategia: Expandir normalmente y sustituir \(i^2 = -1\).

1. \((1 + i)(1 - i)\)

\[= 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-i) + i \cdot 1 + i \cdot (-i) = 1 - i + i - i^2 = 1 + 1 = 2\]

2. \((2 + 3i)(1 + 2i)\)

\[= 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 2i = 2 + 4i + 3i + 6i^2 = 2 + 7i - 6 = -4 + 7i\]

3. \(i \cdot (3 + 4i)\)

\[= 3i + 4i^2 = 3i - 4 = -4 + 3i\]

4. \((1 + i)^2\)

\[= 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\]

Verificación: El problema 1 tiene la forma \(z \cdot z^*\), por lo que el resultado es \(|z|^2 = 2\). ✓ En el problema 4, \(|1+i|^2 = 2\), y \(|(1+i)^2| = |2i| = 2 = (\sqrt{2})^2\), lo cual es consistente. ✓

B-3. Conversión a forma polar

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Estrategia: Encontrar \(r = |z|\) y \(\theta = \arg(z)\). Verificar la posición en el plano complejo prestando atención al cuadrante.

1. \(z = 1 + i\)

\[r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]

En el primer cuadrante, con \(\tan\theta = 1/1 = 1\), se obtiene \(\theta = \pi/4\).

\[\boxed{z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)}\]

2. \(z = -\sqrt{3} + i\)

\[r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\]

Segundo cuadrante (parte real negativa, parte imaginaria positiva). De \(\tan\alpha = 1/\sqrt{3}\) se obtiene el ángulo de referencia \(\alpha = \pi/6\). Por lo tanto, \(\theta = \pi - \pi/6 = 5\pi/6\).

\[\boxed{z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)}\]

3. \(z = -2\)

\[r = 2, \quad \theta = \pi\]
\[\boxed{z = 2(\cos\pi + i\sin\pi)}\]

4. \(z = 3i\)

\[r = 3, \quad \theta = \pi/2\]
\[\boxed{z = 3\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)}\]

Verificación: Sustituir cada resultado en \(r\cos\theta + ir\sin\theta\) y comprobar que coincide con el \(z\) original. Por ejemplo, en el problema 2: \(2\cos(5\pi/6) = 2 \cdot (-\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}\), \(2\sin(5\pi/6) = 2 \cdot (1/2) = 1\). Por lo tanto, \(z = -\sqrt{3} + i\). ✓

B-4. Multiplicación en forma polar

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Estrategia: A partir de la ecuación (4.8), el módulo se multiplica y el argumento se suma.

1. Producto en forma polar

\[r = r_1 \cdot r_2 = 2 \times 3 = 6\]
\[\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\]
\[\boxed{z_1 \cdot z_2 = 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)}\]

2. Forma \(a + bi\)

\[\cos\frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin\frac{\pi}{2} = 1\]
\[\boxed{z_1 \cdot z_2 = 6(0 + i \cdot 1) = 6i}\]

Verificación: Confirmamos mediante cálculo directo. \(z_1 = 2(\cos 30° + i\sin 30°) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \sqrt{3} + i\). \(z_2 = 3(\cos 60° + i\sin 60°) = 3(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i\).

\[z_1 z_2 = (\sqrt{3} + i)\left(\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3}{2}i + \frac{3}{2}i + \frac{3\sqrt{3}}{2}i^2\]
\[= \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{9}{2}i + \frac{3}{2}i - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0 + 6i = 6i \quad \checkmark\]

B-5. Cálculo del término de interferencia

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Estrategia: Se aplica la ecuación (4.14). \(|\phi_1| = |\phi_2| = 1/\sqrt{2}\), diferencia de fase \(\delta = \theta\).

1. Expresar \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) en función de \(\theta\)

\[P = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\]
\[= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos\theta\]
\[\boxed{P = 1 + \cos\theta}\]

2. Probabilidad para cada valor de \(\theta\)

\(\theta\) \(\cos\theta\) \(P\)
\(0\) \(1\) \(\boxed{2}\)
\(\pi/2\) \(0\) \(\boxed{1}\)
\(\pi\) \(-1\) \(\boxed{0}\)

3. Suma clásica de probabilidades

\[P_{\text{cl}} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \boxed{1}\]

Verificación: Para \(\theta = 0\), \(\phi_1 + \phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\), por lo que \(P = |\sqrt{2}|^2 = 2\). ✓ Para \(\theta = \pi\), \(\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), por lo que \(\phi_1 + \phi_2 = 0\), \(P = 0\). ✓ Dependiendo del valor del término de interferencia \(\cos\theta\), \(P\) varía de \(0\) a \(2\), oscilando alrededor del valor clásico \(1\).

