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Básico

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Básico

B-1. Cálculo de la fuerza gravitatoria entre el Sol y la Tierra

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Problema: Calcula la magnitud de la fuerza gravitatoria entre el Sol y la Tierra.

Cálculo

\[ F = \frac{G M_\odot M_\oplus}{r^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} \times 6.0 \times 10^{24}}{(1.5 \times 10^{11})^2} \]

Numerador: \(6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} = 1.334 \times 10^{20}\)

\(1.334 \times 10^{20} \times 6.0 \times 10^{24} = 8.00 \times 10^{44}\)

Denominador: \((1.5 \times 10^{11})^2 = 2.25 \times 10^{22}\)

\[ F = \frac{8.00 \times 10^{44}}{2.25 \times 10^{22}} \approx 3.6 \times 10^{22}\ \text{N} \]
\[ \boxed{F \approx 3.6 \times 10^{22}\ \text{N}} \]

Verificación

Esto equivale aproximadamente a \(3.6 \times 10^{18}\) toneladas-fuerza. Es la mayor fuerza del sistema solar y resulta razonable como la fuerza que mantiene a la Tierra en su órbita.

B-2. Razón entre la fuerza gravitatoria y la fuerza de Coulomb entre protones

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Problema: Calcula la razón entre la fuerza gravitatoria y la fuerza de Coulomb entre dos protones.

Cálculo

\[ F_{\text{grav}} = \frac{G m_p^2}{r^2}, \qquad F_{\text{em}} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \]

Al tomar la razón, \(r^2\) se cancela:

\[ \frac{F_{\text{grav}}}{F_{\text{em}}} = \frac{G m_p^2}{e^2/(4\pi\varepsilon_0)} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2}{9.0 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2} \]

Numerador: \(6.67 \times 10^{-11} \times 2.79 \times 10^{-54} = 1.86 \times 10^{-64}\)

Denominador: \(9.0 \times 10^{9} \times 2.56 \times 10^{-38} = 2.30 \times 10^{-28}\)

\[ \frac{F_{\text{grav}}}{F_{\text{em}}} = \frac{1.86 \times 10^{-64}}{2.30 \times 10^{-28}} \approx 8.1 \times 10^{-37} \]
\[ \boxed{\frac{F_{\text{grav}}}{F_{\text{em}}} \sim 10^{-36}} \]

Verificación

Coincide con el valor \(\sim 10^{-36}\) mencionado en el texto. Se confirma cuantitativamente que la gravedad es extraordinariamente débil en comparación con la fuerza electromagnética.

B-3. Gradiente de un potencial bidimensional

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Problema: Para \(\Phi(x, y) = x^2 + 4y^2\), determina (a) el gradiente, (b) la magnitud y dirección en el punto \((1,1)\), y (c) la relación entre la dirección de la fuerza y las líneas equipotenciales.

(a) Cálculo del gradiente

\[ \frac{\partial\Phi}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial\Phi}{\partial y} = 8y \]
\[ \boxed{\nabla\Phi = (2x,\;8y)} \]

(b) Vector gradiente en el punto \((1, 1)\)

Sustituyendo \((x, y) = (1, 1)\):

\[ \nabla\Phi\big|_{(1,1)} = (2 \times 1,\;8 \times 1) = (2,\;8) \]

Magnitud:

\[ |\nabla\Phi| = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.25 \]

Dirección: el ángulo \(\theta\) medido desde la dirección positiva del eje \(x\) es:

\[ \tan\theta = \frac{8}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad \theta = \arctan 4 \approx 76° \]
\[ \boxed{|\nabla\Phi|_{(1,1)} = 2\sqrt{17} \approx 8.25, \quad \theta \approx 76°\ (\text{en sentido antihorario desde el eje }x)} \]

(c) Relación entre la dirección de la fuerza y las líneas equipotenciales

La fuerza es

\[ \boldsymbol{F} = -m\nabla\Phi\big|_{(1,1)} = -m\,(2,\;8) = m\,(-2,\;-8) \]

y apunta en la dirección opuesta al vector gradiente \((2, 8)\).

