Apéndice A — Caja de herramientas de mecánica analítica: funcionales, Lagrangiano de campos y cuantización canónica de campos¶
Resumen de los capítulos anteriores:
En Cap. 24, confirmamos que al intentar cuantizar la gravedad dentro del marco de la teoría cuántica de campos nos topamos con el muro de la "no renormalizabilidad", y tendimos un puente hacia la teoría de cuerdas. A partir de aquí entramos en los Apéndices, donde organizamos las herramientas matemáticas que sustentan el texto principal en el alcance necesario y suficiente.
Objetivo de este capítulo
- Organizar, centrándose solo en los elementos propios de los campos, las herramientas de la "mecánica analítica" que forman la base de la teoría cuántica de campos
- La mecánica analítica de partículas (Lagrangiano, Hamiltoniano, corchetes de Poisson, cuantización canónica) en sí misma debería ser materia ya estudiada por el lector que sigue el orden de lectura previsto, en mecánica cuántica Apéndice D, por lo que aquí solo se hace un breve repaso, enfocándonos en 4 puntos propios de QFT: (1) funcionales y derivada funcional, (2) ecuación de Euler-Lagrange para campos, (3) cuantización canónica de campos, (4) comprensión del principio de acción desde la integral de caminos
- Clarificar el origen de las herramientas usadas repetidamente en los capítulos 3 a 11 del texto principal
A.1 Mecánica analítica de partículas (repaso)¶
🟡 Lina: Este Apéndice avanza bajo la premisa de que ya has leído el Apéndice D de Mecánica Cuántica, "Formalismo Lagrangiano-Hamiltoniano y cuantización canónica". Si no has seguido el orden de lectura, o si lo has olvidado, consulta primero Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice D.
🔵 Kai: ¿Qué fue lo que aprendimos en Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice D?
🟡 Lina: Los puntos esenciales se condensan en esta única tabla.
Tabla A.1: Correspondencia entre mecánica clásica y mecánica cuántica
| Mecánica clásica | Mecánica cuántica |
|---|---|
| Observable \(A(q, p)\) (número) | Operador \(\hat{A}\) (sobre espacio de Hilbert) |
| Lagrangiano \(L(q, \dot{q}) = T - V\) | — |
| Acción \(S[q] = \int L\,dt\) (funcional) | Peso de la integral de caminos \(e^{iS/\hbar}\) |
| Ecuación de Euler-Lagrange \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\) | — |
| Momento canónico \(p = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\) | Operador \(\hat{p}\) |
| Hamiltoniano \(H(q,p) = p\dot{q} - L\) | Operador \(\hat{H}\) |
| Ecuaciones de Hamilton \(\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\), \(\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}\) | Ecuación de Heisenberg \(\frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{A},\hat{H}]\) |
| Corchete de Poisson \(\{A, B\} = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}\) | Conmutador \(\frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]\) |
| \(\{q, p\} = 1\) | \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\) |
| Receta de cuantización canónica | \(\{A, B\} \to \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]\) |
🟡 Lina: Si sigues el flujo de la tabla de arriba a abajo: a partir del Lagrangiano \(L = T - V\) se construye la acción \(S\), de \(\delta S = 0\) se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange, con \(H = p\dot{q} - L\) se pasa al formalismo Hamiltoniano, y reemplazando los corchetes de Poisson por relaciones de conmutación se cuantiza.
⚪ Mei: Es decir, esta tabla resume en una sola página la visión completa de la mecánica de partículas.
🟡 Lina: Exacto. En este Apéndice nos concentramos solo en la parte de extender esto a campos. La primera herramienta que necesitamos son los funcionales y la derivada funcional.
A.2 Funcionales — "Una máquina que come funciones y devuelve números"¶
🟡 Lina: Primero, vamos a introducir el concepto de "funcional (functional)". Este es un concepto que desempeñó un papel central en los capítulos 10 y 11 (integral de caminos) del texto principal.
🔵 Kai: ¿En qué se diferencia de una "función"?
🟡 Lina: Si lo organizamos por contraste, queda así:
Tabla A.2: Comparación entre función y funcional
| Función (function) | Funcional (functional) | |
|---|---|---|
| Entrada | Número | Función |
| Salida | Número | Número |
| Notación | \(f(x)\) | \(F[f]\) |
Una función es "una máquina donde metes un número y te devuelve un número". Un funcional es "una máquina donde metes una función entera y te devuelve un número".
🔵 Kai: ¿Una función entera...? Me gustaría ver ejemplos concretos.
🟡 Lina: Veamos algunos.
Ejemplo 1: Una integral definida es un funcional.
Si metes \(f(x) = x^2\), obtienes \(F[f] = \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}\). Si metes \(f(x) = x^3\), obtienes \(F[f] = \frac{1}{4}\). Si la función que metes es diferente, el número que devuelve también cambia — eso es un funcional.
🔵 Kai: Entiendo, si cambia la "forma" de la función, el número también cambia.
🟡 Lina: Ejemplo 2: Una forma un poco más compleja.
Sustituyendo \(f(x) = x^2\): \(G[f] = \int_0^a 5x^4\,dx = 5\cdot\frac{a^5}{5} = a^5\).
⚪ Mei: Como convención de notación, paréntesis redondos \(F(x)\) significan "se introdujo el número \(x\)", y corchetes \(F[f]\) significan "se introdujo la función \(f\)".
🟡 Lina: Exacto. Esta convención la hemos usado consistentemente en el texto principal.
🔵 Kai: En Cap. 10 del texto principal apareció la integral de caminos \(\int \mathcal{D}\phi\,e^{iS[\phi]/\hbar}\), y \(S[\phi]\) también es un funcional, ¿verdad? Se introduce la configuración del campo \(\phi\), que es una "función", y devuelve la acción, que es un "número". ...Pero espera, \(\int \mathcal{D}\phi\) en la integral de caminos significa "sumar sobre todas las funciones", ¿no? ¿Qué significa integrar además un funcional?
🟡 Lina: Buena pregunta. Pero eso es algo que tratamos en detalle en Cap. 10 del texto principal, así que no profundizaremos aquí. Por ahora basta con confirmar que "\(S[\phi]\) es un funcional". La acción \(S[\phi]\) es el funcional más importante en la teoría cuántica de campos.
✅ Verificación de comprensión: Explica la diferencia entre función y funcional desde el punto de vista de "entrada" y "salida".
Respuesta
Una función es una correspondencia donde "al introducir un número como entrada, se obtiene un número como salida". Por otro lado, un funcional es una correspondencia donde "al introducir una función entera como entrada, se obtiene un número como salida". En la notación se distinguen escribiendo la función como \(f(x)\) y el funcional como \(F[f]\) con corchetes.
Ejemplo 3 (un poco especial): Usando la función delta de Dirac, se puede construir un funcional que "extrae el valor en un punto específico" de una función.
🔵 Kai: La función delta la usamos muchísimo en mecánica cuántica. Esa que es "infinita" solo en \(y = x\), y al integrarla da 1.
🟡 Lina: Sí. Vamos a confirmar una vez más la propiedad más importante de la función delta:
Dentro de la integral, extrae solo "el valor de \(f\) en \(x\)". Esta propiedad la usaremos muchas veces de aquí en adelante, así que asegúrate de recordarla bien.
✅ Verificación de comprensión: El funcional \(F[f] = \int f(y)\,\delta(y - x)\,dy\) que usa la función delta de Dirac, ¿qué valor devuelve para una función de entrada \(f\)?
Respuesta
Por la propiedad de "extracción" de la función delta, \(F[f] = f(x)\). Es decir, es un funcional que devuelve directamente el valor de la función \(f\) en el punto \(x\).
✅ Verificación de comprensión: Cuando se sustituye \(f(x) = x\) en el funcional \(M[f] = \int_0^2 [f(x)]^3\,dx\), ¿cuánto vale \(M[f]\)?
Respuesta
\(M[f] = \int_0^2 x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{16}{4} = 4\)
A.3 Derivada funcional — "¿Qué pasa si desplazamos ligeramente la función?"¶
🟡 Lina: A continuación, vamos a definir la "derivada" de un funcional. Pensemos en contraste con la derivada ordinaria. Mira Fig. A.1「Comparación entre derivada ordinaria y derivada funcional. Izquierda」 — el lado izquierdo es la derivada ordinaria, la tasa de cambio del valor de la función cuando se desplaza el número \(x\) en una cantidad infinitesimal (la pendiente de la tangente). El lado derecho es la derivada funcional, donde observamos cómo responde el funcional \(F[f]\) cuando se deforma infinitesimalmente la función \(f(x)\) en la vecindad de un punto específico \(x_0\).