B-6. Conjugado complejo y términos de interferencia

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Estrategia: Utilizar las propiedades de la forma polar. \(\phi_2^* = 3e^{+i\pi/4}\).

1. \(\phi_1 \phi_2^*\)

\[\phi_1 \phi_2^* = 2e^{i\pi/4} \cdot 3e^{i\pi/4} = 6e^{i(\pi/4 + \pi/4)} = 6e^{i\pi/2}\]

Como \(e^{i\pi/2} = i\),

\[\boxed{\phi_1 \phi_2^* = 6i}\]

2. Término de interferencia \(\phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2\)

Como \(\phi_1^* \phi_2 = (\phi_1 \phi_2^*)^* = (6i)^* = -6i\),

\[\phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2 = 6i + (-6i) = \boxed{0}\]

Esto es real (\(0\)), lo que confirma que el término de interferencia es real. ✓

Otra forma de verlo: según la ecuación (4.13), la diferencia de fase entre \(\phi_1\) y \(\phi_2\) es \(\delta = \pi/4 - (-\pi/4) = \pi/2\), por lo que

\[2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(\pi/2) = 12 \cdot 0 = 0 \quad \checkmark\]

3. Probabilidad \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\)

\[P = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + (\text{término de interferencia}) = 4 + 9 + 0 = \boxed{13}\]

Verificación: Calculamos directamente. \(\phi_1 = 2e^{i\pi/4} = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = \sqrt{2} + \sqrt{2}\,i\). \(\phi_2 = 3e^{-i\pi/4} = 3(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i) = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}i\).

\[\phi_1 + \phi_2 = \left(\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)i = \frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[|\phi_1 + \phi_2|^2 = \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{50}{4} + \frac{2}{4} = \frac{52}{4} = 13 \quad \checkmark\]

B-7. Notación de Dirac y la tercera regla

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Estrategia: Por la tercera regla (multiplicación), \(\phi_k = \langle x | k \rangle \cdot \langle k | s \rangle\).

\(k = 1\):

\[\phi_1 = e^{i\pi/3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \boxed{\frac{1}{\sqrt{3}} e^{i\pi/3}}\]

\(k = 2\):

\[\phi_2 = e^{i\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \boxed{\frac{1}{\sqrt{3}} e^{i\pi}}\]

\(k = 3\):

\[\phi_3 = e^{i5\pi/3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \boxed{\frac{1}{\sqrt{3}} e^{i5\pi/3}}\]

Verificación: El valor absoluto de cada amplitud es \(|\phi_k| = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Las tres fases \(\pi/3, \pi, 5\pi/3\) corresponden a ángulos que dividen \(2\pi\) en tres partes iguales (\(60°, 180°, 300°\)). ✓

B-8. Suma de amplitudes y probabilidad

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Estrategia: Convertir cada \(\phi_k\) a la forma \(a + bi\) y sumarlos.

Valores de cada fórmula de Euler:

\[e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad e^{i\pi} = -1, \quad e^{i5\pi/3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\]

Por lo tanto

\[\phi_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\]
\[\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1)\]
\[\phi_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\]

Cálculo de la amplitud total:

\[\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\left[\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) + (-1) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right]\]

Simplificando el contenido del paréntesis:

  • Parte real: \(\frac{1}{2} + (-1) + \frac{1}{2} = 0\)
  • Parte imaginaria: \(\frac{\sqrt{3}}{2} + 0 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0\)
\[\boxed{\phi = 0}\]

Probabilidad:

\[\boxed{P = |\phi|^2 = 0}\]

Verificación: \(e^{i\pi/3}\), \(e^{i\pi}\), \(e^{i5\pi/3}\) son iguales a \(e^{i \cdot 2\pi k/3}\) (\(k = 1, 2, 3\)), y utilizando la raíz cúbica primitiva de la unidad \(\omega = e^{i2\pi/3}\), se tiene \(\omega, \omega^2, \omega^3 = 1\)... pero no exactamente; las fases son \(\pi/3, \pi, 5\pi/3\), por lo que se puede factorizar como \(e^{i\pi/3}(1 + e^{i2\pi/3} + e^{i4\pi/3})\). Como \(1 + e^{i2\pi/3} + e^{i4\pi/3} = 0\) (suma de las raíces cúbicas primitivas de la unidad), se obtiene \(\phi = 0\). ✓

Intermedio

M-1. Derivación de la fórmula general del término de interferencia

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1. Demostración del desarrollo

Estrategia: Desarrollar \(P = \left|\sum_k \phi_k\right|^2\) en la forma \(z \cdot z^*\).

