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Cap. 1 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo de la aceleración gravitatoria en la superficie terrestre

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Problema:

Usando la masa de la Tierra \(M_\oplus \approx 5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}\) y su radio \(R_\oplus \approx 6.37 \times 10^6\ \mathrm{m}\), calcula la magnitud del campo gravitatorio en la superficie \(|\mathbf{g}| = GM_\oplus/R_\oplus^2\) y verifica que coincide con la aceleración gravitatoria \(g \approx 9.8\ \mathrm{m/s^2}\) aprendida en la enseñanza secundaria.

Estrategia: Sustituir valores numéricos en \(|\mathbf{g}| = GM_\oplus/R_\oplus^2\).

\[ |\mathbf{g}| = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^6)^2} \]

Numerador: \(6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14}\)

Denominador: \((6.37 \times 10^6)^2 = 4.06 \times 10^{13}\)

\[ |\mathbf{g}| = \frac{3.98 \times 10^{14}}{4.06 \times 10^{13}} \approx 9.80\ \text{m/s}^2 \]
\[ \boxed{|\mathbf{g}| \approx 9.8\ \text{m/s}^2} \]

Esto coincide con la aceleración gravitatoria \(g \approx 9.8\ \text{m/s}^2\) que se aprende en la enseñanza secundaria. Se confirma que la aceleración gravitatoria en la superficie terrestre se deriva correctamente a partir de la gravitación universal de Newton.

Verificación: Comprobación dimensional: \([GM/R^2] = \text{m}^3\text{s}^{-2}\text{kg}^{-1} \cdot \text{kg} / \text{m}^2 = \text{m/s}^2\). Correcto. ✓

B-2. Derivada de la componente \(x\) del potencial gravitatorio

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Problema:

Cuando una masa \(M\) se encuentra en el origen, el potencial gravitatorio (gravitational potential) es \(\Phi = -GM/r\). Usando coordenadas cartesianas \((x, y, z)\) con \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), calcula \(\partial \Phi / \partial x\) y obtén la componente \(x\) del campo gravitatorio \(g_x = -\partial \Phi / \partial x\).

Estrategia: Aplicar la regla de la cadena a \(\Phi = -GM/r\), con \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).

\[ \frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{d\Phi}{dr}\cdot\frac{\partial r}{\partial x} \]

Primero calculamos cada factor:

\[ \frac{d\Phi}{dr} = \frac{d}{dr}\left(-\frac{GM}{r}\right) = \frac{GM}{r^2} \]
\[ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \frac{x}{r} \]

Por lo tanto

\[ \frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{GM}{r^2}\cdot\frac{x}{r} = \frac{GMx}{r^3} \]

Así, la componente \(x\) del campo gravitatorio es

\[ \boxed{g_x = -\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -\frac{GMx}{r^3}} \]

Verificación: En un punto \((r,0,0)\) sobre el eje \(x\) se obtiene \(g_x = -GM/r^2\), lo cual es correcto como fuerza atractiva dirigida hacia el origen.

B-3. Representación vectorial del campo gravitatorio

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Problema:

Extiende el resultado de Problema B-2. Derivada de la componente \(x\) del potencial gravitatorio a las componentes \(y\) y \(z\), y demuestra en forma vectorial que \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\) coincide con la expresión (1.3): \(\mathbf{g} = -GM\,\hat{\mathbf{r}}/r^2\).

De manera análoga a Problema B-2. Derivada de la componente \(x\) del potencial gravitatorio, calculamos las componentes \(y\) y \(z\):

\[ g_y = -\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -\frac{GMy}{r^3}, \qquad g_z = -\frac{\partial \Phi}{\partial z} = -\frac{GMz}{r^3} \]

Reuniéndolas en forma vectorial:

\[ \mathbf{g} = -\nabla\Phi = -\frac{GM}{r^3}(x,\,y,\,z) = -\frac{GM}{r^3}\,\mathbf{r} \]

Utilizando aquí el vector unitario \(\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r = (x/r,\,y/r,\,z/r)\), se obtiene

\[ \boxed{\mathbf{g} = -\frac{GM}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}} \]

Esto coincide con la ecuación (1.3).

Verificación: \(|\mathbf{g}| = GM/r^2\) y la dirección es \(-\hat{\mathbf{r}}\) (fuerza atractiva dirigida hacia el origen), lo cual es físicamente correcto.

B-4. Superposición debida a dos masas puntuales

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Problema:

Escribe el potencial gravitatorio resultante creado por dos masas puntuales \(M_1\) (ubicada en el origen) y \(M_2\) (ubicada en la posición \(\mathbf{r}_0\)), utilizando el principio de superposición (superposition principle). Además, obtén el campo gravitatorio \(\mathbf{g}(\mathbf{r})\) en la posición \(\mathbf{r}\).

Dado que la ecuación de Poisson es lineal, por el principio de superposición se tiene

\[ \boxed{\Phi(\mathbf{r}) = -\frac{GM_1}{|\mathbf{r}|} - \frac{GM_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}} \]

El campo gravitatorio, a partir de \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\), es

\[ \boxed{\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\frac{GM_1}{|\mathbf{r}|^3}\,\mathbf{r} - \frac{GM_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)} \]

Verificación: Si \(M_2 = 0\), se recupera el caso de una única masa puntual. ✓ Además, cuando \(\mathbf{r} \to \infty\) se tiene \(\Phi \to -G(M_1+M_2)/r\), de modo que a grandes distancias el comportamiento es el mismo que si toda la masa estuviera concentrada en un solo punto. ✓

B-5. Cálculo de \(\nabla^2(r^n)\)

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Problema:

La parte radial del laplaciano en coordenadas esféricas \((r, \theta, \varphi)\) es

\[ \nabla^2 f(r) = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2 \frac{df}{dr}\right) \]

Calcula \(\nabla^2(r^n)\) para \(f(r) = r^n\) (donde \(n\) es un entero) y organiza el resultado en función del valor de \(n\).

