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Cap. 3 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Derivación de la identidad de las funciones hiperbólicas

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Estrategia de resolución: Se elevan al cuadrado las definiciones de \(\cosh\varphi\) y \(\sinh\varphi\), respectivamente, y se calcula su diferencia.

Cálculo:

\[ \cosh^2\varphi = \left(\frac{e^\varphi + e^{-\varphi}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2\varphi} + 2e^0 + e^{-2\varphi}}{4} = \frac{e^{2\varphi} + 2 + e^{-2\varphi}}{4} \]
\[ \sinh^2\varphi = \left(\frac{e^\varphi - e^{-\varphi}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2\varphi} - 2e^0 + e^{-2\varphi}}{4} = \frac{e^{2\varphi} - 2 + e^{-2\varphi}}{4} \]

Tomando la diferencia,

\[ \cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = \frac{(e^{2\varphi} + 2 + e^{-2\varphi}) - (e^{2\varphi} - 2 + e^{-2\varphi})}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1} \]

Verificación: Sustituyendo \(\varphi = 0\) se obtiene \(\cosh 0 = 1\), \(\sinh 0 = 0\), por lo que \(1 - 0 = 1\). ✓

B-2. Relación entre la rapidez y el factor de Lorentz

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Estrategia de resolución: Se combina \(\tanh\varphi = v/c\) con la identidad \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1\).

Cálculo:

De \(\tanh\varphi = \sinh\varphi / \cosh\varphi = v/c\) se obtiene:

\[ \sinh\varphi = \frac{v}{c}\cosh\varphi \tag{1} \]

Sustituyendo en la identidad:

\[ \cosh^2\varphi - \frac{v^2}{c^2}\cosh^2\varphi = 1 \]
\[ \cosh^2\varphi\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = 1 \]
\[ \cosh^2\varphi = \frac{1}{1 - v^2/c^2} \]

Como \(\cosh\varphi > 0\) (evidente por definición):

\[ \boxed{\cosh\varphi = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma} \]

Sustituyendo en la ecuación (1):

\[ \boxed{\sinh\varphi = \frac{v/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\frac{v}{c}} \]

Verificación: \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = \gamma^2 - \gamma^2 v^2/c^2 = \gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1\). ✓

B-3. Cálculo de contracción de la matriz de transformación de Lorentz

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Estrategia de resolución: Se expande \(dx^{1'} = \Lambda^{1'}{}_{\nu}\,dx^\nu\) para \(\nu = 0, 1, 2, 3\).

Cálculo:

\[ dx^{1'} = \Lambda^{1'}{}_{0}\,dx^0 + \Lambda^{1'}{}_{1}\,dx^1 + \Lambda^{1'}{}_{2}\,dx^2 + \Lambda^{1'}{}_{3}\,dx^3 \]

Leyendo cada componente de la segunda fila de la matriz (la fila \(\mu' = 1\)),

\[ \Lambda^{1'}{}_{0} = -\gamma v, \quad \Lambda^{1'}{}_{1} = \gamma, \quad \Lambda^{1'}{}_{2} = 0, \quad \Lambda^{1'}{}_{3} = 0 \]

Sustituyendo \(dx^\mu = (dt,\, dx,\, 0,\, 0)\),

\[ dx^{1'} = (-\gamma v)\,dt + \gamma\,dx + 0 + 0 \]
\[ \boxed{dx' = \gamma(dx - v\,dt)} \]

Verificación: Si establecemos \(dx' = 0\) (el origen de \(S'\)), se obtiene \(dx = v\,dt\), es decir, el origen de \(S'\) se mueve con velocidad \(v\) en el sistema \(S\). ✓

Intermedio

M-1. Cálculo detallado de la determinación de los coeficientes de la transformación de Lorentz

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Estrategia de resolución: Expresar \(a_2\) en función de \(a_1, a_6\) a partir de la ecuación del término cruzado, y luego resolver simultáneamente las ecuaciones de \(dx^2\) y \(dt^2\) para determinar \(a_1, a_6\).