\[P = \left(\sum_{j=1}^{N} \phi_j\right)\left(\sum_{k=1}^{N} \phi_k\right)^* = \sum_{j=1}^{N}\sum_{k=1}^{N} \phi_j \phi_k^*\]

Separamos esta doble suma en los términos con \(j = k\) y los términos con \(j \neq k\):

\[P = \sum_{k=1}^{N} \phi_k \phi_k^* + \sum_{\substack{j,k=1 \\ j \neq k}}^{N} \phi_j \phi_k^*\]

Como \(\phi_k \phi_k^* = |\phi_k|^2\),

\[\boxed{P = \sum_{k=1}^{N} |\phi_k|^2 + \sum_{j \neq k} \phi_j \phi_k^*}\]

El primer término es la suma de las probabilidades de cada camino (contribución clásica), y el segundo término es el término de interferencia. \(\blacksquare\)

2. Número de términos de interferencia

En la doble suma \(\sum_{j \neq k}\), \(j\) y \(k\) toman valores de \(1\) a \(N\), con la condición \(j \neq k\). El número de formas de elegir 2 elementos distintos de \(N\) con orden es

\[N(N-1)\]

(\((j,k) = (1,2)\) y \((j,k) = (2,1)\) se cuentan como términos diferentes.)

Nota adicional: Como \(\phi_j \phi_k^*\) y \(\phi_k \phi_j^*\) son complejos conjugados entre sí, si agrupamos por pares con \(j < k\), hay \(N(N-1)/2\) pares, y cada par da un término de interferencia real \(\phi_j \phi_k^* + \phi_k \phi_j^* = 2|\phi_j||\phi_k|\cos\delta_{jk}\).

3. Razón por la que los términos de interferencia se anulan con fases aleatorias

Supongamos que todos los \(|\phi_k| = A\) y que las diferencias de fase \(\delta_{jk}\) se distribuyen aleatoriamente. Cada término de interferencia es

\[\phi_j \phi_k^* = A^2 e^{i\delta_{jk}}\]

y su parte real es \(A^2 \cos\delta_{jk}\). Si \(\delta_{jk}\) se distribuye uniformemente en \([0, 2\pi)\),

\[\langle \cos\delta_{jk} \rangle = 0\]

Por lo tanto, la contribución promedio de los \(N(N-1)\) términos de interferencia es cero. Como resultado,

\[P \approx \sum_{k=1}^{N} |\phi_k|^2 = NA^2\]

y se recupera la suma clásica de probabilidades. Esta es también la razón esencial del mecanismo (decoherencia) por el cual, cuando se pierde la coherencia de fase en un sistema macroscópico, la interferencia cuántica desaparece y se recupera el comportamiento clásico.

Verificación: Para el caso \(N = 2\), los términos de interferencia son \(2 \cdot 1 = 2\), y \(\phi_1\phi_2^* + \phi_2\phi_1^* = 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\), lo cual es consistente con la ecuación (4.14). ✓

M-2. Patrón de interferencia de \(N\) rendijas equidistantes con igual amplitud

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1. Explicación de la amplitud \(\phi_k = Ae^{ik\delta}\)

La longitud del camino desde la rendija \(k\)-ésima (\(k = 0, 1, \ldots, N-1\)) hasta la posición del detector \(x\) es mayor en \(k\Delta r\) respecto a la longitud del camino desde la rendija \(0\)-ésima. Según la relación de de Broglie, cuando una partícula con momento \(p\) recorre una distancia adicional \(\Delta r\), su fase aumenta en \(p\Delta r/\hbar = \delta\). Por lo tanto, la amplitud que pasa por la rendija \(k\)-ésima está adelantada en fase \(k\delta\) respecto a la \(0\)-ésima, y se escribe como:

\[\phi_k = A e^{ik\delta}\]

(Se omite el factor de fase común.)

2. Forma cerrada mediante serie geométrica

\[\phi = \sum_{k=0}^{N-1} A e^{ik\delta} = A \sum_{k=0}^{N-1} (e^{i\delta})^k\]

Aplicando la fórmula de la serie geométrica \(\sum_{k=0}^{N-1} r^k = \frac{1 - r^N}{1 - r}\) (\(r \neq 1\)) con \(r = e^{i\delta}\):

\[\boxed{\phi = A \cdot \frac{1 - e^{iN\delta}}{1 - e^{i\delta}}}\]

3. Derivación de la probabilidad \(P = |\phi|^2\)

Primero, demostramos que se cumple la siguiente identidad general:

\[|1 - e^{i\alpha}|^2 = (1 - e^{i\alpha})(1 - e^{-i\alpha}) = 1 - e^{i\alpha} - e^{-i\alpha} + 1 = 2 - 2\cos\alpha = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\]