Estrategia: Aplicar la parte radial del laplaciano a la función con simetría esférica \(f(r) = r^n\).

\[ \nabla^2(r^n) = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d(r^n)}{dr}\right) \]

Paso 1: Primera derivada

\[ \frac{d(r^n)}{dr} = nr^{n-1} \]

Paso 2: Multiplicar por \(r^2\)

\[ r^2 \cdot nr^{n-1} = nr^{n+1} \]

Paso 3: Derivar una vez más respecto a \(r\)

\[ \frac{d}{dr}(nr^{n+1}) = n(n+1)r^n \]

Paso 4: Multiplicar por \(1/r^2\)

\[ \nabla^2(r^n) = \frac{n(n+1)r^n}{r^2} = n(n+1)\,r^{n-2} \]
\[ \boxed{\nabla^2(r^n) = n(n+1)\,r^{n-2}} \]

Resumen según el valor de \(n\):

\(n\) \(\nabla^2(r^n)\)
\(0\) \(0\)
\(1\) \(2r^{-1}\)
\(2\) \(6\)
\(-1\) \(0\)
\(-2\) \(6r^{-4}\)

Verificación: Para \(n=2\), \(f = r^2 = x^2+y^2+z^2\), por lo que \(\nabla^2 f = 2+2+2 = 6\). Coincide. ✓

B-6. Ecuación de Laplace en el exterior de una masa puntual

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Problema:

Utilizando el resultado de Problema B-5. Cálculo de \(\nabla^2(r^n)\), verifica que para \(\Phi = -GM/r = -GM\,r^{-1}\), se cumple \(\nabla^2 \Phi = 0\) en \(r \neq 0\). Explica por qué este resultado no contradice la ecuación de Poisson \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\).

Dado que \(\Phi = -GM\,r^{-1}\), si tomamos \(n = -1\) en el resultado de Problema B-5. Cálculo de \(\nabla^2(r^n)\):

\[ \nabla^2(r^{-1}) = (-1)(-1+1)\,r^{-1-2} = (-1)(0)\,r^{-3} = 0 \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\nabla^2\Phi = -GM\cdot\nabla^2(r^{-1}) = 0 \quad (r \neq 0)} \]

Consistencia con la ecuación de Poisson:

La ecuación de Poisson es \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\). La densidad de masa de una masa puntual es

\[ \rho(\mathbf{r}) = M\,\delta^3(\mathbf{r}) \]

Para \(r \neq 0\) se tiene \(\delta^3(\mathbf{r}) = 0\), por lo que \(\rho = 0\), y \(\nabla^2\Phi = 0\) no contradice la ecuación de Poisson. En \(r = 0\) existe la singularidad de la función delta, y se cumple la igualdad en el sentido de distribuciones \(\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^3(\mathbf{r})\).

B-7. Constante del potencial en el interior de una esfera de densidad uniforme

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Problema:

Supón que en el interior de una esfera (radio \(R\)) de densidad uniforme \(\rho_0\) (constante), el potencial toma la forma \(\Phi(r) = Ar^2 + B\) (\(A, B\) son constantes). Sustituyendo en la ecuación de Poisson \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho_0\), expresa la constante \(A\) en términos de \(G\) y \(\rho_0\).

Se sustituye \(\Phi(r) = Ar^2 + B\) en la ecuación de Poisson \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho_0\).

Por el resultado de Problema B-5. Cálculo de \(\nabla^2(r^n)\), \(\nabla^2(r^2) = 6\) y \(\nabla^2(B) = 0\), por lo que

\[ \nabla^2\Phi = A\cdot 6 + 0 = 6A \]

De la ecuación de Poisson:

\[ 6A = 4\pi G\rho_0 \]
\[ \boxed{A = \frac{2\pi G\rho_0}{3}} \]

Verificación: Las dimensiones de \(A\) son \([G][\rho_0] = (\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}})(\mathrm{kg\,m^{-3}}) = \mathrm{s^{-2}}\). Las dimensiones de \(\Phi = Ar^2\) son \(\mathrm{s^{-2}\cdot m^2} = \mathrm{m^2\,s^{-2}}\) (dimensiones de potencial), lo cual es correcto. ✓

B-8. Divergencia del campo gravitatorio y ecuación de Poisson

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Problema:

Expresa la divergencia \(\nabla \cdot \mathbf{g}\) del campo gravitatorio \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\) en términos de \(\rho\) utilizando la ecuación de Poisson.

\[ \nabla\cdot\mathbf{g} = \nabla\cdot(-\nabla\Phi) = -\nabla^2\Phi \]

Sustituyendo la ecuación de Poisson \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\):

\[ \boxed{\nabla\cdot\mathbf{g} = -4\pi G\rho} \]

Esta es la forma diferencial de la ley de Gauss para el campo gravitatorio.

Verificación: En los lugares donde hay masa (\(\rho > 0\)), se tiene \(\nabla\cdot\mathbf{g} < 0\), lo que significa que el campo gravitatorio "converge" hacia la masa. Esto es físicamente correcto. ✓

B-9. Contradicción entre la propagación instantánea y la relatividad especial

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Problema:

En el modelo gravitatorio de Newton, si el Sol desapareciera repentinamente, la Tierra comenzaría un movimiento rectilíneo en ese mismo instante. Calcula el tiempo que tarda la luz en viajar del Sol a la Tierra (aproximadamente 8 minutos) y explica con valores numéricos concretos la contradicción entre el modelo newtoniano y la relatividad especial.

Estrategia de resolución: Calcular el tiempo de propagación de la luz entre el Sol y la Tierra, y compararlo con la propagación instantánea de Newton.

Cálculo:

La distancia media entre el Sol y la Tierra es \(d = 1\;\text{AU} \approx 1.50 \times 10^{11}\;\text{m}\). La velocidad de la luz es \(c = 3.00 \times 10^8\;\text{m/s}\).

El tiempo que tarda la luz en llegar del Sol a la Tierra es:

\[ \Delta t = \frac{d}{c} = \frac{1.50 \times 10^{11}}{3.00 \times 10^8} = 500\;\text{s} \approx 8.3\;\text{min} \]
\[ \boxed{\Delta t \approx 500\;\text{s} \approx 8\;\text{min}\; 20\;\text{s}} \]

Contradicción entre el modelo de Newton y la relatividad especial:

En el modelo gravitatorio de Newton, la gravedad obedece la ecuación de Poisson \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\), y los cambios en la fuente \(\rho\) se reflejan instantáneamente en el potencial \(\Phi\) (ya que no existe un término de derivada temporal). Por lo tanto, si el Sol desapareciera repentinamente, la fuerza gravitatoria que experimenta la Tierra se anularía en ese mismo instante, y la Tierra comenzaría inmediatamente un movimiento rectilíneo (movimiento uniforme en la dirección tangencial).

