Cap. 7 Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Cálculo del elemento de línea con la métrica de Minkowski y clasificación espacio-temporal
- B-2. Tensor métrico y métrica inversa de la esfera bidimensional
- B-3. Longitud propia en la dirección \(\varphi\) en coordenadas polares
- B-4. Tiempo propio de un observador estático en la métrica de Schwarzschild
- B-5. Componentes de la métrica de Schwarzschild en \(r = 4M\)
- B-6. Componentes de la métrica tipo de Sitter y métrica inversa
- B-7. Longitud propia en la dirección \(\varphi\) en la métrica de Schwarzschild
- B-8. Tiempo propio en la métrica de Rindler
Intermedio
- M-1. Cálculo del área de una esfera
- M-2. Longitud de la circunferencia en el ecuador
- M-3. Derivación del corrimiento al rojo gravitacional (derivación completa a partir de la métrica de Schwarzschild)
- M-4. Longitud propia radial en la métrica de Schwarzschild
- M-5. Número de componentes independientes del tensor métrico
Avanzado
Básico¶
B-1. Cálculo del elemento de línea con la métrica de Minkowski y clasificación espacio-temporal¶
Utilizando la métrica de Minkowski \(\eta_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)\), calcula el elemento de línea \(ds^2 = \eta_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\) para la diferencia de coordenadas entre dos eventos \(dx^\alpha = (dt,\,dx,\,dy,\,dz) = (3,\,1,\,2,\,0)\), y determina si este intervalo es temporal, espacial o luminoso (nulo).
Pista
Desarrolla \(ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) y determina la clasificación según el signo. Si \(ds^2 < 0\), el intervalo es temporal.
B-2. Tensor métrico y métrica inversa de la esfera bidimensional¶
Cuando la métrica bidimensional viene dada por \(ds^2 = a^2\,d\theta^2 + a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\) (donde \(a\) es una constante), identifica las componentes del tensor métrico \(g_{\theta\theta}\), \(g_{\varphi\varphi}\), \(g_{\theta\varphi}\). Además, obtén las componentes de la métrica inversa \(g^{\theta\theta}\), \(g^{\varphi\varphi}\).
Pista
La matriz inversa de una métrica diagonal es el recíproco de cada componente diagonal. \(g^{\theta\theta} = 1/g_{\theta\theta}\).
B-3. Longitud propia en la dirección \(\varphi\) en coordenadas polares¶
En la métrica de coordenadas polares (6.12) del espacio-tiempo plano, determina la longitud propia \(dL\) cuando se varía \(\varphi\) en \(d\varphi\) en un punto fijado en \(r = R\), \(\theta = \pi/4\).
Pista
Haciendo \(dt = dr = d\theta = 0\), calcula \(dL^2 = g_{\varphi\varphi}\,d\varphi^2\). Utiliza \(\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
B-4. Tiempo propio de un observador estático en la métrica de Schwarzschild¶
En la métrica de Schwarzschild (6.14), expresa el tiempo propio \(d\tau\) de un observador estático en \(r = 10M\) en términos del tiempo coordenado \(dt\).
Pista
Sustituyendo \(r = 10M\) en \(d\tau = \sqrt{1 - 2M/r}\,dt\), considerando que el observador está en reposo (\(dr = d\theta = d\varphi = 0\)).
B-5. Componentes de la métrica de Schwarzschild en \(r = 4M\)¶
A partir de las componentes del tensor métrico (6.15) de la métrica de Schwarzschild (6.14), calcula los valores de \(g_{00}\), \(g_{11}\), \(g_{22}\) y \(g_{33}\) (con \(\theta = \pi/2\)) en \(r = 4M\).
Pista
Sustituye \(r = 4M\) en \(g_{00} = -(1-2M/r)\). Para \(g_{11}\), presta atención al signo del inverso.
B-6. Componentes de la métrica tipo de Sitter y métrica inversa¶
Dada la métrica \(ds^2 = -dt^2 + e^{2Ht}(dx^2 + dy^2 + dz^2)\) (donde \(H\) es una constante), escribe todas las componentes independientes no nulas del tensor métrico y determina también todas las componentes no nulas de la métrica inversa \(g^{\alpha\beta}\).
