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Apéndice B Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Cálculo en SI de la longitud de onda de Compton del electrón

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\(\lambda_C = \frac{\hbar}{m_e c}\)

\(= \frac{1.055 \times 10^{-34}}{9.109 \times 10^{-31} \times 2.998 \times 10^8}\)

\(= \frac{1.055 \times 10^{-34}}{2.731 \times 10^{-22}}\)

\(= 3.86 \times 10^{-13} \;\text{m} \approx 0.386 \;\text{pm}\)

Esto es mucho menor que el tamaño de un átomo (\(\sim 10^{-10}\) m) y mayor que el tamaño del núcleo atómico (\(\sim 10^{-15}\) m). La longitud de onda de Compton representa «la escala a la que los efectos de la mecánica cuántica se vuelven importantes».

B-2. Masa de Planck en GeV

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\(m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} = 2.176 \times 10^{-8} \;\text{kg}\)

Conversión a GeV:

\(m_P c^2 = 2.176 \times 10^{-8} \times (2.998 \times 10^8)^2 = 1.956 \times 10^9 \;\text{J}\)

\(= \frac{1.956 \times 10^9}{1.602 \times 10^{-10}} \;\text{GeV} = 1.221 \times 10^{19} \;\text{GeV}\)

Razón respecto a la masa del protón \(m_p \approx 0.938\) GeV:

\(\frac{m_P}{m_p} = \frac{1.221 \times 10^{19}}{0.938} \approx 1.3 \times 10^{19}\)

La masa de Planck es aproximadamente \(10^{19}\) veces la masa del protón.

Intermedio

M-1. Dimensión de \(G\) en el sistema de unidades naturales

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Dimensiones de \(G\) en el sistema SI:

\([G] = \frac{[\text{longitud}]^3}{[\text{masa}][\text{tiempo}]^2} = \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\)

En unidades naturales (\(\hbar = c = 1\)): - De \(c = 1\) se tiene \([\text{longitud}] = [\text{tiempo}]\) - De \(\hbar = 1\) se tiene \([\text{energía}] \cdot [\text{tiempo}] = 1\), es decir \([\text{tiempo}] = [\text{energía}]^{-1}\) - De \(E = mc^2\) se tiene \([\text{masa}] = [\text{energía}]\)

Por lo tanto \([\text{longitud}] = [\text{tiempo}] = [\text{energía}]^{-1}\), \([\text{masa}] = [\text{energía}]\).

\([G] = \frac{[\text{E}]^{-3}}{[\text{E}][\text{E}]^{-2}} = \frac{[\text{E}]^{-3}}{[\text{E}]^{-1}} = [\text{E}]^{-2}\)

Efectivamente \([G] = [\text{energía}]^{-2}\).

M-2. Constante de estructura fina en unidades naturales

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Definición en el sistema de unidades SI:

\(\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c}\)

En unidades naturales se toma \(\hbar = c = 1\) y, además, siguiendo la convención del sistema de unidades gaussiano se establece \(4\pi\varepsilon_0 = 1\):

\(\alpha = \frac{e^2}{4\pi}\)

\(\alpha \approx 1/137\) es una cantidad adimensional, por lo que su valor es el mismo en cualquier sistema de unidades. En unidades naturales, \(e^2 = 4\pi\alpha \approx 4\pi/137 \approx 0.0917\).