Fig. A.1: Comparación entre derivada ordinaria y derivada funcional. Izquierda — Derivada ordinaria: tasa de cambio del valor de la función \(f(x)\) cuando se desplaza infinitesimalmente el número \(x\) (pendiente de la tangente). Derecha — Derivada funcional: cómo responde el funcional \(F[f]\) cuando se deforma infinitesimalmente la función \(f(x)\) en la vecindad del punto \(x_0\).
🔵 Kai: El lado izquierdo de Fig. A.1「Comparación entre derivada ordinaria y derivada funcional. Izquierda」 es la derivada ordinaria que conozco bien. "Cuánto cambia la salida cuando desplazas ligeramente el número de entrada" — la pendiente de la tangente.
El lado derecho es... un dibujo donde se empuja hacia arriba solo un punto del gráfico de la función. Ese es el concepto visual de la derivada funcional.
🟡 Lina: Exacto. La derivada funcional (functional derivative) investiga "cuánto cambia la salida cuando desplazas ligeramente la función de entrada". Antes de escribir la definición, hagamos una convención de notación: \(x\) es un punto fijo que especifica "en qué punto de la función se hace el cambio", y \(x'\) es la variable que representa el argumento de la función \(f\). La definición es:
Por ejemplo, para un funcional de tipo integral como \(F[f] = \int g(f(x'))\,dx'\), \(x'\) es la variable muda que recorre dentro de la integral. La imagen intuitiva es: imagina el gráfico de la función \(f\), y empuja con el dedo solo en la posición \(x\) del eje horizontal. La amplitud del empuje es \(\epsilon\), y para empujar "solo ese punto" se usa la función delta. La derivada funcional observa cómo responde el valor del funcional a ese empuje.
🔵 Kai: "Empujar con el dedo" — es muy intuitivo. Pero ¿por qué se desplaza con la función delta?
🟡 Lina: Buena pregunta. Porque queremos desplazar "solo en el punto \(x\)". La función delta \(\delta(x' - x)\) solo tiene valor en \(x' = x\), así que al sumar \(\epsilon\,\delta(x' - x)\) a \(f(x')\), solo cambia la vecindad de \(x' = x\). De esta manera podemos saber "si cambio tal punto de la función, ¿cómo reacciona el valor del funcional?". Resumamos la correspondencia con la derivada ordinaria en una tabla.
Tabla A.3: Correspondencia entre derivada ordinaria y derivada funcional
| Derivada ordinaria | Derivada funcional | |
|---|---|---|
| Entrada | Número \(x\) | Función \(f(x)\) |
| Salida | Número \(f(x)\) | Número \(F[f]\) |
| Forma de desplazar | \(x \to x + \epsilon\) | \(f(x') \to f(x') + \epsilon\,\delta(x'-x)\) |
| Notación | \(\frac{df}{dx}\) | \(\frac{\delta F}{\delta f(x)}\) |
⚪ Mei: Puestas así en paralelo, se ve muy claro que la estructura se corresponde completamente.
🟡 Lina: Sí. Veamos ahora un cálculo concreto.
✅ Verificación de comprensión: En la definición de derivada funcional, ¿cuál es la razón de desplazar la función de entrada con \(\epsilon\,\delta(x' - x)\)?
Respuesta
La función delta \(\delta(x' - x)\) solo tiene valor en \(x' = x\), por lo que al sumar \(\epsilon\,\delta(x' - x)\), solo cambia "la vecindad del punto \(x\)" de la función. Esto permite investigar punto a punto cómo reacciona el valor del funcional cuando se cambia cada punto de la función.
Ejemplo de cálculo 1¶
🟡 Lina: Vamos a calcular la derivada funcional de \(I[f] = \int_{-1}^{1} f(y)\,dy\).
Siguiendo la definición, sustituimos \(f(y) \to f(y) + \epsilon\,\delta(y - x)\) (donde \(y\) es la variable de integración y \(x\) es el punto fijo que especifica "qué punto cambiar"):
Dentro de los corchetes, la parte \(\int f(y)\,dy\) se cancela entre ambos términos, así que lo que queda es:
⚪ Mei: \(\epsilon\) se cancela limpiamente.
🟡 Lina: La integral de la función delta es \(1\) si \(x\) está dentro del rango de integración \([-1, 1]\), y \(0\) si está fuera, así que:
🔵 Kai: Intuitivamente también tiene sentido. \(I\) es la integral de \(f\) en \([-1,1]\), así que si cambias un poco \(f\) dentro de ese rango, \(I\) también cambia, pero si lo cambias fuera del rango, no hay efecto.
Ejemplo de cálculo 2¶
🟡 Lina: Hagamos un ejemplo un poco más práctico.
Aquí \(\varphi(y)\) es alguna función determinada (función peso), y \([a, b]\) es un intervalo apropiado (o \((-\infty, \infty)\)).
🔵 Kai: En el ejemplo de cálculo 1, los límites de integración \([-1, 1]\) afectaban al resultado, ¿no? ¿Esta vez se pueden omitir?
🟡 Lina: Buena pregunta. Esta vez, en medio del cálculo aparece una forma donde \(\delta(y-x)\) multiplica al integrando. Por la propiedad de "extracción" de la función delta \(\int f(y)\,\delta(y-x)\,dy = f(x)\), solo se extrae el valor en \(y = x\) y lo demás desaparece. Por lo tanto, siempre que \(x\) esté dentro del rango de integración, la respuesta es la misma ya sea \([a, b]\) o \((-\infty, \infty)\). Por el contrario, si \(x\) está fuera del rango, el resultado es \(0\) — la misma lógica que en el ejemplo 1. De aquí en adelante asumiremos que \(x\) está dentro del rango de integración y omitiremos los límites. Calculemos la derivada funcional.
Hacemos \(f(y) \to f(y) + \epsilon\,\delta(y - x)\):
Expandimos \([f(y) + \epsilon\,\delta(y-x)]^p\) hasta primer orden en \(\epsilon\). Si expandimos la función \(g(\epsilon) = (a + \epsilon b)^p\) en serie de Taylor alrededor de \(\epsilon = 0\): \(g(0) = a^p\), \(g'(\epsilon) = p(a+\epsilon b)^{p-1}\cdot b\), así que \(g'(0) = pa^{p-1}b\). Por lo tanto, hasta primer orden \(g(\epsilon) \approx a^p + pa^{p-1}\cdot b\cdot\epsilon\). Es la misma idea que \((1+x)^n \approx 1 + nx\) (\(|x| \ll 1\)) que se aprende en el instituto — una aproximación donde solo se conserva el primer orden en la cantidad infinitesimal.
🔵 Kai: Aquí entra algo un poco especial como \(b = \delta(y-x)\), pero formalmente se hace la misma expansión, ¿verdad?
🟡 Lina: Exacto. Se calcula simplemente como una "expansión formal a primer orden en \(\epsilon\)". La función delta por sí sola no es un número ordinario, pero al final este resultado de la expansión entra dentro de una integral \(\int (\cdots)\,dy\). Y dentro de la integral aparece la forma \(p[f(y)]^{p-1}\cdot\epsilon\,\delta(y-x)\cdot\varphi(y)\), por lo que la propiedad de "extracción" de la función delta \(\int g(y)\,\delta(y-x)\,dy = g(x)\) se puede usar directamente, obteniéndose un valor finito bien definido \(p[f(x)]^{p-1}\,\varphi(x)\cdot\epsilon\). Es decir, aunque los pasos intermedios parezcan formales, el resultado final tiene un significado matemático riguroso — se justifica como la operación de extraer el término de primer orden en \(\epsilon\). Aquí con \(a = f(y)\), \(b = \delta(y-x)\):
🔵 Kai: Un momento. ¿No aparecen en los términos de segundo orden cosas como \(\epsilon^2[\delta(y-x)]^2\)? ¿El cuadrado de la función delta tiene sentido?
🟡 Lina: Buena pregunta. En realidad, \([\delta(y-x)]^2\) es un objeto "patológico" que no tiene un significado matemático riguroso. Pero no te preocupes — repasa la definición de la derivada funcional. Como \(\frac{\delta F}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon \to 0}\frac{F[f + \epsilon\delta] - F[f]}{\epsilon}\), después de dividir el numerador entre \(\epsilon\) se toma \(\epsilon \to 0\). Es decir, solo sobrevive el coeficiente de primer orden en \(\epsilon\), y los términos de segundo orden y superiores (\(\epsilon^2[\delta]^2\), etc.) desaparecen con \(\epsilon \to 0\). Así que no necesitas preocuparte por "si \([\delta]^2\) tiene sentido" — ese término simplemente no contribuye al resultado final.
Sustituyendo y cancelando el término \([f(y)]^p\):
Finalmente, usando la propiedad de "extracción" de la función delta:
⚪ Mei: Es exactamente el mismo patrón que la derivada ordinaria \(\frac{d}{dx}x^p = px^{p-1}\). "Se baja la potencia en uno y se saca el coeficiente al frente".
