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Cap. 3 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo del término de interferencia

Dadas dos amplitudes de probabilidad \(\phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/3}\) y \(\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\pi/6}\), calcula lo siguiente:

  1. \(P_1 = |\phi_1|^2\)
  2. \(P_2 = |\phi_2|^2\)
  3. \(P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2\)
  4. El valor del término de interferencia \(2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2)\)
Pista

Al calcular \(\phi_1^* \phi_2\), resulta más sencillo obtener la diferencia de fases \(\delta = \theta_1 - \theta_2\) y luego usar \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\). Ten en cuenta que \(\delta = \pi/3 - (-\pi/6) = \pi/2\).

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B-2. Diferencia de fase e intensidad de la interferencia

En la ecuación (3.2), sea \(I_1 = I_2 = I_0\). Para cada una de las siguientes diferencias de fase \(\delta\), obtén \(I_{12}\) como múltiplo de \(I_0\).

  1. \(\delta = 0\)
  2. \(\delta = \pi/2\)
  3. \(\delta = \pi\)
  4. \(\delta = 2\pi/3\)
Pista

Cuando \(I_1 = I_2 = I_0\), la ecuación (3.2) se simplifica a \(I_{12} = 2I_0(1 + \cos\delta)\).

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B-3. Desarrollo del módulo al cuadrado de la amplitud compleja

Sean \(\phi_1 = A e^{i\alpha}\) y \(\phi_2 = B e^{i\beta}\) (donde \(A, B\) son números reales positivos). Desarrolla \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) y exprésalo en términos de \(A\), \(B\), \(\alpha\) y \(\beta\).

Pista

Utiliza \(|z|^2 = z^* z\) y desarrolla \((\phi_1 + \phi_2)^*(\phi_1 + \phi_2)\) en 4 términos. Los términos cruzados se combinan en \(\cos(\alpha - \beta)\).

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B-4. Condiciones de máximos y mínimos en el patrón de interferencia

Sea \(d\) la separación entre rendijas, \(L\) la distancia desde las rendijas hasta la pantalla (\(L \gg d\)), y \(\lambda\) la longitud de onda de de Broglie del electrón. La diferencia de camino entre las dos trayectorias en una posición \(x\) sobre la pantalla (medida desde el centro) se puede escribir aproximadamente como \(\Delta = dx/L\).

  1. Escribe la condición de máximo de interferencia (interferencia constructiva) en términos de \(\Delta\) y \(\lambda\).
  2. Escribe la condición de mínimo de interferencia (interferencia destructiva) en términos de \(\Delta\) y \(\lambda\).
  3. Obtén la separación \(\Delta x\) entre máximos consecutivos.
Pista

La diferencia de fase es \(\delta = 2\pi\Delta/\lambda\). Los máximos corresponden a \(\delta = 2n\pi\) (\(n\) es un entero) y los mínimos a \(\delta = (2n+1)\pi\).

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B-5. Cálculo concreto de franjas de interferencia

Se acelera un electrón con un voltaje \(V = 150\,\mathrm{V}\). La separación entre rendijas es \(d = 1.0\,\mu\mathrm{m}\) y la distancia hasta la pantalla es \(L = 0.50\,\mathrm{m}\).

  1. Calcula la longitud de onda de de Broglie \(\lambda\) del electrón. (\(m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}\), \(e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}\), \(h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J \cdot s}\))
  2. Calcula la separación entre franjas de interferencia \(\Delta x\) en la pantalla.
Pista

La energía cinética de un electrón acelerado con un voltaje \(V\) es \(eV = p^2/(2m_e)\), por lo que \(p = \sqrt{2m_e eV}\). Utiliza \(\lambda = h/p\). Emplea el resultado de D4: \(\Delta x = \lambda L / d\).

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B-6. Normalización de la distribución de probabilidad

Supón que la distribución de probabilidad de llegada del electrón está dada por \(P(x) = C\cos^2\!\left(\frac{\pi d x}{\lambda L}\right)\) (considerando solo un período en el intervalo \(-\frac{\lambda L}{2d} \le x \le \frac{\lambda L}{2d}\)). Determina la constante de normalización \(C\).

Pista

Utiliza \(\cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)\) para realizar la integral. La normalización se hace sobre un período.

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B-7. Visibilidad de la interferencia (visibility)

La visibilidad (visibility) de las franjas de interferencia se define como:

\[\mathcal{V} = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}\]

Para el caso general en que \(I_1 \neq I_2\) en la ecuación (3.2), expresa \(\mathcal{V}\) en términos de \(I_1\) e \(I_2\).

Pista

\(I_{\max}\) corresponde a \(I_{12}\) cuando \(\cos\delta = +1\), e \(I_{\min}\) corresponde a \(I_{12}\) cuando \(\cos\delta = -1\).

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Intermedio

M-1. Comparación cuantitativa entre suma de probabilidades y suma de amplitudes

En un experimento de doble rendija, supón que la diferencia de camino desde las dos rendijas hasta un punto \(x\) en la pantalla es \(\Delta(x) = dx/L\). Las amplitudes de probabilidad se definen como

\[\phi_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{ik r_1(x)}, \quad \phi_2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{ik r_2(x)}\]

donde \(k = 2\pi/\lambda\), y \(r_1\), \(r_2\) son las distancias desde cada rendija respectivamente.