(a) Expresar \(a_2\) a partir de la ecuación del término cruzado

De la ecuación del coeficiente del término cruzado \(dt\,dx\):

\[ -2\,c^2\,a_1\,a_2 - 2\,a_6^2\,v = 0 \]

se obtiene:

\[ a_2 = -\frac{a_6^2\,v}{c^2\,a_1} \tag{1} \]

(b) Sustitución en la ecuación de \(dx^2\)

Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación del coeficiente de \(dx^2\):

\[ -c^2\,a_2^2 + a_6^2 = 1 \]
\[ -c^2 \cdot \frac{a_6^4\,v^2}{c^4\,a_1^2} + a_6^2 = 1 \]
\[ -\frac{a_6^4\,v^2}{c^2\,a_1^2} + a_6^2 = 1 \]

Multiplicando ambos miembros por \(c^2\,a_1^2\):

\[ -a_6^4\,v^2 + a_6^2\,c^2\,a_1^2 = c^2\,a_1^2 \tag{2} \]

(c) Expresar \(a_1^2\) a partir de la ecuación de \(dt^2\)

De la ecuación del coeficiente de \(dt^2\):

\[ -c^2\,a_1^2 + a_6^2\,v^2 = -c^2 \]

se obtiene:

\[ c^2\,a_1^2 = c^2 + a_6^2\,v^2 \tag{3} \]

(d) Determinar \(a_6^2\)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2):

\[ -a_6^4\,v^2 + a_6^2\,(c^2 + a_6^2\,v^2) = c^2 + a_6^2\,v^2 \]

Desarrollando el lado izquierdo:

\[ -a_6^4\,v^2 + a_6^2\,c^2 + a_6^4\,v^2 = c^2 + a_6^2\,v^2 \]

Los términos \(a_6^4\,v^2\) se cancelan:

\[ a_6^2\,c^2 = c^2 + a_6^2\,v^2 \]

Despejando \(a_6^2\):

\[ a_6^2\,(c^2 - v^2) = c^2 \]
\[ a_6^2 = \frac{c^2}{c^2 - v^2} = \frac{1}{1 - v^2/c^2} \]

(e) Determinación del signo (continuidad)

Dado que en el límite \(v \to 0\) se debe recuperar la transformación identidad \(a_6 \to +1\), el signo de \(a_6\) debe ser positivo:

\[ a_6 = +\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma \]

(Si se eligiera el signo negativo, se obtendría una transformación con inversión espacial que no se reduce a la identidad en el límite continuo \(v = 0\).)

(f) Determinar \(a_1\) y \(a_2\)

Sustituyendo \(a_6^2 = \gamma^2\) en la ecuación (3):

\[ c^2\,a_1^2 = c^2 + \gamma^2\,v^2 = c^2 + \frac{v^2}{1 - v^2/c^2} = \frac{c^2(1 - v^2/c^2) + v^2}{1 - v^2/c^2} = \frac{c^2}{1 - v^2/c^2} \]

Por lo tanto \(a_1^2 = 1/(1 - v^2/c^2) = \gamma^2\). Por continuidad, \(a_1 = +\gamma\).

Sustituyendo \(a_1 = \gamma\), \(a_6 = \gamma\) en la ecuación (1):

\[ a_2 = -\frac{\gamma^2\,v}{c^2\,\gamma} = -\frac{\gamma\,v}{c^2} = -\frac{v/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]

Respuesta final

\[ \boxed{a_1 = a_6 = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma, \qquad a_2 = -\frac{v/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = -\frac{\gamma\,v}{c^2}} \]

Verificación: Sustituyendo estos resultados en las ecuaciones de transformación de la sección 3.3 del texto:

\[ t' = a_1\,t + a_2\,x, \qquad x' = a_6(x - v\,t) \]

se obtiene:

\[ t' = \gamma\,t - \frac{\gamma\,v}{c^2}\,x = \gamma\!\left(t - \frac{v\,x}{c^2}\right), \qquad x' = \gamma(x - v\,t) \]

es decir, \(ct' = \gamma(ct - \beta\,x)\), \(x' = \gamma(x - \beta\,c\,t)\) (con \(\beta = v/c\)). Esto coincide con la expresión enmarcada de la sección 3.6 del texto. ✓

M-2. Condición de preservación de la métrica bajo transformaciones de Lorentz

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Estrategia de resolución: Sustituir la \(\Lambda\) concreta en la condición \(\eta_{\mu'\nu'} = \Lambda^{\alpha}{}_{\mu'}\Lambda^{\beta}{}_{\nu'}\eta_{\alpha\beta}\) y verificar.

Sobre la interpretación de los índices: El \(\Lambda^{\alpha}{}_{\mu'}\) del enunciado representa las componentes de la matriz de transformación de coordenadas con prima a coordenadas sin prima (transformación inversa). En el caso de un boost en la dirección \(x\), la transformación inversa se obtiene con \(v \to -v\), por lo que:

\[(\Lambda^{-1})^{\alpha}{}_{\mu'} = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma v & 0 & 0 \\ \gamma v & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Sin embargo, como la matriz del boost en la dirección \(x\) es una matriz simétrica, al leer «fila \(\mu'\), columna \(\nu\)» de \(\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}\) y «fila \(\alpha\), columna \(\mu'\)» de \((\Lambda^{-1})^{\alpha}{}_{\mu'}\), la operación de transposición no afecta al resultado.

