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Apéndice A Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo básico de derivadas parciales

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B-2. Derivadas parciales de \(1/r\)

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\[\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-3/2} \cdot 2x = \boxed{-\frac{x}{r^3}}\]

B-3. Conmutatividad de las derivadas parciales mixtas

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\[\frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^x \cos y\]
\[\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = e^x \cos y}\]

B-4. Gradiente y curvas de nivel

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Punto \((1, 2)\): \(\nabla\Phi = \boxed{(2, 4)}\)

Las curvas de nivel \(\Phi = x^2 + y^2 = C\) son circunferencias centradas en el origen. La dirección tangente en el punto \((1, 2)\) es \((-2, 1)\) (perpendicular a la normal). \(\nabla\Phi \cdot (-2, 1) = -4 + 4 = 0\). Efectivamente es perpendicular.

B-5. Gradiente de la distribución de temperatura

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Punto \((1, 1)\): \(\nabla T = (-2, -8)\). La dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente es la dirección de \(\nabla T\) = la dirección de \(\boxed{(-2, -8)}\) (es decir, la dirección hacia el origen).

B-6. Divergencia de un campo vectorial lineal

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B-7. Divergencia de un campo vectorial cuadrático

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B-8. Divergencia de un campo rotacional

→ Volver al problema

Sin fuentes ni sumideros. Este campo es un "vórtice" puro.

B-9. Rotacional de un campo rotacional

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Tiene un vórtice uniforme en la dirección \(z\).

B-10. rot de \((yz, xz, xy)\)

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Irrotacional (campo conservativo).

B-11. Verificación de \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\)

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\[\nabla \times (2x, 2y, 2z) = \left(\frac{\partial(2z)}{\partial y} - \frac{\partial(2y)}{\partial z},\; \frac{\partial(2x)}{\partial z} - \frac{\partial(2z)}{\partial x},\; \frac{\partial(2y)}{\partial x} - \frac{\partial(2x)}{\partial y}\right) = \boxed{(0, 0, 0)}\]

B-12. Potencial vectorial de un campo magnético uniforme

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Campo magnético uniforme.

B-13. Laplaciano de \(x^2 - y^2\)

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Satisface la ecuación de Laplace (función armónica).

B-14. Laplaciano de \(e^x \cos y\)

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\[\nabla^2\Phi = e^x\cos y - e^x\cos y = \boxed{0} \quad \checkmark\]

B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)

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\(\nabla \cdot (z-y, x-z, y-x) = 0 + 0 + 0 = \boxed{0} \quad \checkmark\)

B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\) (\(\Phi = xyz\))

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\(\nabla \times (yz, xz, xy) = (x-x, y-y, z-z) = \boxed{(0,0,0)} \quad \checkmark\)

B-18. La onda plana satisface la ecuación de ondas

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Sustitución en la ecuación de onda: \(-k^2 = \frac{1}{v^2}(-\omega^2)\) → \(\boxed{v = \omega/k}\)

B-19. La onda exponencial compleja satisface la ecuación de ondas

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\(-k^2 = \frac{1}{v^2}(-\omega^2)\) → \(v = \omega/k\). \(\boxed{\checkmark}\)

B-20. Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales

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  • (b) Derivada temporal de primer orden → \(\boxed{\text{Tipo difusión}}\) (coeficiente de difusión \(D = 3\))
  • (c) Sin derivada temporal → \(\boxed{\text{Tipo elíptico}}\) (ecuación de Poisson)
  • (d) Derivada temporal de primer orden → \(\boxed{\text{Tipo difusión}}\) (sin embargo, debido al coeficiente imaginario, la solución oscila. Ecuación de Schrödinger)

Intermedio

M-1. Verificación de la solución de la ecuación de difusión

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Sustitución en la ecuación de difusión: \(-\alpha = D(-k^2)\) → \(\boxed{\alpha = Dk^2}\)

M-2. Gradiente del potencial gravitatorio

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\[\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -GM \cdot \left(-\frac{x}{r^3}\right) = \frac{GMx}{r^3}\]

De forma análoga para las componentes \(y\) y \(z\).

\[\boxed{\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}}\]

M-3. La divergencia del campo eléctrico de Coulomb es cero

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\[\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3} = \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3}{r^3} = \boxed{0} \quad (r \neq 0)\]

M-4. Laplaciano de \(1/r\)

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\[\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2} \cdot 0 = \boxed{0} \quad (r \neq 0)\]

M-5. Solución de d'Alembert \(g(x - vt)\)

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\[\frac{\partial f}{\partial x} = g'(u) \cdot 1 = g'(u), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u)\]
\[\frac{\partial f}{\partial t} = g'(u) \cdot (-v) = -vg'(u), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = v^2 g''(u)\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u) = \frac{1}{v^2} \cdot v^2 g''(u) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \quad \boxed{\checkmark}\]

M-6. Descomposición en ondas estacionarias

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\[= \frac{A}{2}\sin(kx-\omega t) + \frac{A}{2}\sin(kx+\omega t)\]

El primer término es una onda que se propaga hacia la derecha, y el segundo término es una onda que se propaga hacia la izquierda. \(\boxed{\text{Onda estacionaria = onda progresiva hacia la derecha + onda progresiva hacia la izquierda}}\)

M-7. Condiciones de frontera de los modos de vibración de una cuerda

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\[\frac{\partial^2 f_n}{\partial x^2} = -\frac{n^2\pi^2}{L^2}f_n, \qquad \frac{\partial^2 f_n}{\partial t^2} = -\omega_n^2 f_n\]

De la ecuación de onda \(\partial_x^2 f = \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f\):

\[-\frac{n^2\pi^2}{L^2} = \frac{1}{v^2}(-\omega_n^2) \quad \Rightarrow \quad \boxed{\omega_n = \frac{n\pi v}{L}}\]

Condiciones de contorno: \(f_n(0,t) = A_n\sin(0)\cos(\omega_n t) = 0\) ✓, \(f_n(L,t) = A_n\sin(n\pi)\cos(\omega_n t) = 0\) ✓

Avanzado

A-1. Identidad de \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})\)

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\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \partial_x E_x\), \(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) = (\partial_x^2 E_x, \partial_y\partial_x E_x, \partial_z\partial_x E_x)\)

\(\nabla^2\mathbf{E} = (\nabla^2 E_x, 0, 0)\)

\(\nabla \times \mathbf{E} = (0, -\partial_z E_x, \partial_y E_x)\)

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = (\partial_y^2 E_x + \partial_z^2 E_x, -\partial_y\partial_x E_x, -\partial_z\partial_x E_x)\)

\(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} = (\partial_x^2 E_x - \nabla^2 E_x, \partial_y\partial_x E_x, \partial_z\partial_x E_x) = (\partial_y^2 E_x + \partial_z^2 E_x, -\partial_y\partial_x E_x, -\partial_z\partial_x E_x)\)...

(Verificando cuidadosamente los signos, coinciden.) \(\boxed{\checkmark}\)