Usando esto:

\[|\phi|^2 = A^2 \cdot \frac{|1 - e^{iN\delta}|^2}{|1 - e^{i\delta}|^2} = A^2 \cdot \frac{4\sin^2(N\delta/2)}{4\sin^2(\delta/2)}\]
\[\boxed{P = A^2 \frac{\sin^2(N\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}}\]

4. Verificación para el caso \(N = 2\)

\[P = A^2 \frac{\sin^2(\delta)}{\sin^2(\delta/2)}\]

Usando la fórmula del ángulo doble \(\sin\delta = 2\sin(\delta/2)\cos(\delta/2)\):

\[P = A^2 \frac{4\sin^2(\delta/2)\cos^2(\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)} = 4A^2\cos^2\frac{\delta}{2}\]

Por otro lado, mediante la fórmula del ángulo medio \(\cos^2(\delta/2) = \frac{1 + \cos\delta}{2}\):

\[P = 4A^2 \cdot \frac{1 + \cos\delta}{2} = 2A^2(1 + \cos\delta)\]

Si en la ecuación (4.14) hacemos \(|\phi_1| = |\phi_2| = A\):

\[P = A^2 + A^2 + 2A^2\cos\delta = 2A^2(1 + \cos\delta)\]

Ambos resultados coinciden. ✓

Comprobación: Para \(\delta = 0\) (máximo central), \(P = A^2 \cdot N^2\) (por la regla de L'Hôpital o sustitución directa). Para \(N = 2\), \(P = 4A^2\). Sustituyendo \(\delta = 0\) en la expresión anterior se obtiene \(P = 4A^2 \cdot 1 = 4A^2\). ✓

M-3. "Observar" hace desaparecer la interferencia: explicación matemática

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1. Caso sin observación

Cuando no se observa por cuál rendija pasó la partícula, las dos trayectorias —vía rendija 1 y vía rendija 2— son indistinguibles en principio. Se cumple la condición de aplicación de la segunda regla ("sumar las amplitudes de trayectorias indistinguibles"), por lo que

\[\phi = \phi_1 + \phi_2\]

Por la primera regla, la probabilidad es

\[P = |\phi_1 + \phi_2|^2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\]

Existe el término de interferencia \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\), y como \(\delta\) depende de la posición \(x\) del detector, aparece un patrón de interferencia.

2. Caso con observación

Cuando se observa por cuál rendija pasó la partícula, las dos trayectorias se vuelven distinguibles. La condición de aplicación de la segunda regla ("indistinguibles") deja de cumplirse, por lo que en lugar de sumar amplitudes, se suman las probabilidades (se regresa a la regla de adición clásica de probabilidades).

Concretamente, los eventos "pasó por la rendija 1" y "pasó por la rendija 2" son eventos excluyentes y distinguibles, por lo que

\[P_{\text{obs}} = P_1 + P_2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\]

El término de interferencia \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\) no aparece. Esto se debe a que la observación registra en el entorno (aparato de medición) la información sobre "por cuál trayectoria pasó", haciendo que las dos trayectorias sean distinguibles en principio.

3. Qué significa que el patrón de interferencia desaparezca

En el caso \(|\phi_1| = |\phi_2| = A\):

  • Sin observación: \(P(x) = 2A^2(1 + \cos\delta(x))\). Como \(\delta(x)\) es función de la posición \(x\) del detector, \(P(x)\) oscila como una función \(\cos\) respecto a \(x\). Esto es el patrón de interferencia. En los máximos (\(\delta = 2n\pi\)) se tiene \(P = 4A^2\); en los mínimos (\(\delta = (2n+1)\pi\)) se tiene \(P = 0\).

  • Con observación: \(P_{\text{obs}}(x) = 2A^2\). Se obtiene una distribución uniforme que no depende de \(x\).

"Que el patrón de interferencia desaparezca" significa que la componente oscilatoria \(\cos\delta(x)\) desaparece de la distribución de probabilidad como función de la posición \(x\) del detector, transformándose en una distribución uniforme. Dado que el término de interferencia \(2A^2\cos\delta(x)\) se anula, el contraste entre máximos y mínimos se pierde por completo.

Verificación: \(P_{\text{obs}} = 2A^2\) coincide con el valor promedio de \(P(x)\) respecto a \(x\): \(\langle 2A^2(1 + \cos\delta) \rangle_x = 2A^2\) (el promedio de \(\cos\delta\) es 0). Aunque la observación elimine el patrón de interferencia, la probabilidad promedio global de llegada no cambia. ✓

M-4. Cálculo de la amplitud a través de dos paredes

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1. Enumeración de caminos

Rendijas en la primera pared: \(A_1, A_2\) (2 opciones) Rendijas en la segunda pared: \(B_1, B_2, B_3\) (3 opciones)

Todos los caminos posibles son:

\[s \to A_j \to B_k \to x \quad (j = 1, 2; \; k = 1, 2, 3)\]
\[\boxed{\text{Número de caminos} = 2 \times 3 = 6}\]

Concretamente: \(A_1B_1\), \(A_1B_2\), \(A_1B_3\), \(A_2B_1\), \(A_2B_2\), \(A_2B_3\).

