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Cap. 7 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Onda plana en la ecuación de Schrödinger para una partícula libre

Sustituye la onda plana \(\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}\) en la ecuación de Schrödinger para una partícula libre

\[i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\]

y obtén la relación de dispersión \(\omega = \omega(k)\).

Pista

Utiliza que en el lado izquierdo \(\partial\Psi/\partial t = -i\omega\Psi\) y en el lado derecho \(\partial^2\Psi/\partial x^2 = -k^2\Psi\). Dividiendo ambos lados entre \(\Psi\) se obtiene la relación entre \(\omega\) y \(k\).

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B-2. Aplica el operador de momento a cada una de las siguientes funciones de onda y obtén el resultado. Si es función propia, indica el valor propio

Aplica el operador de momento \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) a cada una de las siguientes funciones de onda y obtén el resultado. Si es función propia, indica el valor propio.

(a) \(\psi(x) = e^{5ix/\hbar}\)

(b) \(\psi(x) = \cos(kx)\)

(c) \(\psi(x) = (x^2 + 1)e^{ipx/\hbar}\)

Pista

(a) es la derivada de una función exponencial. (b) se ve más claro si escribes \(\cos(kx) = \frac{1}{2}(e^{ikx} + e^{-ikx})\). (c) usa la regla del producto para derivar. Una función propia es aquella que cumple \(\hat{p}\psi = (\text{constante})\cdot\psi\).

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B-3. Normaliza la función de onda (donde es una constante). Es decir

Normaliza la función de onda \(\Psi(x) = A e^{-x^2/(2a^2)}\) (donde \(a > 0\) es una constante). Es decir,

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x)|^2\,dx = 1\]

encuentra la constante real positiva \(A\) que satisface esta condición. Puedes utilizar la integral gaussiana \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\pi/\alpha}\) (\(\alpha > 0\)).

Pista

Integra \(|\Psi|^2 = A^2 e^{-x^2/a^2}\). Sustituye \(\alpha = 1/a^2\) y aplica la fórmula de la integral gaussiana.

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B-4. Propiedades de la función delta de Dirac

Propiedades de la función delta de Dirac

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\delta(x - x_0)\,dx = f(x_0)\]

Utilizando esta propiedad, calcula lo siguiente.

(a) \(\int_{-\infty}^{+\infty} (3x^2 + 2)\,\delta(x - 1)\,dx\)

(b) \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ikx}\,\delta(x)\,dx\)

(c) \(\int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x)\,\delta(x - x')\,dx\) (\(\psi(x)\) es una función de onda arbitraria)

Pista

Utiliza directamente la propiedad de "filtrado" de la función delta. Cuando \(\delta(x - x_0)\) aparece en el integrando, se extrae el valor de \(f(x)\) en \(x = x_0\).

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B-5. Para la función de onda de un estado estacionario, calcula la densidad de probabilidad y demuestra que no depende del tiempo

Para la función de onda de un estado estacionario \(\Psi(x,t) = \psi(x)\,e^{-iEt/\hbar}\), calcula la densidad de probabilidad \(|\Psi(x,t)|^2\) y demuestra que no depende del tiempo.

Pista

Calcula \(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\). Utiliza que el conjugado complejo de \(e^{-iEt/\hbar}\) es \(e^{+iEt/\hbar}\).

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B-6. Operador hamiltoniano

Operador hamiltoniano

\[\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\]

Aplica este operador a la función de onda \(\psi(x) = Be^{-\kappa x}\) (\(x > 0\), \(\kappa > 0\) es una constante). Supón que \(V(x) = 0\) (\(x > 0\)). Demuestra que \(\psi\) es una función propia de \(\hat{H}\) y expresa el autovalor de energía \(E\) correspondiente en términos de \(\kappa, \hbar, m\).

Pista

Calcula \(\frac{d^2}{dx^2}e^{-\kappa x} = \kappa^2 e^{-\kappa x}\) y verifica que se obtiene la forma \(\hat{H}\psi = E\psi\).

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B-7. Superposición de dos estados propios de energía

Superposición de dos estados propios de energía

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_1(x)\,e^{-iE_1 t/\hbar} + \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_2(x)\,e^{-iE_2 t/\hbar}\]

Para esta expresión, calcula la densidad de probabilidad \(|\Psi(x,t)|^2\) y determina la frecuencia angular de oscilación del término de interferencia. Supón que \(\psi_1(x)\) y \(\psi_2(x)\) son funciones reales.