De hecho, la condición de preservación de la métrica se puede escribir en forma matricial como \((\Lambda^{-1})^T \eta\, \Lambda^{-1} = \eta\), pero esto es equivalente a \(\Lambda^T \eta\, \Lambda = \eta\) (basta multiplicar por \(\Lambda^T\) por la izquierda y por \(\Lambda\) por la derecha en ambos miembros). A continuación, siguiendo la pista del enunciado, calcularemos usando \(\Lambda^{\alpha}{}_{0'} = (\gamma, -\gamma v, 0, 0)\) (la columna 0 de la matriz de la transformación directa). Para el boost en la dirección \(x\), como la matriz es simétrica, leer las columnas de la transformación directa da el mismo resultado que leer las filas de la transformación inversa.

Verificación para \((\mu', \nu') = (0, 0)\)

\[ \eta_{0'0'} = \Lambda^{\alpha}{}_{0'}\Lambda^{\beta}{}_{0'}\eta_{\alpha\beta} = \sum_{\alpha}\sum_{\beta}\Lambda^{\alpha}{}_{0'}\Lambda^{\beta}{}_{0'}\eta_{\alpha\beta} \]

Como \(\eta_{\alpha\beta}\) es diagonal, solo sobreviven los términos con \(\alpha = \beta\):

\[ = (\Lambda^{0}{}_{0'})^2 \eta_{00} + (\Lambda^{1}{}_{0'})^2 \eta_{11} + (\Lambda^{2}{}_{0'})^2 \eta_{22} + (\Lambda^{3}{}_{0'})^2 \eta_{33} \]
\[ = \gamma^2 \cdot (-1) + (-\gamma v)^2 \cdot (+1) + 0 + 0 \]
\[ = -\gamma^2 + \gamma^2 v^2 = \gamma^2(v^2 - 1) = \frac{v^2 - 1}{1 - v^2} = -1 \]

Esto coincide con \(\eta_{0'0'} = -1\). ✓

Verificación para \((\mu', \nu') = (0, 1)\)

\[ \eta_{0'1'} = \Lambda^{\alpha}{}_{0'}\Lambda^{\beta}{}_{1'}\eta_{\alpha\beta} = \sum_{\alpha}\Lambda^{\alpha}{}_{0'}\Lambda^{\alpha}{}_{1'}\eta_{\alpha\alpha} \]
\[ = \Lambda^{0}{}_{0'}\Lambda^{0}{}_{1'}\eta_{00} + \Lambda^{1}{}_{0'}\Lambda^{1}{}_{1'}\eta_{11} \]
\[ = (\gamma)(-\gamma v)(-1) + (-\gamma v)(\gamma)(+1) \]
\[ = \gamma^2 v - \gamma^2 v = 0 \]

Esto coincide con \(\eta_{0'1'} = 0\). ✓

Respuesta final: Se ha confirmado que ambas componentes satisfacen la condición de preservación de la métrica de Minkowski.

Comprobación: También se puede verificar en forma matricial que \(\Lambda^T \eta \Lambda = \eta\). Como \(\det\Lambda = \gamma^2 - \gamma^2 v^2 = \gamma^2(1-v^2) = 1\), \(\Lambda\) es una transformación de Lorentz propia. ✓

M-3. Consecuencias cuantitativas de la relatividad de la simultaneidad

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Estrategia de resolución: Sustituir \(\Delta t = 0\), \(\Delta x = L\) en la componente temporal de la transformación de Lorentz.

Cálculo

La componente temporal de la transformación de Lorentz (escribiendo \(c\) explícitamente) es:

\[ \Delta t' = \gamma\left(\Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x\right) \]

Para dos eventos que en el sistema \(S\) son simultáneos (\(\Delta t = 0\)) y están separados por una distancia \(\Delta x = L\):

\[ \Delta t' = \gamma\left(0 - \frac{v}{c^2} \cdot L\right) = -\frac{\gamma v L}{c^2} \]
\[ \boxed{\Delta t' = -\frac{\gamma v L}{c^2}} \]

Consecuencias de la relatividad de la simultaneidad

Este resultado muestra lo siguiente:

  1. La simultaneidad no es absoluta: Dos eventos que eran simultáneos (\(\Delta t = 0\)) en el sistema \(S\), en general no son simultáneos en el sistema \(S'\) (\(\Delta t' \neq 0\)). \(\Delta t' = 0\) solo se cumple cuando \(v = 0\) (ambos sistemas son el mismo) o \(L = 0\) (eventos en el mismo lugar).