Por otro lado, según la relatividad especial, ninguna información o influencia física puede propagarse a una velocidad superior a \(c\). La información de la desaparición del Sol debería tardar al menos \(\Delta t \approx 500\;\text{s}\) (aproximadamente 8 minutos y 20 segundos) en llegar a la Tierra.

Esta contradicción se manifiesta concretamente de la siguiente manera:

  • Modelo de Newton: el Sol desaparece en \(t = 0\) → la órbita de la Tierra cambia en \(t = 0\) (retardo cero)
  • Teoría compatible con la relatividad especial: el Sol desaparece en \(t = 0\) → la Tierra continúa su órbita normal hasta \(t \approx 500\;\text{s}\) → la órbita cambia a partir de \(t \approx 500\;\text{s}\)

El modelo gravitatorio de Newton incluye una acción instantánea a distancia (action at a distance), lo cual contradice fundamentalmente la causalidad de la relatividad especial (velocidad de transmisión de información \(\leq c\)). Para resolver esta contradicción, se necesita una teoría en la que los cambios gravitatorios se propaguen a una velocidad finita (\(c\)) — es decir, la relatividad general.

Verificación:

Comprobación dimensional: \([d/c] = \text{m}/(\text{m/s}) = \text{s}\). Correcto. ✓

Razonabilidad numérica: que la luz solar tarda aproximadamente 8 minutos en llegar a la Tierra es un hecho básico ampliamente conocido en astronomía, y es coherente con el resultado del cálculo. ✓

B-10. Estimación de los efectos relativistas en la superficie del Sol

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Problema:

Usando la masa del Sol \(M_\odot \approx 1.99 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}\) y su radio \(R_\odot \approx 6.96 \times 10^8\ \mathrm{m}\), calcula \(GM_\odot/(R_\odot c^2)\). A partir de este valor, estima la magnitud de los efectos relativistas cerca de la superficie del Sol.

Estrategia de resolución: Sustituir valores numéricos en \(GM_\odot/(R_\odot c^2)\) y evaluar la magnitud de los efectos relativistas.

Cálculo:

Valores dados:

  • \(G = 6.67 \times 10^{-11}\;\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(M_\odot = 1.99 \times 10^{30}\;\text{kg}\)
  • \(R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\;\text{m}\)
  • \(c = 3.00 \times 10^{8}\;\text{m/s}\)

Numerador:

\[ GM_\odot = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30} = 1.327 \times 10^{20}\;\text{m}^3/\text{s}^2 \]

Denominador:

\[ R_\odot c^2 = 6.96 \times 10^{8} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 6.96 \times 10^{8} \times 9.00 \times 10^{16} = 6.264 \times 10^{25}\;\text{m}^3/\text{s}^2 \]

Cociente:

\[ \frac{GM_\odot}{R_\odot c^2} = \frac{1.327 \times 10^{20}}{6.264 \times 10^{25}} = 2.12 \times 10^{-6} \]
\[ \boxed{\frac{GM_\odot}{R_\odot c^2} \approx 2.1 \times 10^{-6}} \]

Estimación de la magnitud de los efectos relativistas:

Esta cantidad adimensional \(GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\) es un indicador de la magnitud relativa de los efectos de la relatividad general cerca de la superficie del Sol.

  1. Corrimiento al rojo gravitacional: La frecuencia de la luz emitida desde la superficie solar, observada en el infinito, sufre un corrimiento al rojo de \(\Delta\nu/\nu \sim GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\). Esta magnitud es detectable mediante observaciones espectroscópicas de alta resolución.

  2. Deflexión de la luz: La luz que pasa cerca del Sol se curva, según la relatividad general, en un ángulo del orden de \(\delta\theta \sim GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\;\text{rad} \approx 0.4''\) (el valor exacto es \(4GM_\odot/(R_\odot c^2) \approx 1.75''\)). Esto fue confirmado en la observación del eclipse de 1919.

  3. Avance del perihelio de Mercurio: Una corrección del orden de \(GM_\odot/(ac^2) \sim 10^{-8}\) (donde \(a\) es el semieje mayor de la órbita de Mercurio) se acumula en cada revolución, produciendo un desplazamiento de aproximadamente 43 segundos de arco por siglo.

El valor de \(10^{-6}\) significa que, a escalas cotidianas, la mecánica newtoniana es una aproximación extremadamente buena, pero en observaciones astronómicas precisas y experimentos de alta precisión, las correcciones de la relatividad general son detectables, y de hecho han sido detectadas.

Verificación:

Comprobación dimensional: \([GM/(Rc^2)] = (\text{m}^3\text{s}^{-2}\text{kg}^{-1} \cdot \text{kg})/(\text{m} \cdot \text{m}^2\text{s}^{-2}) = \text{adimensional}\). Correcto. ✓

Coincide con el valor del Sol \(GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\) que aparece en la tabla del prólogo. ✓

B-11. Estimación del parámetro relativista de una estrella de neutrones

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Problema:

Para la cantidad adimensional \(GM/(Rc^2)\), utiliza los valores típicos de una estrella de neutrones (neutron star): masa \(M \approx 1.4\,M_\odot\) y radio \(R \approx 10\ \mathrm{km}\). Organiza esta cantidad como una expresión que contenga \(G\), \(M_\odot\), \(R\) y \(c\), y determina el orden de magnitud (potencia de \(10\)) del valor aproximado.

Valores dados:

  • \(M = 1.4\,M_\odot\)
  • \(R = 10\;\mathrm{km}\)
  • \(GM_\odot/c^2 \approx 1.48\;\mathrm{km}\)
\[ \frac{GM}{Rc^2} = \frac{G\cdot 1.4\,M_\odot}{R\,c^2} = \frac{1.4\,GM_\odot/c^2}{R} = \frac{1.4\times 1.48\;\mathrm{km}}{10\;\mathrm{km}} \]
\[ = \frac{2.07\;\mathrm{km}}{10\;\mathrm{km}} \approx 0.21 \]
\[ \boxed{\frac{GM}{Rc^2} \sim 10^{-1} \approx 0.2} \]

Este valor es cercano a 1, lo que significa que en las proximidades de la superficie de una estrella de neutrones la gravedad newtoniana recibe correcciones importantes y los efectos relativistas generales no pueden ignorarse.

