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Cap. 2 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Subida y bajada de índices

Bajo la convención de signos \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(+1, -1, -1, -1)\), para el cuadrivector \(V^\mu = (E, p_x, p_y, p_z) = (5, 1, -2, 3)\), escribe todas las componentes covariantes \(V_\mu\).

Pista

Calcula \(V_\mu = \eta_{\mu\nu} V^\nu\) para cada componente. Como \(\eta_{\mu\nu}\) es una matriz diagonal, se tiene \(V_0 = \eta_{00} V^0\), \(V_1 = \eta_{11} V^1\), ...

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B-2. Producto escalar de cuadrivectores

Para los cuadrivectores \(A^\mu = (4, 1, 0, -1)\) y \(B^\mu = (2, 3, 1, 0)\), calcula el producto escalar invariante de Lorentz \(A^\mu B_\mu\).

Pista

Usa \(A^\mu B_\mu = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3\) (consulta la ecuación (2.4) del texto). Puedes primero obtener \(B_\mu\) y luego realizar la contracción, o bien aplicar directamente esta expresión desarrollada.

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B-3. Expansión de la convención de suma de Einstein

Escribe explícitamente todos los términos de la siguiente expresión según la convención de suma de Einstein para \(\mu, \nu = 0, 1, 2, 3\) (utilizando el hecho de que \(\eta_{\mu\nu}\) es una matriz diagonal, conserva solo los términos no nulos).

\[ \eta_{\mu\nu}\, A^\mu\, B^\nu \]
Pista

\(\eta_{\mu\nu}\) es no nulo solo cuando \(\mu = \nu\). Por lo tanto, todos los términos con \(\mu \neq \nu\) se anulan. Escribe los 4 términos que sobreviven.

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B-4. Aplicación del boost de Lorentz

Utilizando el boost de Lorentz \(t' = \gamma(t - vx),\, x' = \gamma(x - vt)\) hacia un sistema de referencia inercial que se mueve con velocidad \(v = 3/5\) (en unidades naturales) en la dirección \(x\), encuentra las coordenadas transformadas \((t', x')\) del punto espacio-temporal \((t, x) = (5, 3)\).

Pista

Primero calcula el factor de Lorentz \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}\). Como \(v = 3/5\), se tiene \(v^2 = 9/25\), \(1 - v^2 = 16/25\). Luego sustituye en \(t' = \gamma(t - vx)\), \(x' = \gamma(x - vt)\).

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B-5. Cálculo de la rapidez

Determina la rapidez \(\beta\) correspondiente a la velocidad \(v = 4/5\) (en unidades naturales). Además, verifica los valores de \(\cosh\beta\) y \(\sinh\beta\).

Pista

A partir de \(v = \tanh\beta\) se obtiene \(\beta = \text{arctanh}(v) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+v}{1-v}\). También puedes usar las relaciones \(\cosh\beta = \gamma\), \(\sinh\beta = \gamma v\).

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B-6. Práctica de contracción de índices

Utilizando la delta de Kronecker \(\delta^\mu{}_\nu\) (igual a 1 cuando \(\mu = \nu\), y 0 en caso contrario), calcula las siguientes contracciones.

\[ \delta^\mu{}_\nu\, A^\nu = \text{?} \]
\[ \eta_{\mu\nu}\, \eta^{\nu\rho} = \text{?} \]
Pista

Primera expresión: \(\delta^\mu{}_\nu\) desempeña el papel de "reemplazar el índice". Segunda expresión: \(\eta_{\mu\nu}\) y \(\eta^{\nu\rho}\) tienen una relación de matrices inversas entre sí. ¿Qué resulta del producto matricial \((\eta)(\eta^{-1})\)?

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B-7. Representación en funciones hiperbólicas de la matriz de boost

Para la matriz de boost en la dirección \(x\) expresada mediante la rapidez \(\beta\)

\[ \Lambda^\mu{}_\nu = \begin{pmatrix} \cosh\beta & -\sinh\beta & 0 & 0 \\ -\sinh\beta & \cosh\beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

calcula el resultado \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\, x^\nu\) de aplicar un boost con \(\beta = \ln 2\) al cuadrivector \(x^\mu = (3, 1, 0, 0)\).

Pista

Cuando \(\beta = \ln 2\), utiliza \(\cosh\beta = \frac{e^\beta + e^{-\beta}}{2} = \frac{2 + 1/2}{2} = \frac{5}{4}\), \(\sinh\beta = \frac{e^\beta - e^{-\beta}}{2} = \frac{2 - 1/2}{2} = \frac{3}{4}\).

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B-8. Análisis dimensional en unidades naturales

En el sistema de unidades naturales (\(c = 1\), \(\hbar = 1\)), expresa la dimensión de las siguientes magnitudes físicas como "potencia de la masa" (\([\text{mass}]^n\)).

