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Cap. 6 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo del factor de fase de un estado estacionario

El Hamiltoniano de un sistema de 2 estados está dado por

\[H = \begin{pmatrix} E_0 & -A \\ -A & E_0 \end{pmatrix}\]

y supón que el autoestado \(|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)\) tiene energía \(E_{II} = E_0 - A\). Para la amplitud del estado estacionario en el instante \(t\), \(C_1(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{II}t/\hbar}\), encuentra el valor de \(C_1(t)\) cuando \(t = \pi\hbar/(E_0 - A)\).

Pista

Utiliza \(e^{-i\pi} = -1\). Sustituye el valor de \(t\) en el exponente y simplifica.

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B-2. Cálculo de la energía de desdoblamiento por efecto túnel

La frecuencia de vibración de inversión de la molécula de amoníaco es \(f = 24{,}000\;\text{MHz}\), y se cumple la relación \(2A = hf\) para la diferencia de energía. Calcula \(A\) en unidades de eV. Usa \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\text{J·s}\) y \(1\;\text{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\;\text{J}\).

Pista

Calcula \(A = hf/2\) y convierte de J a eV. Ten en cuenta que \(f = 2.4 \times 10^{10}\;\text{Hz}\).

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B-3. Desarrollo del determinante de la ecuación de valores propios

Para el Hamiltoniano general de 2 estados

\[H = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta^* & \gamma \end{pmatrix}\]

(\(\alpha, \gamma\) son números reales, \(\beta\) es un número complejo), desarrolla la ecuación de valores propios \(\det(H - E\,I) = 0\) y obtén la ecuación de segundo grado en \(E\).

Pista

Calcula \(\det\begin{pmatrix} \alpha - E & \beta \\ \beta^* & \gamma - E \end{pmatrix} = (\alpha - E)(\gamma - E) - \beta\beta^*\). Ten en cuenta que \(\beta\beta^* = |\beta|^2\).

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B-4. Verificación de la ortogonalidad de los vectores propios

Los vectores propios del texto

\[|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |2\rangle), \quad |II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)\]

Calcula \(\langle I|I\rangle\), \(\langle II|II\rangle\) y \(\langle I|II\rangle\) respectivamente, y verifica que estos forman un sistema ortonormal. Supón que \(\langle 1|1\rangle = \langle 2|2\rangle = 1\), \(\langle 1|2\rangle = \langle 2|1\rangle = 0\).

Pista

Expande cada bra y ket, y utiliza la ortonormalidad de la base para calcular. Por ejemplo, \(\langle I|I\rangle = \frac{1}{2}(\langle 1| - \langle 2|)(|1\rangle - |2\rangle)\).

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B-5. Cálculo de la dependencia temporal de la probabilidad

Cuando en \(t = 0\) se tiene \(|\psi(0)\rangle = |1\rangle\), utiliza la ecuación (6.18) del texto para calcular \(C_2(t) = \langle 2|\psi(t)\rangle\) en el instante \(t\), y obtén la probabilidad de encontrarse en el estado \(|2\rangle\): \(P_2(t) = |C_2(t)|^2\). Expresa el resultado en términos de \(A\), \(\hbar\) y \(E_0\).

Pista

Utiliza \(\langle 2|I\rangle = -1/\sqrt{2}\) y \(\langle 2|II\rangle = 1/\sqrt{2}\). La diferencia entre los dos factores de fase genera la oscilación. Es útil la fórmula \(|e^{i\theta_1} - e^{i\theta_2}|^2 = 2 - 2\cos(\theta_1 - \theta_2)\).

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B-6. Solución de \(i\hbar\,dC/dt = EC\)

Resuelve la ecuación diferencial \(i\hbar\,\dfrac{dC}{dt} = E\,C\) (donde \(E\) es una constante real) y encuentra \(C(t)\) bajo la condición \(C(0) = C_0\). Además, demuestra que \(|C(t)|^2\) no depende del tiempo.

Pista

Usa el método de separación de variables. Integra \(dC/C = -iE/(\hbar)\,dt\).

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B-7. Transformación inversa del cambio de base

Utilizando la ecuación (6.17a) \(|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|I\rangle + |II\rangle)\) y la ecuación (6.17b) \(|2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-|I\rangle + |II\rangle)\), expresa inversamente \(|I\rangle\) y \(|II\rangle\) en términos de \(|1\rangle\) y \(|2\rangle\), y verifica que se reproducen las ecuaciones (6.15a) y (6.15b).

Pista

Resuelve las ecuaciones (6.17a) y (6.17b) como un sistema de ecuaciones para \(|I\rangle\) y \(|II\rangle\). Alternativamente, calcula (6.17a) \(-\) (6.17b) y (6.17a) \(+\) (6.17b).

