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Cap. 5 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Verificación de la condición de normalización

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Problema:

Verifica que el estado \(|\psi\rangle = \frac{1+i}{2}|+\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}|-\rangle\) satisface la condición de normalización \(|c_+|^2 + |c_-|^2 = 1\).

Estrategia de resolución: Calcular el módulo al cuadrado de \(c_+ = \frac{1+i}{2}\) y \(c_- = \frac{\sqrt{2}}{2}\) respectivamente, y verificar que su suma es igual a 1.

Detalle del cálculo:

\[|c_+|^2 = \left|\frac{1+i}{2}\right|^2 = \frac{(1)^2 + (1)^2}{2^2} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
\[|c_-|^2 = \left|\frac{\sqrt{2}}{2}\right|^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Respuesta final:

\[|c_+|^2 + |c_-|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \quad \checkmark\]

La condición de normalización se satisface.

Verificación: Como método alternativo, se puede confirmar que \(|c_+|^2 = c_+^* c_+ = \frac{1-i}{2} \cdot \frac{1+i}{2} = \frac{(1-i)(1+i)}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}\).

B-2. Cálculo del producto interno

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Problema:

Para \(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|+\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4}|-\rangle\), calcula los productos internos \(\langle+|\psi\rangle\) y \(\langle-|\psi\rangle\), y obtén el cuadrado del valor absoluto de cada uno.

Estrategia de resolución: Calcular los productos internos utilizando la ortonormalidad \(\langle+|+\rangle = 1\), \(\langle+|-\rangle = 0\), \(\langle-|+\rangle = 0\), \(\langle-|-\rangle = 1\).

Detalle del cálculo:

\[|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|+\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4}|-\rangle\]
\[\langle+|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\langle+|+\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4}\langle+|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 + \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4} \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}\]
\[\langle-|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\langle-|+\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4}\langle-|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 0 + \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4} \cdot 1 = \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4}\]

Módulo al cuadrado:

\[|\langle+|\psi\rangle|^2 = \left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|^2 = \frac{1}{3}\]
\[|\langle-|\psi\rangle|^2 = \left|\sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4}\right|^2 = \frac{2}{3} \cdot |e^{i\pi/4}|^2 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}\]

Respuesta final:

\[\langle+|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad |\langle+|\psi\rangle|^2 = \frac{1}{3}\]
\[\langle-|\psi\rangle = \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4}, \quad |\langle-|\psi\rangle|^2 = \frac{2}{3}\]

Verificación: \(|\langle+|\psi\rangle|^2 + |\langle-|\psi\rangle|^2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\) ✓ (se satisface la condición de normalización)

B-3. Acción del producto externo (operador de proyección)

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Problema:

Aplica el operador de proyección \(\hat{P}_+ = |+\rangle\langle+|\) al estado \(|\psi\rangle = \frac{3}{5}|+\rangle + \frac{4}{5}|-\rangle\). Escribe el resultado como combinación lineal de \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\), y verifica si dicho estado está normalizado.

Estrategia de resolución: Se aplica \(\hat{P}_+ = |+\rangle\langle+|\) sobre \(|\psi\rangle\). La acción del producto externo se calcula mediante el procedimiento de "tomar el producto interno y luego multiplicar por el ket".

Detalle del cálculo:

\[\hat{P}_+|\psi\rangle = |+\rangle\langle+|\psi\rangle = |+\rangle\left(\frac{3}{5}\langle+|+\rangle + \frac{4}{5}\langle+|-\rangle\right)\]
\[= |+\rangle\left(\frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 0\right) = \frac{3}{5}|+\rangle\]

Escribiendo esto como combinación lineal de \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\):

\[\hat{P}_+|\psi\rangle = \frac{3}{5}|+\rangle + 0 \cdot |-\rangle\]

Verificación de la normalización:

\[\left|\frac{3}{5}\right|^2 + |0|^2 = \frac{9}{25} \neq 1\]

Respuesta final:

\[\hat{P}_+|\psi\rangle = \frac{3}{5}|+\rangle\]

Este estado no está normalizado. El cuadrado de la norma es \(9/25\), que es igual a la probabilidad \(|c_+|^2 = 9/25\) de encontrar el estado original \(|\psi\rangle\) como \(|+\rangle\). El estado normalizado después de la proyección es \(|+\rangle\) en sí mismo.