🟡 Lina: ¡Exacto! La derivada funcional es "la versión para funciones de la derivada", así que muchas reglas de cálculo tienen la misma forma que la derivada ordinaria.
✅ Verificación de comprensión: Calcula la derivada funcional \(\frac{\delta K}{\delta f(x_0)}\) (\(0 \leq x_0 \leq 1\)) del funcional \(K[f] = \int_0^1 [f(x)]^3\,dx\).
Respuesta
Basta tomar \(p = 3\), \(\varphi(y) = 1\) en el ejemplo de cálculo 2. \(\frac{\delta K}{\delta f(x_0)} = 3[f(x_0)]^2\).
📝 Ejercicios:
- Práctica de cálculo de funcionales y derivadas funcionales → Problema B-4. Derivada funcional usando la función delta
A.4 Ecuación de Euler-Lagrange para campos¶
🟡 Lina: La ecuación de Euler-Lagrange para partículas, como aprendimos en Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice D, es:
Aquí organizamos la parte de extender esto desde "la partícula \(q_i(t)\)" al "campo \(\phi(t, \mathbf{x})\)". Es el origen del marco utilizado en Cap. 3 del texto principal para derivar la ecuación de Klein-Gordon.
A.4.1 Correspondencia partícula → campo¶
🟡 Lina: Si resumimos en una tabla la correspondencia entre mecánica de partículas y teoría de campos:
Tabla A.4: Correspondencia de mecánica de partículas a teoría de campos
| Mecánica de partículas | Teoría de campos |
|---|---|
| Coordenadas generalizadas \(q_i(t)\) (número finito) | Campo \(\phi(t, \mathbf{x})\) (continuo infinito) |
| Lagrangiano \(L(q, \dot{q})\) | Densidad Lagrangiana \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) |
| Acción \(S = \int dt\,L\) | Acción \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) |
🔵 Kai: El índice \(i\) (discreto) se reemplaza por la coordenada \(\mathbf{x}\) (continua). Pero, ¿por qué la derivada temporal de primer orden \(\dot{q}\) se convierte en la derivada 4-dimensional \(\partial_\mu\phi\)? No solo entra la derivada temporal, también la espacial, ¿verdad?
🟡 Lina: Buena pregunta. Hay dos razones. Primero, físicamente, el campo se extiende en el espacio, así que "la diferencia del valor del campo entre puntos adyacentes" contribuye a la energía — si imaginas una cadena de masas conectadas por resortes, la diferencia de desplazamiento entre vecinos genera la energía potencial del resorte. Eso entra en el Lagrangiano como la derivada espacial \(\nabla\phi\).
🔵 Kai: Ah, es el límite del continuo. La extensión del resorte entre vecinos corresponde a la derivada espacial.
🟡 Lina: Exacto. Y además, en relatividad especial el tiempo y el espacio se tratan en pie de igualdad, así que la derivada temporal \(\dot{\phi}\) y la derivada espacial \(\nabla\phi\) se agrupan juntas como la derivada 4-dimensional \(\partial_\mu\phi\). Y la acción \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) es un funcional típico — introduces la configuración del campo \(\phi(x)\) como función y devuelve el número \(S\).
A.4.2 Variación y ecuación de Euler-Lagrange para campos¶
🟡 Lina: Seguimos el mismo procedimiento que en el caso de partículas. \(\delta\phi(x)\) es un símbolo que representa "variar infinitesimalmente el valor del campo \(\phi\) en cada punto del espaciotiempo" — igual que cuando hacíamos \(q(t) \to q(t) + \delta q(t)\) en mecánica de partículas. Imponemos la condición de que la acción \(S\) sea estacionaria, \(\delta S = 0\), para todo \(\delta\phi(x)\) arbitrario.
(Aquí se suma sobre \(\mu\) para \(0, 1, 2, 3\) — la convención de suma de Einstein. La convención introducida en Cap. 3 del texto principal.)
Primero usamos \(\delta(\partial_\mu\phi) = \partial_\mu(\delta\phi)\). Esto significa que "el orden de la variación \(\delta\) y la derivada \(\partial_\mu\) se puede intercambiar".
🔵 Kai: Un momento. ¿Por qué se puede intercambiar el orden?
🟡 Lina: Buena pregunta. \(\delta\phi\) es "la diferencia cuando se reemplaza \(\phi\) por \(\phi + \delta\phi\)". Como \(\partial_\mu(\phi + \delta\phi) - \partial_\mu\phi = \partial_\mu(\delta\phi)\), se tiene \(\delta(\partial_\mu\phi) = \partial_\mu(\delta\phi)\). Lo que usamos aquí es solo la "linealidad" de la derivada — es decir, la propiedad \(\partial_\mu(A + B) = \partial_\mu A + \partial_\mu B\). Da lo mismo tomar la diferencia y luego derivar, o derivar y luego tomar la diferencia — es exactamente la misma lógica que cuando hacíamos \(\delta\dot{q} = \frac{d}{dt}(\delta q)\) en mecánica de partículas.
🔵 Kai: Entiendo, viene de la linealidad de la derivada. ¿Lo siguiente es integración por partes?
🟡 Lina: Sí. En mecánica de partículas integrábamos por partes \(\int \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\frac{d}{dt}(\delta q)\,dt\) para obtener \(-\int \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\cdot\delta q\,dt\) (+ término de frontera). En 4 dimensiones hacemos lo mismo.
Los puntos clave son 2:
- \(\int d^4x = \int dt\,dx\,dy\,dz\) es una integral múltiple, así que se realiza la integración por partes de una variable en cada dirección \(\mu\) — por ejemplo, al integrar por partes en la dirección \(t\), la integral \(dx\,dy\,dz\) simplemente "envuelve por fuera" sin afectar, así que solo hay que fijarse en \(\int dt\) dentro de \(\int dx\,dy\,dz\left[\int dt\,(\cdots)\right]\)
- En el segundo término hay una suma oculta sobre \(\mu\) (\(\mu = 0, 1, 2, 3\)), así que se integra por partes independientemente cada término de \(\mu\)
Es decir, no hay ninguna técnica nueva: solo se aplica la integración por partes de una variable que aprendiste en el instituto, una vez en cada una de las 4 direcciones.
⚪ Mei: Incluso en integrales múltiples, las variables que no son la que nos interesa simplemente "esperan fuera", así que basta con la operación de una variable.
🟡 Lina: Concretamente, extraigamos el término \(\mu = 0\) (dirección temporal). Como \(\int d^4x = \int dt\,dx\,dy\,dz\), dejamos las integrales distintas de \(t\) (\(dx\,dy\,dz\)) como están y nos enfocamos solo en la dirección \(t\). La contribución \(\mu = 0\) del segundo término es \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\,\delta(\partial_0\phi)\), y usando \(\delta(\partial_0\phi) = \partial_0(\delta\phi) = \frac{\partial}{\partial t}(\delta\phi)\) que confirmamos antes, el integrando toma la forma \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\cdot\frac{\partial}{\partial t}(\delta\phi)\). Esto es "algo \(\times\) la derivada temporal de \(\delta\phi\)", así que la integración por partes de una variable se puede usar directamente:
Para \(\mu = 1\) (dirección \(x\)) exactamente lo mismo:
\(\mu = 2, 3\) análogamente. Alineando los resultados de integrar por partes en cada una de las 4 direcciones:
- \(\mu = 0\): \(-\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\right)\delta\phi\)
- \(\mu = 1\): \(-\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_1\phi)}\right)\delta\phi\)
- \(\mu = 2, 3\) misma forma
La suma de estos 4 términos no es otra cosa que la forma con la suma sobre \(\mu\) según la convención de Einstein:
🔵 Kai: Oh, aunque integremos por partes en las 4 direcciones por separado, al final todo se agrupa en un solo \(\partial_\mu\). El poder de la convención de suma.
🟡 Lina: Exacto. En mecánica de partículas asumíamos "fijar los puntos inicial y final" (\(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\)). En teoría de campos se usa la misma idea: asumimos que "la variación del campo se anula en el infinito del espaciotiempo" (\(\delta\phi \to 0\) cuando \(|x| \to \infty\)). Físicamente, "no cambiamos el valor del campo en lugares infinitamente lejanos ni en el futuro/pasado infinito" — es decir, la condición natural de que los cambios del campo se limitan a una región finita del espaciotiempo. Bajo esta hipótesis, todos los términos de frontera se anulan y:
\(\delta\phi\) es una función arbitraria que puede elegirse libremente en cada punto del espaciotiempo, así que razonemos por contradicción. Supongamos que el contenido del corchete no fuera cero en algún punto \(x_0\). Como el contenido del corchete es una función continua (si \(\phi\) y \(\mathcal{L}\) son suaves), no se anulará repentinamente en puntos cercanos a \(x_0\) — es decir, el contenido del corchete mantiene un valor no nulo en una pequeña región que contiene a \(x_0\). Entonces, elijamos un \(\delta\phi\) que sea \(\neq 0\) solo dentro de esa pequeña región y cero fuera. Entonces la integral \(\int [\cdots]\delta\phi\,d^4x\) no se anula porque el corchete es no nulo en la región donde \(\delta\phi\) también es no nulo — es decir, \(\delta S \neq 0\). Esto contradice la condición "\(\delta S = 0\) para todo \(\delta\phi\)".
