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Cap. 5 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Métrica en coordenadas del cono de luz

A partir de la definición de las coordenadas del cono de luz \(x^\pm = (x^0 \pm x^1)/\sqrt{2}\),

\[ ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 \]

demuestra mediante cálculo directo que esta expresión se reescribe como

\[ ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 \]

(con \(c = 1\)).

Pista

Sustituye \(dx^0 = (dx^+ + dx^-)/\sqrt{2}\), \(dx^1 = (dx^+ - dx^-)/\sqrt{2}\), o bien utiliza \(dx^+ dx^- = \frac{1}{2}[(dx^0)^2 - (dx^1)^2]\).

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B-2. Representación matricial de la métrica en coordenadas del cono de luz

Encuentra la matriz inversa \(\hat{\eta}^{\mu\nu}\) de la métrica en coordenadas del cono de luz (con el orden de filas y columnas \(+, -, 2, 3\))

\[ \hat{\eta}_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

y verifica que se cumple \(\hat{\eta}^{\mu\lambda}\hat{\eta}_{\lambda\nu} = \delta^\mu{}_\nu\).

Pista

El bloque \((+,-)\) es simplemente la matriz antidiagonal \(2 \times 2\) \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\), por lo que su inversa tiene la misma forma.

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B-3. Cuadrimomento en coordenadas del cono de luz y \(p^-\)

Se expresa el cuadrimomento \(p^\mu = (p^0, p^1, p^2, p^3)\) de una partícula de masa \(m\) en las componentes de coordenadas del cono de luz \(p^\pm = (p^0 \pm p^1)/\sqrt{2}\), \(p^2, p^3\).

(a) Escribe la norma invariante del cuadrimomento \(p^\mu p_\mu\) en coordenadas del cono de luz. Demuestra que el resultado es \(-2 p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2\).

(b) Usando \(p^\mu p_\mu = -m^2\), resuelve \(p^-\) en función de \(p^+, p^2, p^3, m\) y deriva

\[ p^- = \frac{(p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2}{2\,p^+} \]

(c) En coordenadas ordinarias, al resolver \(p^\mu p_\mu = -m^2\) para \(p^0\) se obtiene \(p^0 = \pm\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}\), quedando una ambigüedad de signo \(\pm\). En coordenadas del cono de luz, como se muestra en (b), \(p^-\) queda determinado de forma única. Explica físicamente esta diferencia.

Pista

(a) En \(\eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2\), utiliza \((p^0)^2 - (p^1)^2 = 2 p^+ p^-\). (c) Reflexiona sobre cómo se trata en coordenadas del cono de luz «el signo de la energía» y «la distinción entre soluciones de energía positiva y negativa».

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Intermedio

M-1. Producto interior en coordenadas del cono de luz

Expresa el producto interior de Minkowski \(A^\mu B_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\mu B^\nu\) de dos cuadrivectores \(A^\mu, B^\mu\) en términos de las componentes en coordenadas del cono de luz \(A^\pm, A^2, A^3\) y \(B^\pm, B^2, B^3\).

Pista

Reescribe \(A^\mu B_\mu = -A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3\).

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M-2. Transformación de Lorentz (boost) en coordenadas del cono de luz

Un boost en la dirección \(x^1\) (el sistema \(S'\) se mueve con velocidad \(v\) en la dirección \(x^1\) respecto al sistema \(S\)) se escribe, usando la rapidez \(\varphi\) (\(\tanh\varphi = v\)), como

\[ \begin{pmatrix} x^{0'} \\ x^{1'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\varphi & -\sinh\varphi \\ -\sinh\varphi & \cosh\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \end{pmatrix} \]

(véase Relatividad General 3.3「Derivación de la transformación de Lorentz」). Reescribe esto en coordenadas del cono de luz \(x^\pm\) y demuestra lo siguiente.

(a) \(x^{+\prime} = e^{-\varphi}\,x^+\), \(x^{-\prime} = e^{\varphi}\,x^-\) (el boost en la dirección \(x^+\) actúa como una transformación de escala en las coordenadas del cono de luz).

(b) Por lo tanto, el producto \(x^+ x^-\) es invariante. Verifica que esto es consistente con la invariancia de la parte \(-2\,dx^+ dx^-\) de \(ds^2\).

Pista

(a) Usa \(\cosh\varphi \pm \sinh\varphi = e^{\pm\varphi}\). (b) \((e^{-\varphi}dx^+)(e^\varphi dx^-) = dx^+ dx^-\).

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