Pista
Como se trata de una métrica diagonal, \(g^{\alpha\alpha} = 1/g_{\alpha\alpha}\). El inverso de \(e^{2Ht}\) es \(e^{-2Ht}\).
B-7. Longitud propia en la dirección \(\varphi\) en la métrica de Schwarzschild¶
En la métrica de Schwarzschild (6.14), determina la longitud propia \(dL\) cuando, en un instante dado, se avanza una cantidad \(d\varphi\) en la dirección \(\varphi\) desde la posición \(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\). Además, compara con la longitud propia correspondiente a los mismos valores \(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\), \(d\varphi\) en coordenadas polares del espaciotiempo plano (6.11), e indica si ambas coinciden o no.
Pista
Observa que la componente métrica en la dirección \(\varphi\), \(g_{33}\), es \(r^2\sin^2\theta\) tanto en Schwarzschild como en el espaciotiempo plano.
B-8. Tiempo propio en la métrica de Rindler¶
En la métrica de Rindler bidimensional \(ds^2 = -\alpha^2 x^2\,dt^2 + dx^2\) (donde \(\alpha\) es una constante y \(x > 0\)), expresa el tiempo propio \(d\tau\) de un observador en reposo en \(x = x_0\) en términos del tiempo coordenado \(dt\).
Pista
Usa \(dx = 0\) y la relación \(d\tau^2 = -ds^2 = \alpha^2 x_0^2\,dt^2\).
Intermedio¶
M-1. Cálculo del área de una esfera¶
En las coordenadas polares (6.11) del espaciotiempo plano, fija \(t\) y calcula el área de la superficie esférica con \(r = R\) (constante) a partir de la métrica. Concretamente, obtén el elemento de área \(dA = \sqrt{\det(g_{ij})}\,d\theta\,d\varphi\) (\(i, j = \theta, \varphi\)) para variaciones infinitesimales de \(\theta\) y \(\varphi\), e integra sobre toda la esfera para demostrar que se obtiene \(4\pi R^2\).
Pista
La métrica inducida sobre \(r = R\) es \(ds^2_{(2)} = R^2\,d\theta^2 + R^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\). Calcula el determinante de la parte bidimensional e integra en \(\theta: 0 \to \pi\), \(\varphi: 0 \to 2\pi\).
M-2. Longitud de la circunferencia en el ecuador¶
En las coordenadas polares (6.11) del espacio-tiempo plano, fijando \(t\), calcula la longitud de la circunferencia sobre \(r = R\) (constante), \(\theta = \pi/2\) (plano ecuatorial).
M-3. Derivación del corrimiento al rojo gravitacional (derivación completa a partir de la métrica de Schwarzschild)¶
En la métrica de Schwarzschild (6.14), un observador estacionario en \(r = r_0 > 2M\) emite luz (frecuencia \(\nu_\text{em}\)) que es recibida por un observador en \(r = \infty\). Expresa la frecuencia recibida \(\nu_\text{obs}\) en términos de \(\nu_\text{em}\) y \(r_0\), y deriva la fórmula del corrimiento al rojo gravitacional (gravitational redshift):
Aquí, utiliza el hecho de que la frecuencia de la luz es proporcional al inverso del tiempo propio (\(\nu \propto 1/d\tau\)).
Pista
El tiempo propio de un observador estacionario es \(d\tau = \sqrt{-g_{00}}\,dt\). El tiempo coordenado \(dt\) es común tanto para el emisor como para el receptor debido al carácter estático del espaciotiempo. En \(r = \infty\) se tiene \(g_{00} = -1\).
M-4. Longitud propia radial en la métrica de Schwarzschild¶
En la métrica de Schwarzschild (6.14), escribe la longitud propia medida en la dirección radial desde \(r = r_1\) hasta \(r = r_2\) (\(r_2 > r_1 \gg 2M\)) como
y realiza la integral utilizando la aproximación \((1 - 2M/r)^{-1/2} \approx 1 + M/r\). Obtén la diferencia \(\delta L = \Delta L - (r_2 - r_1)\) entre \(\Delta L\) y la diferencia de coordenadas \(r_2 - r_1\), y exprésala en términos de \(M\), \(r_1\) y \(r_2\).