Verificación: A modo de comparación, para el Sol se tiene \(GM_\odot/(R_\odot c^2) \approx 1.48\;\mathrm{km}/7\times10^5\;\mathrm{km} \sim 10^{-6}\), lo cual es consistente con el hecho de que la gravedad newtoniana constituye una aproximación suficientemente buena. ✓

Intermedio

M-1. Derivación de la ecuación de Poisson a partir de la ley de Gauss

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Problema:

La ley de Gauss para el campo gravitatorio se escribe, para la masa total \(M_{\mathrm{enc}}\) contenida en una región \(V\) encerrada por una superficie cerrada \(S\), como

\[ \oint_S \mathbf{g} \cdot d\mathbf{A} = -4\pi G\,M_{\mathrm{enc}} \]

Utilizando \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\) y el teorema de la divergencia (divergence theorem), deriva la ecuación de Poisson \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) a partir de esta forma integral.

Punto de partida: Ley de Gauss para el campo gravitatorio (forma integral)

\[ \oint_S \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G\,M_{\mathrm{enc}} \tag{i} \]

Paso 1: Aplicar el teorema de la divergencia al lado izquierdo.

\[ \oint_S \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = \int_V \nabla\cdot\mathbf{g}\;dV \tag{ii} \]

Paso 2: Escribir \(M_{\mathrm{enc}}\) del lado derecho como una integral de la densidad.

\[ M_{\mathrm{enc}} = \int_V \rho\;dV \tag{iii} \]

Paso 3: Sustituir (ii) y (iii) en (i).

\[ \int_V \nabla\cdot\mathbf{g}\;dV = -4\pi G\int_V \rho\;dV \]
\[ \int_V \left[\nabla\cdot\mathbf{g} + 4\pi G\rho\right]dV = 0 \tag{iv} \]

Paso 4: La ecuación (iv) se cumple para cualquier volumen \(V\). Si el integrando es continuo, esto implica que el integrando mismo es cero:

\[ \nabla\cdot\mathbf{g} + 4\pi G\rho = 0 \]
\[ \nabla\cdot\mathbf{g} = -4\pi G\rho \tag{v} \]

Paso 5: Sustituir \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\).

\[ \nabla\cdot(-\nabla\Phi) = -4\pi G\rho \]
\[ -\nabla^2\Phi = -4\pi G\rho \]
\[ \boxed{\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho} \]

Esta es la ecuación de Poisson.

Verificación: En el caso \(\rho = 0\), se reduce a la ecuación de Laplace \(\nabla^2\Phi = 0\). Para una masa puntual \(\rho = M\delta^3(\mathbf{r})\), se puede confirmar que se obtiene la solución \(\Phi = -GM/r\), como se verificó en Problema B-6. Ecuación de Laplace en el exterior de una masa puntual. ✓

M-2. Solución completa del potencial de una esfera de densidad uniforme

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Problema:

Para una esfera de radio \(R\), densidad uniforme \(\rho_0\) y masa total \(M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_0\), realiza lo siguiente.

(a) Demuestra que en el exterior de la esfera (\(r > R\)) se cumple \(\Phi_{\mathrm{out}}(r) = -GM/r\), resolviendo la ecuación de Poisson con simetría esférica (con \(\rho = 0\)).

(b) Resuelve la ecuación de Poisson en el interior de la esfera (\(r < R\)) y obtén \(\Phi_{\mathrm{in}}(r)\). Utiliza las condiciones de frontera de continuidad del potencial y de su derivada \(d\Phi/dr\) en \(r = R\).

(c) Encuentra el valor de \(\Phi\) en \(r = 0\) y compáralo con el valor en la superficie \(\Phi(R)\).

Consideremos una esfera de radio \(R\), densidad uniforme \(\rho_0\) y masa total \(M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho_0\).

(a) Exterior (\(r > R\)):

En el exterior \(\rho = 0\), por lo que la ecuación de Poisson con simetría esférica se reduce a la ecuación de Laplace:

\[ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\Phi}{dr}\right) = 0 \]

Se puede integrar como \(r^2\,d\Phi/dr = C_1\) (constante), de modo que

\[ \frac{d\Phi}{dr} = \frac{C_1}{r^2} \]

Integrando una vez más

\[ \Phi_{\mathrm{out}}(r) = -\frac{C_1}{r} + C_2 \]

Condición de contorno: De \(\Phi\to 0\) cuando \(r\to\infty\) se obtiene \(C_2 = 0\).

Por el teorema de la corteza esférica (o la ley de Gauss), en el exterior el potencial es el mismo que si toda la masa \(M\) estuviera concentrada en el centro, por lo que \(C_1 = GM\).

\[ \boxed{\Phi_{\mathrm{out}}(r) = -\frac{GM}{r}} \]

(b) Interior (\(r < R\)):

En el interior \(\rho = \rho_0\), por lo que la ecuación de Poisson es

\[ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\Phi}{dr}\right) = 4\pi G\rho_0 \]

Del resultado de Problema B-7. Constante del potencial en el interior de una esfera de densidad uniforme, la solución particular es \(\Phi_p = Ar^2\) con \(A = \frac{2\pi G\rho_0}{3}\).

La solución general de la ecuación homogénea \(\nabla^2\Phi = 0\) con simetría esférica es \(\Phi_h = \alpha/r + \beta\). Para que sea regular (finita) en \(r = 0\) se requiere \(\alpha = 0\).

Por lo tanto, la solución general es

\[ \Phi_{\mathrm{in}}(r) = \frac{2\pi G\rho_0}{3}\,r^2 + \beta \]

Condición de contorno 1: Continuidad del potencial en \(r = R\)

\[ \frac{2\pi G\rho_0}{3}R^2 + \beta = -\frac{GM}{R} \]

Usando \(M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho_0\) se tiene \(\frac{GM}{R} = \frac{4\pi G\rho_0 R^2}{3}\), por lo que

\[ \frac{2\pi G\rho_0}{3}R^2 + \beta = -\frac{4\pi G\rho_0}{3}R^2 \]
\[ \beta = -\frac{4\pi G\rho_0}{3}R^2 - \frac{2\pi G\rho_0}{3}R^2 = -2\pi G\rho_0 R^2 \]

Condición de contorno 2: Continuidad de \(d\Phi/dr\) en \(r = R\)

\[ \left.\frac{d\Phi_{\mathrm{in}}}{dr}\right|_{r=R} = \frac{4\pi G\rho_0}{3}R, \qquad \left.\frac{d\Phi_{\mathrm{out}}}{dr}\right|_{r=R} = \frac{GM}{R^2} = \frac{4\pi G\rho_0}{3}R \]

Ambas coinciden. ✓ (Como \(\beta\) no afecta a la derivada, la condición de contorno 1 por sí sola determina \(\beta\), y la condición 2 se satisface automáticamente.)