(a) Longitud　　(b) Tiempo　　(c) Energía　　(d) Momento　　(e) Fuerza

Pista

De \(c = 1\) se obtiene \([\text{longitud}] = [\text{tiempo}]\). De \(\hbar = 1\) se obtiene \([\text{energía}] \times [\text{tiempo}] = [\text{adimensional}]\). Por lo tanto \([\text{tiempo}] = [\text{energía}]^{-1} = [\text{mass}]^{-1}\). Fuerza = energía / longitud.

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Intermedio

M-1. Derivación de la condición sobre la matriz de transformación de Lorentz

Demuestra que la transformación de Lorentz \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\, x^\nu\) preserva el intervalo invariante \(\eta_{\mu\nu}\, x^\mu\, x^\nu\) bajo la condición

\[ \eta_{\mu\nu}\, \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta} \]

Además, verifica que la expresión matricial de esta condición es \(\Lambda^T \eta \Lambda = \eta\) y deduce a partir de ella que \(\det\Lambda = \pm 1\).

Pista

Sustituye \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\alpha\, x^\alpha\) en \(\eta_{\mu\nu}\, x'^\mu\, x'^\nu = \eta_{\alpha\beta}\, x^\alpha\, x^\beta\). Como esto debe cumplirse para cualquier \(x^\alpha\), compara los coeficientes de \(x^\alpha x^\beta\). Para el determinante, calcula el determinante de ambos lados de \(\det(\Lambda^T \eta \Lambda) = \det\eta\).

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M-2. Aditividad de la rapidez

Considera dos boosts consecutivos en la dirección \(x\). Primero se aplica un boost con rapidez \(\beta_1\), y luego un boost con rapidez \(\beta_2\). Demuestra, calculando el producto de las matrices de boost, que la rapidez de la transformación compuesta es \(\beta_1 + \beta_2\). Además, deduce a partir de esto la regla de composición de velocidades

\[ v = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2} \]
Pista

Calcula el producto de las dos matrices de boost y utiliza los teoremas de adición de funciones hiperbólicas \(\cosh(\beta_1 + \beta_2) = \cosh\beta_1\cosh\beta_2 + \sinh\beta_1\sinh\beta_2\) y \(\sinh(\beta_1 + \beta_2) = \sinh\beta_1\cosh\beta_2 + \cosh\beta_1\sinh\beta_2\). La velocidad es \(v = \tanh\beta\), y se aplica el teorema de adición de \(\tanh\).

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M-3. Cuadrimomento y condición de capa de masa

Definimos el cuadrimomento (four-momentum) de una partícula relativista como \(p^\mu = (E, \mathbf{p})\).

(a) Para una partícula de masa \(m\), calcula el invariante de Lorentz \(p^\mu p_\mu\) y demuestra que la condición de capa de masa (mass-shell condition, on-shell condition)

\[ p^\mu p_\mu = m^2 \]

es equivalente a \(E^2 = \mathbf{p}^2 + m^2\) (en unidades naturales).

(b) Indica cómo queda la condición de capa de masa para una partícula de masa cero (fotón) y deduce la relación entre energía y momento.

(c) Escribe cómo se transforma el cuadrimomento \(p^\mu\) bajo un boost de Lorentz (en la dirección \(x\), con velocidad \(v\)), y deduce \(E = \gamma m\), \(p_x = \gamma m v\) aplicando el boost desde el sistema en reposo \(\mathbf{p} = 0\).

Pista

(a) Usa \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = (p^0)^2 - (p^1)^2 - (p^2)^2 - (p^3)^2 = E^2 - |\mathbf{p}|^2\). (b) Sustituye \(m = 0\). (c) El cuadrimomento es un cuadrivector, por lo que sigue la misma ley de transformación de Lorentz que las coordenadas.

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M-4. Estructura de grupo de las transformaciones de Lorentz

Demuestra que el conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forma un grupo (group) verificando las siguientes 4 condiciones:

(i) Clausura: La composición de dos transformaciones de Lorentz es también una transformación de Lorentz. (ii) Asociatividad: \((\Lambda_1 \Lambda_2)\Lambda_3 = \Lambda_1(\Lambda_2 \Lambda_3)\). (iii) Existencia del elemento identidad: La transformación idéntica \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu\) satisface la condición de transformación de Lorentz. (iv) Existencia del elemento inverso: Para cualquier transformación de Lorentz \(\Lambda\), existe \(\Lambda^{-1}\) y esta también es una transformación de Lorentz.

Además, indica que el subgrupo que satisface \(\det\Lambda = +1\) y \(\Lambda^0{}_0 \geq 1\) se denomina grupo de Lorentz propio ortócrono \(SO^+(1,3)\), y explica que este está compuesto únicamente por transformaciones que se conectan continuamente con la transformación identidad (rotaciones y boosts).