Pista
Usa \(\int_{r_1}^{r_2} \frac{M}{r}\,dr = M\ln(r_2/r_1)\).
M-5. Número de componentes independientes del tensor métrico¶
En una métrica diagonal general
confirma, utilizando que \(g_{\alpha\beta}\) es un tensor simétrico y que es diagonal, que el número de componentes independientes es 4. A continuación, demuestra que el número de componentes independientes de un tensor métrico general en 4 dimensiones (que también posee componentes no diagonales) es \(\frac{4 \times 5}{2} = 10\), a partir de la simetría \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\).
Pista
El número de componentes independientes de una matriz simétrica \(n \times n\) es \(n(n+1)/2\). En el caso de una matriz diagonal, además todas las componentes no diagonales son cero.
Avanzado¶
A-1. Geometría de espacios bidimensionales de curvatura constante¶
Considera la siguiente métrica bidimensional:
donde \(k\) es una constante, \(r \geq 0\), \(0 \leq \varphi < 2\pi\).
(a) Calcula la longitud propia de la circunferencia \(C(r_0)\) de un "círculo" centrado en el origen con radio coordenado \(r = r_0\).
(b) Escribe en forma de integral la longitud propia radial ("radio") \(\mathcal{R}(r_0)\) desde el origen hasta el radio coordenado \(r_0\), y para el caso \(k > 0\) compara \(C(r_0)\) con \(2\pi \mathcal{R}(r_0)\). Determina si se cumple \(C < 2\pi\mathcal{R}\) o \(C > 2\pi\mathcal{R}\), y explica su significado geométrico.
(c) Se sabe que esta métrica representa un espacio de curvatura constante. A partir del resultado de (b) y mediante un argumento intuitivo, explica cómo \(k > 0\), \(k = 0\) y \(k < 0\) corresponden respectivamente a la esfera, el plano y el hiperboloide (espacio hiperbólico).
Pista
(a) Sobre \(r = r_0\) se tiene \(dr = 0\), de modo que \(dL = \frac{r_0}{1+kr_0^2/4}\,d\varphi\) se integra de \(0\) a \(2\pi\). (b) \(\mathcal{R} = \int_0^{r_0}\frac{dr}{1+kr^2/4}\) se expresa mediante la función arcotangente cuando \(k > 0\). En la esfera se cumple "circunferencia < \(2\pi\) × radio".
A-2. GPS y corrimiento al rojo gravitacional¶
Usando la métrica de Schwarzschild (6.13) (en la forma con \(c\) y \(G\) explícitos), compara el tiempo propio de un reloj estacionario en la superficie terrestre (\(r = R_\oplus\)) con el de un reloj estacionario en la órbita de un satélite GPS (\(r = R_\text{GPS}\)).
(a) Para un tiempo coordenado lejano \(\Delta t = 1\) día, encuentra los tiempos propios \(\Delta\tau_\oplus\) y \(\Delta\tau_\text{GPS}\) que marca cada reloj, bajo la aproximación \(2GM_\oplus/(c^2 r) \ll 1\).
(b) Estima numéricamente la diferencia de tiempos propios \(\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus\). Utiliza los siguientes valores:
(c) Si no se corrigiera esta diferencia de tiempo propio, estima el error de posicionamiento GPS por día usando la velocidad de la luz \(c \approx 3 \times 10^8\;\mathrm{m/s}\). Discute por qué este resultado no es despreciable en la práctica.
Pista
(a) Usa \(\sqrt{1-\epsilon} \approx 1 - \epsilon/2\). (b) \(\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx \frac{1}{2}\left(\frac{r_s}{R_\oplus} - \frac{r_s}{R_\text{GPS}}\right)\Delta t\) con \(r_s = 2GM_\oplus/c^2\). (c) Error en distancia \(\sim c \times (\text{diferencia de tiempo})\). Nota: en el GPS real, además del efecto del corrimiento al rojo gravitacional obtenido aquí, también es necesario corregir la dilatación temporal de la relatividad especial (efecto debido al movimiento del satélite).
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