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Cap. 7 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo del elemento de línea con la métrica de Minkowski y clasificación espacio-temporal

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Estrategia de resolución: Se sustituyen las diferencias de coordenadas en \(ds^2 = \eta_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\).

Cálculo:

\[ ds^2 = -(3)^2 + (1)^2 + (2)^2 + (0)^2 = -9 + 1 + 4 + 0 = -4 \]

Clasificación: Como \(ds^2 = -4 < 0\), este intervalo es de tipo tiempo (timelike).

Verificación: Para la componente temporal \(dt = 3\), la magnitud de la componente espacial es \(\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5} \approx 2.24 < 3\), lo que corresponde a un desplazamiento a velocidad menor que la de la luz, consistente con que el intervalo sea de tipo tiempo.

B-2. Tensor métrico y métrica inversa de la esfera bidimensional

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Estrategia de resolución: A partir de \(ds^2 = a^2\,d\theta^2 + a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\) se leen las componentes. Como la métrica es diagonal, la métrica inversa es simplemente el recíproco de cada componente.

Componentes del tensor métrico:

\[ g_{\theta\theta} = a^2, \qquad g_{\varphi\varphi} = a^2\sin^2\theta, \qquad g_{\theta\varphi} = g_{\varphi\theta} = 0 \]

Componentes de la métrica inversa:

\[ g^{\theta\theta} = \frac{1}{g_{\theta\theta}} = \frac{1}{a^2}, \qquad g^{\varphi\varphi} = \frac{1}{g_{\varphi\varphi}} = \frac{1}{a^2\sin^2\theta} \]

Verificación: \(g_{\theta\theta}\,g^{\theta\theta} = a^2 \cdot \frac{1}{a^2} = 1\), \(g_{\varphi\varphi}\,g^{\varphi\varphi} = a^2\sin^2\theta \cdot \frac{1}{a^2\sin^2\theta} = 1\). Se satisface la condición de matriz inversa \(g_{\alpha\gamma}\,g^{\gamma\beta} = \delta_\alpha^{\ \beta}\). ✓

B-3. Longitud propia en la dirección \(\varphi\) en coordenadas polares

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Estrategia de resolución: La métrica en coordenadas polares del espacio-tiempo plano (6.12) es \(g_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(-1, 1, r^2, r^2\sin^2\theta)\). Se obtiene \(dL\) haciendo \(dt = dr = d\theta = 0\).

Cálculo:

Fijando \(r = R\), \(\theta = \pi/4\) y variando únicamente \(\varphi\):

\[ dL^2 = g_{\varphi\varphi}\,d\varphi^2 = r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 = R^2\sin^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right)d\varphi^2 = R^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 d\varphi^2 = \frac{R^2}{2}\,d\varphi^2 \]
\[ \boxed{dL = \frac{R}{\sqrt{2}}\,d\varphi} \]

Verificación: Si \(\theta = \pi/2\) (ecuador), entonces \(dL = R\,d\varphi\), que es la longitud de arco habitual. Como \(\theta = \pi/4\) está más cerca del polo que del ecuador, la circunferencia es menor, y \(R/\sqrt{2} < R\) es coherente. ✓

B-4. Tiempo propio de un observador estático en la métrica de Schwarzschild

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Estrategia de resolución: Considerando reposo (\(dr = d\theta = d\varphi = 0\)), se calcula \(d\tau^2 = -ds^2 = -g_{00}\,dt^2\).

Cálculo:

\[ d\tau^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)dt^2 \]

Sustituyendo \(r = 10M\):

\[ d\tau^2 = \left(1 - \frac{2M}{10M}\right)dt^2 = \left(1 - \frac{1}{5}\right)dt^2 = \frac{4}{5}\,dt^2 \]
\[ \boxed{d\tau = \sqrt{\frac{4}{5}}\,dt = \frac{2}{\sqrt{5}}\,dt = \frac{2\sqrt{5}}{5}\,dt} \]

Numéricamente, \(d\tau \approx 0.894\,dt\).

