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Apéndice C Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Subir y bajar índices

Utilizando la métrica de Minkowski \(\eta_{\mu\nu}\), calcula las componentes covariantes \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\) del cuadrivector \(A^\mu = (1, 2, 3, 4)\).

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B-2. Contracción del delta de Kronecker

Utilizando la convención de suma de Einstein, calcula la contracción del delta de Kronecker \(\delta^\mu_\nu\) (igual a 1 cuando \(\mu = \nu\), y 0 en caso contrario) con un vector contravariante \(A^\nu\):

\[ \delta^\mu_\nu A^\nu \]

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B-3. Métrica e inversa de la esfera

A partir de la métrica de la esfera bidimensional (de radio \(R\)), \(ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\), lee las componentes \(g_{\theta\theta}\), \(g_{\phi\phi}\), \(g_{\theta\phi}\). Obtén también la métrica inversa \(g^{\theta\theta}\), \(g^{\phi\phi}\).

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B-4. Asintótica de Minkowski de la métrica de Schwarzschild

Derivada covariante y curvatura (C.5-C.6)

Métrica de Schwarzschild

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2GM/(c^2 r)} + r^2 d\Omega^2 \]

Demuestra que, al tomar el límite \(r \to \infty\), esta métrica tiende asintóticamente a la métrica de Minkowski.

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B-5. Símbolos de Christoffel nulos en espacio plano

Verifica que en un espacio plano (\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\)) todos los símbolos de Christoffel son cero.

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B-6. La geodésica en espacio plano es movimiento rectilíneo uniforme

Confirma que la ecuación de la geodésica \(\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0\) se reduce al movimiento rectilíneo uniforme \(\ddot{x}^\mu = 0\) cuando \(\Gamma = 0\).

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Intermedio

M-1. Cuadrimomento y condición de capa de masa

Calcula el producto interno \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu\) del cuadrimomento \(p^\mu = (E/c, p_x, p_y, p_z)\) y demuestra que \(p^\mu p_\mu = -m^2c^2\) es equivalente a la relación relativista energía-momento \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\).

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M-2. Métrica en coordenadas polares y comportamiento en \(r=0\)

Escribe la métrica del espacio plano bidimensional en coordenadas polares \((r, \theta)\), \(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\), e identifica \(g_{rr}\) y \(g_{\theta\theta}\). Discute qué ocurre en \(r = 0\).

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M-3. \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\) de la esfera

Calcula \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\) a partir de la métrica de la esfera bidimensional utilizando la fórmula de los símbolos de Christoffel.

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Avanzado

A-1. Identidad de Bianchi y conservación de la energía

Admitiendo que el lado izquierdo de las ecuaciones de Einstein \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\) satisface \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\) (consecuencia de la identidad de Bianchi), explica cómo esto es consistente con la conservación del tensor de energía-impulso en el lado derecho, \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\).

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