  2. La diferencia temporal es proporcional a la distancia: \(|\Delta t'| = \gamma v L / c^2\), por lo que cuanto mayor sea la distancia espacial \(L\) entre los dos eventos, mayor será la diferencia temporal en el sistema \(S'\).

  3. El orden temporal depende del signo de \(v\): Cuando \(v > 0\), \(\Delta t' < 0\) (el evento con mayor coordenada \(x\) ocurre primero); cuando \(v < 0\), \(\Delta t' > 0\) (el evento con menor coordenada \(x\) ocurre primero). El orden temporal de eventos simultáneos separados espacialmente puede invertirse dependiendo del estado de movimiento del observador.

  4. Consistencia con la causalidad: El intervalo espacio-temporal de dos eventos con \(\Delta t = 0\), \(\Delta x = L \neq 0\) es \(\Delta s^2 = -c^2(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 = L^2 > 0\) (tipo espacio). Como no existe relación causal entre eventos separados por un intervalo tipo espacio, el hecho de que el orden temporal dependa del observador no viola la causalidad.

Verificación

Comprobación dimensional: \([\gamma v L / c^2] = (\text{m/s})(\text{m})/(\text{m/s})^2 = \text{s}\). Correcto, tiene dimensiones de tiempo. ✓

Límite \(v \ll c\): \(\gamma \approx 1\) y \(\Delta t' \approx -vL/c^2\). Para escalas cotidianas (\(v \sim 10\;\text{m/s}\), \(L \sim 1\;\text{m}\)), \(|\Delta t'| \sim 10^{-16}\;\text{s}\), extremadamente pequeño, por lo que el desfase de simultaneidad es indetectable. ✓

M-4. Relación entre tiempo propio y tiempo coordenado

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Estrategia de resolución: Factorizar \(dt^2\) en \(d\tau^2 = -ds^2\) y sustituir la velocidad tridimensional.

Cálculo:

Definición del tiempo propio (\(c = 1\)):

\[ d\tau^2 = -ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \]

Factorizando \(dt^2\):

\[ d\tau^2 = dt^2\left(1 - \frac{dx^2}{dt^2} - \frac{dy^2}{dt^2} - \frac{dz^2}{dt^2}\right) \]

Usando la velocidad tridimensional \(v^i = dx^i/dt\), con \(v^2 = (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2\), se obtiene:

\[ d\tau^2 = dt^2(1 - v^2) \]
\[ \frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - v^2} = \frac{1}{\gamma} \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{\gamma}} \]

Significado físico: Dado que \(\gamma \geq 1\) (con igualdad solo cuando \(v = 0\)), se tiene \(d\tau \leq dt\). Es decir, el reloj que acompaña a la partícula (que marca el tiempo propio \(\tau\)) siempre avanza más lentamente que el tiempo coordenado \(t\). Esto es la dilatación del tiempo (time dilation).

Para intervalos de tiempo finitos:

\[ \Delta\tau = \int \frac{dt}{\gamma} < \Delta t \]

"Los relojes en movimiento se atrasan": comparado con el tiempo coordenado \(\Delta t\) de un observador en reposo, el tiempo propio \(\Delta\tau\) de la partícula en movimiento es menor.

Verificación: Cuando \(v = 0\), \(\gamma = 1\) y \(d\tau = dt\) (un reloj en reposo marca el mismo tiempo que el tiempo coordenado). ✓ Análisis dimensional: restaurando \(c\) se obtiene \(d\tau/dt = \sqrt{1 - v^2/c^2}\), y para \(v \ll c\) se tiene \(d\tau \approx dt\). ✓

M-5. Derivación de la regla de composición de velocidades

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Estrategia de resolución: Utilizar la aditividad de la rapidez y la fórmula de adición de \(\tanh\).