Verificación: Como \(r = 10M \gg 2M\), \(d\tau\) debe ser ligeramente menor que \(dt\). Se cumple que \(0.894 < 1\), lo cual es consistente. Los límites \(r \to \infty\) donde \(d\tau \to dt\), y \(r \to 2M\) donde \(d\tau \to 0\), también son correctos. ✓

B-5. Componentes de la métrica de Schwarzschild en \(r = 4M\)

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Estrategia de resolución: Sustituir \(r = 4M\), \(\theta = \pi/2\) en el tensor métrico (6.15).

Cálculo:

\[ 1 - \frac{2M}{r} = 1 - \frac{2M}{4M} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Cada componente:

\[ g_{00} = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) = -\frac{1}{2} \]
\[ g_{11} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \]
\[ g_{22} = r^2 = (4M)^2 = 16M^2 \]
\[ g_{33} = r^2\sin^2\theta = (4M)^2\sin^2\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 16M^2 \]
\[ \boxed{g_{00} = -\frac{1}{2},\quad g_{11} = 2,\quad g_{22} = 16M^2,\quad g_{33} = 16M^2} \]

Verificación: De \(g_{00} \cdot g^{00} = 1\) se obtiene \(g^{00} = -2\). De \(g_{11} \cdot g^{11} = 1\) se obtiene \(g^{11} = 1/2\). Se tiene \(g_{00} \cdot g_{11} = -1/2 \times 2 = -1\), lo cual satisface la relación \(g_{00} \cdot g_{11} = -1\) derivada de \(g_{00} = -(1-2M/r)\) y \(g_{11} = (1-2M/r)^{-1}\). ✓

B-6. Componentes de la métrica tipo de Sitter y métrica inversa

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Estrategia de resolución: A partir de \(ds^2 = -dt^2 + e^{2Ht}(dx^2 + dy^2 + dz^2)\), se leen las componentes diagonales y se toma su inverso.

Componentes no nulas del tensor métrico:

\[ g_{00} = -1, \qquad g_{11} = e^{2Ht}, \qquad g_{22} = e^{2Ht}, \qquad g_{33} = e^{2Ht} \]

(Todas las componentes fuera de la diagonal son cero)

Componentes no nulas de la métrica inversa:

\[ g^{00} = \frac{1}{g_{00}} = -1, \qquad g^{11} = \frac{1}{g_{11}} = e^{-2Ht}, \qquad g^{22} = e^{-2Ht}, \qquad g^{33} = e^{-2Ht} \]

Verificación: \(g_{11}\,g^{11} = e^{2Ht} \cdot e^{-2Ht} = 1\). ✓ Además, cuando \(H = 0\) se recupera \(g_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\beta}\). ✓

B-7. Longitud propia en la dirección \(\varphi\) en la métrica de Schwarzschild

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Estrategia de resolución: Calcular la longitud propia en la dirección \(\varphi\) con \(dt = dr = d\theta = 0\) y compararla con el caso del espacio-tiempo plano.

Cálculo con la métrica de Schwarzschild:

En \(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\), avanzando \(d\varphi\) en la dirección \(\varphi\):

\[ dL^2 = g_{33}\,d\varphi^2 = r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 = (6M)^2 \cdot 1 \cdot d\varphi^2 = 36M^2\,d\varphi^2 \]
\[ dL = 6M\,d\varphi \]

Cálculo en coordenadas polares del espacio-tiempo plano:

En el espacio-tiempo plano (6.12) también se tiene \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\), por lo que para los mismos valores \(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\):

\[ dL_{\text{flat}} = 6M\,d\varphi \]

Comparación: Ambos resultados coinciden.

\[ \boxed{dL = dL_{\text{flat}} = 6M\,d\varphi} \]

Esto se debe a que \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\) en la métrica de Schwarzschild tiene la misma forma que en el espacio-tiempo plano. En la métrica de Schwarzschild, las únicas componentes que difieren del espacio-tiempo plano son \(g_{00}\) y \(g_{11}\); las componentes angulares en las direcciones \(\theta\) y \(\varphi\) no cambian. La coordenada \(r\) en las coordenadas de Schwarzschild se define como «la coordenada tal que el área de la esfera de radio coordenado \(r\) es \(4\pi r^2\)» (radio areal), por lo que la longitud del arco en la dirección \(\varphi\) es igual a la del espacio-tiempo plano.