Comprobación: Se verifica la idempotencia del operador de proyección \(\hat{P}_+^2 = \hat{P}_+\). \(\hat{P}_+(\hat{P}_+|\psi\rangle) = \hat{P}_+\left(\frac{3}{5}|+\rangle\right) = \frac{3}{5}|+\rangle\langle+|+\rangle = \frac{3}{5}|+\rangle = \hat{P}_+|\psi\rangle\) ✓

B-4. Desarrollo en la base \(x\)

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Problema:

Desarrolla el estado \(|+\rangle\) (espín hacia arriba en la dirección \(z\)) en la base de la dirección \(x\): \(|+\rangle_x\), \(|-\rangle_x\). Es decir, determina los coeficientes \(a\), \(b\) en

\[ |+\rangle = a\,|+\rangle_x + b\,|-\rangle_x\]

utilizando las ecuaciones (5.11) y (5.12).

Estrategia de resolución: Resolver las ecuaciones (5.11) y (5.12) como un sistema de ecuaciones simultáneas para \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\).

Desarrollo del cálculo:

Reproducimos las ecuaciones (5.11) y (5.12):

\[|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\]
\[|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\]

Sumando ambas ecuaciones:

\[|+\rangle_x + |-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle = \frac{2}{\sqrt{2}}|+\rangle = \sqrt{2}\,|+\rangle\]
\[\therefore \quad |+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_x + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle_x\]

Respuesta final:

\[a = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad b = \frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_x + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle_x\]

Verificación: Como método alternativo, calculamos directamente \(a = {}_x\langle+|+\rangle\). Dado que \({}_x\langle+| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|\), se tiene \(a = {}_x\langle+|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\) ✓. De manera similar, \(b = {}_x\langle-|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\) ✓. La normalización también se cumple: \(|a|^2 + |b|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) ✓.

B-5. Ortogonalidad de la base \(y\)

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Problema:

Usando las ecuaciones (5.13) y (5.14), calcula el producto interno \({}_y\langle+|-\rangle_y\) y verifica que \(|+\rangle_y\) y \(|-\rangle_y\) son ortogonales.

Estrategia de resolución: Construir el bra \({}_y\langle+|\) a partir de las ecuaciones (5.13) y (5.14), y calcular el producto interno con \(|-\rangle_y\).

Detalles del cálculo:

De las ecuaciones (5.13) y (5.14):

\[|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\]
\[|-\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\]

Al construir el bra, se toma el conjugado complejo de los coeficientes:

\[{}_y\langle+| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| + \left(\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^*\langle-| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| - \frac{i}{\sqrt{2}}\langle-|\]

Calculamos el producto interno:

\[{}_y\langle+|-\rangle_y = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| - \frac{i}{\sqrt{2}}\langle-|\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\right)\]
\[= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\langle+|-\rangle + \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|+\rangle + \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\langle-|-\rangle\]
\[= \frac{1}{2} \cdot 1 + \left(-\frac{i}{2}\right) \cdot 0 + \left(-\frac{i}{2}\right) \cdot 0 + \frac{i^2}{2} \cdot 1\]
\[= \frac{1}{2} + \frac{i^2}{2} = \frac{1}{2} + \frac{-1}{2} = 0\]

Respuesta final:

\[{}_y\langle+|-\rangle_y = 0\]

\(|+\rangle_y\) y \(|-\rangle_y\) son ortogonales. ✓

Verificación: \({}_y\langle+|+\rangle_y = \frac{1}{2}\langle+|+\rangle + \frac{1}{2}\left(-i\right)(i)\langle-|-\rangle = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) ✓ (se confirma también la normalización)

B-6. Obtener probabilidades a partir de amplitudes de probabilidad

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Problema:

Una partícula con espín hacia arriba en la dirección \(y\) (estado \(|+\rangle_y\)) se hace pasar por un aparato de Stern-Gerlach orientado en la dirección \(z\). Determina la probabilidad de obtener \(S_z = +\hbar/2\) y la probabilidad de obtener \(S_z = -\hbar/2\), respectivamente.

Estrategia de resolución: Leer los coeficientes de expansión de \(|+\rangle_y\) en la base \(z\) y calcular cada probabilidad.

Detalles del cálculo:

De la ecuación (5.13):

\[|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\]

La amplitud de probabilidad de obtener \(S_z = +\hbar/2\) es \(c_+ = \frac{1}{\sqrt{2}}\), y la amplitud de probabilidad de obtener \(S_z = -\hbar/2\) es \(c_- = \frac{i}{\sqrt{2}}\).

\[P\left(S_z = +\frac{\hbar}{2}\right) = |c_+|^2 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}\]
\[P\left(S_z = -\frac{\hbar}{2}\right) = |c_-|^2 = \left|\frac{i}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{|i|^2}{2} = \frac{1}{2}\]

Respuesta final:

\[P\left(S_z = +\frac{\hbar}{2}\right) = \frac{1}{2}, \quad P\left(S_z = -\frac{\hbar}{2}\right) = \frac{1}{2}\]

Cuando se mide en la dirección \(z\) una partícula con espín hacia arriba en la dirección \(y\), se obtienen los resultados hacia arriba y hacia abajo con igual probabilidad (50% cada uno).