Pista

Desarrolla \(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\). En los términos cruzados aparece \(e^{\pm i(E_2 - E_1)t/\hbar}\). Si \(\psi_1, \psi_2\) son reales, puedes usar \(\psi_n^* = \psi_n\).

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B-8. Para el operador de momento, escribe explícitamente p² y aplícalo a una función de onda para obtener el resultado

Para el operador de momento \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\), escribe explícitamente \(\hat{p}^2\). Además, aplica \(\hat{p}^2\) a la función de onda \(\psi(x) = A\sin(3\pi x/L)\) y obtén el resultado.

Pista

\(\hat{p}^2 = \hat{p}\cdot\hat{p} = \left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)^2 = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\). Calcula la derivada segunda de la función \(\sin\).

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Intermedio

M-1. Derivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo mediante separación de variables

Derivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo mediante separación de variables

Supón que la función de onda tiene la forma \(\Psi(x,t) = \psi(x)\,T(t)\) y sustitúyela en la ecuación de Schrödinger general (7.13)

\[i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V(x)\Psi\]

Divide ambos miembros entre \(\psi(x)\,T(t)\) y, al obtener la forma "función solo de \(x\) \(=\) función solo de \(t\)", demuestra que ambos miembros deben ser iguales a una constante (que llamaremos \(E\)). Escribe las dos ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes y resuelve la ecuación para \(T(t)\) para obtener \(T(t) = e^{-iEt/\hbar}\).

Pista

Tras la sustitución, el lado izquierdo es \(i\hbar\psi(x)\frac{dT}{dt}\) y el lado derecho es \(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi\right]T(t)\). Al dividir ambos miembros entre \(\psi T\), el lado izquierdo queda como función solo de \(t\) y el lado derecho como función solo de \(x\). Si dos funciones de variables independientes distintas son iguales, entonces ambas deben ser constantes (argumento de separación de variables).

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M-2. Derivación de la conservación de la probabilidad (ecuación de continuidad)

Derivación de la conservación de la probabilidad (ecuación de continuidad)

Para la densidad de probabilidad \(\rho(x,t) = |\Psi(x,t)|^2\) y la densidad de corriente de probabilidad (probability current density)

\[j(x,t) = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\]

deriva la ecuación de continuidad

\[\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\]

utilizando la ecuación de Schrödinger (7.13). Además, muestra que cuando \(\Psi\) tiende a 0 suficientemente rápido para \(x \to \pm\infty\), la probabilidad total \(\int_{-\infty}^{+\infty}\rho\,dx\) no depende del tiempo.

Pista

Toma como referencia la derivación de las ecuaciones (7.23)–(7.27) del texto. Calcula \(\frac{\partial\rho}{\partial t}\), verifica que los términos con \(V\) se cancelan y que el resto puede escribirse como \(-\frac{\partial j}{\partial x}\). La derivada temporal de la probabilidad total es igual al valor en la frontera de \(j\), es decir \(j(+\infty) - j(-\infty)\), y si la función de onda se anula en el infinito, esto es 0.

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M-3. Cálculo de la densidad de corriente de probabilidad

Cálculo de la densidad de corriente de probabilidad

Para la función de onda \(\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}\) (donde \(A, k, \omega\) son constantes reales):

(a) Encuentra la densidad de probabilidad \(\rho = |\Psi|^2\).

(b) Calcula la densidad de corriente de probabilidad \(j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\).

(c) Verifica que la \(j\) obtenida puede escribirse en la forma \(j = \rho v\) utilizando la velocidad de la partícula \(v = p/m = \hbar k/m\) y la densidad de probabilidad \(\rho\).

(d) Comprueba que se satisface la ecuación de continuidad \(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\).

Pista

\(\Psi^* = Ae^{-i(kx-\omega t)}\) (cuando \(A\) es real). Utiliza \(\frac{\partial\Psi}{\partial x} = ik\Psi\) y \(\frac{\partial\Psi^*}{\partial x} = -ik\Psi^*\).