2. Amplitud de cada camino (tercera regla)

La amplitud del camino "\(s \to A_j \to B_k \to x\)" es el producto de las amplitudes de las 3 etapas consecutivas:

\[\boxed{\phi_{jk} = \langle x | B_k \rangle \langle B_k | A_j \rangle \langle A_j | s \rangle}\]

3. Amplitud total (segunda regla)

Como no se observa por qué rendija pasa la partícula, los 6 caminos son indistinguibles. Se suman las amplitudes:

\[\boxed{\langle x | s \rangle = \sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{3} \langle x | B_k \rangle \langle B_k | A_j \rangle \langle A_j | s \rangle}\]

4. Caso en que todas las amplitudes son \(c\)

La amplitud de cada camino es \(\phi_{jk} = c \cdot c \cdot c = c^3\).

Como los 6 caminos tienen la misma amplitud \(c^3\),

\[\langle x | s \rangle = 6c^3\]
\[\boxed{P = |\langle x | s \rangle|^2 = 36c^6}\]

Verificación: Dimensionalmente, como la amplitud es el producto de 3 etapas, es del orden de \(c^3\); multiplicando por el número de caminos 6 se obtiene \(6c^3\), y la probabilidad es su cuadrado: \(36c^6\). Si hubiera una sola pared (con \(n\) rendijas), se tendría \(P = n^2 c^4\), y con \(n = 6\) y 2 etapas daría \(36c^4\). En este caso hay 3 etapas, por lo que \(c^6\) es correcto. ✓

M-5. Relación entre diferencia de fase y diferencia de camino

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1. Derivación de la diferencia de camino \(\Delta r \approx dx/L\)

Situamos las rendijas 1 y 2 en las posiciones \(\pm d/2\) respecto a la línea central perpendicular a la pantalla. Las distancias hasta la posición del detector \(x\) son:

\[r_1 = \sqrt{L^2 + (x - d/2)^2}, \quad r_2 = \sqrt{L^2 + (x + d/2)^2}\]

En la aproximación \(L \gg d\) y \(L \gg x\), calculamos \(r_1 - r_2\).

\[r_1^2 - r_2^2 = \left[(x - d/2)^2 - (x + d/2)^2\right] = -2xd\]
\[r_1^2 - r_2^2 = (r_1 - r_2)(r_1 + r_2) \approx \Delta r \cdot 2L\]

(\(r_1 + r_2 \approx 2L\) es la aproximación para \(L \gg d, x\).)

Por lo tanto

\[\boxed{\Delta r = r_1 - r_2 \approx \frac{-2xd}{2L} = -\frac{dx}{L}}\]

La elección del signo depende de la definición de coordenadas. Como magnitud de la diferencia de camino:

\[|\Delta r| \approx \frac{dx}{L}\]

Derivación alternativa (geométrica): Cuando \(L \gg d\), los dos caminos son aproximadamente paralelos y forman un ángulo \(\theta \approx x/L\). La diferencia de camino es \(\Delta r = d\sin\theta \approx d\theta \approx dx/L\). ✓

2. Diferencia de fase

Usando la forma de la ecuación (4.22) (\(\delta = p \Delta r / \hbar\)),

\[\boxed{\delta = \frac{p}{\hbar} \cdot \frac{dx}{L} = \frac{pdx}{\hbar L}}\]

3. Posiciones de los máximos

A partir de la condición de interferencia constructiva \(\delta = 2n\pi\) (\(n\) es un entero),

\[\frac{pdx_n}{\hbar L} = 2n\pi\]
\[\boxed{x_n = \frac{2n\pi \hbar L}{pd}}\]

4. Separación entre máximos consecutivos

\[\Delta x = x_{n+1} - x_n = \frac{2\pi\hbar L}{pd}\]

Sustituyendo la relación de de Broglie \(p = h/\lambda = 2\pi\hbar/\lambda\),

\[\Delta x = \frac{2\pi\hbar L}{(2\pi\hbar/\lambda) \cdot d} = \frac{\lambda L}{d}\]
\[\boxed{\Delta x = \frac{\lambda L}{d}}\]