Verificación: \(P(+) + P(-) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) ✓. Además, al igual que en el caso de la dirección \(x\) (ecuación (5.11)), esto coincide con la expectativa física de que una medición en una dirección ortogonal produce resultados equiprobables.

B-7. Uso de la delta de Kronecker

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Problema:

Para la delta de Kronecker \(\delta_{ij}\) definida con \(i, j \in \{+, -\}\), calcula la siguiente suma:

\[ \sum_{j \in \{+,-\}} \delta_{+j}\,\delta_{j-}\]

Estrategia de resolución: Se evalúa cada sumando para los casos \(j = +\) y \(j = -\), y luego se suman.

Detalle del cálculo:

\[\sum_{j \in \{+,-\}} \delta_{+j}\,\delta_{j-} = \delta_{++}\,\delta_{+-} + \delta_{+-}\,\delta_{--}\]

Valores de cada delta de Kronecker: - \(\delta_{++} = 1\), \(\delta_{+-} = 0\), \(\delta_{--} = 1\)

\[= 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 + 0 = 0\]

Respuesta final:

\[\sum_{j \in \{+,-\}} \delta_{+j}\,\delta_{j-} = 0\]

Verificación: Esta suma debe ser igual a \(\delta_{+-}\) (por la regla de composición de la delta de Kronecker: \(\sum_j \delta_{ij}\delta_{jk} = \delta_{ik}\)). Como \(\delta_{+-} = 0\), el resultado es consistente. ✓

B-8. Componentes de la matriz de cambio de base

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Problema:

Utilizando las ecuaciones (5.13) y (5.14), escribe cada componente de la matriz de cambio de base de la base \(z\) a la base \(y\):

\[ U = \begin{pmatrix} \langle+|+\rangle_y & \langle+|-\rangle_y \\ \langle-|+\rangle_y & \langle-|-\rangle_y \end{pmatrix}\]

Estrategia de resolución: A partir de las ecuaciones (5.13) y (5.14), se leen los coeficientes de expansión de \(|+\rangle_y\), \(|-\rangle_y\) en la base \(z\), y se obtienen los elementos de matriz como productos internos.

Detalle del cálculo:

Ecuación (5.13): \(|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\)

Ecuación (5.14): \(|-\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\)

Se leen las componentes:

\[\langle+|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \langle-|+\rangle_y = \frac{i}{\sqrt{2}}\]
\[\langle+|-\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \langle-|-\rangle_y = -\frac{i}{\sqrt{2}}\]

Respuesta final:

\[U = \begin{pmatrix} \langle+|+\rangle_y & \langle+|-\rangle_y \\ \langle-|+\rangle_y & \langle-|-\rangle_y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ i & -i \end{pmatrix}\]

Verificación: Se comprueba la unitariedad. \(U^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -i \\ 1 & i \end{pmatrix}\)

\[U^\dagger U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -i \\ 1 & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ i & -i \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+1 & 1+1 \cdot(-1) \\ 1+1\cdot(-1) & 1+1 \end{pmatrix}\]

Con más detalle:

\((U^\dagger U)_{11} = \frac{1}{2}(1 \cdot 1 + (-i)(i)) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1\)

\((U^\dagger U)_{12} = \frac{1}{2}(1 \cdot 1 + (-i)(-i)) = \frac{1}{2}(1 + i^2) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0\)

\((U^\dagger U)_{21} = \frac{1}{2}(1 \cdot 1 + i \cdot i) = \frac{1}{2}(1 + i^2) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0\)

\((U^\dagger U)_{22} = \frac{1}{2}(1 \cdot 1 + i(-i)) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1\)

\[U^\dagger U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{1} \quad \checkmark\]

Intermedio

M-1. Derivar la condición de normalización a partir de la relación de completitud

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Problema:

Utilizando la relación de completitud \(|+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-| = \mathbf{1}\) y la definición del producto interno, demuestra que para cualquier estado normalizado \(|\psi\rangle\) (\(\langle\psi|\psi\rangle = 1\)) se cumple

\[ |\langle+|\psi\rangle|^2 + |\langle-|\psi\rangle|^2 = 1\]

Estrategia de resolución: Insertar la relación de completitud en \(\langle\psi|\psi\rangle = 1\).