Pista

(i) A partir de \(\Lambda_1^T \eta \Lambda_1 = \eta\) y \(\Lambda_2^T \eta \Lambda_2 = \eta\), demuestra que \((\Lambda_1\Lambda_2)^T \eta (\Lambda_1\Lambda_2) = \eta\). (iv) De \(\det\Lambda = \pm 1 \neq 0\) se deduce que la matriz inversa existe. Demuestra también que la matriz inversa satisface la condición de Lorentz. Los casos \(\det\Lambda = -1\) o \(\Lambda^0{}_0 \leq -1\) corresponden a la inversión espacial (paridad) y la inversión temporal (time reversal).

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Avanzado

A-1. Reglas de transformación de tensores contravariantes y covariantes, y aplicación al tensor de campo electromagnético

(a) Explica la regla de transformación de Lorentz de un tensor contravariante de rango 2, \(T^{\mu\nu}\),

\[ T'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta\, T^{\alpha\beta} \]

como una extensión natural de la regla de transformación de un cuadrivector \(V'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu V^\nu\).

(b) El tensor de campo electromagnético (electromagnetic field tensor) \(F^{\mu\nu}\) es un tensor antisimétrico cuyas componentes están dadas por

\[ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

(en unidades naturales). Al realizar un boost en la dirección \(x\) con velocidad \(v\), determina cómo se mezclan el campo eléctrico y el campo magnético calculando explícitamente \(F'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta\, F^{\alpha\beta}\). En particular, deriva \(E_y' = \gamma(E_y - vB_z)\) y \(B_z' = \gamma(B_z - vE_y)\).

(c) Expresa el invariante de Lorentz \(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\) en términos del campo eléctrico \(\mathbf{E}\) y el campo magnético \(\mathbf{B}\). Describe el significado físico de este invariante.

Pista

(a) La regla de transformación de un tensor general de rango 2 se deriva a partir de la transformación del producto tensorial \(A^\mu B^\nu\). (b) No es necesario calcular todo el producto de matrices \(4 \times 4\); basta con calcular para valores específicos de \(\mu, \nu\) (por ejemplo, con \(\mu=0, \nu=2\) se obtiene \(E_y'\)). (c) Se bajan los índices mediante \(F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F^{\alpha\beta}\) y luego se realiza la contracción. El resultado es \(2(\mathbf{B}^2 - \mathbf{E}^2)\).

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A-2. Generadores del grupo de Lorentz y álgebra de Lie

Escribimos una transformación de Lorentz infinitesimal como \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\) (donde \(\omega^\mu{}_\nu\) es un parámetro infinitesimal).

(a) A partir de la condición de Lorentz \(\eta_{\mu\nu}\, \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta}\), demuestra que \(\omega_{\mu\nu} \equiv \eta_{\mu\alpha}\omega^\alpha{}_\nu\) es antisimétrico (\(\omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu}\)). ¿Cuántos parámetros independientes hay? Indica a qué transformación física (rotación o boost) corresponde cada uno.

(b) Introduce los generadores del grupo de Lorentz \(M^{\mu\nu}\) y establece que una transformación de Lorentz finita puede escribirse como

\[ \Lambda = \exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu} M^{\mu\nu}\right) \]

Verifica que la representación cuadrivectorial (matriz 4×4) de \(M^{\mu\nu}\)

\[ (M^{\mu\nu})^\alpha{}_\beta = i(\eta^{\mu\alpha}\delta^\nu{}_\beta - \eta^{\nu\alpha}\delta^\mu{}_\beta) \]

es correcta para el caso de un boost en la dirección \(x\) (\(\omega_{01} = -\omega_{10} = \beta\), el resto cero).

(c) Verifica la relación de conmutación del álgebra de Lie que satisfacen los generadores

\[ [M^{\mu\nu}, M^{\rho\sigma}] = i(\eta^{\nu\rho}M^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho}M^{\nu\sigma} - \eta^{\nu\sigma}M^{\mu\rho} + \eta^{\mu\sigma}M^{\nu\rho}) \]

para componentes concretas (por ejemplo \([M^{01}, M^{02}]\)) utilizando la representación cuadrivectorial de (b). Explica por qué esta estructura algebraica constituye el punto de partida para la clasificación del espín (campo escalar, campo vectorial, campo espinorial) en la teoría cuántica de campos.

Pista

(a) Sustituye \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\) en la condición de Lorentz e ignora los términos de segundo orden o superior en \(\omega\). El número de componentes independientes de una matriz antisimétrica \(4\times 4\) es \(4 \times 3/2 = 6\). (b) En el caso en que solo \(\omega_{01}\) es no nulo, se tiene \(\Lambda = I - \frac{i}{2}(\omega_{01}M^{01} + \omega_{10}M^{10}) = I - i\omega_{01}M^{01}\). Comprueba si esto reproduce el boost infinitesimal \(\Lambda^0{}_1 = -\beta\), etc. (c) Calcula directamente el producto de matrices. En la teoría cuántica de campos, las diferentes representaciones del grupo de Lorentz (escalar: representación trivial, vectorial: representación 4-dimensional, espinorial: representación 2-dimensional) corresponden a campos con diferente espín.

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