Las líneas equipotenciales están definidas por \(\Phi = x^2 + 4y^2 = C\) (constante), que son elipses. El gradiente \(\nabla\Phi\) es perpendicular a las líneas equipotenciales y apunta en la dirección en que \(\Phi\) aumenta (propiedad general de la geometría diferencial). Por lo tanto, la fuerza \(\boldsymbol{F} = -m\nabla\Phi\) es perpendicular a las líneas equipotenciales y apunta en la dirección en que \(\Phi\) disminuye (hacia el interior de la elipse, es decir, hacia el origen).

\[ \boxed{\text{La fuerza es perpendicular a las líneas equipotenciales (elipses) y apunta en la dirección de potencial decreciente (hacia el origen)}} \]

Verificación

  • \(\Phi(1,1) = 1 + 4 = 5\), por lo que la línea equipotencial es la elipse \(x^2 + 4y^2 = 5\). El punto \((1,1)\) se encuentra sobre esta elipse.
  • El vector normal a la elipse \(x^2 + 4y^2 = C\) en el punto \((x_0, y_0)\) es \((2x_0, 8y_0)\), que en \((1,1)\) da \((2, 8)\). Esto coincide con \(\nabla\Phi|_{(1,1)}\). Queda confirmado que el gradiente es perpendicular a la línea equipotencial.

B-4. Criterio relativista para distintos cuerpos celestes

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(a) Sol

\[ GM_\odot = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} = 1.33 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \]
\[ R_\odot c^2 = 7.0 \times 10^{8} \times (3.0 \times 10^{8})^2 = 7.0 \times 10^{8} \times 9.0 \times 10^{16} = 6.3 \times 10^{25}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \]
\[ \Phi_{\rm rel} = \frac{1.33 \times 10^{20}}{6.3 \times 10^{25}} \approx 2.1 \times 10^{-6} \]
\[ \boxed{\Phi_{\rm rel}(\text{Sol}) \sim 10^{-6}} \]

El modelo de Newton es una aproximación muy buena cerca de la superficie del Sol, pero para mediciones de precisión al nivel de \(10^{-6}\) (precesión del perihelio de Mercurio, deflexión de la luz) se requieren correcciones de relatividad general.

(b) Estrella de neutrones

Parámetros:

  • \(M = 1.4\,M_\odot = 1.4 \times 2.0 \times 10^{30}\ \text{kg} = 2.8 \times 10^{30}\ \text{kg}\)
  • \(R = 10\ \text{km} = 1.0 \times 10^{4}\ \text{m}\)
  • \(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(c = 3.0 \times 10^{8}\ \text{m/s}\)

Cálculo:

Numerador: \(GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30} = 1.87 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2\)

Denominador: \(Rc^2 = 1.0 \times 10^{4} \times (3.0 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2\)

Cociente:

\[ \Phi_{\rm rel} = \frac{1.87 \times 10^{20}}{9.0 \times 10^{20}} \approx 0.21 \]
\[ \boxed{\Phi_{\rm rel} \approx 0.2} \]

Discusión:

\(\Phi_{\rm rel} \approx 0.2\) es cercano al orden de 1. Esto significa que el modelo de Newton es insuficiente para describir estrellas de neutrones, y que los efectos de relatividad general (curvatura del espacio-tiempo) se manifiestan de forma notable. Los cálculos con mecánica newtoniana sirven como referencia cualitativa, pero no se puede esperar precisión cuantitativa.

Verificación: En la tabla del texto, \(GM/(Rc^2)\) para una estrella de neutrones es del orden de \(\sim 10^{-1}\), y \(0.2\) es consistente con esto.

B-5. Derivación del radio de Schwarzschild

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Problema: Encuentra el radio \(R_s\) para el cual \(v_{\rm esc} = c\).

Cálculo

\[ v_{\rm esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = c \]

Elevando ambos lados al cuadrado,

\[ \frac{2GM}{R} = c^2 \]

Resolviendo para \(R\),

\[ \boxed{R_s = \frac{2GM}{c^2}} \]

Este es el radio de Schwarzschild.

Verificación

Comprobación dimensional: \([GM/c^2] = [\text{m}^3\text{s}^{-2}\cdot\text{kg}/(\text{m}^2\text{s}^{-2})] \cdot [\text{kg}]^{-1} \cdot \text{kg} = \text{m}\). Correcto.

Para el Sol: \(R_s = 2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} / (9.0 \times 10^{16}) \approx 3.0 \times 10^{3}\ \text{m} = 3\ \text{km}\). Esto coincide con el valor conocido del radio de Schwarzschild del Sol.

B-6. Criterio de evaluación en el radio de Schwarzschild

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Problema: Calcula \(GM/(Rc^2)\) cuando \(R = R_s\).