Desarrollo del cálculo:

Se inserta el operador identidad \(\mathbf{1} = |+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-|\) en el lado izquierdo de \(\langle\psi|\psi\rangle = 1\):

\[\langle\psi|\psi\rangle = \langle\psi|\mathbf{1}|\psi\rangle = \langle\psi|\left(|+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-|\right)|\psi\rangle\]
\[= \langle\psi|+\rangle\langle+|\psi\rangle + \langle\psi|-\rangle\langle-|\psi\rangle\]

Aquí, utilizando la propiedad del producto interno \(\langle\psi|j\rangle = \langle j|\psi\rangle^*\):

\[= \langle+|\psi\rangle^*\langle+|\psi\rangle + \langle-|\psi\rangle^*\langle-|\psi\rangle\]
\[= |\langle+|\psi\rangle|^2 + |\langle-|\psi\rangle|^2\]

Dado que \(\langle\psi|\psi\rangle = 1\):

\[|\langle+|\psi\rangle|^2 + |\langle-|\psi\rangle|^2 = 1 \quad \blacksquare\]

Verificación: Se comprueba con un ejemplo concreto. Para \(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|+\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|-\rangle\), se tiene \(|\langle+|\psi\rangle|^2 + |\langle-|\psi\rangle|^2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\) ✓

M-2. Relación de completitud en la base \(x\)

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Problema:

Usando las ecuaciones (5.11) y (5.12), verifica que la relación de completitud para la base en la dirección \(x\)

\[ |+\rangle_x\,{}_x\langle+| + |-\rangle_x\,{}_x\langle-| = \mathbf{1}\]

se cumple, calculando la representación matricial en la base \(z\).

Estrategia de resolución: Expresar \(|+\rangle_x\), \(|-\rangle_x\) como vectores columna en la base \(z\), calcular los productos externos como matrices y sumarlos.

Detalles del cálculo:

Representación como vectores columna en la base \(z\):

\[|+\rangle_x \to \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \quad |-\rangle_x \to \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\]

Representación matricial del producto externo \(|+\rangle_x\,{}_x\langle+|\):

\[|+\rangle_x\,{}_x\langle+| = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\]

Representación matricial del producto externo \(|-\rangle_x\,{}_x\langle-|\):

\[|-\rangle_x\,{}_x\langle-| = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\-1 & 1\end{pmatrix}\]

Suma:

\[|+\rangle_x\,{}_x\langle+| + |-\rangle_x\,{}_x\langle-| = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\-1 & 1\end{pmatrix}\]
\[= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+1 & 1+(-1)\\1+(-1) & 1+1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} = \mathbf{1}\]

Respuesta final:

\[|+\rangle_x\,{}_x\langle+| + |-\rangle_x\,{}_x\langle-| = \mathbf{1} \quad \blacksquare\]

Verificación: Es evidente que al actuar sobre un estado arbitrario \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) se obtiene \(\mathbf{1}|\psi\rangle = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} = |\psi\rangle\). Además, se obtiene el mismo resultado que la relación de completitud en la base \(z\): \(|+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-| = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \mathbf{1}\), lo que confirma que la relación de completitud se cumple independientemente de la elección de base. ✓

M-3. Unitariedad de la matriz de cambio de base

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Problema:

Demuestra que la matriz de cambio de base de la ecuación (5.15)

\[ U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

es una matriz unitaria (unitary matrix), es decir, que satisface \(U^\dagger U = \mathbf{1}\). Aquí \(U^\dagger\) es la traspuesta conjugada compleja (conjugada hermítica) de \(U\).

Estrategia de resolución: Como todas las componentes de \(U\) son números reales, \(U^\dagger = U^T\). Calculamos \(U^T U\) y demostramos que resulta ser la matriz identidad.

Desarrollo del cálculo:

\[U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

Como \(U\) es una matriz real:

\[U^\dagger = U^T = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

(Esta matriz es simétrica, por lo que también se cumple \(U^T = U\).)

\[U^\dagger U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 & 1 \cdot 1 + (-1)(-1) \end{pmatrix}\]
\[= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{1} \quad \blacksquare\]

Verificación: Si calculamos también \(UU^\dagger\), obtenemos el mismo resultado (en este caso, como \(U = U^T\), se tiene \(UU^\dagger = U^\dagger U\)). Además, \(\det U = \frac{1}{2}((-1) - 1) = -1\), por lo que \(|\det U| = 1\), satisfaciendo la condición necesaria \(|\det U| = 1\) para matrices unitarias. ✓

M-4. Probabilidad en mediciones sucesivas

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Problema:

Considera el siguiente experimento sucesivo de Stern-Gerlach:

  1. Con un aparato en la dirección \(z\), se selecciona únicamente el haz con espín hacia arriba (\(S_z = +\hbar/2\)).
  2. El haz seleccionado se hace pasar por un aparato en la dirección \(x\).
  3. Del aparato en la dirección \(x\), se selecciona únicamente el haz con \(S_x = +\hbar/2\).
  4. El haz seleccionado se hace pasar nuevamente por un aparato en la dirección \(z\).