Cálculo:

Sea \(\varphi_1\) la rapidez del boost \(S \to S'\) y \(\varphi_2\) la rapidez del boost \(S' \to S''\). Dado que la matriz del boost de Lorentz se escribe en términos de funciones hiperbólicas, la composición de dos boosts es

\[ \Lambda(\varphi_2)\Lambda(\varphi_1) = \Lambda(\varphi_1 + \varphi_2) \]

Es decir, la rapidez de la composición es

\[ \varphi_{12} = \varphi_1 + \varphi_2 \]

La velocidad compuesta \(v_{12}\) viene dada por \(\tanh\varphi_{12} = v_{12}\) (con \(c = 1\)). Usando la fórmula de adición de \(\tanh\),

\[ v_{12} = \tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = \frac{\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2}{1 + \tanh\varphi_1\,\tanh\varphi_2} \]

Sustituyendo \(\tanh\varphi_1 = v_1\), \(\tanh\varphi_2 = v_2\),

\[ \boxed{v_{12} = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2}} \]

Verificación:

  • Cuando \(v_1, v_2 \ll 1\), se obtiene \(v_{12} \approx v_1 + v_2\) (se reduce a la adición de velocidades de Galileo). ✓
  • Cuando \(v_1 = 1\) (velocidad de la luz), \(v_{12} = (1 + v_2)/(1 + v_2) = 1\) (la velocidad de la luz permanece invariante). ✓
  • Cuando \(v_1 = v_2 = 0.9\), \(v_{12} = 1.8/1.81 \approx 0.9945 < 1\) (no se supera la velocidad de la luz). ✓

Complemento: Demostración de la aditividad de la rapidez

Escribiendo la matriz del boost en la dirección \(x\) en términos de la rapidez,

\[ \Lambda(\varphi) = \begin{pmatrix} \cosh\varphi & -\sinh\varphi \\ -\sinh\varphi & \cosh\varphi \end{pmatrix} \]

(se muestra solo la parte \(t\)-\(x\), con \(c = 1\)). Calculando el producto de las dos matrices,

\[ \Lambda(\varphi_2)\Lambda(\varphi_1) = \begin{pmatrix} \cosh\varphi_2\cosh\varphi_1 + \sinh\varphi_2\sinh\varphi_1 & -(\cosh\varphi_2\sinh\varphi_1 + \sinh\varphi_2\cosh\varphi_1) \\ -(\sinh\varphi_2\cosh\varphi_1 + \cosh\varphi_2\sinh\varphi_1) & \sinh\varphi_2\sinh\varphi_1 + \cosh\varphi_2\cosh\varphi_1 \end{pmatrix} \]

Aplicando las fórmulas de adición de funciones hiperbólicas \(\cosh(\varphi_1+\varphi_2) = \cosh\varphi_1\cosh\varphi_2 + \sinh\varphi_1\sinh\varphi_2\), \(\sinh(\varphi_1+\varphi_2) = \sinh\varphi_1\cosh\varphi_2 + \cosh\varphi_1\sinh\varphi_2\), se obtiene

\[ = \Lambda(\varphi_1 + \varphi_2) \quad \checkmark \]

M-6. Relatividad de la simultaneidad (ejemplo concreto)

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Estrategia de resolución: Aplicar la transformación de Lorentz a los eventos \(A = (0, 0)\), \(B = (0, L)\) en el sistema \(S\).

Cálculo:

(a) Cálculo de la diferencia temporal

Componente temporal de la transformación de Lorentz (\(c = 1\)):

\[ t' = \gamma(t - vx) \]

Evento \(A\): \(t_A = 0\), \(x_A = 0\)

\[ t'_A = \gamma(0 - v \cdot 0) = 0 \]

Evento \(B\): \(t_B = 0\), \(x_B = L\)

\[ t'_B = \gamma(0 - vL) = -\gamma vL \]

Diferencia temporal:

\[ \boxed{\Delta t' = t'_B - t'_A = -\gamma vL} \]

(b) ¿Cuál ocurre primero?

  • \(v > 0\) (\(S'\) se mueve en la dirección \(+x\)): \(\Delta t' = -\gamma vL < 0\), es decir, \(t'_B < t'_A\). El evento \(B\) ocurre primero.

  • \(v < 0\) (\(S'\) se mueve en la dirección \(-x\)): \(\Delta t' = -\gamma vL > 0\), es decir, \(t'_B > t'_A\). El evento \(A\) ocurre primero.

  • \(v = 0\): \(\Delta t' = 0\). Permanecen simultáneos.

Respuesta final: Dos eventos que son simultáneos en el sistema \(S\) no son, en general, simultáneos en el sistema \(S'\). Cuál ocurre primero depende del signo de \(v\).

Verificación: El intervalo espaciotemporal entre los dos eventos es \(\Delta s^2 = -0 + L^2 = L^2 > 0\) (tipo espacio). Esto es consistente con la conclusión general de que el orden temporal de eventos separados por un intervalo tipo espacio depende del sistema inercial. ✓
Restaurando \(c\): \(\Delta t' = -\gamma vL/c^2\). Para \(v \ll c\), \(\Delta t' \approx -vL/c^2 \approx 0\); a escalas cotidianas, la desviación de la simultaneidad es despreciable. ✓