Cálculo

Sustituyendo \(R_s = 2GM/c^2\),

\[ \frac{GM}{R_s c^2} = \frac{GM}{\dfrac{2GM}{c^2} \cdot c^2} = \frac{GM}{2GM} = \frac{1}{2} \]
\[ \boxed{\frac{GM}{R_s c^2} = \frac{1}{2}} \]

Discusión

En un agujero negro (\(R = R_s\)), el criterio de evaluación alcanza \(1/2\), llegando al orden de 1. Esto indica que la mecánica newtoniana falla completamente y que la relatividad general es indispensable. Surgen fenómenos que no pueden describirse con la mecánica newtoniana, como la formación del horizonte de eventos (event horizon).

Verificación

\(\Phi_{\rm rel} = 1/2\) corresponde a \(v_{\rm esc} = c\). Como \(v/c \sim \sqrt{\Phi_{\rm rel}} = 1/\sqrt{2} \approx 0.71\), se trata de una velocidad comparable a la de la luz, lo cual es consistente con la necesidad de la relatividad general.

B-7. Condición de equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria

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Problema: Encuentra la condición para que el objeto A y el objeto B caigan con la misma aceleración.

Cálculo

La aceleración de cada objeto se obtiene a partir de la ecuación de movimiento:

\[ \ddot{\boldsymbol{x}}_A = \frac{m_g^{(A)}}{m_i^{(A)}}\,\mathbf{g}, \qquad \ddot{\boldsymbol{x}}_B = \frac{m_g^{(B)}}{m_i^{(B)}}\,\mathbf{g} \]

La condición para que ambas sean iguales, \(\ddot{\boldsymbol{x}}_A = \ddot{\boldsymbol{x}}_B\), es:

\[ \frac{m_g^{(A)}}{m_i^{(A)}} = \frac{m_g^{(B)}}{m_i^{(B)}} \]
\[ \boxed{\frac{m_g^{(A)}}{m_i^{(A)}} = \frac{m_g^{(B)}}{m_i^{(B)}}} \]

Es decir, la condición es que la razón entre la masa gravitacional y la masa inercial \(m_g/m_i\) sea una constante universal para todos los objetos (igual a 1 en un sistema de unidades apropiado).

Verificación

Si \(m_g/m_i = \text{const.}\), entonces la aceleración \(\ddot{\boldsymbol{x}} = (m_g/m_i)\,\mathbf{g}\) toma el mismo valor independientemente del tipo o la masa del objeto. Esto coincide con el resultado del experimento de caída libre de Galileo (todos los objetos caen con la misma aceleración). Además, si se establece \(m_g/m_i = 1\) (principio de equivalencia), se obtiene \(\ddot{\boldsymbol{x}} = \mathbf{g}\), recuperando la ecuación habitual de caída libre.

B-8. Cálculos básicos de derivadas parciales

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Problema: Práctica de cálculo de derivadas parciales.

(a) \(f(x, y) = 3x^2 y + 2y^3\)

Al derivar parcialmente respecto a \(x\), se trata \(y\) como constante:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 6xy \]

Al derivar parcialmente respecto a \(y\), se trata \(x\) como constante:

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 + 6y^2 \]

(b) \(g(x, y, z) = x^2 y z^3\)

\[ \frac{\partial g}{\partial x} = 2xyz^3 \]
\[ \frac{\partial g}{\partial y} = x^2 z^3 \]
\[ \frac{\partial g}{\partial z} = 3x^2 y z^2 \]

(c) \(h(r, \theta) = r^2 \cos\theta\)

\[ \frac{\partial h}{\partial r} = 2r\cos\theta \]
\[ \frac{\partial h}{\partial \theta} = -r^2 \sin\theta \]

B-9. Vector gradiente y curvas isotermas

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Problema: Relación entre derivadas parciales y gradiente. \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\).

(a) Derivadas parciales

\[ \frac{\partial T}{\partial x} = -2x, \qquad \frac{\partial T}{\partial y} = -8y \]

(b) Valores en el punto \((1, 2)\) y significado físico

\[ \frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{(1,2)} = -2(1) = -2 \]
\[ \frac{\partial T}{\partial y}\bigg|_{(1,2)} = -8(2) = -16 \]

Significado físico:

  • \(\partial T/\partial x = -2\): al avanzar un poco en la dirección \(x\), la temperatura disminuye (aproximadamente 2 grados por cada unidad recorrida)
  • \(\partial T/\partial y = -16\): al avanzar un poco en la dirección \(y\), la temperatura disminuye mucho más rápidamente (aproximadamente 16 grados por cada unidad recorrida)

Se puede observar que la variación en la dirección \(y\) es mucho más pronunciada.