Determina la probabilidad de obtener \(S_z = -\hbar/2\) en la etapa final, siguiendo paso a paso las amplitudes de probabilidad en cada etapa.

Estrategia de resolución: Seguir paso a paso el estado y las amplitudes de probabilidad en cada etapa, obtener la amplitud total y luego calcular la probabilidad.

Detalles del cálculo:

Paso 1: El aparato en la dirección \(z\) selecciona espín hacia arriba. El estado es \(|+\rangle\).

Paso 2: Se hace pasar \(|+\rangle\) por un aparato en la dirección \(x\). La amplitud de probabilidad de que se seleccione \(S_x = +\hbar/2\) es:

\[{}_x\langle+|+\rangle\]

Del resultado D4 (o directamente de la ecuación (5.11)):

\[{}_x\langle+|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Paso 3: Después de seleccionar \(S_x = +\hbar/2\), el estado es \(|+\rangle_x\).

Paso 4: Se hace pasar \(|+\rangle_x\) nuevamente por un aparato en la dirección \(z\). La amplitud de probabilidad de obtener \(S_z = -\hbar/2\) es:

\[\langle-|+\rangle_x\]

De la ecuación (5.11), \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\), por lo que:

\[\langle-|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Amplitud total: Se multiplican las amplitudes de cada etapa (regla de "multiplicar amplitudes" de Cap. 4):

\[A = {}_x\langle+|+\rangle \cdot \langle-|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\]

Respuesta final:

\[P\left(S_z = -\frac{\hbar}{2}\right) = |A|^2 = \left|\frac{1}{2}\right|^2 = \frac{1}{4}\]

Verificación y discusión: Si no se intercalara el aparato en la dirección \(x\), la probabilidad de obtener \(S_z = -\hbar/2\) al medir en la dirección \(z\) una partícula en el estado \(|+\rangle\) sería \(|\langle-|+\rangle|^2 = 0\). Al intercalar el aparato en la dirección \(x\), la información sobre la dirección \(z\) se "perturba", y la probabilidad que originalmente era 0 cambia a \(1/4\). Esto demuestra el efecto no trivial de la medición en mecánica cuántica. ✓

Avanzado

A-1. Autoestados de espín en una dirección arbitraria

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Problema:

Considera un vector unitario \(\hat{\mathbf{n}} = (\sin\theta\cos\phi,\;\sin\theta\sin\phi,\;\cos\theta)\) orientado en la dirección definida por el ángulo polar \(\theta\) y el ángulo azimutal \(\phi\) respecto al eje \(z\). Verifica, siguiendo los pasos indicados a continuación, que el autoestado correspondiente a la componente de espín en la dirección \(\hat{\mathbf{n}}\), \(S_{\hat{n}} = +\hbar/2\), viene dado por

\[ |+\rangle_{\hat{n}} = \cos\frac{\theta}{2}\,|+\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\,|-\rangle\]

(a) Comprueba que cuando \(\theta = 0\) se obtiene \(|+\rangle_{\hat{n}} = |+\rangle\), y que cuando \(\theta = \pi\) se obtiene \(|+\rangle_{\hat{n}} = e^{i\phi}|-\rangle\) (es decir, \(|-\rangle\) salvo una fase global).

(b) Comprueba que cuando \(\theta = \pi/2,\;\phi = 0\) se reproduce \(|+\rangle_x\) de la ecuación (5.11).

(c) Comprueba que cuando \(\theta = \pi/2,\;\phi = \pi/2\) se reproduce \(|+\rangle_y\) de la ecuación (5.13).

(d) Demuestra que este estado está normalizado (\({}_{\hat{n}}\langle+|+\rangle_{\hat{n}} = 1\)).

(e) Demuestra que al medir este estado en la dirección \(z\), la probabilidad de obtener \(S_z = +\hbar/2\) es \(\cos^2(\theta/2)\), y discute el significado geométrico de \(\theta\).

