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Cap. 5 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Verificación de la condición de normalización

Verifica que el estado \(|\psi\rangle = \frac{1+i}{2}|+\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}|-\rangle\) satisface la condición de normalización \(|c_+|^2 + |c_-|^2 = 1\).

Pista

Para un número complejo \(z = a + bi\) se tiene \(|z|^2 = a^2 + b^2\). Para calcular el módulo al cuadrado de \(c_+ = \frac{1+i}{2}\), basta con hacer \(|c_+|^2 = c_+^* c_+ = \frac{1-i}{2} \cdot \frac{1+i}{2}\).

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B-2. Cálculo del producto interno

Para \(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|+\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4}|-\rangle\), calcula los productos internos \(\langle+|\psi\rangle\) y \(\langle-|\psi\rangle\), y obtén el cuadrado del valor absoluto de cada uno.

Pista

Usando la ortonormalidad \(\langle+|+\rangle = 1\), \(\langle+|-\rangle = 0\), se obtiene directamente \(\langle+|\psi\rangle = c_+\). Recuerda que \(|e^{i\theta}|^2 = 1\).

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B-3. Acción del producto externo (operador de proyección)

Aplica el operador de proyección \(\hat{P}_+ = |+\rangle\langle+|\) al estado \(|\psi\rangle = \frac{3}{5}|+\rangle + \frac{4}{5}|-\rangle\). Escribe el resultado como combinación lineal de \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\), y verifica si dicho estado está normalizado.

Pista

Se tiene que \(\hat{P}_+|\psi\rangle = |+\rangle\langle+|\psi\rangle = |+\rangle \cdot c_+\). Ten en cuenta que el estado después de la proyección generalmente no está normalizado.

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B-4. Desarrollo en la base \(x\)

Desarrolla el estado \(|+\rangle\) (espín hacia arriba en la dirección \(z\)) en la base de la dirección \(x\): \(|+\rangle_x\), \(|-\rangle_x\). Es decir, determina los coeficientes \(a\), \(b\) en

\[|+\rangle = a\,|+\rangle_x + b\,|-\rangle_x\]

utilizando las ecuaciones (5.11) y (5.12).

Pista

Considera las ecuaciones (5.11) y (5.12) como un sistema de ecuaciones y resuélvelo para \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\). Alternativamente, aplica \({}_x\langle+|\) por la izquierda a ambos lados para obtener \(a = {}_x\langle+|+\rangle\). Utiliza el hecho de que \(|+\rangle_x\) y \(|-\rangle_x\) son ortonormales.

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B-5. Ortogonalidad de la base \(y\)

Usando las ecuaciones (5.13) y (5.14), calcula el producto interno \({}_y\langle+|-\rangle_y\) y verifica que \(|+\rangle_y\) y \(|-\rangle_y\) son ortogonales.

Pista

El bra correspondiente a \(|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\) es \({}_y\langle+| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| + \left(\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^*\langle-| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| - \frac{i}{\sqrt{2}}\langle-|\). Recuerda que al construir el bra debes tomar el complejo conjugado de los coeficientes.

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B-6. Obtener probabilidades a partir de amplitudes de probabilidad

Una partícula con espín hacia arriba en la dirección \(y\) (estado \(|+\rangle_y\)) se hace pasar por un aparato de Stern-Gerlach orientado en la dirección \(z\). Determina la probabilidad de obtener \(S_z = +\hbar/2\) y la probabilidad de obtener \(S_z = -\hbar/2\), respectivamente.

Pista

A partir de la ecuación (5.13), lee los coeficientes de expansión de \(|+\rangle_y\) en la base \(z\) y calcula el cuadrado del valor absoluto de cada coeficiente. Piensa en cuánto vale \(|i/\sqrt{2}|^2\).

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B-7. Uso de la delta de Kronecker

Para la delta de Kronecker \(\delta_{ij}\) definida con \(i, j \in \{+, -\}\), calcula la siguiente suma:

\[\sum_{j \in \{+,-\}} \delta_{+j}\,\delta_{j-}\]
Pista

Determina el valor de \(\delta_{+j}\,\delta_{j-}\) para cada caso \(j = +\) y \(j = -\), y luego súmalos. Utiliza que \(\delta_{++} = 1\), \(\delta_{+-} = 0\), etc.