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B-8. Verificación de hermiticidad

Verifica que la matriz

\[M = \begin{pmatrix} 3 & 2 - i \\ 2 + i & 5 \end{pmatrix}\]

es una matriz hermítica. Es decir, demuestra que \(M_{ij}^* = M_{ji}\) se cumple para todos los \(i, j\).

Pista

Toma el conjugado complejo de \(M_{12} = 2 - i\) y compáralo con \(M_{21} = 2 + i\). Verifica también que los elementos diagonales son reales.

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Intermedio

M-1. Derivación de la hermiticidad a partir de la conservación de la probabilidad

En las ecuaciones de evolución temporal de un sistema de 2 estados

\[i\hbar\frac{dC_1}{dt} = H_{11}C_1 + H_{12}C_2, \quad i\hbar\frac{dC_2}{dt} = H_{21}C_1 + H_{22}C_2\]

calcula la derivada temporal \(dP/dt\) de la probabilidad total \(P = |C_1|^2 + |C_2|^2\). Deduce que la condición para que \(dP/dt = 0\) se cumpla para cualesquiera \(C_1, C_2\) es que \(H_{11}, H_{22}\) sean reales y que \(H_{12}^* = H_{21}\).

Pista

Utiliza \(\frac{d}{dt}|C_1|^2 = C_1^*\frac{dC_1}{dt} + C_1\frac{dC_1^*}{dt}\), y sustituye \(dC_1/dt\) y \(dC_1^*/dt\) a partir de las ecuaciones. Haz lo mismo para \(C_2\), y extrae la condición \(dP/dt = 0\) aprovechando la arbitrariedad de \(C_1, C_2\).

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M-2. Derivación de las oscilaciones de Rabi

Sea \(|\psi(0)\rangle = |1\rangle\) (nitrógeno "arriba") en \(t = 0\). Bajo el Hamiltoniano (6.7), deriva las probabilidades en el instante \(t\)

\[P_1(t) = |\langle 1|\psi(t)\rangle|^2, \quad P_2(t) = |\langle 2|\psi(t)\rangle|^2\]

y demuestra los siguientes resultados:

\[P_1(t) = \cos^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right), \quad P_2(t) = \sin^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right)\]

Además, verifica que \(P_1(t) + P_2(t) = 1\) se cumple en todo instante, y expresa el período \(T\) con el que el sistema oscila completamente entre los estados \(|1\rangle\) y \(|2\rangle\) en términos de \(A\) y \(\hbar\).

Pista

Calcula \(C_1(t) = \langle 1|\psi(t)\rangle\) a partir de la ecuación (6.18). Usando \(\langle 1|I\rangle = 1/\sqrt{2}\), \(\langle 1|II\rangle = 1/\sqrt{2}\) y extrayendo el factor común \(e^{-iE_0 t/\hbar}\), el resultado restante adopta la forma \(\cos(At/\hbar)\).

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M-3. Niveles de energía de la molécula de amoníaco en un campo eléctrico

Cuando se aplica un campo electrostático uniforme \(\mathcal{E}\), se añade una energía de momento dipolar eléctrico \(\pm \mu\mathcal{E}\) dependiendo de la posición del átomo de nitrógeno. Si el hamiltoniano se transforma en

\[H = \begin{pmatrix} E_0 + \mu\mathcal{E} & -A \\ -A & E_0 - \mu\mathcal{E} \end{pmatrix}\]

encuentra los valores propios \(E_{\pm}\) y exprésalos en la siguiente forma:

\[E_{\pm} = E_0 \pm \sqrt{A^2 + (\mu\mathcal{E})^2}\]

Además, discute cómo se comportan los niveles de energía en el límite \(\mu\mathcal{E} \ll A\) y en el límite \(\mu\mathcal{E} \gg A\), respectivamente.

Pista

Desarrolla la ecuación de valores propios \(\det(H - EI) = 0\). Resuelve \((E_0 + \mu\mathcal{E} - E)(E_0 - \mu\mathcal{E} - E) - A^2 = 0\) para \(E\). En los límites, realiza una expansión de Taylor de \(\sqrt{A^2 + x^2}\) para \(x \ll A\) o \(x \gg A\).

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M-4. Diagonalización del Hamiltoniano y transformación de la representación matricial

Utilizando la matriz unitaria

\[U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\]

diagonaliza el Hamiltoniano de la molécula de amoníaco (6.7). Es decir, calcula \(U^\dagger H\, U\) y demuestra que el resultado es

\[U^\dagger H\, U = \begin{pmatrix} E_0 + A & 0 \\ 0 & E_0 - A \end{pmatrix}\]

Además, describe la relación entre los vectores columna de \(U\) y los vectores propios \(|I\rangle\), \(|II\rangle\).

Pista

Calcula \(U^\dagger = U^T\) (ya que \(U\) es una matriz real), luego obtén \(U^\dagger H\) y después multiplica por \(U\) desde la derecha. Verifica que la primera columna de \(U\) corresponde a las componentes de \(|I\rangle\) y la segunda columna a las componentes de \(|II\rangle\).