Verificación: Cuando \(r \to \infty\), la métrica de Schwarzschild se aproxima a la métrica plana, de modo que la coincidencia en las direcciones angulares es natural. Además, incluso para \(r\) finito, \(g_{22}\) y \(g_{33}\) tienen la misma forma que en el caso plano, por lo que la coincidencia se mantiene para cualquier valor de \(r\). ✓

B-8. Tiempo propio en la métrica de Rindler

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Estrategia de resolución: Calcular \(d\tau^2 = -ds^2\) con \(dx = 0\) (en reposo).

Cálculo:

\[ ds^2 = -\alpha^2 x_0^2\,dt^2 + 0 = -\alpha^2 x_0^2\,dt^2 \]
\[ d\tau^2 = -ds^2 = \alpha^2 x_0^2\,dt^2 \]
\[ \boxed{d\tau = \alpha x_0\,dt} \]

(Dado que \(x_0 > 0\) y \(\alpha > 0\), se tiene \(d\tau > 0\))

Verificación: Cuanto mayor es \(x_0\), mayor es \(d\tau\) (el tiempo transcurre más rápido). La métrica de Rindler describe el espaciotiempo visto por un observador con aceleración uniforme \(\alpha\), y cuanto mayor es \(x_0\) (más lejos en la dirección de aceleración), más alto es el potencial gravitatorio correspondiente, por lo que es físicamente correcto que el tiempo transcurra más rápido. Presenta una estructura análoga a la de la métrica de Schwarzschild \(d\tau = \sqrt{1-2M/r}\,dt\) (la raíz cuadrada de \(g_{00}\) da la razón entre el tiempo propio y el tiempo coordenado). ✓

Intermedio

M-1. Cálculo del área de una esfera

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Estrategia de resolución: A partir de la métrica inducida obtenida fijando \(t\) constante y \(r = R\) constante en las coordenadas polares del espaciotiempo plano (6.11), se calcula el elemento de área y se integra sobre toda la esfera.

Derivación de la métrica inducida:

Haciendo \(dt = 0\), \(dr = 0\), el elemento de línea sobre la esfera de radio \(r = R\) es:

\[ ds^2_{(2)} = R^2\,d\theta^2 + R^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 \]

La matriz métrica de la parte bidimensional es:

\[ g_{ij} = \begin{pmatrix} R^2 & 0 \\ 0 & R^2\sin^2\theta \end{pmatrix} \]

Cálculo del determinante:

\[ \det(g_{ij}) = R^2 \cdot R^2\sin^2\theta = R^4\sin^2\theta \]

Elemento de área:

\[ dA = \sqrt{\det(g_{ij})}\,d\theta\,d\varphi = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi \]

Integración sobre toda la esfera:

\[ A = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi \]

Integral en \(\varphi\):

\[ \int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi \]

Integral en \(\theta\):

\[ \int_0^{\pi} \sin\theta\,d\theta = [-\cos\theta]_0^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2 \]

Por lo tanto:

\[ \boxed{A = R^2 \cdot 2\pi \cdot 2 = 4\pi R^2} \]

Verificación: Este es precisamente la fórmula del área superficial de una esfera de radio \(R\), derivada correctamente a partir de la métrica. Dimensionalmente también tiene dimensiones de área, \([R^2]\). ✓

M-2. Longitud de la circunferencia en el ecuador

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Estrategia de resolución: Se fija \(r = R\), \(\theta = \pi/2\) y se integra el elemento de línea en la dirección \(\varphi\).

Cálculo:

Con \(t\) constante, \(r = R\), \(\theta = \pi/2\), se tiene \(dt = dr = d\theta = 0\), por lo que el elemento de línea es

\[ dL^2 = g_{\varphi\varphi}\,d\varphi^2 = R^2\sin^2(\pi/2)\,d\varphi^2 = R^2\,d\varphi^2 \]

Por lo tanto \(dL = R\,d\varphi\). La longitud de la circunferencia es

\[ C = \int_0^{2\pi} R\,d\varphi = 2\pi R \]
\[ \boxed{C = 2\pi R} \]