Sustituyendo \(\rho_0 = \frac{3M}{4\pi R^3}\) para reescribir \(\beta\) en términos de \(M\) y \(R\):

\[ \beta = -2\pi G\cdot\frac{3M}{4\pi R^3}\cdot R^2 = -\frac{3GM}{2R} \]

De forma análoga, \(A = \frac{2\pi G}{3}\cdot\frac{3M}{4\pi R^3} = \frac{GM}{2R^3}\)

\[ \boxed{\Phi_{\mathrm{in}}(r) = \frac{GM}{2R^3}\,r^2 - \frac{3GM}{2R} = -\frac{GM}{2R}\left(3 - \frac{r^2}{R^2}\right)} \]

(c) Comparación de los valores en \(r = 0\) y \(r = R\):

\[ \Phi(0) = -\frac{3GM}{2R} \]
\[ \Phi(R) = -\frac{GM}{2R}(3-1) = -\frac{GM}{R} \]
\[ \boxed{\Phi(0) = -\frac{3GM}{2R}, \qquad \Phi(R) = -\frac{GM}{R}} \]

El potencial en el centro es \(3/2\) veces más profundo (en valor absoluto) que en la superficie:

\[ \frac{\Phi(0)}{\Phi(R)} = \frac{3}{2} \]

Verificación: En \(r = R\), \(\Phi_{\mathrm{in}}(R) = \frac{GM}{2R^3}R^2 - \frac{3GM}{2R} = \frac{GM}{2R} - \frac{3GM}{2R} = -\frac{GM}{R} = \Phi_{\mathrm{out}}(R)\). ✓

M-3. Estimación de escala del avance del perihelio de Mercurio

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Problema:

Para el semieje mayor de la órbita de Mercurio \(a \approx 5.79 \times 10^{10}\ \mathrm{m}\), calcula la cantidad adimensional \(GM_\odot/(ac^2)\). Discute, desde el punto de vista del análisis dimensional, cómo este valor se corresponde en orden de magnitud con el avance del perihelio de 43 segundos de arco por siglo (\(\approx 2.1 \times 10^{-7}\ \mathrm{rad}\)), que representa la "desviación respecto al modelo newtoniano".

Cálculo de la cantidad adimensional:

\[ \frac{GM_\odot}{ac^2} = \frac{1.48\;\mathrm{km}}{5.79\times10^{7}\;\mathrm{km}} = 2.56\times10^{-8} \]
\[ \boxed{\frac{GM_\odot}{ac^2} \approx 2.6\times10^{-8}} \]

Argumento de análisis dimensional:

Se espera que la corrección relativista general aparezca como una desviación relativa respecto a la gravedad newtoniana, del orden de la cantidad adimensional \(GM_\odot/(ac^2)\). Esto proporciona la escala del ángulo de avance del perihelio (en radianes) por órbita.

Estimemos el número de órbitas en 100 años. El período orbital de Mercurio es aproximadamente 88 días, por lo que

\[ N = \frac{100\;\mathrm{yr}}{88\;\mathrm{day}} = \frac{100\times365.25}{88} \approx 415\;\text{órbitas} \]

El orden de la desviación acumulada en 100 años es

\[ \Delta\varphi_{100} \sim N\cdot\frac{GM_\odot}{ac^2} \sim 415\times2.6\times10^{-8} \approx 1.1\times10^{-5}\;\mathrm{rad} \]

Por otro lado, convirtiendo el valor observado de 43 segundos de arco a radianes:

\[ 43'' = 43\times\frac{\pi}{180\times3600}\;\mathrm{rad} \approx 2.1\times10^{-4}\;\mathrm{rad} \]

Comparando ambos:

\[ \frac{\text{valor observado}}{\text{valor estimado}} = \frac{2.1\times10^{-4}}{1.1\times10^{-5}} \approx 19 \approx 6\pi \]

Es decir, la estimación de orden mediante análisis dimensional \(\sim GM_\odot/(ac^2)\) coincide con el valor observado dentro de un factor numérico de \(6\pi \approx 19\). Dado que el análisis dimensional no puede determinar factores numéricos de \(O(1)\) (como \(2\pi\) o \(6\pi\)), se puede afirmar que la correspondencia es correcta en orden de magnitud.

De hecho, el cálculo exacto de la relatividad general (derivado en Cap. 8) da como resultado el avance del perihelio por órbita:

\[ \delta\varphi = \frac{6\pi GM_\odot}{a(1-e^2)c^2} \]

Tomando \(e \approx 0.206\), se tiene \(1/(1-e^2) \approx 1.04\), y

\[ \Delta\varphi_{100} = 415\times\frac{6\pi\times2.56\times10^{-8}}{0.958} = 415\times5.03\times10^{-7} = 2.09\times10^{-4}\;\mathrm{rad} \approx 43'' \]

Esto coincide con precisión con el valor observado.

\[ \boxed{\text{La desviación respecto al modelo newtoniano se debe a una corrección relativista del orden de } \frac{GM_\odot}{ac^2} \sim 10^{-8},} \]
\[ \boxed{\text{que acumulada durante 100 años resulta del orden de } \sim 10^{-5}\text{–}10^{-4}\;\mathrm{rad}, \text{ en correspondencia con el valor observado de } 43''} \]

M-4. Comparación entre la ecuación de ondas y la ecuación de Poisson

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Problema:

En la ecuación de ondas del electromagnetismo

\[ \left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\varphi = -\frac{\rho_e}{\varepsilon_0} \]

muestra a qué forma se reduce esta ecuación cuando la fuente \(\rho_e\) no varía en el tiempo (campo electrostático). Además, organiza las similitudes y diferencias estructurales con la ecuación de Poisson de Newton.