Autoestado dado:

\[|+\rangle_{\hat{n}} = \cos\frac{\theta}{2}\,|+\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\,|-\rangle\]

(a) Casos \(\theta = 0\) y \(\theta = \pi\):

Cuando \(\theta = 0\):

\[|+\rangle_{\hat{n}} = \cos 0 \cdot |+\rangle + e^{i\phi}\sin 0 \cdot |-\rangle = 1 \cdot |+\rangle + 0 \cdot |-\rangle = |+\rangle \quad \checkmark\]

Cuando \(\hat{\mathbf{n}}\) apunta en la dirección del eje \(z\) (polo norte), se recupera el autoestado hacia arriba \(|+\rangle\) de \(S_{\hat{n}} = S_z\).

Cuando \(\theta = \pi\):

\[|+\rangle_{\hat{n}} = \cos\frac{\pi}{2}\,|+\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\pi}{2}\,|-\rangle = 0 \cdot |+\rangle + e^{i\phi} \cdot 1 \cdot |-\rangle = e^{i\phi}|-\rangle\]

Salvo la fase global \(e^{i\phi}\), es igual a \(|-\rangle\). Cuando \(\hat{\mathbf{n}}\) apunta en la dirección \(-z\) (polo sur), el autoestado hacia arriba de \(S_{\hat{n}} = -S_z\) corresponde al autoestado hacia abajo \(|-\rangle\) de \(S_z\). ✓

(b) Cuando \(\theta = \pi/2\), \(\phi = 0\):

\[|+\rangle_{\hat{n}} = \cos\frac{\pi}{4}\,|+\rangle + e^{i \cdot 0}\sin\frac{\pi}{4}\,|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\]

Esto coincide con \(|+\rangle_x\) de la ecuación (5.11). Es consistente ya que \(\hat{\mathbf{n}} = (\sin(\pi/2)\cos 0, \sin(\pi/2)\sin 0, \cos(\pi/2)) = (1, 0, 0) = \hat{\mathbf{x}}\). ✓

(c) Cuando \(\theta = \pi/2\), \(\phi = \pi/2\):

\[|+\rangle_{\hat{n}} = \cos\frac{\pi}{4}\,|+\rangle + e^{i\pi/2}\sin\frac{\pi}{4}\,|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + i \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\]

Esto coincide con \(|+\rangle_y\) de la ecuación (5.13). Es consistente ya que \(\hat{\mathbf{n}} = (\sin(\pi/2)\cos(\pi/2), \sin(\pi/2)\sin(\pi/2), \cos(\pi/2)) = (0, 1, 0) = \hat{\mathbf{y}}\). ✓

(d) Demostración de la normalización:

\[{}_{\hat{n}}\langle+|+\rangle_{\hat{n}} = \left(\cos\frac{\theta}{2}\,\langle+| + e^{-i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\,\langle-|\right)\left(\cos\frac{\theta}{2}\,|+\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\,|-\rangle\right)\]

Usando la ortonormalidad \(\langle+|+\rangle = \langle-|-\rangle = 1\), \(\langle+|-\rangle = \langle-|+\rangle = 0\):

\[= \cos^2\frac{\theta}{2}\,\langle+|+\rangle + \cos\frac{\theta}{2}\,e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\,\langle+|-\rangle + e^{-i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\,\langle-|+\rangle + e^{-i\phi}e^{i\phi}\sin^2\frac{\theta}{2}\,\langle-|-\rangle\]
\[= \cos^2\frac{\theta}{2} \cdot 1 + 0 + 0 + |e^{i\phi}|^2\sin^2\frac{\theta}{2} \cdot 1\]
\[= \cos^2\frac{\theta}{2} + \sin^2\frac{\theta}{2} = 1 \quad \blacksquare\]

(e) Probabilidad de obtener \(S_z = +\hbar/2\) y significado geométrico de \(\theta\):

La probabilidad de obtener \(S_z = +\hbar/2\) es:

\[P\left(S_z = +\frac{\hbar}{2}\right) = |\langle+|+\rangle_{\hat{n}}|^2 = \left|\cos\frac{\theta}{2}\right|^2 = \cos^2\frac{\theta}{2} \quad \blacksquare\]

Discusión del significado geométrico de \(\theta\):

El ángulo \(\theta\) es el ángulo polar entre la dirección \(\hat{\mathbf{n}}\) y el eje \(z\).

