Apéndice C Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. \(\partial \mathcal{L}/\partial \phi\) de Klein-Gordon
- B-2. \(\partial \mathcal{L}/\partial(\partial\phi)\) de Klein-Gordon
- B-3. Derivadas parciales del Lagrangiano de una cuerda
- B-4. \(\partial \mathcal{L}/\partial \phi\) de la teoría \(\phi^4\)
- B-5. Escritura explícita del operador de d'Alembert
- B-6. Ecuación de Euler–Lagrange para un campo escalar en 2 dimensiones
- B-7. \(\sqrt{-g}\) de la métrica de Minkowski
- B-8. \(\sqrt{-g}\) de la métrica de Schwarzschild
Intermedio
- M-1. Derivación de la ecuación de onda de una cuerda mediante Euler–Lagrange
- M-2. Ecuación de movimiento de la teoría \(\phi^4\)
- M-3. Campo escalar sin masa en espacio-tiempo curvo
- M-4. Derivación del tensor energía-momento
Avanzado
Básico¶
B-1. \(\partial \mathcal{L}/\partial \phi\) de Klein-Gordon¶
$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\,\eta^{\mu\nu}(\partial_\mu \phi)(\partial_\nu \phi) - \frac{m^2}{2}\,\phi^2 $$ está dado. Calcula la derivada parcial respecto a \(\phi\): \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\).
Pista
El único término que contiene \(\phi\) es el término de masa \(-\frac{m^2}{2}\phi^2\). El término con derivadas depende de \(\partial_\mu\phi\), no de \(\phi\) en sí mismo.
B-2. \(\partial \mathcal{L}/\partial(\partial\phi)\) de Klein-Gordon¶
Pista
Al derivar \(\eta^{\alpha\beta}(\partial_\alpha\phi)(\partial_\beta\phi)\) respecto a \(\partial_\mu\phi\), hay contribuciones tanto de \(\alpha = \mu\) como de \(\beta = \mu\). Utiliza la simetría de \(\eta^{\alpha\beta}\).
B-3. Derivadas parciales del Lagrangiano de una cuerda¶
$$\mathcal{L} = \frac{\rho}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)^2 - \frac{\mathcal{T}}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^2 $$ Para esta expresión, calcula \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}\), \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t \psi)}\) y \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x \psi)}\) respectivamente.
Pista
\(\psi\) en sí misma no aparece explícitamente en \(\mathcal{L}\). Trata cada término con derivadas de forma independiente.
B-4. \(\partial \mathcal{L}/\partial \phi\) de la teoría \(\phi^4\)¶
$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\,\eta^{\mu\nu}(\partial_\mu \phi)(\partial_\nu \phi) - \frac{\lambda}{4!}\,\phi^4 $$ Para este lagrangiano, calcula \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\).
Pista
Al derivar \(\phi^4\) respecto a \(\phi\) se obtiene \(4\phi^3\). Presta atención a la combinación con \(4!\).
B-5. Escritura explícita del operador de d'Alembert¶
Pista
Sustituye \(\eta^{00} = -1\), \(\eta^{11} = \eta^{22} = \eta^{33} = +1\) y expande la suma sobre \(\mu, \nu\).
B-6. Ecuación de Euler–Lagrange para un campo escalar en 2 dimensiones¶
Escribe la ecuación de Euler–Lagrange para el campo con la densidad lagrangiana $$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_t \phi)^2 - \frac{1}{2}(\partial_x \phi)^2 - V(\phi) $$ donde \(V(\phi)\) es una función arbitraria de \(\phi\).
Pista
En 2 dimensiones, la suma sobre \(\partial_\mu\) consta de solo 2 términos: \(\mu = t\) y \(\mu = x\). La derivada de \(V(\phi)\) se puede escribir como \(V'(\phi) = dV/d\phi\).
B-7. \(\sqrt{-g}\) de la métrica de Minkowski¶
Pista
El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos diagonales.
B-8. \(\sqrt{-g}\) de la métrica de Schwarzschild¶
$$ds^2 = -!\left(1 - \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2!\theta\, d\varphi^2 $$ Para esta métrica, calcula \(g = \det(g_{\mu\nu})\) y obtén \(\sqrt{-g}\).
Pista
Como la métrica es diagonal, se tiene \(g = g_{tt}\,g_{rr}\,g_{\theta\theta}\,g_{\varphi\varphi}\). Observa que el producto \(g_{tt}\,g_{rr}\) se simplifica notablemente.
Intermedio¶
M-1. Derivación de la ecuación de onda de una cuerda mediante Euler–Lagrange¶
$$\mathcal{L} = \frac{\rho}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)^2 - \frac{\mathcal{T}}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^2 $$ Aplica la ecuación de Euler–Lagrange para campos a esta densidad lagrangiana y deriva la ecuación de onda
$$\rho\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \mathcal{T}\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} $$ Además, expresa la velocidad de propagación de la onda \(v\) en términos de \(\mathcal{T}\) y \(\rho\).
Pista
Utiliza la ecuación de Euler–Lagrange en su versión bidimensional: \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} - \partial_t\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t \psi)}\right) - \partial_x\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x \psi)}\right) = 0\). Reescribe la ecuación de onda en la forma \(\partial_t^2 \psi = v^2 \partial_x^2 \psi\).
