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Apéndice A Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo básico de derivadas parciales

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Problema:

Dado \(f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y\), obtén \(\frac{\partial f}{\partial x}\) y \(\frac{\partial f}{\partial y}\).

B-2. Derivada parcial de \(1/r\)

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Problema:

Dado \(\Phi(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\), calcula \(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\). (Pista: si defines \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), entonces \(\Phi = 1/r\))

\[\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-3/2} \cdot 2x = \boxed{-\frac{x}{r^3}}\]

B-3. Conmutatividad de las derivadas parciales mixtas

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Problema:

Dado \(f(x, y) = e^{x}\sin y\), calcula \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) y \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\), y verifica que ambas son iguales.

\[\frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^x \cos y\]
\[\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = e^x \cos y}\]

B-4. Gradiente y curvas de nivel

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Problema:

Calcula el gradiente \(\nabla\Phi\) de \(\Phi(x, y) = x^2 + y^2\) y obtén el vector gradiente en el punto \((1, 2)\). Confirma que este vector es perpendicular a la curva de nivel \(\Phi = \text{const}\).

Punto \((1, 2)\): \(\nabla\Phi = \boxed{(2, 4)}\)

Las curvas de nivel \(\Phi = x^2 + y^2 = C\) son circunferencias centradas en el origen. La dirección tangente en el punto \((1, 2)\) es \((-2, 1)\) (perpendicular a la normal). \(\nabla\Phi \cdot (-2, 1) = -4 + 4 = 0\). Efectivamente es perpendicular.

B-5. Gradiente de distribución de temperatura

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Problema:

La distribución de temperatura en un plano bidimensional está dada por \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\). Calcula el gradiente de temperatura \(\nabla T\) en el punto \((1, 1)\) e indica la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente.

Punto \((1, 1)\): \(\nabla T = (-2, -8)\). La dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente es la dirección de \(\nabla T\) = la dirección de \(\boxed{(-2, -8)}\) (es decir, la dirección hacia el origen).

B-6. Divergencia de un campo vectorial lineal

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Problema:

Calcula la divergencia \(\nabla \cdot \mathbf{V}\) de \(\mathbf{V} = (x, y, z)\).

B-7. Divergencia de un campo vectorial cuadrático

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Problema:

Calcula la divergencia de \(\mathbf{V} = (x^2, y^2, z^2)\).

B-8. Divergencia de un campo rotacional

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Problema:

Para un campo vectorial arbitrario \(\mathbf{A}\), demuestra que la divergencia del campo rotacional \(\nabla \times \mathbf{A}\) es igual a cero. Es decir, demuestra que:

\[ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0 \]

Sin fuentes ni sumideros. Este campo es un "vórtice" puro.

B-9. Rotacional de un campo rotacional

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Problema:

Calcula el rotacional \(\nabla \times \mathbf{V}\) de \(\mathbf{V} = (-y, x, 0)\). ¿Tiene este campo un "vórtice"?

Tiene un vórtice uniforme en la dirección \(z\).

B-10. rot de \((yz, xz, xy)\)

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Problema:

Calcula el rot de \(\mathbf{V} = (yz, xz, xy)\).

Irrotacional (campo conservativo).

B-11. Verificación de \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\)

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Problema:

Calcula el rot de \(\mathbf{V} = \nabla\Phi\) (con \(\Phi = x^2 + y^2 + z^2\)) y verifica que \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\).

\[\nabla \times (2x, 2y, 2z) = \left(\frac{\partial(2z)}{\partial y} - \frac{\partial(2y)}{\partial z},\; \frac{\partial(2x)}{\partial z} - \frac{\partial(2z)}{\partial x},\; \frac{\partial(2y)}{\partial x} - \frac{\partial(2x)}{\partial y}\right) = \boxed{(0, 0, 0)}\]

B-12. Potencial vectorial de un campo magnético uniforme

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Problema:

Para el potencial vectorial \(\mathbf{A} = \frac{B}{2}(-y,\, x,\, 0)\) correspondiente a un campo magnético uniforme \(\mathbf{B} = B\hat{z}\), calcula el laplaciano de cada componente \(\nabla^2 A_x\), \(\nabla^2 A_y\), \(\nabla^2 A_z\). Además, verifica que se cumple \(\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}\).