  • Cuando \(\theta = 0\) (\(\hat{\mathbf{n}}\) en la misma dirección que el eje \(z\)): \(P = \cos^2 0 = 1\). Se obtiene \(S_z = +\hbar/2\) con certeza.
  • Cuando \(\theta = \pi/2\) (\(\hat{\mathbf{n}}\) perpendicular al eje \(z\)): \(P = \cos^2(\pi/4) = 1/2\). Equiprobable.
  • Cuando \(\theta = \pi\) (\(\hat{\mathbf{n}}\) en la dirección \(-z\)): \(P = \cos^2(\pi/2) = 0\). Nunca se obtiene \(S_z = +\hbar/2\).

Este resultado está directamente relacionado con la representación en la esfera de Bloch. En la esfera de Bloch, \(|+\rangle\) corresponde al polo norte (\(\theta = 0\)) y \(|-\rangle\) al polo sur (\(\theta = \pi\)). El estado \(|+\rangle_{\hat{n}}\) corresponde al punto con ángulo polar \(\theta\) y ángulo azimutal \(\phi\). La "distancia" entre dos estados se caracteriza por el ángulo \(\theta\) en la esfera de Bloch, y la probabilidad viene dada por la "fórmula del ángulo mitad" \(\cos^2(\theta/2)\).

Es notable que los estados situados en extremos diametralmente opuestos (ángulo \(\theta = \pi\)) de la esfera de Bloch corresponden a estados ortogonales, y que el mismo punto (ángulo \(\theta = 0\)) corresponde al mismo estado. El ángulo \(\theta\) del espacio físico tridimensional aparece como \(\theta/2\) en el espacio de estados — esto está profundamente relacionado con la propiedad de que el espín 1/2 cambia de signo bajo una rotación de \(2\pi\) y vuelve a su estado original tras una rotación de \(4\pi\).

Verificación: La probabilidad de obtener \(S_z = -\hbar/2\) es \(|\langle-|+\rangle_{\hat{n}}|^2 = |e^{i\phi}\sin(\theta/2)|^2 = \sin^2(\theta/2)\). La suma \(\cos^2(\theta/2) + \sin^2(\theta/2) = 1\) ✓

A-2. "Qué camino se tomó" y la desaparición de la interferencia

→ Volver al problema

Problema:

Considera el siguiente experimento mental.

Configuración: Después de separar un haz de átomos de plata en \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\) mediante un aparato de Stern-Gerlach en la dirección \(z\), los dos haces se recombinan sin ser bloqueados, y luego se realiza una medición con un aparato de Stern-Gerlach en la dirección \(x\).

(a) Considera el caso en que los dos haces se recombinan completamente y no es posible distinguir por cuál camino pasó el átomo. Cuando el estado inicial es \(|+\rangle_x\), calcula la probabilidad de obtener \(S_x = +\hbar/2\) al final, utilizando la regla de "sumar las amplitudes y luego tomar el módulo al cuadrado" de Cap. 4.

(b) Ahora supón que se coloca una marca solo en el camino \(|+\rangle\), de modo que "es posible distinguir por cuál camino pasó". En este caso se aplica la regla de "sumar las probabilidades". Calcula la probabilidad de obtener \(S_x = +\hbar/2\) y compara con el resultado de (a).

(c) Explica la diferencia entre los resultados de (a) y (b) mostrando explícitamente el "término de interferencia", y discute desde la perspectiva de las reglas de amplitudes de probabilidad de Cap. 4 cómo "la obtención de información sobre el camino destruye la interferencia".

Organización del planteamiento: Una partícula en el estado inicial \(|+\rangle_x\) es separada en \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\) por un aparato de Stern-Gerlach en la dirección \(z\), luego los haces se recombinan y se realiza una medición en la dirección \(x\).

(a) Caso en que los caminos son indistinguibles:

Estrategia de resolución: Dado que los estados intermedios son indistinguibles, siguiendo las reglas de Cap. 4, se "suman las amplitudes y luego se toma el módulo al cuadrado".

Cálculo detallado:

Expandiendo el estado inicial \(|+\rangle_x\) en la base \(z\) (según la ecuación (5.11)):

\[|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\]

La amplitud para obtener \(S_x = +\hbar/2\) (estado \(|+\rangle_x\)) es la suma de las amplitudes que pasan por los estados intermedios \(|j\rangle\) (\(j = +, -\)):

\[A = \sum_{j=\pm} {}_x\langle+|j\rangle\langle j|+\rangle_x\]

Utilizando la relación de completitud \(\sum_{j=\pm}|j\rangle\langle j| = \mathbf{1}\):

\[A = {}_x\langle+|\mathbf{1}|+\rangle_x = {}_x\langle+|+\rangle_x = 1\]

Para verificar, calculamos explícitamente cada término:

\[{}_x\langle+|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \langle+|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[{}_x\langle+|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \langle-|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[A = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\]

Probabilidad:

\[P_a = |A|^2 = |1|^2 = 1\]

(b) Caso en que los caminos son distinguibles:

Estrategia de resolución: Dado que los caminos son distinguibles, siguiendo las reglas de Cap. 4, se "suman las probabilidades".

