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Apéndice C Ejercicios

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Índice

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Básico

B-1. Subida y bajada de índices

Subida y bajada de índices

En la teoría de cuerdas y en la relatividad general, la operación de subir y bajar índices mediante la métrica es fundamental. Aquí explicamos su significado y método de cálculo.

Métrica y su inversa

La métrica \(g_{\mu\nu}\) y su inversa \(g^{\mu\nu}\) satisfacen la relación:

\[ g_{\mu\nu} g^{\nu\rho} = \delta_\mu^{\ \rho} \]

Bajada de índices

Para un vector contravariante \(V^\mu\), se define el vector covariante \(V_\mu\) como:

\[ V_\mu = g_{\mu\nu} V^\nu \]

Subida de índices

Para un vector covariante \(V_\mu\), se define el vector contravariante \(V^\mu\) como:

\[ V^\mu = g^{\mu\nu} V_\nu \]

Aplicación a tensores

Para un tensor de rango 2, la subida y bajada de índices se realiza de la siguiente manera:

\[ T^{\mu\nu} = g^{\mu\alpha} g^{\nu\beta} T_{\alpha\beta} \]
\[ T_{\mu\nu} = g_{\mu\alpha} g_{\nu\beta} T^{\alpha\beta} \]

También se pueden subir o bajar índices individualmente:

\[ T^{\mu}{}_{\nu} = g^{\mu\alpha} T_{\alpha\nu} \]

Ejemplo concreto

En el espacio-tiempo de Minkowski con la métrica \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, \cdots, +1)\), para un vector \(V^\mu = (V^0, V^1, V^2, \cdots)\):

\[ V_0 = \eta_{0\nu} V^\nu = -V^0, \quad V_i = \eta_{i\nu} V^\nu = V^i \quad (i = 1, 2, \cdots) \]

De este modo, la componente temporal cambia de signo mientras que las componentes espaciales permanecen iguales.

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B-2. Contracción del delta de Kronecker

Tensor métrico (C.3)

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B-3. Métrica e inversa de la métrica de la esfera

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B-4. Métrica de Schwarzschild asintóticamente Minkowski

Derivada covariante y curvatura (C.5-C.6)

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B-5. Símbolos de Christoffel nulos en espacio plano

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B-6. Geodésicas en espacio plano son líneas rectas a velocidad constante

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Intermedio

M-1. Cuadrimomento y condición de capa de masa

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M-2. Métrica en coordenadas polares y comportamiento en \(r=0\)

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M-3. \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\) de la esfera

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Avanzado

A-1. Identidad de Bianchi y conservación de la energía

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