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Apéndice E Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Valor absoluto y argumento de un número complejo

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Problema:

Determina el valor absoluto \(|z|\) y el argumento \(\arg(z)\) de \(z = 1 + i\). Escríbelo en forma polar \(z = re^{i\theta}\).

\(|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)

\(\arg(z) = \arctan(1/1) = \pi/4\) (primer cuadrante)

Forma polar: \(z = \sqrt{2}\, e^{i\pi/4}\)

B-2. Fórmula de Euler \(e^{i\pi}+1=0\)

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Problema:

Utilizando la fórmula de Euler, verifica que \(e^{i\pi} + 1 = 0\). Enumera las cinco constantes matemáticas contenidas en esta expresión (\(e, i, \pi, 1, 0\)).

\(e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + i \cdot 0 = -1\)

\(e^{i\pi} + 1 = 0\) ✓

Las 5 constantes matemáticas que contiene: \(e\) (base del logaritmo natural), \(i\) (unidad imaginaria), \(\pi\) (razón entre la circunferencia y el diámetro), \(1\) (elemento neutro de la multiplicación), \(0\) (elemento neutro de la suma).

B-3. Producto en forma polar

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Problema:

Dados los números complejos \(z_1 = 2e^{i\pi/3}\) y \(z_2 = 3e^{i\pi/6}\), encuentra el producto \(z_1 z_2\) en forma polar y luego conviértelo a forma rectangular \(a + bi\).

\(z_1 z_2 = 2e^{i\pi/3} \cdot 3e^{i\pi/6} = 6\, e^{i(\pi/3 + \pi/6)} = 6\, e^{i\pi/2}\)

\(= 6(\cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2)) = 6i\)

B-4. Cauchy-Riemann: verificación con \(z^2\)

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Problema:

Verifica que \(f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = (x^2-y^2) + 2ixy\) satisface las relaciones de Cauchy-Riemann.

\(f(z) = (x+iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy\)

\(u = x^2 - y^2, \quad v = 2xy\)

Verificación de las relaciones de CR:

\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x\) → \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\) ✓

\(\frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad -\frac{\partial v}{\partial x} = -2y\) → \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\) ✓

B-5. Cauchy-Riemann: \(|z|^2\) no las satisface

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Problema:

Verifica que \(f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2\) no satisface las relaciones de Cauchy-Riemann.

\(f = x^2 + y^2\) (función de valor real, por lo que \(v = 0\))

\(u = x^2 + y^2, \quad v = 0\)

\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0\)

\(2x = 0\) solo se cumple para \(x = 0\). En general, \(\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}\).

Como no satisface las relaciones de CR, \(|z|^2\) no es holomorfa.

B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)

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Problema:

Usando la definición de la derivada de Wirtinger

\[ \partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y) \]

demuestra que para \(f(z) = z^2\) (donde \(z = x + iy\)) se cumple \(\partial_z(z^2) = 2z\).

\(z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy\)

\(\partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)\)

\(\partial_x(z^2) = 2x + 2iy = 2(x + iy) = 2z\)

\(\partial_y(z^2) = -2y + 2ix = 2i(x + iy) = 2iz\)

\(\partial_z(z^2) = \frac{1}{2}(2z - i \cdot 2iz) = \frac{1}{2}(2z + 2z) = 2z\) ✓

B-7. Residuo de \(1/(z-1)\)

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Problema:

Calcula el residuo de \(f(z) = 1/(z-1)\) en \(z = 1\).

\(z = 1\) es un polo de primer orden.

\(\text{Res}_{z=1} \frac{1}{z-1} = \lim_{z \to 1}(z-1) \cdot \frac{1}{z-1} = 1\)

B-8. Desarrollo de Laurent de \(1/z^2\) y residuo

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Problema:

Escribe el desarrollo de Laurent de \(f(z) = 1/z^2\) en \(z = 0\) y confirma que el residuo es \(0\).

\(f(z) = z^{-2}\)

Esta ya está en forma de expansión de Laurent. \(a_{-2} = 1\), \(a_{-1} = 0\), y todos los demás son cero.

Residuo \(= a_{-1} = 0\).

\(z = 0\) es un polo de orden 2 (\(a_{-2} \neq 0\), \(a_n = 0\) para \(n < -2\)).

B-9. Desarrollo de Laurent de \(e^{1/z}\)

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Problema:

Escribe el desarrollo de Laurent de \(e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! z^n}\) en \(z = 0\) y confirma que el residuo (el coeficiente de \(z^{-1}\)) es \(1\). ¿Qué tipo de singularidad es \(z = 0\)?

Sustituyendo \(w = 1/z\) en \(e^w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{w^n}{n!}\):

\(e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!\, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \frac{1}{6z^3} + \cdots\)

Residuo (coeficiente de \(z^{-1}\)) \(= a_{-1} = 1\) ✓

Como la parte principal (términos con \(n < 0\)) se extiende infinitamente, \(z = 0\) es una singularidad esencial.

Intermedio

M-1. Residuos de \(z/[(z-1)(z-2)]\)

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Problema:

Determina los residuos de \(f(z) = \frac{z}{(z-1)(z-2)}\) en \(z = 1\) y \(z = 2\), respectivamente, y calcula \(\oint_{|z|=3} f(z) dz\).