Verificación: Este es exactamente la fórmula de la circunferencia en espacio plano. En coordenadas polares del espaciotiempo plano el espacio no está curvado, por lo que es natural que coincida con el resultado de la geometría euclidiana. En el caso de la métrica de Schwarzschild, \(g_{\varphi\varphi} = r^2\sin^2\theta\) tiene la misma forma, pero la interpretación es diferente porque \(r\) no es "la distancia al centro" sino el "radio de área" (ver Cap. 8). ✓

M-3. Derivación del corrimiento al rojo gravitacional (derivación completa a partir de la métrica de Schwarzschild)

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Estrategia de resolución: Se utiliza que la frecuencia de la luz es proporcional al inverso del tiempo propio (\(\nu \propto 1/d\tau\)) y que en un espaciotiempo estático el intervalo de tiempo coordenado \(dt\) es común entre el emisor y el receptor.

Derivación:

Paso 1: Tiempo propio de observadores estacionarios

El tiempo propio de un observador en reposo en \(r = r_0\) (\(dr = d\theta = d\varphi = 0\)) es, según (6.16):

\[ d\tau_{\text{em}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r_0}}\,dt \]

El tiempo propio del observador en \(r = \infty\) (donde \(r \to \infty\) implica \(g_{00} \to -1\)) es:

\[ d\tau_{\text{obs}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{\infty}}\,dt = 1 \cdot dt = dt \]

Paso 2: Carácter común del tiempo coordenado \(dt\)

Dado que la métrica de Schwarzschild es estática (\(g_{\alpha\beta}\) no depende de \(t\)), el tiempo coordenado que tarda la luz en propagarse desde \(r_0\) hasta \(\infty\) es constante. Por lo tanto, si en el lado del emisor se emite un período completo de luz durante un intervalo de tiempo coordenado \(dt\), en el lado del receptor también llega un período completo durante el mismo intervalo de tiempo coordenado \(dt\).

Paso 3: Razón de frecuencias

Puesto que la frecuencia es proporcional al inverso de un período de tiempo propio:

\[ \nu_{\text{em}} \propto \frac{1}{d\tau_{\text{em}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 2M/r_0}\,dt} \]
\[ \nu_{\text{obs}} \propto \frac{1}{d\tau_{\text{obs}}} = \frac{1}{dt} \]

Tomando la razón:

\[ \frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{em}}} = \frac{d\tau_{\text{em}}}{d\tau_{\text{obs}}} = \frac{\sqrt{1 - 2M/r_0}\,dt}{dt} \]
\[ \boxed{\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{em}}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r_0}}} \]

Interpretación física: Cuando \(r_0 > 2M\), se tiene \(\sqrt{1 - 2M/r_0} < 1\), por lo que \(\nu_{\text{obs}} < \nu_{\text{em}}\). Es decir, la luz que escapa de un campo gravitatorio experimenta una disminución de su frecuencia (un aumento de su longitud de onda). Esto es el corrimiento al rojo gravitacional.

Verificación:

  • \(r_0 \to \infty\): \(\nu_{\text{obs}}/\nu_{\text{em}} \to 1\) (si la gravedad es débil, no hay corrimiento al rojo). ✓
  • \(r_0 \to 2M\): \(\nu_{\text{obs}}/\nu_{\text{em}} \to 0\) (la luz emitida desde el horizonte de eventos sufre un corrimiento al rojo infinito). ✓
  • Aproximación de campo gravitatorio débil: \(\sqrt{1 - 2M/r_0} \approx 1 - M/r_0 = 1 - GM/(c^2 r_0)\) (en unidades con \(c = 1\)). Usando el potencial gravitatorio newtoniano \(\Phi = -GM/r_0\), esto corresponde a \(1 + \Phi/c^2\), en concordancia con la predicción del principio de equivalencia. ✓

M-4. Longitud propia radial en la métrica de Schwarzschild

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Estrategia de resolución: Se integra la longitud propia radial con \(dt = d\theta = d\varphi = 0\) y se desarrolla en la aproximación de campo débil.