⚪ Mei: Reducción al absurdo. "Si no fuera cero en un solo punto, podríamos construir un \(\delta\phi\) que pinche justo ahí y obtendríamos una contradicción" — la misma argumentación que en el caso de partículas.
🟡 Lina: Exacto (es la misma argumentación usada en el caso de partículas en Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice D). Por lo tanto, el contenido del corchete debe ser cero en todos los puntos:
Intercambiando el orden de los términos (ya que \(A - B = 0\) es lo mismo que \(B - A = 0\)), se obtiene la forma con "el término derivativo primero", igual que la ecuación de Euler-Lagrange de partículas \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\). En los libros de texto es convención escribirla en esta forma. Esta es la ecuación de Euler-Lagrange para campos:
⚪ Mei: La "derivada temporal \(\frac{d}{dt}\)" de la mecánica de partículas se reemplaza por la "derivada 4-dimensional \(\partial_\mu\)" en la teoría de campos. Tiempo y espacio en pie de igualdad.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuáles son las principales diferencias entre la ecuación de Euler-Lagrange para partículas y la ecuación de Euler-Lagrange para campos?
Respuesta
En el caso de partículas aparece la derivada total temporal \(\frac{d}{dt}\), mientras que en el caso de campos aparece la derivada parcial 4-dimensional del espaciotiempo \(\partial_\mu\). Esto corresponde al tratamiento igualitario del tiempo y el espacio en relatividad especial. Además, el Lagrangiano \(L\) se extiende a densidad Lagrangiana \(\mathcal{L}\), y la integral temporal de la acción \(\int dt\) se extiende a la integral espaciotemporal \(\int d^4x\).
A.4.3 Ejemplo concreto: ecuación de Klein-Gordon¶
🟡 Lina: Apliquemos la ecuación de Euler-Lagrange para campos a la densidad Lagrangiana del campo de Klein-Gordon tratada en Cap. 3 del texto principal:
Antes de eso, confirmemos la notación. Aquí usamos la convención de signos al estilo QFT (mostly-minus) introducida en Cap. 2 del texto principal. \(\partial^\mu\phi \equiv \eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\) es la derivada con el índice "subido" mediante la métrica de Minkowski \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) (introducida en Cap. 3 del texto principal). Es decir, \(\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\,\partial_\nu\phi = (\partial_0\phi)^2 - (\partial_1\phi)^2 - (\partial_2\phi)^2 - (\partial_3\phi)^2\) (cuando el mismo índice aparece arriba y abajo, se suma sobre \(\mu = 0, 1, 2, 3\) — la convención de suma de Einstein. La introdujimos en Cap. 3 del texto principal).
🔵 Kai: Solo la componente temporal es positiva y las espaciales son negativas, ¿verdad?
🟡 Lina: Sí. Para calcular \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\) que necesitamos para la ecuación de Euler-Lagrange, vamos a derivar parcialmente la parte \(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\) con respecto a \(\partial_\mu\phi\). Tratamos \(\partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi\) como variables mutuamente independientes — la misma idea que cuando en mecánica de partículas tratábamos \(q\) y \(\dot{q}\) como variables independientes.
🔵 Kai: Un momento. Si \(\phi\) está determinado, entonces \(\partial_0\phi\) y \(\partial_1\phi\) también están todos determinados, ¿no? ¿Está bien tratarlos como "variables independientes"?
🟡 Lina: Buena pregunta. El "tratar como variables independientes" aquí es solo una convención para calcular las derivadas parciales dentro del Lagrangiano. Cuando en mecánica de partículas derivamos parcialmente \(L(q, \dot{q})\) con respecto a \(\dot{q}\), tratamos \(q\) y \(\dot{q}\) como "independientes en tanto argumentos de \(L\)", ¿verdad? En realidad \(\dot{q} = \frac{dq}{dt}\), así que si \(q(t)\) está determinado entonces \(\dot{q}\) también lo está, pero para el cálculo de la derivada parcial pensamos en "fijar uno y mover solo el otro". En teoría de campos es exactamente igual: tratamos cada argumento de \(\mathcal{L}(\phi, \partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi)\) como independiente para el cálculo de derivadas parciales. Solo después de derivar la ecuación de movimiento es cuando la relación entre \(\phi\) y \(\partial_\mu\phi\) se determina dinámicamente.
🔵 Kai: Es la misma relación que entre \(q\) y \(\dot{q}\) en mecánica de partículas. ...Pero déjame confirmar algo. En mecánica de partículas solo \(q\) y \(\dot{q}\) eran "independientes", pero en teoría de campos ¿son 5 los independientes: \(\phi\) y \(\partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi\)? El número de variables ha aumentado.
🟡 Lina: Buena comprobación. Así es — la densidad Lagrangiana del campo tiene 5 argumentos independientes \(\mathcal{L}(\phi, \partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi)\). Mientras que el \(L(q, \dot{q})\) de la mecánica de partículas tenía 2 argumentos, aquí aumentan según la dimensión del espaciotiempo. Como tratamos \(\partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi\) como variables independientes, por ejemplo la derivada parcial de \(\partial_1\phi\) con respecto a \(\partial_2\phi\) es \(0\), y la de \(\partial_1\phi\) con respecto a \(\partial_1\phi\) es \(1\). Escribiendo esto de forma general: \(\frac{\partial(\partial_\alpha\phi)}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \delta_\alpha^\mu\). \(\delta_\alpha^\mu\) es la delta de Kronecker — un símbolo que devuelve \(1\) cuando \(\alpha = \mu\) y \(0\) cuando \(\alpha \neq \mu\) (lo hemos usado muchas veces en el texto principal). Tiene un nombre similar a la función delta de Dirac \(\delta(x)\), pero son objetos completamente diferentes, así que no los confundas — la delta de Kronecker es para índices discretos y la delta de Dirac para variables continuas.
⚪ Mei: Es decir, \(\frac{\partial(\partial_\alpha\phi)}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \delta_\alpha^\mu\) simplemente expresa con índices lo obvio: "si derivas la misma de las 5 variables independientes da 1, si es diferente da 0".
🟡 Lina: Exacto. Usemos esto para calcular \(\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\right)\). \(\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\) es un "producto" de \(\partial_\alpha\phi\) y \(\partial_\beta\phi\), así que por la regla del producto (\(\frac{\partial(AB)}{\partial C} = \frac{\partial A}{\partial C}\cdot B + A\cdot\frac{\partial B}{\partial C}\)) sale un término del lado \(\alpha\) y otro del lado \(\beta\). Concretamente, al derivar el lado \(\alpha\) sale \(\frac{\partial(\partial_\alpha\phi)}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \delta_\alpha^\mu\), y al derivar el lado \(\beta\) sale \(\frac{\partial(\partial_\beta\phi)}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \delta_\beta^\mu\).
🔵 Kai: Que salgan 2 términos por la regla del producto es lo mismo que \(\frac{d}{dx}(fg) = f'g + fg'\).
🟡 Lina: Exacto. Aquí usamos la propiedad de la delta de Kronecker. En \(\eta^{\alpha\beta}\delta_\alpha^\mu\) hay una suma oculta sobre \(\alpha\) para \(0, 1, 2, 3\) (convención de suma de Einstein). Como \(\delta_\alpha^\mu\) es "1 solo cuando \(\alpha = \mu\)", en la suma solo sobrevive el término \(\alpha = \mu\). Es decir, \(\sum_\alpha \eta^{\alpha\beta}\delta_\alpha^\mu = \eta^{\mu\beta}\). De manera similar \(\eta^{\alpha\beta}\delta_\beta^\mu = \eta^{\alpha\mu}\).
🔵 Kai: Déjame confirmar. En \(\eta^{\alpha\beta}\delta_\alpha^\mu\), al sumar sobre \(\alpha\), solo queda el término \(\alpha = \mu\) y resulta \(\eta^{\mu\beta}\) — es como si "\(\delta\) reemplaza el índice".