Reducción al campo electrostático:

Cuando la fuente \(\rho_e\) no varía en el tiempo, \(\varphi\) tampoco depende del tiempo, por lo que \(\partial^2\varphi/\partial t^2 = 0\). La ecuación de ondas se convierte en

\[ \left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\varphi = -\frac{\rho_e}{\varepsilon_0} \]

\(\Downarrow \quad \partial/\partial t = 0\)

\[ \boxed{\nabla^2\varphi = -\frac{\rho_e}{\varepsilon_0}} \]

Esta es la ecuación de Poisson del campo electrostático.

Organización de similitudes y diferencias estructurales:

Ecuación de Poisson de la gravedad newtoniana Ecuación de Poisson del campo electrostático
Ecuación \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) \(\nabla^2\varphi = -\rho_e/\varepsilon_0\)
Fuente Densidad de masa \(\rho\) (siempre positiva) Densidad de carga \(\rho_e\) (positiva o negativa)
Signo de la fuerza Siempre atractiva Tanto atractiva como repulsiva
Constante de acoplamiento \(4\pi G\) (positiva) \(-1/\varepsilon_0\) (negativa)
Solución para fuente puntual \(\Phi = -GM/r\) \(\varphi = q/(4\pi\varepsilon_0 r)\)

Similitudes:

  • Ambas poseen la misma estructura matemática \(\nabla^2(\cdot) = (\text{fuente})\) (ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico)
  • Para fuentes puntuales dan un potencial de tipo \(1/r\) (ley del inverso del cuadrado)
  • Se cumple el principio de superposición (ecuación lineal)
  • No contienen derivadas temporales: los cambios en la fuente se propagan instantáneamente

Diferencias:

  • El signo es opuesto: la gravedad es siempre atractiva, mientras que la fuerza electrostática es repulsiva entre cargas del mismo signo y atractiva entre cargas de signo opuesto
  • La ecuación de Poisson del campo electrostático se obtiene como límite estático de una ecuación de ondas más fundamental. En cambio, la ecuación de Poisson de Newton no tiene una ecuación de ondas "madre" correspondiente dentro del marco de la teoría newtoniana (se necesita la relatividad general)
  • En electromagnetismo, el caso dinámico se extiende a la ecuación de ondas, y las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz. La gravedad newtoniana carece de esta extensión natural

Avanzado

A-1. Intento de una teoría escalar de la gravedad

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Problema:

Si añadimos una derivada temporal a la ecuación de Poisson \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\), obtenemos formalmente

\[ \left(\nabla^2 - \frac{1}{c_g^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\Phi = 4\pi G\rho \tag{$\ast$} \]

lo cual constituye una "ecuación de onda gravitatoria" en la que los cambios en la gravedad se propagan a velocidad \(c_g\).

(a) Tomando \(c_g = c\) (velocidad de la luz), encuentra la relación de dispersión (dispersion relation) \(\omega(\mathbf{k})\) para la solución de onda plana \(\Phi = \Phi_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\) de esta ecuación sin fuente (\(\rho = 0\)).

(b) Aunque esta modificación resuelve el problema de la "propagación instantánea" del modelo newtoniano, en realidad esta teoría escalar (scalar) de la gravedad presenta otro problema grave. Comparando con la electrodinámica, donde el campo se describe mediante el potencial vectorial \(A^\mu\), discute físicamente las limitaciones de describir la gravedad únicamente con un potencial escalar \(\Phi\). (Pista: presta atención a la cantidad física que actúa como fuente. Recuerda que en relatividad especial la energía y el momento se unifican.)

(c) Muestra que al tomar el límite \(c_g \to \infty\) en la ecuación \((\ast)\) se recupera la ecuación de Poisson, y explica por qué esto es consistente con la afirmación de que "la gravedad newtoniana es una aproximación en el límite \(c \to \infty\)".

(a) Derivación de la relación de dispersión:

Tomando \(c_g = c\) y sustituyendo la solución de onda plana \(\Phi = \Phi_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\) en la ecuación sin fuentes (\(\rho = 0\)):

\[ \nabla^2\Phi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2} = 0 \]

Calculando cada derivada:

\[ \nabla^2\Phi = -|\mathbf{k}|^2\,\Phi, \qquad \frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2} = -\omega^2\,\Phi \]

Sustituyendo:

\[ -|\mathbf{k}|^2\,\Phi + \frac{\omega^2}{c^2}\,\Phi = 0 \]

Como \(\Phi \neq 0\):

\[ \boxed{\omega^2 = c^2|\mathbf{k}|^2 \quad \Longleftrightarrow \quad \omega = c|\mathbf{k}|} \]

Esta es la relación de dispersión de un campo sin masa (igual que el fotón), y tanto la velocidad de fase como la velocidad de grupo son \(c\). Las perturbaciones gravitatorias se propagan a la velocidad de la luz.

Verificación: Tiene la misma forma que la relación de dispersión de las ondas electromagnéticas \(\omega = c|\mathbf{k}|\), lo cual es esperado dado que la estructura de la ecuación de ondas es la misma. ✓

(b) Limitaciones de la teoría escalar de la gravedad:

Aunque esta modificación resuelve el problema de la propagación instantánea, una teoría que describe la gravedad únicamente mediante un potencial escalar \(\Phi\) presenta los siguientes problemas graves.

1. Problema de las fuentes:

En relatividad especial, la energía y el momento se unifican como el cuadrimomento \(p^\mu = (E/c,\,\mathbf{p})\). Además, en el caso de un medio continuo, la fuente se describe mediante el tensor de energía-momento \(T^{\mu\nu}\) (tensor simétrico de rango 2, con 10 componentes independientes), que incluye no solo la densidad de energía, sino también la densidad de momento, la presión y los esfuerzos.

En la ecuación \((\ast)\) de la gravedad newtoniana, la fuente es únicamente la densidad de masa \(\rho\) (una cantidad escalar). En relatividad especial, \(\rho c^2\) corresponde a la densidad de energía y no es más que la componente \(T^{00}\). Las componentes restantes de \(T^{\mu\nu}\) (flujo de momento, presión, esfuerzos de corte) no contribuirían como fuentes de gravedad, lo cual no es consistente bajo transformaciones de Lorentz.