Expresión de la longitud propia:

En un instante dado (\(dt = 0\)), variando solo la dirección \(r\):

\[ dL^2 = g_{11}\,dr^2 = \frac{dr^2}{1 - 2M/r} \]
\[ \Delta L = \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 - 2M/r}} \]

Aproximación de campo débil:

Cuando \(r \gg 2M\):

\[ \frac{1}{\sqrt{1 - 2M/r}} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{2M}{r} = 1 + \frac{M}{r} \]

Cálculo de la integral:

\[ \Delta L \approx \int_{r_1}^{r_2} \left(1 + \frac{M}{r}\right)dr = \int_{r_1}^{r_2} dr + M\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r} \]
\[ = (r_2 - r_1) + M\left[\ln r\right]_{r_1}^{r_2} \]
\[ = (r_2 - r_1) + M\ln\frac{r_2}{r_1} \]

Diferencia respecto a la diferencia coordenada:

\[ \boxed{\delta L = \Delta L - (r_2 - r_1) = M\ln\frac{r_2}{r_1}} \]

Interpretación física: La longitud propia \(\Delta L\) es mayor que la diferencia coordenada \(r_2 - r_1\) en una cantidad \(M\ln(r_2/r_1)\). Esto muestra cuantitativamente que en el espaciotiempo de Schwarzschild el espacio en la dirección \(r\) está "estirado". Cuanto mayor es la masa \(M\) y cuanto menor es \(r_1\) (más cerca de la estrella), mayor es este efecto.

Verificación:

  • Análisis dimensional: En el sistema de unidades con \(G = c = 1\), \(M\) tiene dimensiones de longitud (\(M \to GM/c^2\)). Como \(\ln(r_2/r_1)\) es adimensional, \(\delta L = M\ln(r_2/r_1)\) tiene dimensiones de longitud. ✓
  • Límite \(M \to 0\): \(\delta L \to 0\), y en el espaciotiempo plano la longitud propia coincide con la diferencia coordenada. ✓
  • Límite \(r_1 = r_2\): \(\delta L = M\ln 1 = 0\). ✓
  • Signo: Como \(r_2 > r_1\), se tiene \(\ln(r_2/r_1) > 0\), por lo que \(\delta L > 0\). Esto es consistente con que la longitud propia sea mayor que la diferencia coordenada. ✓

M-5. Número de componentes independientes del tensor métrico

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Estrategia de resolución: Utilizar la fórmula para el número de componentes independientes de una matriz simétrica.

Caso de métrica diagonal

En una métrica diagonal, \(g_{\alpha\beta} = 0\) (\(\alpha \neq \beta\)), por lo que las únicas componentes no nulas son las componentes diagonales \(g_{00}\), \(g_{11}\), \(g_{22}\), \(g_{33}\): solo 4. Todas ellas son independientes.

\[ \boxed{\text{Número de componentes independientes de una métrica diagonal} = 4} \]

Caso del tensor métrico general en 4 dimensiones

La matriz \(4 \times 4\) \(g_{\alpha\beta}\) tiene en general \(4 \times 4 = 16\) componentes. Sin embargo, debido a la simetría \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\), las componentes con \(\alpha \neq \beta\) son iguales por pares.

Conteo de componentes independientes:

  • Componentes diagonales (\(\alpha = \beta\)): \(g_{00}\), \(g_{11}\), \(g_{22}\), \(g_{33}\) — 4
  • Componentes fuera de la diagonal (\(\alpha < \beta\)): \((0,1)\), \((0,2)\), \((0,3)\), \((1,2)\), \((1,3)\), \((2,3)\) — 6

Total: \(4 + 6 = 10\).

En general, el número de componentes independientes de una matriz simétrica \(n \times n\) es:

\[ \frac{n(n+1)}{2} \]

Para \(n = 4\):

\[ \frac{4 \times 5}{2} = 10 \]
\[ \boxed{\text{Número de componentes independientes del tensor métrico general en 4 dimensiones} = 10} \]

Verificación: Se obtiene el mismo resultado restando del número total de 16 componentes el número de restricciones debidas a la simetría. Los pares con \(\alpha \neq \beta\) son \(\binom{4}{2} = 6\), y para cada par existe una restricción \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\). Por lo tanto, el número de componentes independientes es \(16 - 6 = 10\). ✓

Avanzado

A-1. Geometría de espacios bidimensionales de curvatura constante

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Métrica dada:

\[ ds^2 = \frac{dr^2 + r^2\,d\varphi^2}{\left(1 + \frac{k}{4}r^2\right)^2} \]

(a) Longitud propia de la circunferencia de radio coordenado \(r_0\)

Estrategia de resolución: Se fija \(r = r_0\) (constante), por lo que \(dr = 0\). Se integra \(\varphi\) de \(0\) a \(2\pi\).