🟡 Lina: Exactamente eso. El papel más importante de la delta de Kronecker es el "reemplazo de índices". El resultado es \(\frac{1}{2}(\eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi + \eta^{\alpha\mu}\partial_\alpha\phi)\). \(\eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi = \partial^\mu\phi\), y \(\eta^{\alpha\mu}\partial_\alpha\phi\) es también \(\partial^\mu\phi\) (solo difiere el nombre del índice). Entonces \(\frac{1}{2}(\partial^\mu\phi + \partial^\mu\phi) = \partial^\mu\phi\). Es decir, se cancela el \(\frac{1}{2}\) de la misma manera que \(\frac{\partial(x^2)}{\partial x} = 2x\):
⚪ Mei: El \(\frac{1}{2}\) y los 2 términos de la regla del producto se cancelan exactamente, quedando limpiamente solo \(\partial^\mu\phi\).
🟡 Lina: Sustituyendo en la ecuación de Euler-Lagrange para campos \(\partial_\mu\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0\), tenemos \(\partial_\mu(\partial^\mu\phi) - (-m^2\phi) = 0\), es decir:
Aquí \(\partial_\mu(\partial^\mu\phi)\) se puede escribir también como \(\partial_\mu\partial^\mu\phi\). En componentes, \(\partial_\mu\partial^\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}\), que es precisamente el operador d'Alembertiano \(\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu\) introducido en Cap. 3 del texto principal (convención QFT mostly-minus). Resumiendo:
O escribiendo explícitamente los índices: \((\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi = 0\).
🔵 Kai: ¡La ecuación de Klein-Gordon! La derivamos del Lagrangiano en Cap. 3 del texto principal — y aquí estamos confirmando la gramática de esa derivación.
✅ Verificación de comprensión: Deriva la ecuación de movimiento del campo a partir de la densidad Lagrangiana \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{m^2}{2}\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4\).
Respuesta
\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = -m^2\phi - \frac{\lambda}{3!}\phi^3\), \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi\). Ecuación de movimiento: \(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0\). (Al derivar \(\phi^4\) con respecto a \(\phi\) sale \(4\phi^3\), y \(\frac{1}{4!}\times 4 = \frac{1}{3!}\).)
📝 Ejercicios:
- Derivación de ecuaciones de Euler-Lagrange a partir de diversos Lagrangianos → Problema B-5. Aplicación de la ecuación de Euler-Lagrange (oscilador armónico unidimensional)
A.5 Cuantización canónica de campos¶
🟡 Lina: La cuantización canónica de partículas se organizó en los "3 pasos" de Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice D. Es la receta de reemplazar corchetes de Poisson por relaciones de conmutación. Aquí extendemos eso a campos. Es la estructura que está detrás de cuando en Cap. 4 del texto principal escribimos "cuantizamos imponiendo relaciones de conmutación canónicas al campo escalar".
A.5.1 Densidad de momento canónico del campo¶
🟡 Lina: Lo que corresponde al momento canónico de partículas \(p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\) es la densidad de momento canónico (canonical momentum density) del campo:
🔵 Kai: El índice \(i\) se reemplaza por la coordenada espacial \(\mathbf{x}\). Es como "el momento del grado de libertad número \(\mathbf{x}\)".
🟡 Lina: Sí. Por ejemplo, para el campo de Klein-Gordon, separemos la \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{m^2}{2}\phi^2\) del apartado A.4.3 en componentes temporal y espaciales. Usando la métrica \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\): \(\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = (\partial_0\phi)^2 - (\partial_1\phi)^2 - (\partial_2\phi)^2 - (\partial_3\phi)^2 = \dot{\phi}^2 - (\nabla\phi)^2\), así que \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2\). De aquí, \(\pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} = \dot{\phi}\).
A.5.2 Densidad Hamiltoniana¶
🟡 Lina: Lo que corresponde al Hamiltoniano de partículas \(H = p\dot{q} - L\) es la densidad Hamiltoniana (Hamiltonian density):
(Si se elimina \(\dot{\phi}\) usando la relación entre \(\pi\) y \(\phi\), \(\mathcal{H}\) queda como función de \(\phi, \pi, \nabla\phi\).)
🟡 Lina: Como es una "densidad", para obtener el Hamiltoniano total se integra sobre el espacio:
$$ H = \int d^3\mathbf{x}\;\mathcal{H} $$ ⚪ Mei: En mecánica de partículas \(H\) era directamente la energía, pero para campos se suma la densidad de energía de cada punto sobre todo el espacio.
🟡 Lina: Para el campo de Klein-Gordon, sustituyendo \(\pi = \dot{\phi}\) y \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2\):
Al abrir el paréntesis, el signo menos afecta a todo, así que se invierte el signo de cada término:
Como \(\pi = \dot{\phi}\), reescribimos \(\frac{1}{2}\dot{\phi}^2 = \frac{1}{2}\pi^2\):
🔵 Kai: Todo son sumas de cuadrados — la densidad de energía siempre es \(\geq 0\). Eso da tranquilidad.
🟡 Lina: Sí, todo está en forma cuadrática y es no negativo — esto demuestra que la densidad de energía es positiva definida.
A.5.3 Corchetes de Poisson para campos y cuantización canónica¶
🟡 Lina: Lo que corresponde al corchete de Poisson de partículas \(\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}\) es el corchete de Poisson para campos. Como vimos en la tabla de correspondencia de A.4.1, el índice discreto \(i\) de la mecánica de partículas se reemplaza por la coordenada continua \(\mathbf{x}\) en la teoría de campos. Por lo tanto, el \(\delta_{ij}\) que indicaba "si el grado de libertad \(i\)-ésimo y el \(j\)-ésimo son el mismo o no" también cambia a su versión continua que indica "si los puntos \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\) son el mismo o no" — \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\). Escribiendo primero la conclusión, las relaciones fundamentales del corchete de Poisson para campos son:
Estos son resultados que se derivan de la definición del corchete de Poisson para campos — la definición misma la mostraré enseguida. Observa que en ambos lados aparece el mismo tiempo \(t\). Son "corchetes de Poisson a tiempos iguales" (equal-time Poisson bracket) evaluados al mismo tiempo \(t\). Como el corchete de Poisson es una herramienta de la mecánica clásica, no contiene \(\hbar\) — \(\hbar\) aparece más adelante, cuando se reemplaza por relaciones de conmutación en la cuantización canónica. La relación entre campos a tiempos diferentes se determina por la ecuación de movimiento.
⚪ Mei: La delta de Kronecker \(\delta_{ij}\) se reemplaza por la función delta de Dirac \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\).
🔵 Kai: ¿Eh? ¿Por qué no sirve la delta de Kronecker? Si solo se trata de determinar si es el mismo punto o no, parecería que \(\delta_{ij}\) podría funcionar.
🟡 Lina: Buena pregunta. Como los índices discretos \(i, j\) se convierten en coordenadas continuas \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\), la delta de Kronecker que dice "1 solo cuando \(i = j\)" no puede manejar coordenadas continuas. En su lugar se reemplaza naturalmente por la delta de Dirac que tiene "un pico agudo solo en \(\mathbf{x} = \mathbf{y}\)". Aquí \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) es la función delta de Dirac en 3 dimensiones — la extensión de la \(\delta(x)\) unidimensional a 3 direcciones, que se escribe como \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) = \delta(x_1-y_1)\,\delta(x_2-y_2)\,\delta(x_3-y_3)\). La propiedad de "extracción" también se extiende naturalmente: \(\int f(\mathbf{y})\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\,d^3\mathbf{y} = f(\mathbf{x})\).
🔵 Kai: Discreto → continuo: \(\delta_{ij} \to \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\). ...Eso significa que la dimensión también cambia, ¿no? \(\delta_{ij}\) es adimensional, pero si \(\int \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\,d^3\mathbf{y} = 1\) se cumple, y \(d^3\mathbf{y}\) tiene dimensión \([L^3]\), entonces \(\delta^{(3)}\) debe tener dimensión \([L^{-3}]\). ¿Las dimensiones de ambos lados de la relación de conmutación son consistentes?
🟡 Lina: Buena observación. La conclusión es que sí, son consistentes. Verifiquémoslo. Primero, mirando \(\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}\) de la mecánica de partículas: el lado derecho \(\delta_{ij}\) es adimensional, así que el lado izquierdo también debe serlo. De hecho, en la definición del corchete de Poisson \(\{A, B\} = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \cdots\), las dimensiones de \(q\) y \(p\) entran en los denominadores, así que \(\{q, p\}\) es \(\frac{[q]}{[q]}\cdot\frac{[p]}{[p]} = 1\) (adimensional), que es consistente.
Veamos el caso de campos. El lado derecho de \(\{\phi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})\} = \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) tiene dimensión \([L^{-3}]\), como se deduce de \(\int \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\,d^3\mathbf{y} = 1\). El lado izquierdo necesita tener la misma dimensión.
🔵 Kai: ¿En partículas era adimensional y en campos se convierte en \([L^{-3}]\)? ¿Eso significa que la definición del corchete de Poisson cambia?