Residuo en \(z = 1\): \(\lim_{z \to 1}(z-1) \cdot \frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{1}{1-2} = -1\)

Residuo en \(z = 2\): \(\lim_{z \to 2}(z-2) \cdot \frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{2}{2-1} = 2\)

Dado que ambos polos están contenidos en el interior del círculo \(|z| = 3\):

\(\oint_{|z|=3} f(z)\,dz = 2\pi i(-1 + 2) = 2\pi i\)

M-2. Composición de transformaciones de Möbius

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Problema:

Dadas dos transformaciones de Möbius \(w_1(z) = (z+1)/(z-1)\) y \(w_2(w) = 2w + 3\), encuentra la transformación compuesta \(w_2(w_1(z))\) y verifica que el producto matricial correspondiente coincide.

Solución:

Primero \(w_1(z) = (z+1)/(z-1)\). La matriz es:

\[M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

Luego \(w_2(w) = 2w + 3\). Como \(w_2(w) = (2w+3)/(0\cdot w + 1)\):

\[M_2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Cálculo directo de la composición \(w_2(w_1(z))\):

\[w_2(w_1(z)) = 2 \cdot \frac{z+1}{z-1} + 3 = \frac{2(z+1) + 3(z-1)}{z-1} = \frac{5z - 1}{z-1}\]

Producto matricial \(M_2 M_1\):

\[M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+3 & 2-3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

La transformación de Möbius correspondiente es \((5z - 1)/(z - 1)\), que coincide con el cálculo directo ✓

Avanzado

A-1. Transformación conforme \(w = 1/z\)

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Problema:

Determina a dónde la transformación conforme \(w = 1/z\) envía el círculo unitario \(|z| = 1\) del plano \(z\) en el plano \(w\). Además, determina a dónde envía el eje real del plano \(z\) en el plano \(w\).

Imagen del círculo unitario \(|z| = 1\):

Cuando \(|z| = 1\), tenemos \(z = e^{i\theta}\). Entonces \(w = 1/z = e^{-i\theta}\).

Como \(|w| = 1\), el círculo unitario se transforma en el propio círculo unitario (aunque el sentido de recorrido se invierte).

Imagen del eje real:

Cuando \(z = x\) (\(x\) es real, \(x \neq 0\)), tenemos \(w = 1/x\) (real).

El eje real se transforma en el propio eje real. Sin embargo, \(x > 0\) se transforma en \(w > 0\), \(x < 0\) se transforma en \(w < 0\), cuando \(x \to 0^+\) se tiene \(w \to +\infty\), y cuando \(x \to \pm\infty\) se tiene \(w \to 0\).

A-2. Términos cruzados de \(\partial X\) y \(\bar\partial X\)

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Problema:

En el texto E.8「Función de Green del campo libre en 2D」 se derivó la función de 2 puntos \(\langle X(z,\bar z)\, X(w,\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2\). A partir de este resultado, demuestra lo siguiente:

(a) Que \(\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(w)\rangle\) es 0 para \(z \neq w\). (b) Que \(\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\, \frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}\) (OPE del lado antiholomorfo).

Pista: Descompón \(\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)\) y utiliza el hecho de que \(\partial_z\) solo actúa sobre la parte holomorfa y \(\partial_{\bar z}\) solo sobre la parte antiholomorfa.

Solución:

(a) Cálculo de \(\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(w)\rangle\):

\[\langle X(z,\bar z)\, X(w, \bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2 = -\frac{\alpha'}{2}[\ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)]\]

Derivando respecto a \(z\):

\[\partial_z \langle XX\rangle = -\frac{\alpha'}{2} \cdot \frac{1}{z-w}\]

(El término \(\ln(\bar z - \bar w)\) no depende de \(z\), por lo que se anula.)

A continuación, derivando respecto a \(\bar w\):

\[\partial_{\bar w}\left[-\frac{\alpha'}{2}\cdot\frac{1}{z-w}\right] = 0\]

(\(1/(z-w)\) no depende de \(\bar w\), por lo que es 0.)

Por lo tanto:

\[\boxed{\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = 0 \qquad (z \neq w)}\]

Las partes holomorfa y antiholomorfa se separan completamente. Esta es la base de la "independencia de los sectores izquierdo y derecho" en la teoría de campos conforme.

(b) Cálculo de \(\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle\):

Al derivar respecto a \(\bar z\), solo sobrevive la parte antiholomorfa:

\[\partial_{\bar z} \langle XX\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\cdot\frac{1}{\bar z - \bar w}\]

A continuación, derivando respecto a \(\bar w\) (prestando atención al signo del lado \(\bar w\) visto desde el lado \(\bar z\)):

\[\partial_{\bar w}\frac{1}{\bar z - \bar w} = \frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}\]

Por lo tanto:

\[\boxed{\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\cdot\frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}}\]

El sector antiholomorfo también tiene una forma completamente simétrica bajo \(z \leftrightarrow \bar z\), con la misma estructura que el sector holomorfo.