(c) Relación entre el vector gradiente y las curvas isotermas

\[ \nabla T\big|_{(1,2)} = \left(\frac{\partial T}{\partial x},\;\frac{\partial T}{\partial y}\right)\bigg|_{(1,2)} = (-2,\;-16) \]

El vector gradiente es perpendicular a las curvas isotermas (curvas donde \(T = \text{const.}\), que en este caso son elipses \(x^2 + 4y^2 = \text{const.}\)) y apunta en la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente. Aquí vale \((-2, -16)\), por lo que señala hacia el origen, es decir, en la dirección en la que la temperatura es más alta.

Intermedio

M-1. Evaluación cuantitativa de las 4 propiedades de la gravedad

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Problema: Discute la correspondencia entre el valor de \(GM/(Rc^2)\) y la manifestación de los efectos relativistas generales.

Solución

El valor de \(GM/(Rc^2)\) es un indicador que muestra en qué etapa se vuelve necesaria la transición del modelo de Newton a la relatividad general.

Tierra (\(GM/(Rc^2) \sim 10^{-9}\)): los efectos relativistas generales son extremadamente pequeños, pero no nulos. Los relojes de los satélites GPS presentan un desfase temporal debido al corrimiento al rojo gravitacional de aproximadamente \(45\ \mu\text{s}\) por día respecto a los relojes en la superficie terrestre; si no se corrige, el error de posición alcanzaría unos 14 km por día (esto se calcula en detalle en Problema A-1. Desfase temporal gravitatorio de los satélites GPS). Así, incluso con un valor tan pequeño como \(10^{-9}\), las correcciones relativistas generales son indispensables en tecnologías de alta precisión.

Sol (\(GM/(Rc^2) \sim 10^{-6}\)): se observa en la precesión del perihelio de Mercurio un desfase de aproximadamente 43 segundos de arco por siglo que no puede explicarse con la mecánica newtoniana. Este fue un ejemplo histórico de verificación explicado con precisión por primera vez mediante la relatividad general, y demuestra que efectos del orden de \(10^{-6}\) son detectables con observaciones astronómicas precisas. También se observa como un efecto de magnitud similar la deflexión de la luz que pasa cerca del Sol (efecto de lente gravitacional).

Enanas blancas (\(GM/(Rc^2) \sim 10^{-4}\)): el corrimiento al rojo gravitacional se vuelve claramente detectable mediante observaciones espectrales, y las desviaciones respecto a la mecánica newtoniana se hacen más notables.

Estrellas de neutrones (\(GM/(Rc^2) \sim 0.1\text{–}0.2\)): el modelo de Newton deja de ser cuantitativamente fiable. Fenómenos que no pueden describirse sin la relatividad general se vuelven dominantes, como la estructura estelar (límite de masa, relación con la ecuación de estado) y el decaimiento orbital por emisión de ondas gravitacionales en púlsares binarios.

Agujeros negros (\(GM/(Rc^2) = 1/2\)): la mecánica newtoniana colapsa por completo. Surgen fenómenos para los cuales ni siquiera existen conceptos correspondientes en el marco de Newton, como la formación del horizonte de eventos (event horizon), las singularidades del espacio-tiempo y la emisión de ondas gravitacionales durante la fusión de agujeros negros. De este modo, a medida que el valor de \(GM/(Rc^2)\) aumenta, se produce una transición gradual: "Newton es suficiente" → "se necesitan correcciones mínimas pero detectables" → "Newton es cuantitativamente insuficiente" → "Newton colapsa por completo".

M-2. Etapas de la transición de Newton a la RG

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Problema: Explica por qué en la relatividad general la equivalencia \(m_i = m_g\) deja de ser una "coincidencia".