Cálculo detallado:

Se calculan las probabilidades de cada camino por separado y se suman:

\[P_b = \sum_{j=\pm} |{}_x\langle+|j\rangle|^2 \cdot |\langle j|+\rangle_x|^2\]
\[= |{}_x\langle+|+\rangle|^2 \cdot |\langle+|+\rangle_x|^2 + |{}_x\langle+|-\rangle|^2 \cdot |\langle-|+\rangle_x|^2\]
\[= \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 \cdot \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 + \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 \cdot \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2\]
\[= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\]

Comparación: En (a) \(P_a = 1\), en (b) \(P_b = 1/2\).

(c) Análisis del término de interferencia y discusión:

Expresión explícita del término de interferencia:

Expandimos la probabilidad de (a). Definiendo la amplitud como \(A = A_+ + A_-\) (con \(A_j = {}_x\langle+|j\rangle\langle j|+\rangle_x\)):

\[P_a = |A_+ + A_-|^2 = |A_+|^2 + |A_-|^2 + A_+^* A_- + A_+ A_-^*\]
\[= |A_+|^2 + |A_-|^2 + 2\,\text{Re}(A_+^* A_-)\]

Donde:

\[A_+ = {}_x\langle+|+\rangle\langle+|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\]
\[A_- = {}_x\langle+|-\rangle\langle-|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\]
\[|A_+|^2 + |A_-|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\]

Término de interferencia:

\[2\,\text{Re}(A_+^* A_-) = 2\,\text{Re}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\]

Por lo tanto:

\[P_a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\]

Por otro lado, la probabilidad en (b) es:

\[P_b = |A_+|^2 + |A_-|^2 = \frac{1}{2}\]

Diferencia entre ambos:

\[P_a - P_b = 2\,\text{Re}(A_+^* A_-) = \frac{1}{2}\]

Este \(\frac{1}{2}\) es el término de interferencia (término cruzado).

Discusión:

Este resultado ilustra de manera clara el núcleo de las reglas de amplitudes de probabilidad de Cap. 4.

  1. Caso en que los caminos son indistinguibles (a): Cuando no es posible saber, ni siquiera en principio, por cuál camino (\(|+\rangle\) o \(|-\rangle\)) pasó la partícula, las amplitudes de probabilidad de los dos caminos se superponen coherentemente. El término de interferencia \(2\,\text{Re}(A_+^* A_-)\) sobrevive y, en este caso, se produce interferencia constructiva que eleva la probabilidad a 1. Esto es una consecuencia directa de la relación de completitud \(\sum_j |j\rangle\langle j| = \mathbf{1}\), y significa que al recombinar completamente los dos haces se restaura el estado original \(|+\rangle_x\).

  2. Caso en que los caminos son distinguibles (b): Cuando se marca cada camino y se obtiene información sobre "por cuál camino pasó", los dos caminos se convierten en eventos mutuamente excluyentes distinguibles, y se aplica la regla de sumar probabilidades en lugar de amplitudes. El término de interferencia desaparece y la probabilidad se reduce a \(1/2\).

  3. Significado físico: La adquisición de información sobre el camino destruye la interferencia. Esto es esencialmente el mismo fenómeno que ocurre en el experimento de la doble rendija cuando se observa "por cuál rendija pasó" la partícula y el patrón de interferencia desaparece. En mecánica cuántica, el propio acto de obtener información modifica el estado del sistema. El acto de marcar equivale a entrelazar (entanglement) los grados de libertad del espín con los grados de libertad de la marca, y como resultado se pierde la coherencia (consistencia de fase) cuando se observan únicamente los grados de libertad del espín.

Verificación: En (a), si calculamos de forma análoga la probabilidad de obtener \(S_x = -\hbar/2\), la amplitud es \({}_x\langle-|\mathbf{1}|+\rangle_x = {}_x\langle-|+\rangle_x = 0\), por lo que la probabilidad es 0. \(P(S_x = +\hbar/2) + P(S_x = -\hbar/2) = 1 + 0 = 1\) ✓. En (b), la probabilidad de \(S_x = -\hbar/2\) resulta \(1/2\) mediante un cálculo análogo, y \(1/2 + 1/2 = 1\) ✓.