Cálculo:

El elemento de línea sobre \(r = r_0\) es:

\[ dL = \frac{r_0}{\left(1 + \frac{k}{4}r_0^2\right)}\,d\varphi \]

Longitud propia de la circunferencia:

\[ C(r_0) = \int_0^{2\pi} \frac{r_0}{1 + \frac{k}{4}r_0^2}\,d\varphi = \frac{2\pi r_0}{1 + \frac{k}{4}r_0^2} \]
\[ \boxed{C(r_0) = \frac{2\pi r_0}{1 + \frac{k}{4}r_0^2}} \]

(b) Comparación entre la longitud propia radial y la circunferencia

Integral del radio propio:

Manteniendo \(\varphi\) constante, desde \(r = 0\) hasta \(r = r_0\):

\[ \mathcal{R}(r_0) = \int_0^{r_0} \frac{dr}{1 + \frac{k}{4}r^2} \]

Integral para el caso \(k > 0\):

Definiendo \(\frac{k}{4} = a^2\) (\(a = \frac{\sqrt{k}}{2}\)):

\[ \mathcal{R}(r_0) = \int_0^{r_0} \frac{dr}{1 + a^2 r^2} = \frac{1}{a}\arctan(a r_0) = \frac{2}{\sqrt{k}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{k}}{2}r_0\right) \]
\[ \boxed{\mathcal{R}(r_0) = \frac{2}{\sqrt{k}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{k}}{2}r_0\right)} \]

Comparación de \(C(r_0)\) con \(2\pi\mathcal{R}(r_0)\):

Definiendo \(u = \frac{\sqrt{k}}{2}r_0 > 0\):

\[ C = \frac{2\pi r_0}{1 + u^2}, \qquad 2\pi\mathcal{R} = 2\pi \cdot \frac{2}{\sqrt{k}}\arctan u = \frac{2\pi r_0}{u}\arctan u \]

(donde se ha usado \(r_0 = \frac{2u}{\sqrt{k}}\).)

Tomando el cociente:

\[ \frac{C}{2\pi\mathcal{R}} = \frac{\frac{2\pi r_0}{1+u^2}}{\frac{2\pi r_0}{u}\arctan u} = \frac{u}{(1+u^2)\arctan u} \]

Para \(u > 0\), se tiene \(\arctan u < u\) (propiedad de la función arcotangente), pero aquí el denominador contiene \((1+u^2)\arctan u\), así que examinemos con más cuidado.

Estudiamos el signo de \(f(u) = u - (1+u^2)\arctan u\). Se tiene \(f(0) = 0\) y:

\[ f'(u) = 1 - 2u\arctan u - (1+u^2)\cdot\frac{1}{1+u^2} = 1 - 2u\arctan u - 1 = -2u\arctan u \]

Para \(u > 0\), \(f'(u) = -2u\arctan u < 0\), por lo que \(f(u) < f(0) = 0\).

Es decir, \(u < (1+u^2)\arctan u\), y por tanto:

\[ \frac{C}{2\pi\mathcal{R}} = \frac{u}{(1+u^2)\arctan u} < 1 \]
\[ \boxed{k > 0 \text{: } C(r_0) < 2\pi\mathcal{R}(r_0)} \]

Significado geométrico: En el plano euclídeo se cumple circunferencia \(= 2\pi \times\) radio. Que \(C < 2\pi\mathcal{R}\) significa que "la circunferencia es más corta de lo esperado en comparación con la distancia real medida desde el centro (radio propio)". Esta es una característica de los espacios con curvatura positiva.

Intuitivamente, sobre una esfera, si mides la distancia de arco de círculo máximo desde el polo norte hasta un paralelo (radio propio), la circunferencia de ese paralelo es menor que \(2\pi \times\) (distancia de arco). Por ejemplo, en una esfera la distancia de arco desde el polo norte hasta el ecuador es \(\pi R/2\), pero la circunferencia del ecuador es \(2\pi R\), y \(2\pi R < 2\pi \cdot \pi R/2 = \pi^2 R\).