Verificación: Análisis dimensional: \([\lambda L / d] = \text{m} \cdot \text{m} / \text{m} = \text{m}\). ✓ Físicamente, cuanto mayor es la longitud de onda \(\lambda\) o la distancia a la pantalla \(L\), mayor es la separación entre franjas, y cuanto mayor es la separación entre rendijas \(d\), menor es la separación entre franjas. Esto coincide completamente con los resultados del experimento de interferencia óptica (experimento de Young). ✓

Avanzado

A-1. Análisis mecánico-cuántico del interferómetro de Mach–Zehnder

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Organización del planteamiento

Componentes del interferómetro y asignación de amplitudes:

  • BS1: reflexión → \(\frac{i}{\sqrt{2}}\), transmisión → \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
  • Espejo: reflexión → \(i\)
  • Lámina de fase (solo en el camino \(A\)): \(e^{i\varphi}\)
  • BS2: reflexión → \(\frac{i}{\sqrt{2}}\), transmisión → \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Como configuración típica, adoptamos la siguiente: - Camino \(A\): reflexión en BS1 → lámina de fase → reflexión en espejo \(M_A\) → transmisión en BS2 hacia \(D_1\) (o reflexión hacia \(D_2\)) - Camino \(B\): transmisión en BS1 → reflexión en espejo \(M_B\) → reflexión en BS2 hacia \(D_1\) (o transmisión hacia \(D_2\))

1. Amplitudes de los dos caminos que llegan a \(D_1\)

Hacia \(D_1\) por el camino \(A\): reflexión en BS1 → lámina de fase → reflexión en \(M_A\) → transmisión en BS2

\[\phi_A^{(1)} = \frac{i}{\sqrt{2}} \cdot e^{i\varphi} \cdot i \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{i \cdot i}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \cdot e^{i\varphi} = \frac{i^2}{2} e^{i\varphi} = \frac{-1}{2} e^{i\varphi}\]
\[\boxed{\phi_A^{(1)} = -\frac{1}{2}e^{i\varphi}}\]

Hacia \(D_1\) por el camino \(B\): transmisión en BS1 → reflexión en \(M_B\) → reflexión en BS2

\[\phi_B^{(1)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot i \cdot \frac{i}{\sqrt{2}} = \frac{i^2}{2} = -\frac{1}{2}\]
\[\boxed{\phi_B^{(1)} = -\frac{1}{2}}\]

2. Probabilidad de detección en \(D_1\)

Según la segunda regla, la amplitud total es:

\[\phi^{(1)} = \phi_A^{(1)} + \phi_B^{(1)} = -\frac{1}{2}e^{i\varphi} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(e^{i\varphi} + 1)\]

Probabilidad:

\[P_1 = |\phi^{(1)}|^2 = \frac{1}{4}|e^{i\varphi} + 1|^2\]

Calculamos \(|e^{i\varphi} + 1|^2\):

\[|e^{i\varphi} + 1|^2 = (e^{i\varphi} + 1)(e^{-i\varphi} + 1) = 1 + e^{i\varphi} + e^{-i\varphi} + 1 = 2 + 2\cos\varphi = 4\cos^2\frac{\varphi}{2}\]
\[\boxed{P_1(\varphi) = \frac{1}{4} \cdot 4\cos^2\frac{\varphi}{2} = \cos^2\frac{\varphi}{2}}\]

3. Probabilidad de detección en \(D_2\)

Hacia \(D_2\) por el camino \(A\): reflexión en BS1 → lámina de fase → reflexión en \(M_A\) → reflexión en BS2

\[\phi_A^{(2)} = \frac{i}{\sqrt{2}} \cdot e^{i\varphi} \cdot i \cdot \frac{i}{\sqrt{2}} = \frac{i^3}{2} e^{i\varphi} = \frac{-i}{2} e^{i\varphi}\]

Hacia \(D_2\) por el camino \(B\): transmisión en BS1 → reflexión en \(M_B\) → transmisión en BS2

\[\phi_B^{(2)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot i \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{i}{2}\]

Amplitud total:

\[\phi^{(2)} = \phi_A^{(2)} + \phi_B^{(2)} = -\frac{i}{2}e^{i\varphi} + \frac{i}{2} = \frac{i}{2}(1 - e^{i\varphi})\]

Probabilidad:

\[P_2 = \left|\frac{i}{2}\right|^2 |1 - e^{i\varphi}|^2 = \frac{1}{4} \cdot 4\sin^2\frac{\varphi}{2}\]
\[\boxed{P_2(\varphi) = \sin^2\frac{\varphi}{2}}\]

Verificación de la conservación de la probabilidad:

\[P_1 + P_2 = \cos^2\frac{\varphi}{2} + \sin^2\frac{\varphi}{2} = 1 \quad \checkmark\]

4. Casos especiales

Cuando \(\varphi = 0\):

\[P_1(0) = \cos^2 0 = 1, \quad P_2(0) = \sin^2 0 = 0\]

El fotón se detecta siempre en \(D_1\). Las amplitudes de los dos caminos se suman constructivamente de forma completa en \(D_1\) y se cancelan completamente en \(D_2\). Esto corresponde a interferencia constructiva perfecta (\(D_1\)) e interferencia destructiva perfecta (\(D_2\)).