🟡 Lina: Sí, la definición cambia. En mecánica de partículas, \(\{A, B\} = \sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\right)\), se sumaba sobre todos los grados de libertad \(i\). Sustituyendo \(A = q_k\), \(B = p_l\): \(\{q_k, p_l\} = \sum_i\left(\frac{\partial q_k}{\partial q_i}\frac{\partial p_l}{\partial p_i} - 0\right) = \sum_i \delta_{ki}\delta_{li} = \delta_{kl}\). En teoría de campos, como los grados de libertad están etiquetados por la coordenada continua \(\mathbf{z}\), esta suma \(\sum_i\) se reemplaza por la integral espacial \(\int d^3\mathbf{z}\). Y la derivada parcial \(\frac{\partial}{\partial q_i}\) también cambia a la derivada funcional \(\frac{\delta}{\delta\phi(\mathbf{z})}\) — en mecánica de partículas era "derivar con respecto a la coordenada \(q_i\) \(i\)-ésima", y en teoría de campos se convierte en "derivar con respecto al valor del campo \(\phi(\mathbf{z})\) en el punto \(\mathbf{z}\)". La derivada funcional que aprendimos en A.3 es precisamente esa operación.
⚪ Mei: \(\sum_i\) se convierte en \(\int d^3\mathbf{z}\), y la derivada parcial en derivada funcional — la sustitución de partículas a campos es exhaustiva.
🟡 Lina: Es decir, para funcionales generales \(A[\phi,\pi]\), \(B[\phi,\pi]\), el corchete de Poisson para campos se define como: $$ {A, B} = \int d^3\mathbf{z}\left[\frac{\delta A}{\delta\phi(t,\mathbf{z})}\frac{\delta B}{\delta\pi(t,\mathbf{z})} - \frac{\delta A}{\delta\pi(t,\mathbf{z})}\frac{\delta B}{\delta\phi(t,\mathbf{z})}\right] $$
Sustituyendo \(A = \phi(t,\mathbf{x})\), \(B = \pi(t,\mathbf{y})\): $$ {\phi(t, \mathbf{x}), \pi(t, \mathbf{y})} = \int d^3\mathbf{z}\left[\frac{\delta\phi(t,\mathbf{x})}{\delta\phi(t,\mathbf{z})}\frac{\delta\pi(t,\mathbf{y})}{\delta\pi(t,\mathbf{z})} - \frac{\delta\phi(t,\mathbf{x})}{\delta\pi(t,\mathbf{z})}\frac{\delta\pi(t,\mathbf{y})}{\delta\phi(t,\mathbf{z})}\right] $$
Aquí, con la sustitución \(\sum_i \to \int d^3\mathbf{z}\) entra la dimensión \([L^3]\), por lo que el resultado tiene \([L^{-3}]\).
🔵 Kai: Ya veo, como la suma se convierte en integral, la dimensión se desplaza en esa medida, y el lado derecho también se convierte en delta de Dirac para que cuadre.
🟡 Lina: Exacto. Calculémoslo concretamente. Aquí cambiemos un poco la perspectiva. \(\phi(\mathbf{x})\) es "el valor del campo \(\phi\) en el punto \(\mathbf{x}\)" — es decir, un número específico. Pero para calcular la derivada funcional \(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\phi(\mathbf{z})}\), necesitamos ver \(\phi(\mathbf{x})\) como "algo que recibe como entrada la configuración completa del campo \(\phi\) (es decir, una función) y devuelve el número que es el valor en el punto \(\mathbf{x}\)".
🔵 Kai: Espera, \(\phi(\mathbf{x})\) es "el valor del campo en un punto", ¿no? Me confunde que me digan que eso es un funcional...
🟡 Lina: Entiendo el sentimiento. Piénsalo con una analogía. Imagina que tienes una tabla con las calificaciones de todos los alumnos de la clase — esto corresponde a "la configuración completa del campo \(\phi\)". Preguntar "¿cuál es la nota de Taro?" es una operación que recibe como entrada la tabla completa (función) y devuelve el número de la casilla de Taro (número) — esto es un funcional. \(\phi(\mathbf{x})\) es la operación de "extraer el valor en el punto \(\mathbf{x}\) de la configuración completa del campo". Esto es la definición misma de funcional — recuerda el ejemplo 3 de A.2. Allí teníamos \(F[f] = \int f(y)\,\delta(y-x)\,dy = f(x)\). Un funcional que "cuando le metes la función \(f\), te devuelve el valor \(f(x)\) en el punto \(x\)". El \(\phi(\mathbf{x})\) actual tiene exactamente la misma estructura — en versión tridimensional se escribe \(\phi(\mathbf{x}) = \int \phi(\mathbf{z})\,\delta^{(3)}(\mathbf{z} - \mathbf{x})\,d^3\mathbf{z}\).
🔵 Kai: Entiendo, "la operación de mirar toda la tabla y leer una casilla específica" es un funcional... Efectivamente tiene la misma estructura que el ejemplo 3.
🟡 Lina: Así es. Entonces apliquemos directamente la definición de derivada funcional. La forma \(\phi(\mathbf{x}) = \int \phi(\mathbf{z})\,\delta^{(3)}(\mathbf{z} - \mathbf{x})\,d^3\mathbf{z}\) corresponde al ejemplo de cálculo 2 de A.3 con \(p = 1\) (es decir \([f(y)]^1 = f(y)\)) y función peso \(\varphi(y) = \delta^{(3)}(\mathbf{z} - \mathbf{x})\). Poniendo \(p = 1\) en el resultado del ejemplo 2 \(\frac{\delta J}{\delta f(x)} = p[f(x)]^{p-1}\varphi(x)\), queda simplemente \(\varphi(x)\), así que \(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\phi(\mathbf{z})} = 1 \times \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{z}) = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{z})\).
⚪ Mei: La fórmula que derivamos antes se puede usar directamente. Valió la pena acumular herramientas.
🟡 Lina: De manera similar \(\frac{\delta\pi(\mathbf{y})}{\delta\pi(\mathbf{z})} = \delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{z})\). Por otro lado, como \(\phi\) no depende de \(\pi\): \(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\pi(\mathbf{z})} = 0\). Igualmente, como \(\pi\) no depende de \(\phi\): \(\frac{\delta\pi(\mathbf{y})}{\delta\phi(\mathbf{z})} = 0\). Por lo tanto el segundo término se anula y:
Veamos el último paso con detalle. El integrando contiene \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{z})\). Usamos la propiedad de "extracción" \(\int g(\mathbf{z})\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{z})\,d^3\mathbf{z} = g(\mathbf{x})\). Si tomamos \(g(\mathbf{z}) = \delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{z})\), el resultado de la integral es \(g(\mathbf{x}) = \delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{x})\). Y \(\delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) (porque la función delta es par). Así surge naturalmente \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) en el lado derecho. En resumen, en la transición discreto → continuo, \(\delta_{ij}\) (adimensional) cambia a \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) (dimensión \([L^{-3}]\)), y la definición del corchete de Poisson también incorpora una integral espacial para que las dimensiones sean consistentes.
🔵 Kai: Déjame organizar. En mecánica de partículas, la definición de \(\{q_i, p_j\}\) tiene \(\sum_i\) y el resultado es adimensional. En teoría de campos, \(\sum_i\) cambia a \(\int d^3\mathbf{z}\), así que entra la dimensión \([L^3]\) extra. En esa misma medida, el lado derecho cambia de \(\delta_{ij}\) (adimensional) a \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) (\([L^{-3}]\)) y todo cuadra. ...Por cierto, ¿qué pasa con las dimensiones de \(\phi\) y \(\pi\) mismas? Son diferentes a \(q\) y \(p\) de partículas, ¿no?
🟡 Lina: Buena pregunta. En unidades naturales (\(\hbar = c = 1\)), se diseña para que la acción \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) sea adimensional. Como aprendimos en Cap. 2 del texto principal, en unidades naturales la dimensión de todas las cantidades físicas se expresa como potencias de la masa \([M]\). Repasemos solo las correspondencias que usamos aquí: de \(c = 1\), longitud y tiempo tienen la misma dimensión \([L] = [T]\); además de \(\hbar = 1\), \([L] = [M^{-1}]\) (la longitud tiene dimensión del inverso de la masa). Esta última relación sale de combinar \(\hbar = 1\) y \(c = 1\) — como \(\hbar c\) tiene dimensión de "energía \(\times\) longitud", al poner \(\hbar c = 1\) se obtiene \([\text{longitud}] = [\text{energía}]^{-1} = [M]^{-1}\). Intuitivamente, \(\hbar c \approx 200\,\text{MeV}\cdot\text{fm}\), así que con \(\hbar = c = 1\) tenemos "1 GeV\(^{-1}\) ≈ 0.2 fm" — es decir, partículas más masivas son más pequeñas (tienen menor longitud de onda). Si lo has olvidado, revisa Cap. 2.
