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Apéndice H Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Fórmula general de la carga central

Usando la fórmula general de la carga central del sistema de fantasmas \(bc\)

\[ c_\lambda^{bc} = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1) \]

calcula la carga central para cada uno de los siguientes casos.

(a) Fantasmas de reparametrización de la cuerda bosónica \(\lambda = 2\) (b) Sistema \(\beta\gamma\) de simetría superconforme \(\lambda = 3/2\) (c) Fermión libre \(\lambda = 1/2\) (d) \(\lambda = 0\) (ejemplo trivial)

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B-2. Tensor de energía-momento de los ghosts y verificación de la OPE

El tensor de energía-momento del sistema de ghosts \(bc\) está dado por

\[ T_{\text{ghost}}(z) = -2\,b(z)\,\partial c(z) - \partial b(z)\,c(z)\]

La OPE fundamental de \(b\) y \(c\) es $$

b(z)\,c(w) \sim \frac{1}{z - w}$$

(a) Calcula la OPE \(T_{\text{ghost}}(z)\,b(w)\) y demuestra que \(b(w)\) es un campo primario con peso conforme \(h_b = 2\), es decir,

\[ T_{\text{ghost}}(z)\,b(w) \sim \frac{2\,b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w}\]

(b) De manera análoga, calcula la OPE \(T_{\text{ghost}}(z)\,c(w)\) y verifica que el peso conforme de \(c(w)\) es \(h_c = -1\).

(c) Verifica que \(h_b + h_c = 1\) y explica por qué esta relación es consistente con el peso conforme de la corriente de número de ghosts \(j(z) = -b(z)c(z)\).

Pista

Utiliza el teorema de Wick. En \(T_{\text{ghost}}(z)\,b(w)\), usa la contracción de \(c(z)\) con \(b(w)\): \(\langle c(z)b(w)\rangle = -1/(z-w)\). La contracción con \(\partial c(z)\) es \(1/(z-w)^2\).

Intermedio

M-1. OPE \(T_{\text{ghost}} b\)

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, b(w) \sim \frac{\lambda\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w} \]

Determina los coeficientes de \(T_{\text{ghost}}\) de modo que se obtenga la expresión anterior (con \(\lambda\) como valor general). Concretamente, supón la forma \(T_{\text{ghost}} = \alpha\, :bc': + \beta\, :b'c:\) y, a partir de la condición de que esta OPE tenga la forma indicada arriba, expresa \(\alpha, \beta\) en términos de \(\lambda\).

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Avanzado

A-1. Derivación de la dimensión crítica \(D=10\) de la supercuerda

Deriva la dimensión crítica \(D = 10\) de la supercuerda a partir de la condición de que la suma de las cargas centrales de los campos de materia y los fantasmas sea cero. Los campos de materia consisten en \(D\) bosones libres (\(c = D\)) y \(D\) fermiones de la hoja de mundo (cada uno con \(c = 1/2\), dando un total de \(c = D/2\)). Los campos fantasma consisten en el sistema \(bc\) (\(c = -26\)) y el sistema \(\beta\gamma\) (\(c = +11\)).

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A-2. Reducción de la carga central del campo de materia

El resultado del problema H.3 puede interpretarse como que "dado que la carga central de los fantasmas supersimétricos \(\beta\gamma\) es \(+11\), se necesitan menos campos de materia en esa cantidad". Verifica que la carga central total de los campos de materia se reduce de la cuerda bosónica (\(c_{\text{matter}} = 26\)) a la supercuerda (\(c_{\text{matter}} = 15\)).

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