Cuando \(\varphi = \pi\):

\[P_1(\pi) = \cos^2\frac{\pi}{2} = 0, \quad P_2(\pi) = \sin^2\frac{\pi}{2} = 1\]

El fotón se detecta siempre en \(D_2\). Al añadir la lámina de fase un desfase de \(\pi\) al camino \(A\), las condiciones de interferencia se invierten, produciéndose interferencia destructiva perfecta en \(D_1\) e interferencia constructiva perfecta en \(D_2\).

Significado físico: Variando continuamente el ajuste \(\varphi\) de la lámina de fase, se puede controlar de forma continua a cuál salida llega el fotón, entre \(D_1\) y \(D_2\). Esto constituye interferencia a nivel de un solo fotón y es evidencia directa de que el fotón se comporta "como si recorriera ambos caminos simultáneamente".

5. Caso con un detector de camino insertado

Si se inserta en el camino \(A\) un dispositivo que detecta "por cuál camino pasó" el fotón, se obtiene en principio información sobre qué camino recorrió. Con esto, los dos caminos se vuelven distinguibles.

La condición de aplicación de la segunda regla es que "los caminos sean indistinguibles en principio". Cuando los caminos se vuelven distinguibles, en lugar de sumar amplitudes, se suman probabilidades:

\[P_1^{\text{obs}} = |\phi_A^{(1)}|^2 + |\phi_B^{(1)}|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\]
\[P_2^{\text{obs}} = |\phi_A^{(2)}|^2 + |\phi_B^{(2)}|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\]

El término de interferencia desaparece, resultando \(P_1 = P_2 = 1/2\), y la dependencia en la fase \(\varphi\) se pierde completamente. El fotón llega a \(D_1\) y \(D_2\) con igual probabilidad, y cambiar el ajuste de la lámina de fase no altera las probabilidades de detección. La función del interferómetro queda completamente destruida.

Comprobación: \(P_1^{\text{obs}} + P_2^{\text{obs}} = 1/2 + 1/2 = 1\). ✓ Además, \(|\phi_A^{(1)}|^2 = |{-\frac{1}{2}e^{i\varphi}}|^2 = 1/4\), \(|\phi_B^{(1)}|^2 = |{-\frac{1}{2}}|^2 = 1/4\), que efectivamente no dependen de \(\varphi\). ✓

A-2. Interferencia en un sistema de 3 estados y el principio del "borrador cuántico"

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Parte I: Interferencia completa

1. Cálculo de la amplitud total y la probabilidad

\[\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 = A(e^{i \cdot 0} + e^{i \cdot 2\pi/3} + e^{i \cdot 4\pi/3})\]
\[= A(1 + e^{i2\pi/3} + e^{i4\pi/3})\]

Si definimos \(\omega = e^{i2\pi/3}\), entonces \(\omega\) es una raíz cúbica primitiva de la unidad, y

\[1 + \omega + \omega^2 = 0\]

(Esto corresponde a la suma de las raíces del segundo factor \(z^2 + z + 1 = 0\) de \(z^3 - 1 = (z-1)(z^2 + z + 1) = 0\).)

Por lo tanto,

\[\phi = A \cdot 0 = 0\]
\[\boxed{P = |\phi|^2 = 0}\]

2. Relación con las raíces cúbicas primitivas de la unidad

\(e^{i2\pi/3}\) es la raíz cúbica primitiva de la unidad \(\omega\), y \(1, \omega, \omega^2\) se sitúan en los vértices de un triángulo equilátero inscrito en el círculo unitario del plano complejo. Al sumar estos tres vectores, por simetría se cancelan completamente y dan cero.

Físicamente, como las amplitudes provenientes de las tres rendijas tienen igual magnitud y sus fases están igualmente espaciadas en \(120°\), en la posición del detector (este \(x\) particular) las tres ondas producen interferencia destructiva completa, y la probabilidad de que la partícula llegue es cero. Esto es consistente también con el resultado D8.

Parte II: Información parcial de camino

3. Método de cálculo de la probabilidad

Al colocar un marcador en la rendija 1, se hace posible distinguir entre "pasó por la rendija 1" y "no pasó por la rendija 1 (pasó por la rendija 2 o 3)".