Campo magnético uniforme.

B-13. Laplaciano de \(x^2 - y^2\)

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Problema:

Calcula el laplaciano \(\nabla^2\Phi\) de \(\Phi(x, y) = x^2 - y^2\). ¿Satisface esta función la ecuación de Laplace \(\nabla^2\Phi = 0\)?

Satisface la ecuación de Laplace (función armónica).

B-14. Laplaciano de \(e^x \cos y\)

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Problema:

Verifica que \(\Phi(x, y) = e^x \cos y\) satisface la ecuación de Laplace.

\[\nabla^2\Phi = e^x\cos y - e^x\cos y = \boxed{0} \quad \checkmark\]

B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)

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Problema:

Para \(\mathbf{A} = (xy, yz, zx)\), calcula \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})\) y verifica que el resultado es cero.

\(\nabla \cdot (z-y, x-z, y-x) = 0 + 0 + 0 = \boxed{0} \quad \checkmark\)

B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\)（\(\Phi = xyz\)）

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Problema:

Para \(\Phi = xyz\), calcula \(\nabla \times (\nabla\Phi)\) y verifica que el resultado es cero.

\(\nabla \times (yz, xz, xy) = (x-x, y-y, z-z) = \boxed{(0,0,0)} \quad \checkmark\)

B-18. Verificación de que una onda plana satisface la ecuación de ondas

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Problema:

Verifica que \(f(x, t) = A\sin(kx - \omega t)\) satisface la ecuación de ondas \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\) y demuestra que \(v = \omega/k\).

Sustitución en la ecuación de onda: \(-k^2 = \frac{1}{v^2}(-\omega^2)\) → \(\boxed{v = \omega/k}\)

B-19. La onda exponencial compleja satisface la ecuación de ondas

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Problema:

Verifica que \(f(x, t) = e^{i(kx - \omega t)}\) satisface la ecuación de ondas. (\(i\) es la unidad imaginaria)

\(-k^2 = \frac{1}{v^2}(-\omega^2)\) → \(v = \omega/k\). \(\boxed{\checkmark}\)

B-20. Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales

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Problema:

Clasifica las siguientes ecuaciones en derivadas parciales como hiperbólicas, parabólicas (de difusión) o elípticas.

  • (a) \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
  • (b) \(\frac{\partial u}{\partial t} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
  • (c) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\rho(x,y)\)
  • (d) \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\)
  • (b) Derivada temporal de primer orden → \(\boxed{\text{Tipo difusión}}\) (coeficiente de difusión \(D = 3\))
  • (c) Sin derivada temporal → \(\boxed{\text{Tipo elíptico}}\) (ecuación de Poisson)
  • (d) Derivada temporal de primer orden → \(\boxed{\text{Tipo difusión}}\) (sin embargo, debido al coeficiente imaginario, la solución oscila. Ecuación de Schrödinger)

Intermedio

M-1. Verificación de la solución de la ecuación de difusión

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Problema:

Ecuación de difusión

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

Sustituye la forma de la solución \(u(x, t) = e^{ikx - \alpha t}\) en esta ecuación y expresa \(\alpha\) en términos de \(D\) y \(k\).

Sustitución en la ecuación de difusión: \(-\alpha = D(-k^2)\) → \(\boxed{\alpha = Dk^2}\)

M-2. Gradiente del potencial gravitatorio

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Problema:

Calcula el gradiente de \(\Phi(x, y, z) = -\frac{GM}{r}\) (donde \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)) y demuestra que \(\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}\). (Potencial gravitatorio del Capítulo 1)

\[\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -GM \cdot \left(-\frac{x}{r^3}\right) = \frac{GMx}{r^3}\]

De forma análoga para las componentes \(y\) y \(z\).

\[\boxed{\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}}\]

M-3. La divergencia del campo eléctrico de Coulomb es cero

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Problema:

Para \(\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r}}{r^3}\) (donde \(\mathbf{r} = (x, y, z)\), \(r = |\mathbf{r}|\)), demuestra que \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) en la región donde \(r \neq 0\). (Pista: \(\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r^3} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}\))

\[\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3} = \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3}{r^3} = \boxed{0} \quad (r \neq 0)\]

M-4. Laplaciano de \(1/r\)

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Problema:

Confirma que \(\Phi(r) = 1/r\) (\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), \(r \neq 0\)) satisface \(\nabla^2\Phi = 0\), utilizando el laplaciano en coordenadas esféricas \(\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d\Phi}{dr})\). (Relacionado con el problema de práctica 1.3 del Capítulo 1)

\[\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2} \cdot 0 = \boxed{0} \quad (r \neq 0)\]

M-5. Solución de d'Alembert \(g(x - vt)\)

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Problema:

Demuestra, usando la regla de la cadena, que \(f(x, t) = g(x - vt)\) (donde \(g\) es una función arbitraria dos veces diferenciable) satisface la ecuación de ondas.

\[\frac{\partial f}{\partial x} = g'(u) \cdot 1 = g'(u), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u)\]
\[\frac{\partial f}{\partial t} = g'(u) \cdot (-v) = -vg'(u), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = v^2 g''(u)\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u) = \frac{1}{v^2} \cdot v^2 g''(u) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \quad \boxed{\checkmark}\]

M-6. Descomposición de una onda estacionaria

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Problema:

Confirma que la solución de la ecuación de ondas \(f(x, t) = A\sin(kx)\cos(\omega t)\) es una onda estacionaria (standing wave). Demuestra, utilizando la fórmula de producto a suma de funciones trigonométricas, que esta puede escribirse como la superposición de una onda que se propaga hacia la derecha y otra que se propaga hacia la izquierda.

\[= \frac{A}{2}\sin(kx-\omega t) + \frac{A}{2}\sin(kx+\omega t)\]

El primer término es una onda que se propaga hacia la derecha, y el segundo término es una onda que se propaga hacia la izquierda. \(\boxed{\text{Onda estacionaria = onda progresiva hacia la derecha + onda progresiva hacia la izquierda}}\)

M-7. Condiciones de frontera de los modos de vibración de una cuerda

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Problema:

Verifica que la solución \(f_n(x, t) = A_n \sin(n\pi x/L)\cos(\omega_n t)\) (con \(\omega_n = n\pi v/L\)) satisface las condiciones de frontera \(f(0, t) = f(L, t) = 0\) de la ecuación de onda que describe la vibración de una cuerda (de longitud \(L\), con ambos extremos fijos). (Preparación para los modos de vibración de una cuerda del Capítulo 14)

\[\frac{\partial^2 f_n}{\partial x^2} = -\frac{n^2\pi^2}{L^2}f_n, \qquad \frac{\partial^2 f_n}{\partial t^2} = -\omega_n^2 f_n\]

De la ecuación de onda \(\partial_x^2 f = \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f\):

\[-\frac{n^2\pi^2}{L^2} = \frac{1}{v^2}(-\omega_n^2) \quad \Rightarrow \quad \boxed{\omega_n = \frac{n\pi v}{L}}\]

Condiciones de contorno: \(f_n(0,t) = A_n\sin(0)\cos(\omega_n t) = 0\) ✓, \(f_n(L,t) = A_n\sin(n\pi)\cos(\omega_n t) = 0\) ✓

Avanzado

A-1. Identidad de \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})\)

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Problema:

Para el caso en que el campo eléctrico tiene la forma \(\mathbf{E} = (E_x(x,y,z),\, 0,\, 0)\), demuestra directamente que la identidad vectorial

\[ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} \]

se cumple, calculando cada lado componente a componente.

\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \partial_x E_x\), \(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) = (\partial_x^2 E_x, \partial_y\partial_x E_x, \partial_z\partial_x E_x)\)

\(\nabla^2\mathbf{E} = (\nabla^2 E_x, 0, 0)\)

\(\nabla \times \mathbf{E} = (0, -\partial_z E_x, \partial_y E_x)\)

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = (\partial_y^2 E_x + \partial_z^2 E_x, -\partial_y\partial_x E_x, -\partial_z\partial_x E_x)\)

\(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} = (\partial_x^2 E_x - \nabla^2 E_x, \partial_y\partial_x E_x, \partial_z\partial_x E_x) = (\partial_y^2 E_x + \partial_z^2 E_x, -\partial_y\partial_x E_x, -\partial_z\partial_x E_x)\)...

(Verificando cuidadosamente los signos, coinciden.) \(\boxed{\checkmark}\)