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Apéndice C Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo de la integral gaussiana básica

Calcula la siguiente integral gaussiana utilizando la ecuación (C.1).

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-3q^2} \]
Pista

Comparando \(e^{-3q^2} = e^{-\frac{a}{2}q^2}\), se obtiene \(a = 6\).

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B-2. Completar el cuadrado en integrales gaussianas con fuente

Calcula la siguiente integral utilizando el método de completar el cuadrado.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-2q^2 + 6q} \]
Pista

Reorganiza el exponente en la forma \(-\frac{a}{2}q^2 + bq\) y aplica la ecuación (C.3) (con la sustitución \(J \to -b\)). Primero identifica \(a = 4\), \(b = 6\).

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B-3. Integral gaussiana con \(q^n\) (aplicación de la relación de recurrencia)

Utilizando repetidamente la relación de recurrencia (C.7), calcula la siguiente integral.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; q^6 \, e^{-\frac{1}{2}q^2} \]
Pista

Tomando \(a = 1\), parte de \(I_6(1) = \frac{5}{1}\,I_4(1)\), y desciende sucesivamente con \(I_4(1) = 3\,I_2(1)\), \(I_2(1) = I_0(1) = \sqrt{2\pi}\). También puedes usar el doble factorial \((2m-1)!! = 15\) (\(m=3\)).

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B-4. Verificación de que las integrales gaussianas de orden impar son cero

Utilizando la simetría del integrando, explica por qué la siguiente integral es igual a cero.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; q^3 \, e^{-\frac{a}{2}q^2} \qquad (\mathrm{Re}(a) > 0) \]
Pista

Realiza el cambio de variable \(q \to -q\) y demuestra que el integrando es una función impar.

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B-5. Integral gaussiana de 2 variables

Para la matriz

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

calcula la siguiente integral utilizando la ecuación (C.8).

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq_1 \int_{-\infty}^{\infty} dq_2 \; e^{-\frac{1}{2}(q_1, q_2)\,A\begin{pmatrix}q_1\\q_2\end{pmatrix}} \]
Pista

Calcula \(\det A = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5\) y sustituye \(n = 2\) en la ecuación (C.8).

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B-6. Desarrollo de relaciones de anticonmutación de números de Grassmann

Para tres números de Grassmann independientes \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\), simplifica el siguiente producto:

\[ (\eta_1 + \eta_2)(\eta_2 + \eta_3) \]
Pista

Desarrolla usando la propiedad distributiva y aplica \(\eta_i^2 = 0\) y \(\eta_i\eta_j = -\eta_j\eta_i\).

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B-7. Cálculo básico de la integral de Berezin

Utilizando la definición (C.16) de la integral de Berezin, calcula la siguiente integral.

\[ \int d\eta \; (3 + 5\eta) \]
Pista

Aplica \(\int d\eta\;1 = 0\) y \(\int d\eta\;\eta = 1\) a cada término.

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B-8. Integral gaussiana de Grassmann en una variable

Para variables de Grassmann independientes \(\bar{\eta}, \eta\), calcula lo siguiente verificando directamente la ecuación (C.18):

\[ \int d\bar{\eta}\,d\eta \; e^{-5\bar{\eta}\eta} \]
Pista

Expande \(e^{-5\bar{\eta}\eta} = 1 - 5\bar{\eta}\eta\) (los términos de orden 2 o superior se anulan debido a \(\bar{\eta}^2 = \eta^2 = 0\)), y aplica sucesivamente la definición de la integral de Berezin.

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B-9. Signo de la derivada de Grassmann

Para dos variables de Grassmann independientes \(\theta, \phi\), calcula lo siguiente:

\[ \frac{\partial}{\partial\phi}\bigl(\theta\,\phi\,\theta\bigr) \]
Pista

Primero, reorganiza \(\theta\,\phi\,\theta\) usando las relaciones de anticonmutación. Ten en cuenta que \(\theta^2 = 0\).

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B-10. Integral gaussiana multivariable con fuente

Usando la ecuación (C.9), calcula

\[ \int d^2 q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} - \mathbf{J}^T\mathbf{q}} \]

cuando \(A = \begin{pmatrix}4 & 0\\0 & 4\end{pmatrix}\), \(\mathbf{J} = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\).