Solución

En la relatividad general de Einstein, la gravedad no se describe como una fuerza, sino como la curvatura geométrica del espacio-tiempo. Todos los cuerpos, mientras no actúe sobre ellos una fuerza externa, se mueven a lo largo de geodésicas —los "caminos más rectos" posibles en ese espacio-tiempo curvo—. La ecuación de las geodésicas está determinada únicamente por la métrica del espacio-tiempo y no depende en absoluto de la masa, la composición ni la estructura interna del cuerpo en movimiento. Por lo tanto, cuerpos con la misma posición y velocidad iniciales describen exactamente la misma trayectoria, independientemente de su masa o material. Esto es precisamente el hecho experimental de que "todos los cuerpos caen con la misma aceleración". En el marco newtoniano, este hecho exigía que la masa inercial \(m_i\) y la masa gravitatoria \(m_g\) fueran coincidentemente iguales, una coincidencia sin explicación. Sin embargo, en la relatividad general, dado que la gravedad está incorporada en la geometría del espacio-tiempo, la equivalencia \(m_i = m_g\) queda naturalmente contenida como punto de partida de la teoría (el principio de equivalencia) y ya no es una coincidencia, sino un principio fundamental que constituye la base misma de la teoría.

M-3. Relación entre geodésicas y el principio de equivalencia

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Estrategia de resolución: Se discute cómo, mediante el concepto de geodésica en la relatividad general, la equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria se explica de forma natural.

Solución

En la mecánica newtoniana, la ecuación de movimiento de un cuerpo se escribe como \(m_i \ddot{\boldsymbol{x}} = m_g \boldsymbol{g}\), y para que todos los cuerpos caigan con la misma aceleración \(\boldsymbol{g}\), es necesario que la igualdad \(m_i = m_g\) se cumpla para toda sustancia. Sin embargo, la masa inercial (la cantidad que determina la respuesta ante una fuerza) y la masa gravitatoria (la cantidad que determina la fuente del campo gravitatorio y el acoplamiento al mismo) son conceptualmente cantidades completamente distintas, y dentro del marco newtoniano no existe fundamento teórico para esta igualdad — no queda más que aceptarla como un hecho experimental (una coincidencia).

En la relatividad general de Einstein, la gravedad no se describe como una "fuerza" sino como curvatura del espacio-tiempo. La masa-energía curva el espacio-tiempo, y todos los cuerpos, mientras no actúe una fuerza externa, se mueven a lo largo de geodésicas (geodesics) en ese espacio-tiempo curvado — los "caminos más rectos" en el espacio-tiempo. La ecuación de las geodésicas está determinada únicamente por la métrica del espacio-tiempo \(g_{\mu\nu}\) y no depende en absoluto de la masa, composición ni estructura interna del cuerpo en movimiento. Por lo tanto, cuerpos con la misma posición y velocidad iniciales describen exactamente la misma trayectoria, ya sean de hierro o de aluminio, ya tengan una masa grande o pequeña. Esto es precisamente el hecho experimental de que "todos los cuerpos caen con la misma aceleración", y la equivalencia \(m_i = m_g\) está naturalmente incorporada como punto de partida de la teoría (principio de equivalencia). Ya no es una "coincidencia", sino una consecuencia necesaria de que la gravedad es geometría del espacio-tiempo.

\[ \boxed{\text{Dado que la ecuación de las geodésicas no depende de la masa ni la composición del cuerpo, } m_i = m_g \text{ queda automáticamente garantizada por la estructura de la teoría.}} \]

Verificación: Este argumento es el contenido mismo del principio de equivalencia (principio de equivalencia débil), y está respaldado experimentalmente con la precisión del experimento de Eötvös (\(\eta < 10^{-13}\)). Además, se puede confirmar a partir del hecho de que en la ecuación de las geodésicas \(\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}\dfrac{dx^\alpha}{d\tau}\dfrac{dx^\beta}{d\tau} = 0\) no aparece la masa del cuerpo.

Avanzado

A-1. Desfase temporal gravitatorio de los satélites GPS

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Problema: Estima cuantitativamente los efectos relativistas generales en los satélites GPS.