(c) Correspondencia entre el signo de \(k\) y la geometría

\(k > 0\) (esfera):

Como se demostró en (b), \(C < 2\pi\mathcal{R}\). Esta es una característica de la geometría esférica. Sobre una esfera, a medida que uno se aleja del centro, la tasa de crecimiento de la circunferencia es menor que \(2\pi\) veces el radio. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que \(\pi\). El espacio es "cerrado" y posee área finita.

\(k = 0\) (plano):

La métrica se reduce a \(ds^2 = dr^2 + r^2\,d\varphi^2\), que es simplemente la expresión en coordenadas polares del plano euclídeo usual. \(C = 2\pi r_0 = 2\pi\mathcal{R}\) (\(\mathcal{R} = r_0\)), geometría plana.

\(k < 0\) (hiperboloide):

Para \(k < 0\), definiendo \(|k|/4 = b^2\):

\[ \mathcal{R}(r_0) = \int_0^{r_0} \frac{dr}{1 - b^2 r^2} = \frac{1}{b}\mathrm{arctanh}(b r_0) = \frac{2}{\sqrt{|k|}}\mathrm{arctanh}\!\left(\frac{\sqrt{|k|}}{2}r_0\right) \]

(válido para \(r_0 < 2/\sqrt{|k|}\).)

Como \(\mathrm{arctanh}(v) > v\) (\(0 < v < 1\)), se tiene \(\mathcal{R} > r_0\), mientras que:

\[ C = \frac{2\pi r_0}{1 - b^2 r_0^2} > 2\pi r_0 \]

Un análisis similar muestra que \(C > 2\pi\mathcal{R}\). Esta es una característica de los espacios con curvatura negativa (hiperboloide, superficie en forma de silla), donde a medida que uno se aleja del centro, la tasa de crecimiento de la circunferencia es mayor que \(2\pi\) veces el radio. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que \(\pi\). El espacio es "abierto" y posee área infinita.

Signo de \(k\) Geometría Relación circunferencia-radio Suma de ángulos interiores de un triángulo
\(k > 0\) Esférica \(C < 2\pi\mathcal{R}\) \(> \pi\)
\(k = 0\) Plana \(C = 2\pi\mathcal{R}\) \(= \pi\)
\(k < 0\) Hiperbólica \(C > 2\pi\mathcal{R}\) \(< \pi\)

Verificación: Para \(k > 0\) cuando \(r_0 \to 0\), se tiene \(C \to 2\pi r_0\), \(\mathcal{R} \to r_0\), por lo que \(C \to 2\pi\mathcal{R}\) (localmente el espacio se ve plano). ✓ Además, esta métrica aparece como la parte espacial de la métrica FLRW en cosmología, donde es bien conocido que \(k > 0\), \(k = 0\), \(k < 0\) corresponden respectivamente a un universo cerrado, plano y abierto. ✓

A-2. GPS y corrimiento al rojo gravitacional

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(a) Cálculo aproximado del tiempo propio

Estrategia de resolución: En la métrica de Schwarzschild (6.13), el tiempo propio de un observador estático es \(d\tau = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}}\,dt\). Como \(\frac{2GM}{c^2 r} \ll 1\), se utiliza la aproximación \(\sqrt{1-\epsilon} \approx 1 - \epsilon/2\).

Definición del radio de Schwarzschild:

\[ r_s = \frac{2GM_\oplus}{c^2} \approx 8.87 \times 10^{-3}\;\mathrm{m} \]

Observador en la superficie terrestre (\(r = R_\oplus\)):

\[ \Delta\tau_\oplus = \sqrt{1 - \frac{r_s}{R_\oplus}}\,\Delta t \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\oplus}\right)\Delta t \]

Observador en la órbita del satélite GPS (\(r = R_\text{GPS}\)):

\[ \Delta\tau_\text{GPS} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{R_\text{GPS}}}\,\Delta t \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\text{GPS}}\right)\Delta t \]
\[ \boxed{\Delta\tau_\oplus \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\oplus}\right)\Delta t, \qquad \Delta\tau_\text{GPS} \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\text{GPS}}\right)\Delta t} \]