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B-8. Componentes de la matriz de cambio de base

Utilizando las ecuaciones (5.13) y (5.14), escribe cada componente de la matriz de cambio de base de la base \(z\) a la base \(y\):

\[U = \begin{pmatrix} \langle+|+\rangle_y & \langle+|-\rangle_y \\ \langle-|+\rangle_y & \langle-|-\rangle_y \end{pmatrix}\]
Pista

A partir de \(|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\), puedes leer directamente \(\langle+|+\rangle_y\) y \(\langle-|+\rangle_y\). Lo mismo aplica para \(|-\rangle_y\).

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Intermedio

M-1. Derivar la condición de normalización a partir de la relación de completitud

Utilizando la relación de completitud \(|+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-| = \mathbf{1}\) y la definición del producto interno, demuestra que para cualquier estado normalizado \(|\psi\rangle\) (\(\langle\psi|\psi\rangle = 1\)) se cumple

\[|\langle+|\psi\rangle|^2 + |\langle-|\psi\rangle|^2 = 1\]
Pista

Inserta la relación de completitud \(\mathbf{1} = |+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-|\) entre \(|\psi\rangle\) y \(\langle\psi|\) en el lado izquierdo de \(\langle\psi|\psi\rangle = 1\). Es decir, desarrolla \(\langle\psi|\mathbf{1}|\psi\rangle\).

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M-2. Relación de completitud en la base \(x\)

Usando las ecuaciones (5.11) y (5.12), verifica que la relación de completitud para la base en la dirección \(x\)

\[|+\rangle_x\,{}_x\langle+| + |-\rangle_x\,{}_x\langle-| = \mathbf{1}\]

se cumple, calculando la representación matricial en la base \(z\).

Pista

Expresa \(|+\rangle_x\) como el vector columna \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) y \({}_x\langle+|\) como el vector fila \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\). El producto externo \(|+\rangle_x\,{}_x\langle+|\) resulta en una matriz \(2\times 2\). Calcula \(|-\rangle_x\,{}_x\langle-|\) de manera similar y muestra que la suma de ambas matrices da la matriz identidad \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).

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M-3. Unitariedad de la matriz de cambio de base

Demuestra que la matriz de cambio de base de la ecuación (5.15)

\[U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

es una matriz unitaria (unitary matrix), es decir, que satisface \(U^\dagger U = \mathbf{1}\). Aquí \(U^\dagger\) es la traspuesta conjugada compleja (conjugada hermítica) de \(U\).

Pista

Dado que todas las componentes de \(U\) son reales, se tiene \(U^\dagger = U^T\) (matriz traspuesta). Basta con calcular \(U^T U\) y verificar que resulta la matriz identidad de \(2\times 2\).

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M-4. Probabilidad en mediciones sucesivas

Considera el siguiente experimento sucesivo de Stern-Gerlach:

  1. Con un aparato en la dirección \(z\), se selecciona únicamente el haz con espín hacia arriba (\(S_z = +\hbar/2\)).
  2. El haz seleccionado se hace pasar por un aparato en la dirección \(x\).
  3. Del aparato en la dirección \(x\), se selecciona únicamente el haz con \(S_x = +\hbar/2\).
  4. El haz seleccionado se hace pasar nuevamente por un aparato en la dirección \(z\).

Determina la probabilidad de obtener \(S_z = -\hbar/2\) en la etapa final, siguiendo paso a paso las amplitudes de probabilidad en cada etapa.

Pista

Usa la regla de "multiplicar amplitudes y luego sumar" de Cap. 4. El estado después del paso 1 es \(|+\rangle\). La amplitud de que se seleccione \(|+\rangle_x\) en el paso 2 es \({}_x\langle+|+\rangle\). La amplitud de encontrar \(|-\rangle\) en el paso 4 es \(\langle-|+\rangle_x\). La amplitud total es el producto de estas.