2. Problema de los grados de libertad del campo:

En electromagnetismo, el campo se describe mediante el potencial vectorial \(A^\mu\) (4 componentes), que es consistente con la fuente, la densidad de corriente \(J^\mu\) (4 componentes). En relatividad general, el campo se describe mediante el tensor métrico \(g_{\mu\nu}\) (tensor simétrico de rango 2, con 10 componentes independientes), que es consistente con la fuente \(T^{\mu\nu}\) (10 componentes). Un escalar \(\Phi\) (1 componente) no puede recibir adecuadamente toda la información de \(T^{\mu\nu}\).

3. Consecuencias físicas concretas:

  • La teoría escalar no predice correctamente la deflexión de la luz (obtiene solo la mitad de la predicción de la relatividad general)
  • Como la presión no actúa como fuente de gravedad, la descripción de la estructura de estrellas de neutrones y la expansión cosmológica resulta incorrecta
  • Los modos de polarización de las ondas gravitacionales no se describen correctamente (las ondas escalares solo tienen modo escalar, mientras que en relatividad general son modos tensoriales)
\[ \boxed{\text{Solo con el campo escalar } \Phi \text{ no se pueden incorporar todas las componentes de } T^{\mu\nu} \text{ como fuente, y no es posible construir una teoría gravitatoria invariante de Lorentz}} \]

(c) Límite \(c_g \to \infty\):

En la ecuación \((\ast)\), al tomar \(c_g \to \infty\):

\[ \frac{1}{c_g^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2} \to 0 \]

Por lo tanto:

\[ \nabla^2\Phi - \underbrace{\frac{1}{c_g^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}}_{\to\,0} = 4\pi G\rho \quad \Longrightarrow \quad \nabla^2\Phi = 4\pi G\rho \]
\[ \boxed{c_g \to \infty \text{ se reduce a la ecuación de Poisson}} \]

Esto es consistente con la afirmación de que "la gravedad newtoniana es el límite en el que la velocidad de propagación de la gravedad es infinita, es decir, la aproximación \(c \to \infty\)". En situaciones donde los efectos de la relatividad especial son despreciables (\(v \ll c\), \(GM/(Rc^2) \ll 1\)), \(c\) puede considerarse efectivamente infinito, por lo que la ecuación de Poisson constituye una buena aproximación.

Verificación: Confirmamos mediante análisis dimensional. Las dimensiones de cada término en la ecuación \((\ast)\) son \([\nabla^2\Phi] = \mathrm{m^2\,s^{-2}/m^2} = \mathrm{s^{-2}}\), \([\partial^2\Phi/(c_g^2\partial t^2)] = \mathrm{m^2\,s^{-2}/(m^2\,s^{-2}\cdot s^2)} = \mathrm{s^{-2}}\), lo cual es consistente. ✓

A-2. Teorema de la corteza esférica y fuerza de marea

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Problema:

Demuestra que el potencial gravitatorio \(\Phi\) es constante en la cavidad interior (\(r < R_1\)) de una corteza esférica de densidad uniforme (radio interior \(R_1\), radio exterior \(R_2\)), a partir de la ecuación de Poisson y las condiciones de contorno apropiadas (teorema de la corteza esférica de Newton, shell theorem).

Además, utilizando este resultado, discute lo siguiente:

(a) Si se coloca un objeto de masa \(m\) en una posición \(\mathbf{r}_0\) ligeramente desplazada del centro de la corteza esférica, ¿es nula la fuerza gravitatoria que actúa sobre el objeto? Explica la razón.

(b) Si la corteza esférica no es perfectamente esféricamente simétrica sino que está ligeramente deformada en forma de elipsoide, el potencial en el interior de la cavidad deja de ser constante. Discute cualitativamente las propiedades del campo gravitatorio que surge en el interior de la cavidad y explica cómo se relaciona esto con el concepto de fuerza de marea (tidal force). (Pista: en relatividad general, la fuerza de marea se describe como curvatura del espacio-tiempo (curvature). ¿Cuál es su análogo en la gravedad newtoniana?)

Derivación de que el potencial es constante en el interior de una cáscara esférica:

Consideremos una cáscara esférica de densidad uniforme (radio interior \(R_1\), radio exterior \(R_2\)). En la cavidad interior (\(r < R_1\)), como \(\rho = 0\), se tiene

\[ \nabla^2\Phi = 0 \]

Asumiendo simetría esférica, la ecuación de Laplace en la dirección radial únicamente es

\[ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\Phi}{dr}\right) = 0 \]

La solución general es

\[ \Phi(r) = -\frac{\alpha}{r} + \beta \]

Condición de contorno: Para que el potencial sea regular (finito) en \(r = 0\), se requiere \(\alpha = 0\).

\[ \boxed{\Phi(r) = \beta = \text{const} \quad (r < R_1)} \]

El valor de la constante \(\beta\) se determina a partir de la condición de empalme con la superficie interior de la cáscara en \(r = R_1\), pero dentro de la cavidad el potencial es constante.

(Concretamente, en el exterior de la cáscara (\(r > R_2\)) se tiene \(\Phi = -GM_{\mathrm{shell}}/r\); en el interior de la cáscara (\(R_1 < r < R_2\)) se resuelve la ecuación de Poisson y, utilizando las condiciones de empalme en \(r = R_1\) y \(r = R_2\), se determina \(\beta\). El resultado no es \(\beta = -GM_{\mathrm{shell}}/R_1\), sino un valor que depende de la distribución de masa de la cáscara.)

(a) Gravedad en una posición arbitraria dentro de la cáscara esférica:

Como el potencial es constante dentro de la cavidad,

\[ \mathbf{g} = -\nabla\Phi = \mathbf{0} \]

Por lo tanto, si se coloca un objeto de masa \(m\) en una posición \(\mathbf{r}_0\) ligeramente desplazada del centro de la cáscara, la fuerza gravitatoria que actúa sobre el objeto es cero.

\[ \boxed{\mathbf{F} = m\mathbf{g} = \mathbf{0} \quad \text{(en cualquier posición dentro de la cavidad)}} \]

Este es un resultado del teorema de la cáscara de Newton. Físicamente, desde una posición desplazada, el lado cercano de la cáscara está más cerca pero subtiende un ángulo sólido menor, mientras que el lado lejano está más lejos pero subtiende un ángulo sólido mayor. El efecto de la ley \(1/r^2\) y el del ángulo sólido se cancelan exactamente, dando una fuerza neta nula.