Pista

\(\det A = 16\), \(A^{-1} = \frac{1}{4}\mathbf{1}\). Sustituye \(\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J} = (2,0)\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} = 1\).

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Intermedio

M-1. Generación de funciones de correlación mediante integrales gaussianas con fuente

Utilizando la integral gaussiana con fuente de una variable

\[ Z(J) = \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-\frac{a}{2}q^2 + Jq} \]

demuestra lo siguiente:

(a) \(\langle q^2 \rangle \equiv \dfrac{1}{Z(0)}\left.\dfrac{\partial^2 Z}{\partial J^2}\right|_{J=0} = \dfrac{1}{a}\)

(b) \(\langle q^4 \rangle \equiv \dfrac{1}{Z(0)}\left.\dfrac{\partial^4 Z}{\partial J^4}\right|_{J=0} = \dfrac{3}{a^2}\)

(c) Verifica que el resultado de (b) coincide con la estructura combinatoria del teorema de Wick (Cap. 8), \(\langle q^4\rangle = 3\langle q^2\rangle^2\), y explica de qué combinaciones de pares surge el factor «3».

Pista

Desarrolla \(Z(J) = \sqrt{2\pi/a}\;e^{J^2/(2a)}\) en serie de potencias de \(J\) y realiza las derivadas respecto a \(J\). En (c), utiliza que el número de formas de emparejar 4 factores \(q\) en pares de 2 es \(4!/(2^2 \cdot 2!) = 3\).

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M-2. Derivación de la integral gaussiana de Grassmann multivariable

Para un conjunto de \(n\) pares de variables de Grassmann independientes \((\bar{\eta}_1, \eta_1), \ldots, (\bar{\eta}_n, \eta_n)\) y una matriz \(A\) de \(n \times n\),

\[ \int \prod_{i=1}^n d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\sum_{i,j}\bar{\eta}_i A_{ij}\eta_j} = \det A \]

Demuestra esto explícitamente para el caso \(n = 2\). Es decir, tomando \(A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\), expande la función exponencial en potencias de las variables de Grassmann y realiza la integral de Berezin para obtener \(\det A = ad - bc\).

Pista

Expande \(\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta} = a\bar{\eta}_1\eta_1 + b\bar{\eta}_1\eta_2 + c\bar{\eta}_2\eta_1 + d\bar{\eta}_2\eta_2\). Al expandir \(e^{-X}\), ten en cuenta que solo sobreviven a la integración los términos en los que las cuatro variables de Grassmann aparecen exactamente una vez cada una.

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M-3. Término fuente e inversa de la matriz en la integral gaussiana de Grassmann

Deduce la integral con términos fuente \(\bar{\boldsymbol{\xi}}, \boldsymbol{\xi}\) (variables de Grassmann)

\[ \int \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi}} = \det A \; e^{\bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}} \]

utilizando la completación de cuadrados para variables de Grassmann

\[ \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi} = (\bar{\boldsymbol{\eta}}^T - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1})\,A\,(\boldsymbol{\eta} - A^{-1}\boldsymbol{\xi}) - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi} \]

Verifica también que el jacobiano del cambio de variables es igual a 1.

Pista

Realiza la sustitución \(\boldsymbol{\eta}' = \boldsymbol{\eta} - A^{-1}\boldsymbol{\xi}\), \(\bar{\boldsymbol{\eta}}' = \bar{\boldsymbol{\eta}} - (A^{-1})^T\bar{\boldsymbol{\xi}}\). Comprueba la regla de transformación de la medida bajo una transformación lineal de variables de Grassmann \(\eta_i' = \eta_i + c_i\) (donde \(c_i\) son constantes de Grassmann).

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M-4. Integral gaussiana como integral de Fresnel

Utilizando la ecuación (C.2), calcula la integral en el límite de parámetro puramente imaginario \(a \to -i\alpha\) (\(\alpha > 0\) real):

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{\frac{i\alpha}{2}q^2} \]

Demuestra que el resultado coincide con la fórmula de la integral de Fresnel (Fresnel integral):

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{\frac{i\alpha}{2}q^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}\;e^{i\pi/4} \]

Además, discute cómo este resultado se relaciona con la condición de convergencia del peso \(e^{iS}\) en la integral de camino en el espacio de Minkowski (Cap. 10).