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M-4. Cálculo del conmutador de operadores

Cálculo del conmutador de operadores \([\hat{x}, \hat{p}]\)

En la representación de posición, \(\hat{x} = x\) (multiplicación) y \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\). Calcula el conmutador (commutator)

\[[\hat{x}, \hat{p}] \equiv \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x}\]

haciéndolo actuar sobre una función de prueba arbitraria \(f(x)\), y demuestra que

\[[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\]
Pista

Calcula por separado \(\hat{x}\hat{p}f(x) = x\left(-i\hbar\frac{df}{dx}\right)\) y \(\hat{p}\hat{x}f(x) = -i\hbar\frac{d}{dx}(xf)\), y toma la diferencia. Utiliza la regla del producto para la derivada: \(\frac{d}{dx}(xf) = f + x\frac{df}{dx}\).

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Avanzado

A-1. Evolución temporal de un paquete de ondas gaussiano y ensanchamiento del paquete

Evolución temporal de un paquete de ondas gaussiano y ensanchamiento del paquete

La función de onda inicial de una partícula libre (\(V = 0\)) está dada por

\[\Psi(x, 0) = \left(\frac{1}{2\pi\sigma_0^2}\right)^{1/4}\exp\left(-\frac{x^2}{4\sigma_0^2}\right)\]

(donde \(\sigma_0 > 0\) es un parámetro que caracteriza la dispersión inicial en posición).

(a) Calcula la amplitud en el espacio de momentos \(\phi(k)\) mediante la transformada de Fourier de esta función de onda:

\[\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi(x,0)\,e^{-ikx}\,dx\]

(b) Utilizando la relación de dispersión de la partícula libre \(\omega = \hbar k^2/(2m)\), calcula la función de onda en el instante \(t\)

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(k)\,e^{i(kx - \omega t)}\,dk\]

y demuestra que \(|\Psi(x,t)|^2\) sigue siendo una distribución gaussiana.

(c) Obtén la anchura (desviación estándar) de la densidad de probabilidad \(\sigma(t)\) y demuestra que

\[\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\right)^2}\]

Discute el significado físico del ensanchamiento del paquete de ondas con el tiempo desde el punto de vista del principio de incertidumbre.

Pista

(a) La transformada de Fourier de una función gaussiana es una función gaussiana. Utiliza \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2 + bx}dx = \sqrt{\pi/a}\,e^{b^2/(4a)}\) (\(\text{Re}(a) > 0\)). (b) Realiza nuevamente una integral gaussiana. Completa el cuadrado en el exponente respecto a \(k\). Presta atención a los parámetros complejos. (c) Lee la varianza de la distribución gaussiana de \(|\Psi(x,t)|^2\). Relaciónalo con el hecho de que la incertidumbre inicial en el momento \(\Delta p \sim \hbar/(2\sigma_0)\) genera el ensanchamiento en posición.

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A-2. Teorema de Ehrenfest

Teorema de Ehrenfest

Para una partícula en un potencial general \(V(x)\), calcula las derivadas temporales de los valores esperados de la posición y el momento

\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^* x\,\Psi\,dx, \quad \langle p \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi\,dx\]

utilizando la ecuación de Schrödinger, y deriva el siguiente teorema de Ehrenfest:

\[\frac{d\langle x\rangle}{dt} = \frac{\langle p\rangle}{m} \tag{i}\]
\[\frac{d\langle p\rangle}{dt} = -\left\langle\frac{dV}{dx}\right\rangle \tag{ii}\]

Además, discute por qué estos resultados constituyen el análogo mecánico-cuántico de la ecuación de movimiento de Newton \(F = ma\). En particular, explica la razón por la cual, cuando \(V(x)\) es un polinomio de grado 2 o menor en \(x\), los valores esperados coinciden exactamente con la trayectoria clásica.

Pista

(i) Calcula \(\frac{d\langle x\rangle}{dt} = \int \frac{\partial}{\partial t}(\Psi^* x \Psi)\,dx\). Sustituye \(\partial\Psi/\partial t\) y \(\partial\Psi^*/\partial t\) usando la ecuación de Schrödinger y realiza integración por partes. (ii) De manera similar, calcula \(\frac{d\langle p\rangle}{dt}\). La clave es la relación de conmutación entre \(\hat{p}\) y \(V(x)\): \([\hat{p}, V(x)] = -i\hbar\frac{dV}{dx}\). Verifica que si \(V\) es de grado 2 o menor, se cumple \(\langle dV/dx \rangle = \frac{dV}{dx}\big|_{x=\langle x\rangle}\).

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