🔵 Kai: ¿Por qué la acción es adimensional?
🟡 Lina: ¿Recuerdas que en mecánica cuántica el peso de la integral de caminos era \(e^{iS/\hbar}\)? El argumento de la función exponencial debe ser adimensional, así que \(S/\hbar\) es adimensional — es decir, \(S\) tiene la misma dimensión que \(\hbar\). En unidades naturales \(\hbar = 1\) (adimensional), así que \(S\) también es adimensional.
⚪ Mei: El argumento de la exponencial es adimensional — de ahí se determinan todas las dimensiones en cadena.
🟡 Lina: Sigamos las dimensiones en este sistema de unidades. Como \([L] = [M^{-1}]\), \(d^4x\) es "cuatro longitudes" con dimensión \([M^{-1}]^4 = [M^{-4}]\). Para que \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) sea adimensional, \(\mathcal{L}\) debe tener dimensión \([M^4]\). Mirando \(\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2\) del campo de Klein-Gordon, \(\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}\) es la operación de "dividir por longitud", así que su dimensión es \([L^{-1}] = [M^1]\). Como \(\mathcal{L}\) es \([M^4]\) y \((\partial_\mu\phi)^2\) también debe ser \([M^4]\), entonces \(\partial_\mu\phi\) es \([M^2]\). Es decir, \(\phi\) es \([M^{2-1}] = [M^1]\). Y como \(\pi = \dot{\phi} = \partial_0\phi\), la dimensión de \(\pi\) es \([\partial_0]\times[\phi] = [M^1]\times[M^1] = [M^2]\).
🔵 Kai: Entiendo. Entonces ¿también podemos verificar la dimensión del corchete de Poisson?
🟡 Lina: Sí. De aquí en adelante verificamos en unidades naturales (\(\hbar = c = 1\), dimensión de longitud es \([M^{-1}]\)). En este sistema \([L^{-3}] = [M^3]\), así que cuando antes dijimos "la dimensión de \(\delta^{(3)}\) es \([L^{-3}]\)" es lo mismo que \([M^3]\). Como calculamos antes, \(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\phi(\mathbf{z})} = \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{z})\), y la dimensión de \(\delta^{(3)}\) es \([M^3]\) (porque de \(\int \delta^{(3)}\,d^3\mathbf{z} = 1\) y \(d^3\mathbf{z}\) tiene dimensión \([M^{-3}]\)). Igualmente \(\frac{\delta\pi(\mathbf{y})}{\delta\pi(\mathbf{z})} = \delta^{(3)}(\mathbf{y}-\mathbf{z})\) también es \([M^3]\). Como \(\int d^3\mathbf{z}\) es \([M^{-3}]\), en total: \([M^{-3}]\times[M^3]\times[M^3] = [M^3]\). El \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) del lado derecho también es \([M^3]\), así que es consistente.
🔵 Kai: Ya veo, todo se determina a partir de la condición de que la acción sea adimensional. ...Entonces, si escribimos en un sistema de unidades que conserve \(\hbar\) (como el SI), ¿las dimensiones de \(\phi\) y \(\pi\) también cambiarían, y en el lado derecho de la relación de conmutación aparecería \(\hbar\)?
🟡 Lina: Exactamente. En unidades naturales con \(\hbar = 1\), la relación de conmutación se escribe \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\), pero en un sistema que mantiene \(\hbar\), el \(i\hbar\) aparece explícitamente en el lado derecho. En este Apéndice haremos los cálculos intermedios de forma simplificada en unidades naturales, y en las fórmulas finales enmarcadas escribiremos \(i\hbar\) explícitamente.
⚪ Mei: Es decir, en las fórmulas enmarcadas podemos confirmar la "forma original" de las ecuaciones que en el texto principal escribíamos con \(\hbar = 1\).
✅ Verificación de comprensión: Explica por qué en la cuantización canónica de partículas aparece la delta de Kronecker \(\delta_{ij}\), mientras que en la cuantización canónica de campos se reemplaza por la función delta de Dirac \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\).
Respuesta
En mecánica de partículas los grados de libertad se etiquetan con índices discretos \(i, j\), por lo que "si es el mismo grado de libertad o no" se expresa con la delta de Kronecker \(\delta_{ij}\). En teoría de campos los grados de libertad se etiquetan con coordenadas espaciales continuas \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\), por lo que es necesario expresar "si es el mismo punto espacial o no" con la función delta de Dirac \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\).
🟡 Lina: Y al aplicar la receta de cuantización canónica — reemplazar corchetes de Poisson por relaciones de conmutación, donde aparece \(\hbar\) — \(\{\ ,\ \} \to \frac{1}{i\hbar}[\ ,\ ]\):
Este es el punto de partida de Cap. 4 del texto principal, la relación de conmutación a tiempos iguales para campos. La versión para campos de \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\) que vimos en Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice D. En Cap. 4 del texto principal usábamos unidades naturales \(\hbar = 1\) y escribíamos \([\hat{\phi}, \hat{\pi}] = i\,\delta^{(3)}\), pero aquí hacemos explícito \(\hbar\).
A.5.4 Resumen de correspondencias¶
🟡 Lina: Si listamos la correspondencia entre partículas y campos:
Tabla A.5: Lista de correspondencias de cuantización canónica entre partículas y campos
| Mecánica de partículas | Teoría de campos |
|---|---|
| Coordenadas generalizadas \(q_i(t)\) | Campo \(\phi(t, \mathbf{x})\) |
| Lagrangiano \(L(q, \dot{q})\) | Densidad Lagrangiana \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) |
| Momento canónico \(p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\) | Densidad de momento canónico \(\pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\) |
| Hamiltoniano \(H = p_i\dot{q}_i - L\) | \(H = \int d^3\mathbf{x}\,\mathcal{H}\) (\(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\)) |
| \(\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}\) | \(\{\phi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})\} = \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) |
| Cuantización canónica: \([\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\,\delta_{ij}\) | \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\hbar\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) |
🔵 Kai: Puesto así en paralelo, las herramientas que aprendí en mecánica de partículas se pueden usar directamente para campos. ...Pero al revés, ¿hay casos donde esta correspondencia se rompe? Por ejemplo, con campos de gauge.
🟡 Lina: Buena observación. De hecho, en campos de gauge hay "condiciones de ligadura" por las que la cuantización canónica ingenua no funciona directamente. La razón por la que en Cap. 7 del texto principal se necesitaba "fijar el gauge" es precisamente esa. Pero eso excede el alcance de este Apéndice, así que por ahora entiéndelo como "para campos simples como el escalar, esta correspondencia se cumple tal cual".
⚪ Mei: El núcleo de este Apéndice es esta tabla. La estructura de las herramientas se corresponde completamente entre partículas y campos — al menos para campos sin ligaduras.
🟡 Lina: Exacto. La cuantización canónica de partículas aprendida en Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice D, extendida a infinitos grados de libertad continuos, es la teoría cuántica de campos — las herramientas son las mismas, solo cambia el objeto al que se aplican.
📝 Ejercicios:
- Cálculo del momento canónico del campo y la densidad Hamiltoniana → Problema M-2. Momento canónico del campo y densidad Hamiltoniana
A.6 ¿Por qué la naturaleza obedece al principio de acción?¶
🟡 Lina: Para terminar, toquemos una cuestión profunda. "¿Por qué la partícula (o el campo) elige el camino (la configuración) donde la acción es estacionaria?" — esto se planteó como pregunta en Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice D, pero ahora que estamos en la teoría cuántica de campos, podemos dar una respuesta más profunda.
🔵 Kai: Es como esa sensación extraña del principio de Fermat en el instituto: "la luz sabe cuál es el camino más rápido".
🟡 Lina: Dentro del marco de la mecánica clásica, solo se puede decir "porque así lo dice el principio". Pero la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos dan la respuesta.
Recuerda la integral de caminos de Feynman que aprendimos en los capítulos 10–11 del texto principal. El núcleo de la integral de caminos es que, en teoría cuántica, la partícula (o el campo) "pasa simultáneamente por todos los caminos (configuraciones) posibles", asignando a cada camino un factor de fase \(e^{iS/\hbar}\) determinado por la acción \(S\) como peso, y sumando todo. En el límite clásico (\(\hbar \to 0\)), los caminos donde \(S\) no es estacionario tienen una fase \(S/\hbar\) que oscila violentamente y se cancelan mutuamente. Solo sobrevive la vecindad de los caminos donde \(S\) es estacionario — por eso la partícula clásica parece "elegir" el camino con \(\delta S = 0\).
⚪ Mei: Es decir, el principio de acción se explica como límite clásico de la integral de caminos de la teoría cuántica.