(b) Estimación numérica de la diferencia de tiempos propios

Cálculo:

\[ \Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx \frac{r_s}{2}\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\text{GPS}}\right)\Delta t \]

Sustituyendo los valores numéricos:

\[ \frac{r_s}{2} = \frac{8.87 \times 10^{-3}}{2} = 4.435 \times 10^{-3}\;\mathrm{m} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus} = \frac{1}{6.37 \times 10^6} = 1.570 \times 10^{-7}\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \frac{1}{R_\text{GPS}} = \frac{1}{2.66 \times 10^7} = 3.759 \times 10^{-8}\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\text{GPS}} = 1.570 \times 10^{-7} - 3.759 \times 10^{-8} = 1.194 \times 10^{-7}\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \frac{r_s}{2}\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\text{GPS}}\right) = 4.435 \times 10^{-3} \times 1.194 \times 10^{-7} = 5.295 \times 10^{-10} \]

Para \(\Delta t = 1\) día \(= 86400\;\mathrm{s}\):

\[ \Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx 5.295 \times 10^{-10} \times 86400\;\mathrm{s} \]
\[ \boxed{\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx 4.57 \times 10^{-5}\;\mathrm{s} \approx 45.7\;\mu\mathrm{s/día}} \]

Interpretación física: Dado que el satélite GPS se encuentra en una posición de mayor potencial gravitatorio que la superficie terrestre, el reloj del satélite avanza aproximadamente \(45.7\;\mu\mathrm{s}\) más rápido por día que el reloj en la superficie.

(c) Estimación del error de posicionamiento GPS

Cálculo:

Si no se corrige la diferencia temporal, el error en distancia de una señal que se propaga a la velocidad de la luz es:

\[ \delta x \approx c \times (\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus) = 3 \times 10^8\;\mathrm{m/s} \times 4.57 \times 10^{-5}\;\mathrm{s} \]
\[ \boxed{\delta x \approx 1.37 \times 10^4\;\mathrm{m} \approx 13.7\;\mathrm{km/día}} \]

Discusión práctica:

La precisión del posicionamiento GPS civil es del orden de unos pocos metros, mientras que si no se corrige el corrimiento gravitacional al rojo se acumularía un error de aproximadamente 14 km por día. Este es un error enorme que en la práctica resulta completamente inaceptable, lo que demuestra que la corrección temporal basada en la relatividad general es indispensable para el funcionamiento correcto del GPS.

Cabe señalar que en el GPS real, además del efecto del corrimiento gravitacional al rojo calculado aquí (el reloj del satélite avanza más rápido: \(+45.7\;\mu\mathrm{s/día}\)), también es necesario corregir la dilatación temporal de la relatividad especial (efecto del movimiento orbital del satélite que hace que su reloj se retrase: aproximadamente \(-7.2\;\mu\mathrm{s/día}\)). El efecto neto combinando ambas contribuciones es de aproximadamente \(+38.5\;\mu\mathrm{s/día}\), siendo dominante el corrimiento gravitacional al rojo.

Verificación:

  • Análisis dimensional: \([c] \times [t] = \mathrm{m/s} \times \mathrm{s} = \mathrm{m}\). ✓
  • Estimación de orden de magnitud: \(r_s/R_\oplus \sim 10^{-3}/10^{7} \sim 10^{-10}\). Un día \(\sim 10^5\;\mathrm{s}\), por lo que la diferencia temporal \(\sim 10^{-10} \times 10^5 = 10^{-5}\;\mathrm{s}\). Error en distancia \(\sim 3 \times 10^8 \times 10^{-5} = 3 \times 10^3\;\mathrm{m}\). Como orden de magnitud \(\sim 10\;\mathrm{km}\), consistente. ✓
  • Comparación con valores de referencia: El efecto del corrimiento gravitacional al rojo de aproximadamente \(45\;\mu\mathrm{s/día}\) y el error en distancia de aproximadamente \(10\;\mathrm{km/día}\) coinciden con los valores estándar de los libros de texto. ✓