(b) Campo gravitatorio y fuerza de marea dentro de la cavidad cuando hay deformación elipsoidal:

Cuando la cáscara esférica se deforma ligeramente en un elipsoide respecto a la simetría esférica perfecta, la premisa del teorema de la cáscara (simetría esférica) se rompe.

Potencial dentro de la cavidad:

Cuando la deformación es pequeña, el potencial puede descomponerse en una parte esféricamente simétrica y una perturbación:

\[ \Phi(\mathbf{r}) = \Phi_0 + \delta\Phi(\mathbf{r}) \]

donde \(\Phi_0\) es una constante (parte esféricamente simétrica) y \(\delta\Phi(\mathbf{r})\) es la corrección debida a la deformación, que no es espacialmente uniforme. En el caso de una deformación elipsoidal, \(\delta\Phi\) contiene típicamente términos de segundo orden proporcionales a \(r^2\) (con la forma de los armónicos esféricos \(Y_2^m\)). Concretamente, las soluciones regulares en \(r = 0\) que satisfacen \(\nabla^2(\delta\Phi) = 0\) dentro de la cavidad tienen la forma

\[ \delta\Phi(\mathbf{r}) = \sum_{\ell,m} C_{\ell m}\,r^\ell\,Y_\ell^m(\theta,\varphi) \]

Cuando la deformación elipsoidal (modo \(\ell = 2\)) es dominante,

\[ \delta\Phi \propto r^2\,Y_2^m(\theta,\varphi) \]

Campo gravitatorio dentro de la cavidad:

\[ \mathbf{g} = -\nabla\Phi = -\nabla(\delta\Phi) \neq \mathbf{0} \]

Como el potencial ya no es constante, aparece un campo gravitatorio no nulo dentro de la cavidad. En el caso \(\delta\Phi \propto r^2 Y_2^m\), \(\mathbf{g} = -\nabla(\delta\Phi)\) depende linealmente de la posición \(\mathbf{r}\). Es decir, la dirección y magnitud del campo gravitatorio difieren en distintos puntos de la cavidad.

Relación con la fuerza de marea:

La fuerza de marea es una fuerza que se origina en la no uniformidad espacial del campo gravitatorio, es decir, en que el campo gravitatorio varía de un lugar a otro. Cuando dos masas puntuales cercanas experimentan aceleraciones gravitatorias diferentes, esa diferencia se observa como fuerza de marea.

En la gravedad newtoniana, la fuerza de marea se caracteriza por las derivadas segundas del potencial gravitatorio. Definimos el tensor de marea (tidal tensor) como

\[ T_{ij} = -\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^i\partial x^j} = \frac{\partial g_i}{\partial x^j} \]

Este representa la tasa de variación espacial del campo gravitatorio (el gradiente del campo gravitatorio).

  • Cáscara esférica perfectamente simétrica: Dentro de la cavidad \(\Phi = \text{const}\), por lo que \(\partial^2\Phi/\partial x^i\partial x^j = 0\). El tensor de marea es cero y no existe fuerza de marea.
  • Cáscara deformada elipsoidalmente: Cuando aparecen términos como \(\delta\Phi \propto r^2 Y_2^m\), se tiene \(\partial^2(\delta\Phi)/\partial x^i\partial x^j \neq 0\) (tensor constante). Surge una fuerza de marea uniforme dentro de la cavidad.

Concretamente, en la dirección del eje mayor del elipsoide actúa una fuerza de estiramiento (autovalor positivo de \(T_{ij}\)), y en la dirección del eje menor actúa una fuerza de compresión (autovalor negativo de \(T_{ij}\)). Este es esencialmente el mismo mecanismo que las mareas oceánicas causadas por la gravedad de la Luna sobre la Tierra.

Restricción sobre la traza del tensor de marea:

Como \(\rho = 0\) dentro de la cavidad, se cumple la ecuación de Poisson \(\nabla^2\Phi = 0\). Esto implica

\[ \mathrm{Tr}(T_{ij}) = -\nabla^2\Phi = 0 \]

Es decir, el tensor de marea es de traza nula (traceless), y la fuerza de marea solo produce deformaciones que conservan el volumen (el estiramiento y la compresión se compensan).

Correspondencia con la relatividad general:

En la relatividad general, la fuerza de marea se describe como curvatura del espacio-tiempo. Concretamente, el tensor de curvatura de Riemann \(R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta}\), a través de la ecuación de desviación geodésica (geodesic deviation equation)

\[ \frac{D^2\xi^\alpha}{d\tau^2} = -R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta}\,u^\beta\,\xi^\gamma\,u^\delta \]

proporciona la aceleración relativa entre dos geodésicas cercanas (= fuerza de marea). Aquí \(\xi^\alpha\) es el vector de desviación entre geodésicas y \(u^\beta\) es la 4-velocidad.

En el límite newtoniano (campo gravitatorio débil, velocidades bajas), esta ecuación se reduce a

\[ \frac{d^2\xi^i}{dt^2} = -\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^i\partial x^j}\,\xi^j = T_{ij}\,\xi^j \]

Por lo tanto, el tensor de marea en la gravedad newtoniana \(\partial^2\Phi/\partial x^i\partial x^j\) corresponde a ciertas componentes del tensor de Riemann \(R^0{}_{i0j}\) (en el límite newtoniano).

\[ \boxed{\text{Newton: } \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^i\partial x^j} \quad \longleftrightarrow \quad \text{Relatividad general: } R^0{}_{i0j} \quad (\text{fuerza de marea} = \text{curvatura del espacio-tiempo})} \]

Además, la condición de traza nula en el vacío \(\nabla^2\Phi = 0\) (\(\Leftrightarrow T_{ii} = 0\)) corresponde, en relatividad general, a la ecuación de Einstein en el vacío \(R_{\mu\nu} = 0\) (tensor de Ricci nulo). Aunque el tensor de Riemann no sea nulo (la fuerza de marea puede existir), la condición de que su parte de traza (tensor de Ricci) sea cero determina las propiedades del campo gravitatorio en el vacío.

Verificación: Dentro de la cavidad \(\rho = 0\), por lo que \(\nabla^2\Phi = 0\), es decir, \(T_{ii} = 0\). La fuerza de marea conserva el volumen (el estiramiento y la compresión se compensan). Esto corresponde en relatividad general al tensor de Ricci nulo en el vacío \(R_{\mu\nu} = 0\), lo cual es consistente. ✓