Pista

De \(-\frac{a}{2}q^2 = \frac{i\alpha}{2}q^2\) se obtiene \(a = -i\alpha\). Escribe en forma polar \(a = \alpha e^{-i\pi/2}\) y aplica la ecuación (C.2). Ten en cuenta que \(e^{-i(-\pi/2)/2} = e^{i\pi/4}\).

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Avanzado

A-1. Cociente de determinantes bosónico/fermiónico y supersimetría

Considera un sistema en el que \(n\) variables bosónicas \(q_i\) y \(n\) pares de variables de Grassmann \((\bar{\eta}_i, \eta_i)\) están acoplados mediante la misma matriz \(n \times n\) definida positiva \(A\).

\[ Z = \int d^n q \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; \exp\!\left[-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} - \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta}\right] \]

(a) Realiza por separado las integrales de la parte bosónica y la parte fermiónica, y expresa \(Z\) en términos de \(\det A\) y \((2\pi)^{n/2}\).

(b) Cuando \(A\) es proporcional a la matriz identidad, \(A = m^2 \mathbf{1}\), demuestra que \(Z\) no depende de \(m\).

(c) Discute, desde el punto de vista del potencial efectivo a un loop (la discusión de Cap. 14), cómo esta propiedad de "cancelación entre los determinantes bosónico y fermiónico" corresponde al mecanismo por el cual las fluctuaciones de punto cero de la energía del vacío se anulan en presencia de supersimetría (supersymmetry, SUSY).

Pista

(a) La parte bosónica es \((2\pi)^{n/2}/(\det A)^{1/2}\) y la parte fermiónica es \(\det A\). (b) Sustituye \((\det A)^{1/2} = m^n\). (c) El potencial efectivo a un loop toma la forma \(V_{\text{1-loop}} \propto \mathrm{STr}\,M^4\ln(M^2/\mu^2)\); utiliza el hecho de que la supertraza (supertrace) se anula cuando SUSY se satisface.

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A-2. Representación del determinante de Faddeev–Popov mediante fantasmas usando integración de Grassmann

En la integral de camino de las teorías gauge no abelianas (Cap. 16), el determinante de Faddeev–Popov asociado a la fijación de gauge

\[ \det\!\left(\frac{\delta G^a}{\delta\alpha^b}\right) \]

(donde \(G^a\) es la condición de fijación de gauge y \(\alpha^b\) son los parámetros de transformación de gauge) debe expresarse como una integral sobre variables de Grassmann (campos fantasma \(c^a, \bar{c}^a\)). Ejecuta este procedimiento siguiendo los pasos indicados a continuación.

(a) Citando la ecuación (C.19), verifica que se cumple \(\det M = \int \prod_a d\bar{c}^a\,dc^a\;e^{-\bar{c}^a M_{ab}\,c^b}\).

(b) En la teoría de Yang–Mills con grupo \(SU(N)\), adoptando el gauge de Lorenz \(G^a = \partial_\mu A^{a\mu}\), deriva el operador de Faddeev–Popov \(M_{ab}(x,y) = -\partial_\mu D^\mu_{ab}\,\delta^4(x-y)\). Aquí \(D^\mu_{ab} = \delta_{ab}\partial^\mu + g f_{abc}A^{c\mu}\) es la derivada covariante en la representación adjunta.

(c) A partir de la acción de fantasmas obtenida

\[ S_{\text{ghost}} = \int d^4x \; \bar{c}^a(-\partial_\mu D^\mu_{ab})c^b \]

lee las reglas de Feynman para los campos fantasma (propagador y vértice), y explica, a partir de las propiedades de la integración de Grassmann, por qué los fantasmas poseen el mismo propagador que un campo escalar pero obedecen estadística de Fermi.

Pista

(a) es directamente la ecuación (C.19). (b) A partir de la transformación de gauge \(\delta A^a_\mu = D_\mu^{ab}\alpha^b\), calcula \(\delta G^a / \delta\alpha^b\). (c) El propagador toma la forma \(\langle c^a(k)\bar{c}^b(-k)\rangle = \delta^{ab}/k^2\). Conecta el hecho de que los fantasmas proporcionan \(\det M\) (en el numerador) en los lazos con la propiedad (C.19) de que la integración de Grassmann produce el determinante en el numerador.

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