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Avanzado

A-1. Autoestados de espín en una dirección arbitraria

Considera un vector unitario \(\hat{\mathbf{n}} = (\sin\theta\cos\phi,\;\sin\theta\sin\phi,\;\cos\theta)\) orientado en la dirección definida por el ángulo polar \(\theta\) y el ángulo azimutal \(\phi\) respecto al eje \(z\). Verifica, siguiendo los pasos indicados a continuación, que el autoestado correspondiente a la componente de espín en la dirección \(\hat{\mathbf{n}}\), \(S_{\hat{n}} = +\hbar/2\), viene dado por

\[|+\rangle_{\hat{n}} = \cos\frac{\theta}{2}\,|+\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\,|-\rangle\]

(a) Comprueba que cuando \(\theta = 0\) se obtiene \(|+\rangle_{\hat{n}} = |+\rangle\), y que cuando \(\theta = \pi\) se obtiene \(|+\rangle_{\hat{n}} = e^{i\phi}|-\rangle\) (es decir, \(|-\rangle\) salvo una fase global).

(b) Comprueba que cuando \(\theta = \pi/2,\;\phi = 0\) se reproduce \(|+\rangle_x\) de la ecuación (5.11).

(c) Comprueba que cuando \(\theta = \pi/2,\;\phi = \pi/2\) se reproduce \(|+\rangle_y\) de la ecuación (5.13).

(d) Demuestra que este estado está normalizado (\({}_{\hat{n}}\langle+|+\rangle_{\hat{n}} = 1\)).

(e) Demuestra que al medir este estado en la dirección \(z\), la probabilidad de obtener \(S_z = +\hbar/2\) es \(\cos^2(\theta/2)\), y discute el significado geométrico de \(\theta\).

Pista

(a)–(c) se resuelven simplemente sustituyendo los valores de \(\theta\) y \(\phi\). (d) se calcula \(|\cos(\theta/2)|^2 + |e^{i\phi}\sin(\theta/2)|^2\). La probabilidad en (e) es \(|\langle+|+\rangle_{\hat{n}}|^2 = \cos^2(\theta/2)\), lo cual corresponde al cuadrado del coseno de "la mitad del ángulo" entre \(|+\rangle\) (polo norte) y \(|+\rangle_{\hat{n}}\) en la esfera de Bloch.

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A-2. "Qué camino se tomó" y la desaparición de la interferencia

Considera el siguiente experimento mental.

Configuración: Después de separar un haz de átomos de plata en \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\) mediante un aparato de Stern-Gerlach en la dirección \(z\), los dos haces se recombinan sin ser bloqueados, y luego se realiza una medición con un aparato de Stern-Gerlach en la dirección \(x\).

(a) Considera el caso en que los dos haces se recombinan completamente y no es posible distinguir por cuál camino pasó el átomo. Cuando el estado inicial es \(|+\rangle_x\), calcula la probabilidad de obtener \(S_x = +\hbar/2\) al final, utilizando la regla de "sumar las amplitudes y luego tomar el módulo al cuadrado" de Cap. 4.

(b) Ahora supón que se coloca una marca solo en el camino \(|+\rangle\), de modo que "es posible distinguir por cuál camino pasó". En este caso se aplica la regla de "sumar las probabilidades". Calcula la probabilidad de obtener \(S_x = +\hbar/2\) y compara con el resultado de (a).

(c) Explica la diferencia entre los resultados de (a) y (b) mostrando explícitamente el "término de interferencia", y discute desde la perspectiva de las reglas de amplitudes de probabilidad de Cap. 4 cómo "la obtención de información sobre el camino destruye la interferencia".

Pista

(a) Expande el estado inicial \(|+\rangle_x\) en la base \(z\) y suma las amplitudes que pasan por los estados intermedios \(|+\rangle\), \(|-\rangle\): amplitud \(= \sum_{j=\pm} {}_x\langle+|j\rangle\langle j|+\rangle_x\). Recuerda la relación de completitud. (b) Cuando los caminos son distinguibles, se suman las probabilidades: \(P = \sum_{j=\pm} |{}_x\langle+|j\rangle|^2\,|\langle j|+\rangle_x|^2\). (c) La diferencia entre ambos corresponde al término de interferencia (término cruzado).

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