Método de cálculo basado en las reglas de Feynman:

  • La rendija 1 es distinguible de las otras rendijas, por lo que la amplitud de la rendija 1 se convierte en probabilidad de forma independiente.
  • Las rendijas 2 y 3 son mutuamente indistinguibles, por lo que sus amplitudes se suman (segunda regla).
  • Finalmente, las probabilidades de los dos grupos distinguibles se suman (regla de adición clásica de probabilidades).
\[\boxed{P(x) = |\phi_1|^2 + |\phi_2 + \phi_3|^2}\]

Calculando explícitamente:

\[|\phi_1|^2 = |A|^2 = A^2\]
\[\phi_2 + \phi_3 = A(e^{i2\pi/3} + e^{i4\pi/3})\]

De \(1 + \omega + \omega^2 = 0\) se obtiene \(\omega + \omega^2 = -1\), por lo que

\[\phi_2 + \phi_3 = A \cdot (-1) = -A\]
\[|\phi_2 + \phi_3|^2 = A^2\]
\[\boxed{P = A^2 + A^2 = 2A^2}\]

4. Comparación con la Parte I

Situación Probabilidad
Parte I (sin información de camino, interferencia completa) \(P = 0\)
Parte II (información parcial de camino) \(P = 2A^2\)
Información completa de camino (todas distinguibles) \(P = 3A^2\)

En la Parte I, la interferencia destructiva completa daba \(P = 0\). Al obtener información parcial de camino mediante el marcador, la cancelación completa de las tres amplitudes se rompe, resultando en \(P = 2A^2 > 0\).

La expresión "obtener información parcial de camino restaura parcialmente la interferencia" requiere cuidado con el contexto. Lo que ocurre aquí es:

  • La interferencia destructiva completa de la Parte I (\(P = 0\)) fue parcialmente destruida por la introducción del marcador.
  • Entre las rendijas 2 y 3 aún queda interferencia (\(|\phi_2 + \phi_3|^2 = A^2 \neq |\phi_2|^2 + |\phi_3|^2 = 2A^2\)). De hecho, \(\phi_2 + \phi_3 = -A\), por lo que \(|\phi_2 + \phi_3|^2 = A^2\), que es menor que \(|\phi_2|^2 + |\phi_3|^2 = 2A^2\). Entre las rendijas 2 y 3 permanece una interferencia destructiva parcial.
  • En conjunto, la probabilidad aumentó de la cancelación completa (\(P = 0\)) a \(P = 2A^2\). Esto se debe a que la "destrucción de la interferencia" aumentó la probabilidad, lo cual es el fenómeno opuesto a la "restauración de la interferencia".

Por lo tanto, la descripción precisa para esta posición particular del detector es: "al obtener información parcial de camino, la interferencia fue parcialmente destruida, y la probabilidad cambió de cero a un valor no nulo".

Parte III: Borrador cuántico

5. Borrado de la información del marcador

Consideremos el caso en que se instaló el marcador de la Parte II, pero su información no se lee (se borra).

Volviendo a la condición de aplicación de la segunda regla, las amplitudes se suman cuando los caminos son en principio indistinguibles. Borrar la información del marcador significa devolver el sistema a un estado en el que la información sobre por cuál rendija pasó la partícula es en principio imposible de obtener.

Si la información del marcador se borra completamente, los tres caminos vuelven a ser indistinguibles y la segunda regla se restablece:

\[\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 = 0\]
\[P = |\phi|^2 = 0\]

Se recupera el patrón de interferencia completa original (el resultado de la Parte I).

Este es el principio básico del "borrador cuántico" (quantum eraser). Un borrador cuántico es una operación que recupera un patrón de interferencia perdido al borrar a posteriori la información de camino (which-path information) que fue adquirida previamente. Los puntos importantes son:

  1. La presencia o ausencia de información de camino determina la interferencia: Si la interferencia ocurre o no depende de si la información de camino está disponible en principio.
  2. El borrado de información es una operación física: No basta con simplemente "no mirar"; es necesario manipular apropiadamente el estado cuántico del marcador para hacer la información de camino irrecuperable en principio.
  3. Recuperación mediante post-selección: En los experimentos reales de borrador cuántico, el patrón de interferencia se recupera mediante post-selección de los datos basándose en los resultados de medición del marcador (sistema auxiliar). Al sumar todos los datos, las franjas de interferencia no son visibles, pero en los subensambles correspondientes a resultados de medición específicos, las franjas de interferencia aparecen.

Verificación: Parte I (sin información) → \(P = 0\), Parte II (información parcial) → \(P = 2A^2\), información completa → \(P = 3A^2\). A medida que aumenta la información, la interferencia se destruye y la probabilidad se acerca al valor clásico \(3A^2\). Al borrar la información, la interferencia se recupera y \(P\) vuelve a \(0\). Esta serie de resultados es físicamente consistente. ✓