M-2. Ecuación de movimiento de la teoría \(\phi^4\)¶
$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\,\eta^{\mu\nu}(\partial_\mu\phi)(\partial_\nu\phi) - \frac{\lambda}{4!}\,\phi^4 $$ Aplica la ecuación de Euler–Lagrange para campos a este lagrangiano y deriva la ecuación de movimiento para \(\phi\). Explica en qué se diferencia la ecuación obtenida de la ecuación de Klein–Gordon sin masa \(\Box\phi = 0\), incluyendo su significado físico.
Pista
La contribución del término \(\phi^4\) aparece como un término de autointeracción no lineal. Verifica que en el límite \(\lambda = 0\) se recupera \(\Box\phi = 0\).
M-3. Campo escalar sin masa en espacio-tiempo curvo¶
$$S = \int d^4x\,\sqrt{-g}\left[-\frac{1}{2}\,g^{\mu\nu}(\partial_\mu\phi)(\partial_\nu\phi)\right] $$ Deduce la ecuación de movimiento siguiendo los pasos indicados a continuación:
(a) Realiza la variación \(\phi \to \phi + \delta\phi\) y calcula \(\delta S\). Ten en cuenta que \(\sqrt{-g}\) no depende de \(\phi\).
(b) Efectúa una integración por partes y obtén la ecuación de movimiento para \(\phi\) a partir de \(\delta S = 0\). Verifica que en espacio-tiempo plano se cumple \(\partial_\mu(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi) \to \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi = \Box\phi\).
Pista
En la integración por partes en espacio-tiempo curvo aparece un término de divergencia total de la forma \(\partial_\mu(\sqrt{-g}\,f^\mu)\). La ecuación de movimiento adopta la forma \(\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi) = 0\).
M-4. Derivación del tensor energía-momento¶
$$T_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}}\,\frac{\delta S_m}{\delta g^{\mu\nu}} $$ Usando esta expresión, deriva \(T_{\mu\nu}\) a partir de la densidad lagrangiana de un campo escalar libre:
Al variar \(S_m = \int d^4x\,\sqrt{-g}\,\mathcal{L}_m\) respecto a \(g^{\mu\nu}\), puedes utilizar que \(\dfrac{\delta(\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\).
Pista
La variación respecto a \(g^{\mu\nu}\) actúa en dos lugares: la contribución directa sobre \(g^{\mu\nu}\) en \(\mathcal{L}_m\) y la contribución a través de \(\sqrt{-g}\). Calcula cada una por separado y súmalas.
Avanzado¶
A-1. Ecuaciones de Maxwell a partir del Lagrangiano del campo electromagnético¶
La densidad lagrangiana del campo electromagnético en el espacio-tiempo de Minkowski 4-dimensional viene dada por
donde \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) es el tensor del campo electromagnético (tensor de Faraday) y \(A_\mu\) es el cuadripotencial electromagnético (electromagnetic four-potential).
(a) Verifica que \(\mathcal{L}_{\text{EM}}\) puede escribirse como \(\mathcal{L}_{\text{EM}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) utilizando \(F^{\mu\nu} \equiv \eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}\).
(b) Aplica la ecuación de Euler–Lagrange para campos respecto a \(A_\nu\) y deriva las ecuaciones de Maxwell en el vacío (sin fuentes)
(c) Muestra que la componente \(\nu = 0\) y las componentes \(\nu = i\) (\(i = 1,2,3\)) corresponden respectivamente a la ley de Gauss \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) y a la ley de Ampère–Maxwell \(\nabla \times \mathbf{B} = \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) (sin fuentes).
Pista
En (b), utiliza que \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0\) (ya que \(A_\nu\) no aparece explícitamente) y aprovecha la antisimetría de \(F_{\alpha\beta}\) al calcular \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\). En (c), usa las correspondencias \(F^{0i} = -E^i\), \(F^{ij} = -\epsilon^{ijk}B_k\).
A-2. Ecuación de Einstein con constante cosmológica¶
Consideremos la acción de Einstein–Hilbert con la adición de la constante cosmológica \(\Lambda\):
(a) Realiza la variación del término \(\sqrt{-g}\,\Lambda\) respecto a \(g^{\mu\nu}\). Puedes utilizar \(\dfrac{\delta(\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\).
(b) Variando la acción total respecto a \(g^{\mu\nu}\) e imponiendo \(\delta S = 0\), demuestra que se obtiene la ecuación de Einstein con constante cosmológica:
$$G_{\mu\nu} + \Lambda\, g_{\mu\nu} = 8\pi G\, T_{\mu\nu} $$ Puedes usar como resultado conocido que la variación de \(\sqrt{-g}\,R\) respecto a \(g^{\mu\nu}\) da \(\sqrt{-g}\left(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\right) = \sqrt{-g}\,G_{\mu\nu}\).
(c) En el caso de vacío (\(T_{\mu\nu} = 0\)), analiza el efecto físico que \(\Lambda > 0\) produce sobre el espaciotiempo, a partir de la estructura de la ecuación de Einstein.
Pista
(a) Como \(\Lambda\) es una constante, la variación actúa únicamente sobre \(\sqrt{-g}\). (b) Suma las variaciones de cada término e iguala a cero. (c) Si trasladas el término \(\Lambda g_{\mu\nu}\) al lado derecho, observa que incluso en el vacío queda una contribución similar a un tensor de energía-momento.
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