Organización de parámetros

  • \(M_\oplus = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}\)
  • \(R_\oplus = 6.4 \times 10^{3}\ \text{km} = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}\)
  • \(h = 2.0 \times 10^{4}\ \text{km} = 2.0 \times 10^{7}\ \text{m}\)
  • \(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(c = 3.0 \times 10^{8}\ \text{m/s}\)

Radio orbital del satélite:

\[ r_{\text{sat}} = R_\oplus + h = 6.4 \times 10^{6} + 2.0 \times 10^{7} = 2.64 \times 10^{7}\ \text{m} \]

(a) Diferencia de potencial gravitatorio

\[ \Delta\Phi = \Phi(R_\oplus + h) - \Phi(R_\oplus) = -\frac{GM_\oplus}{R_\oplus + h} + \frac{GM_\oplus}{R_\oplus} \]
\[ = GM_\oplus\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\oplus + h}\right) \]

Primero calculamos \(GM_\oplus\):

\[ GM_\oplus = 6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24} = 4.00 \times 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \]

Calculamos cada término:

\[ \frac{1}{R_\oplus} = \frac{1}{6.4 \times 10^{6}} = 1.5625 \times 10^{-7}\ \text{m}^{-1} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus + h} = \frac{1}{2.64 \times 10^{7}} = 3.788 \times 10^{-8}\ \text{m}^{-1} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\oplus + h} = 1.5625 \times 10^{-7} - 3.788 \times 10^{-8} = 1.184 \times 10^{-7}\ \text{m}^{-1} \]
\[ \Delta\Phi = 4.00 \times 10^{14} \times 1.184 \times 10^{-7} = 4.74 \times 10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2 \]
\[ \boxed{\Delta\Phi \approx 4.7 \times 10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2} \]

Dado que \(\Delta\Phi > 0\), la posición del satélite tiene un potencial mayor (gravedad más débil).

(b) Desfase temporal por día

\[ \frac{\Delta\tau}{\tau} \approx \frac{\Delta\Phi}{c^2} = \frac{4.74 \times 10^{7}}{(3.0 \times 10^{8})^2} = \frac{4.74 \times 10^{7}}{9.0 \times 10^{16}} = 5.27 \times 10^{-10} \]

Como 1 día \(= 86400\) segundos, el desfase temporal por día es:

\[ \Delta\tau = 5.27 \times 10^{-10} \times 86400 = 4.55 \times 10^{-5}\ \text{s} = 45.5\ \mu\text{s} \]
\[ \boxed{\Delta\tau \approx 46\ \mu\text{s/día}} \]

Dado que \(\Delta\tau > 0\), el reloj del satélite adelanta respecto al reloj en la superficie terrestre. Esto corresponde al efecto del corrimiento gravitatorio al rojo de la relatividad general: como el satélite se encuentra en un campo gravitatorio más débil, el tiempo fluye más rápido.

(Nota: En el GPS real también existe el efecto relativista especial (dilatación temporal debida al movimiento del satélite, aproximadamente \(-7\ \mu\text{s/día}\)), y el efecto neto es de aproximadamente \(38\ \mu\text{s/día}\). En este problema se ignora el efecto relativista especial.)

(c) Error de posición por día

Si el desfase temporal \(\Delta\tau\) no se corrige, se produce un error en la medición de distancias mediante señales que se propagan a la velocidad de la luz \(c\). Su magnitud es:

\[ \Delta x \approx c \cdot \Delta\tau = 3.0 \times 10^{8} \times 4.55 \times 10^{-5} = 1.37 \times 10^{4}\ \text{m} \]
\[ \boxed{\Delta x \approx 14\ \text{km/día}} \]

Es decir, si no se realizara la corrección relativista general del tiempo, se acumularía un error de aproximadamente 14 km por día en la determinación de posición del GPS. Esta precisión es completamente inutilizable para un sistema de navegación, lo que demuestra que la corrección temporal basada en la relatividad general es indispensable para el funcionamiento correcto del GPS.

Verificación

  • Comprobación dimensional: \([\Delta\Phi/c^2]\) es adimensional. \([c \cdot \Delta\tau] = \text{m/s} \times \text{s} = \text{m}\). Correcto.
  • Comprobación de orden de magnitud: \(\Delta\Phi/c^2 \sim 5 \times 10^{-10}\) es del mismo orden que \(GM/(Rc^2) \sim 10^{-9}\) para la Tierra, lo cual es consistente.
  • Comparación con valores conocidos: El valor ampliamente conocido de la corrección relativista general del GPS es de aproximadamente \(45\ \mu\text{s/día}\) (solo efecto gravitatorio), lo cual concuerda bien con nuestro resultado de \(46\ \mu\text{s}\). En cuanto al error de posición, la estimación ampliamente citada de "aproximadamente 10 km por día" es una estimación de orden de magnitud, y es consistente con nuestro resultado más preciso de aproximadamente 14 km (el valor aproximado corresponde a un redondeo a una cifra significativa).