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Avanzado

A-1. Campo eléctrico oscilante como perturbación dependiente del tiempo y probabilidad de transición

Se aplica un campo eléctrico oscilante \(\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_0 \cos\omega t\) con frecuencia angular \(\omega\) a una molécula de amoníaco. Cuando se describe en la base de energía \(\{|I\rangle, |II\rangle\}\), el Hamiltoniano se escribe como

\[H = \begin{pmatrix} E_I & \mu\mathcal{E}_0\cos\omega t \\ \mu\mathcal{E}_0\cos\omega t & E_{II} \end{pmatrix}\]

(donde \(E_I = E_0 + A\), \(E_{II} = E_0 - A\)).

Cuando el estado inicial es \(|\psi(0)\rangle = |II\rangle\) (estado de menor energía), determina la probabilidad de transición al estado \(|I\rangle\) siguiendo los pasos que se indican a continuación.

(a) Sustituyendo \(C_I(t) = b_I(t)\,e^{-iE_I t/\hbar}\), \(C_{II}(t) = b_{II}(t)\,e^{-iE_{II}t/\hbar}\), deduce las ecuaciones diferenciales para \(b_I(t)\) y \(b_{II}(t)\).

(b) Aproximación de onda rotante (rotating wave approximation, RWA): cerca de la condición de resonancia \(\omega \approx (E_I - E_{II})/\hbar = 2A/\hbar\), simplifica las ecuaciones ignorando los términos de oscilación rápida.

(c) Bajo la condición de resonancia \(\omega = 2A/\hbar\), resuelve \(b_I(t)\) y demuestra que la probabilidad de transición \(P_{II \to I}(t) = |b_I(t)|^2\) es

\[P_{II \to I}(t) = \sin^2\!\left(\frac{\mu\mathcal{E}_0\,t}{2\hbar}\right)\]

Explica por qué esto constituye la base de la emisión estimulada en el máser de amoníaco.

Pista

(a) Sustituyendo en la ecuación (6.3) y eliminando los factores de fase, en las ecuaciones para \(b_I\) y \(b_{II}\) aparecen productos de \(e^{\pm i(E_I - E_{II})t/\hbar}\) con \(\cos\omega t\). Utiliza \(\cos\omega t = (e^{i\omega t} + e^{-i\omega t})/2\). (b) Cerca de la resonancia, \(e^{i(\omega - \omega_0)t}\) varía lentamente, mientras que \(e^{i(\omega + \omega_0)t}\) oscila rápidamente, por lo que se desprecia este último (\(\omega_0 = 2A/\hbar\)). (c) Con la condición de resonancia, las ecuaciones tienen coeficientes constantes, por lo que se pueden resolver con el mismo método que en D6.

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A-2. Extensión a un sistema de 3 estados: oscilaciones cuánticas generalizadas

Extendemos el sistema de 2 estados y consideramos un sistema en el que tres estados equivalentes \(|1\rangle\), \(|2\rangle\), \(|3\rangle\) están acoplados entre sí con la misma amplitud de tunelamiento \(-A\). El Hamiltoniano viene dado por

\[H = \begin{pmatrix} E_0 & -A & -A \\ -A & E_0 & -A \\ -A & -A & E_0 \end{pmatrix}\]

(a) Encuentra todos los valores propios de este Hamiltoniano. (Pista: reescribe la matriz en la forma \(E_0\,I + (-A)(J - I)\). Aquí \(J\) es la matriz \(3\times 3\) con todos los elementos iguales a 1, e \(I\) es la matriz identidad.)

(b) Encuentra los vectores propios correspondientes a cada valor propio y normalízalos. Si hay degeneración, indica su grado.

(c) Si en \(t = 0\) el sistema se encuentra en el estado \(|1\rangle\), encuentra la probabilidad \(P_1(t)\) de encontrarlo en el estado \(|1\rangle\) en el instante \(t\). Compara con las oscilaciones de Rabi del sistema de 2 estados y discute cómo cambian las características de la oscilación (frecuencia, completitud de la amplitud).

Pista

(a) Los valores propios de \(J\) son \(3\) (vector propio \((1,1,1)^T/\sqrt{3}\)) y \(0\) (doblemente degenerado, cualquier vector ortogonal a \((1,1,1)^T\)). Reescribiendo como \(H = (E_0 + A)I - A\,J\), los valores propios de \(H\) se obtienen directamente a partir de los valores propios de \(J\). (b) Como base del subespacio degenerado se pueden tomar, por ejemplo, \((1,-1,0)^T/\sqrt{2}\) y \((1,1,-2)^T/\sqrt{6}\). (c) Expande \(|1\rangle\) en los estados propios de energía, aplica el factor de evolución temporal a cada estado propio y luego calcula \(|\langle 1|\psi(t)\rangle|^2\).

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