Apéndice G Ejercicios¶
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Índice
Intermedio
Intermedio¶
M-1. Derivación de \(\delta\sqrt{-g}\)¶
Toma la variación de ambos lados de \(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\) y deduce \(g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\). Además, combinando con \(\delta g = g \cdot g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\), demuestra que \(\delta\sqrt{-g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-g} \, g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\).
M-2. Límite newtoniano de Einstein-Hilbert¶
Admitiendo que en el límite de campo gravitatorio débil (\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}\), \(|h_{\mu\nu}| \ll 1\)), baja velocidad (\(v \ll c\)) y estático (\(\partial_t = 0\)) de las ecuaciones de Einstein se cumple \(R_{00} \approx -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\), establece \(h_{00} = -2\Phi/c^2\) y deriva la ecuación de Poisson de Newton \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\).
M-3. Variación del término de constante cosmológica¶
Añadiendo el término de constante cosmológica \(-2\Lambda\) a la acción de Einstein-Hilbert, se obtiene la acción \(S = \frac{c^4}{16\pi G}\int (R - 2\Lambda)\sqrt{-g} \, d^4x\). Realiza la variación respecto a \(g^{\mu\nu}\) y deriva la ecuación de Einstein con constante cosmológica \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\).
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