🟡 Lina: Exacto. El principio de Fermat también es lo mismo. Si consideramos la naturaleza ondulatoria de la luz, solo sobreviven reforzándose los caminos donde la fase se alinea (= donde la longitud del camino óptico es estacionaria). El principio variacional es "el límite clásico de la interferencia de ondas".
🔵 Kai: La pregunta "¿por qué la naturaleza sigue la mínima acción?" surge naturalmente de la estructura cuántica de "superposición de todos los caminos". Pero déjame confirmar — "los caminos no estacionarios se cancelan", ¿con qué precisión se cancelan exactamente? No se anulan completamente, ¿verdad?
🟡 Lina: Buena pregunta. Estrictamente no se anulan por completo — como \(\hbar\) es finito, queda un "desenfoque cuántico" de anchura \(\sim\sqrt{\hbar}\) alrededor del camino clásico. Pero para objetos macroscópicos, \(S/\hbar\) es astronómicamente grande, así que con el menor desvío del punto estacionario la fase oscila furiosamente, y prácticamente se puede considerar que se cancela completamente.
🔵 Kai: Entiendo. Entonces, a la inversa, ¿los físicos de la época anterior a la integral de caminos no podían explicar "por qué vale el principio de acción"?
🟡 Lina: Exactamente. En la época de Euler y Lagrange, el principio de acción solo podía aceptarse como "un axioma empíricamente correcto". Solo cuando Feynman formuló la integral de caminos en 1948 se obtuvo una explicación física de "por qué la naturaleza hace estacionaria la acción". Y en la teoría cuántica de campos se mantiene exactamente la misma estructura. Las ecuaciones de movimiento clásicas de los campos (Klein-Gordon, Maxwell, Einstein) se pueden entender todas como el límite clásico de la correspondiente teoría cuántica de campos. La pregunta "¿por qué el principio de acción?" se responde naturalmente como "el límite clásico de la superposición cuántica de todas las configuraciones posibles del campo".
🔵 Kai: Lo que creía que era un axioma resultó ser consecuencia de una teoría más profunda.
🟡 Lina: Es decir, en mecánica clásica el principio de acción era un "axioma" — un punto de partida aceptado sin demostración. Pero visto desde la integral de caminos de la teoría cuántica, se convierte en un "resultado derivado". El número de axiomas se reduce, y se puede explicar más con menos suposiciones — eso es lo que significa que una teoría se profundice.
⚪ Mei: El estatus del principio de acción cambia de "suposición" a "consecuencia".
🔵 Kai: Eso significa que el "por qué" solo ha bajado un nivel en la jerarquía, ¿no? La integral de caminos respondió al "por qué" del principio de acción — pero entonces, ¿el "por qué" de la integral de caminos misma? ¿"Por qué se superponen todos los caminos" lo responderá una teoría aún más profunda?
🟡 Lina: Pregunta aguda. En el momento actual, la estructura de la integral de caminos misma es un principio fundamental de la teoría cuántica — es decir, está en posición de "axioma". Si en el futuro se encuentra una teoría más profunda, quizás eso también se convierta en algo "derivado". Pero por ahora este es el nivel más profundo.
🔵 Kai: Pero si es así, ¿no está la "\(S\)" del peso \(e^{iS/\hbar}\) de la integral de caminos construida a partir del Lagrangiano? ¿No es circular?
🟡 Lina: Buena observación. Pero no es circular. En la integral de caminos se usan todos los valores de \(S\) independientemente de si \(S\) es estacionario o no — no se asume \(\delta S = 0\). Como resultado, en el límite clásico "\(\delta S = 0\) sale", pero no se está asumiendo como entrada.
🔵 Kai: Entiendo... la entrada es solo "la definición de \(S\)", y "\(\delta S = 0\)" es la salida. No se asume pero sale — efectivamente eso no es circular.
⚪ Mei: Organizando la lógica hasta aquí — la integral de caminos solo "suma \(e^{iS/\hbar}\) sobre todas las configuraciones" sin asumir \(\delta S = 0\). Pero en el límite clásico solo sobrevive la fase estacionaria, así que como resultado "\(\delta S = 0\) sale". La distinción entre entrada y salida es el punto clave.
🔵 Kai: Pero entonces surge la siguiente pregunta. ¿Cuál es el principio que determina la forma de \(S\)?
🟡 Lina: Las simetrías (invariancia de Lorentz, invariancia de gauge) restringen fuertemente la forma de \(S\) — como vimos en Cap. 7 del texto principal. Pero "por qué esas simetrías" es una pregunta aún más profunda.
🔵 Kai: Al final, cuando excavas un "por qué", siempre sale un nuevo "por qué"... Pero al menos, la integral de caminos respondió al "por qué" del principio de acción. Solo con eso ya siento que hemos bajado un nivel más.
⚪ Mei: Déjame organizar un poco más. La estructura que hemos visto en este capítulo, resumida en una frase: en mecánica clásica el principio de acción es un "axioma"; en teoría cuántica es "derivado" como límite clásico de la integral de caminos. Y la integral de caminos misma es, por ahora, un axioma. Es decir, "una teoría más profunda convierte los axiomas de la teoría más superficial en consecuencias" — una estructura jerárquica. El mismo patrón que cuando la mecánica newtoniana se "derivó" como límite de la relatividad.
🔵 Kai: La física es como una escalera sin fin. Pero cada vez que bajas un peldaño, el anterior se convierte en algo "explicado". ...Si algún día se encuentra una teoría que responda al "por qué de la integral de caminos", entonces la integral de caminos misma será "degradada" a algo derivado. Pero entonces, ¿esa nueva teoría también tendría un "por qué" pendiente?
🟡 Lina: Probablemente sí. Pero eso no es una debilidad de la física sino una fortaleza — precisamente porque siempre queda la siguiente pregunta, la exploración continúa.
✅ Verificación de comprensión: Desde la perspectiva de la integral de caminos, explica por qué una partícula clásica parece "elegir" el camino donde la acción \(S\) es estacionaria.
Respuesta
En teoría cuántica, a cada camino se le asigna un peso \(e^{iS/\hbar}\). En el límite clásico (\(\hbar \to 0\)), los caminos donde la acción \(S\) no es estacionaria tienen una fase \(S/\hbar\) que oscila violentamente y se cancelan mutuamente. Solo la vecindad de los caminos donde \(S\) es estacionario tiene fases que se alinean y sobrevive, por lo que clásicamente parece que solo se realiza el camino con \(\delta S = 0\).
Resumen¶
🟡 Lina: Resumamos las herramientas organizadas en este Apéndice.
Tabla A.6: Herramientas de este Apéndice y dónde se usan en el texto principal
| Herramienta | Definición / Fórmula | Uso en el texto principal |
|---|---|---|
| Funcional | \(F[f]\): función → número | Capítulo 3 en adelante en general (especialmente integral de caminos caps. 10–11) |
| Derivada funcional | \(\frac{\delta F}{\delta f(x)}\) | Cap. 11 (funcional generatriz) |
| Ecuación de Euler-Lagrange para campos | \(\partial_\mu\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0\) | Cap. 3 (teoría clásica de campos) |
| Densidad de momento canónico del campo | \(\pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\) | Capítulos 4–6 (cuantización canónica) |
| Densidad Hamiltoniana | \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\) | Capítulos 4–6 |
| Relación de conmutación canónica del campo | \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\hbar\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) | Capítulos 4–6 |
La mecánica analítica de partículas (Lagrangiano, Hamiltoniano, corchetes de Poisson, cuantización canónica en sí) se delega a Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice D, y nos hemos centrado en la extensión propia de campos. Con esto, el origen de todas las herramientas usadas desde Cap. 3 en adelante puede rastrearse a través de Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice D + este Apéndice A.
Avance del próximo capítulo¶
Apéndice B: Representaciones del grupo de Lorentz y espinores — En este Apéndice preparamos el marco para cuantizar "campos". Lo siguiente es preguntarnos "en qué espacio de representación vive el campo". Cómo se transforma el campo bajo transformaciones de Lorentz — escalar, vector y espinor — se clasifica matemáticamente, y se responde con el lenguaje de la teoría de representaciones a las preguntas "¿por qué 4 componentes?" y "¿por qué se necesitan las matrices \(\gamma\)?" que surgieron al tratar el campo de Dirac y los espinores de Weyl en el texto principal.
Referencias¶
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) Capítulo 2 "Lagrangian mechanics", Capítulo 6 "A first stab at relativistic quantum mechanics"
- 場の量子論 — 不変性と自由場を中心にして（坂本眞人、裳華房） Capítulo 9 "Repaso de mecánica analítica y formalismo Lagrangiano de campos"
- QM Apéndice D "Formalismo Lagrangiano-Hamiltoniano y cuantización canónica" (detalles de la mecánica analítica de partículas)
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