  1. Expresa la distribución de probabilidad cuántica \(P_{12}^{\mathrm{QM}}(x) = |\phi_1 + \phi_2|^2\) en términos de \(k\), \(d\), \(x\) y \(L\).
  2. Obtén la distribución de probabilidad en la imagen de partícula clásica \(P_{12}^{\mathrm{cl}}(x) = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\).
  3. Determina el término de interferencia \(P_{12}^{\mathrm{QM}} - P_{12}^{\mathrm{cl}}\) y discute los rangos de \(x\) en los que este es positivo y en los que es negativo.
Pista

Usando la aproximación \(r_1 - r_2 \approx dx/L\), la diferencia de fase resulta \(\delta = k \cdot dx/L\). Como \(|\phi_1| = |\phi_2| = 1/\sqrt{2}\), simplifica \(P_{12}^{\mathrm{QM}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}\cos\delta\).

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M-2. Información sobre "por cuál camino pasó" y desaparición del término de interferencia

Demuestra lo siguiente basándote en la ecuación (3.9) del texto.

Cuando la identificación del camino por la fuente de luz es completa (\(b = 0\), \(b' = 0\), \(|a|^2 = |a'|^2 = 1\)):

  1. Demuestra que la ecuación (3.9) se reduce a \(P_{12}' = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = P_1 + P_2\).
  2. Inversamente, demuestra que cuando no es posible ninguna identificación del camino (\(a = a' = b = b' = 1/\sqrt{2}\)), la ecuación (3.9) se reduce a \(|\phi_1 + \phi_2|^2\).
Pista

En (2), desarrolla cada uno de los dos términos de la ecuación (3.9) y verifica cómo se combinan los términos cruzados. Puedes usar \(|c\phi_1 + c\phi_2|^2 = |c|^2|\phi_1 + \phi_2|^2\).

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M-3. Relación entre diferencia de camino y longitud de onda de de Broglie

Un electrón (masa \(m_e\), carga \(e\)) acelerado por un voltaje \(V\) pasa a través de una doble rendija con separación entre rendijas \(d\) y distancia a la pantalla \(L\).

  1. Expresa la longitud de onda de de Broglie \(\lambda\) del electrón en términos de \(V\), \(m_e\), \(e\) y \(h\).
  2. Determina la posición \(x_n\) del máximo de interferencia de orden \(n\) en la pantalla.
  3. Cuando el voltaje de aceleración se cambia de \(V\) a \(4V\), ¿cómo cambia el espaciado de las franjas de interferencia?
Pista

\(\lambda = h/\sqrt{2m_e eV}\). Al cambiar \(V\) por \(4V\), \(\lambda\) se reduce a la mitad.

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M-4. Comprender la desaparición de la interferencia mediante la "descomposición condicional de probabilidades"

Sea \(A_1\) el evento en que el electrón pasa por la rendija 1 y \(A_2\) el evento en que pasa por la rendija 2. En la teoría clásica de probabilidades se cumple la fórmula de probabilidad total:

\[P(x) = P(x|A_1)P(A_1) + P(x|A_2)P(A_2)\]
  1. Demuestra, utilizando \(P_1\), \(P_2\) y \(P_{12}\), que cuando se observa un patrón de interferencia en el experimento de la doble rendija, esta fórmula de probabilidad total no se cumple.
  2. Basándote en la discusión del texto, explica a qué propiedad perdida de \(A_1\) y \(A_2\) corresponde esta ruptura.
Pista

Si se supone \(P(A_1) = P(A_2) = 1/2\) (rendijas simétricas), la fórmula de probabilidad total predice \(P_{12} = \frac{1}{2}P_1 + \frac{1}{2}P_2\). Compara esto con el resultado experimental \(P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2\). La causa de la ruptura radica en la suposición de que "\(A_1\) y \(A_2\) existen como eventos definidos".

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Avanzado

A-1. Información parcial de camino y visibilidad de la interferencia

En un experimento de doble rendija, se coloca un "marcador de camino (which-path marker)" detrás de cada rendija. Cuando un electrón pasa por la rendija \(j\) (\(j = 1, 2\)), el estado del marcador se convierte en \(|m_j\rangle\). El estado del sistema total es:

\[|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_1(x)|m_1\rangle + \phi_2(x)|m_2\rangle\right)\]

Aquí, \(|m_1\rangle\) y \(|m_2\rangle\) no son ortonormales en general, y tienen un producto interno \(\langle m_1 | m_2 \rangle = \gamma\) (\(0 \le \gamma \le 1\), real).

  1. Traza sobre (ignora) el estado del marcador y obtén la distribución de probabilidad \(P(x)\) del electrón en la pantalla. Exprésala concretamente en términos de \(|\phi_1|^2\), \(|\phi_2|^2\), \(\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)\).
  2. En el caso \(|\phi_1| = |\phi_2|\), expresa la visibilidad \(\mathcal{V}\) del patrón de interferencia en función de \(\gamma\).
  3. Verifica que los resultados son consistentes con la discusión del texto en los límites \(\gamma = 1\) (el marcador no posee ninguna información de camino) y \(\gamma = 0\) (completamente distinguible).
  4. Definiendo la distinguibilidad (distinguishability) del camino como \(\mathcal{D} = \sqrt{1 - \gamma^2}\), demuestra que se cumple \(\mathcal{V}^2 + \mathcal{D}^2 = 1\) (condición de igualdad de la desigualdad de complementariedad de Englert).
Pista

Trazar sobre el marcador significa no calcular \(P(x) = \langle m_1|\rho_m|m_1\rangle |\phi_1|^2 + \cdots\), sino \(P(x) = \sum_k |\langle e_k|\Psi\rangle|^2\) (donde \(|e_k\rangle\) es cualquier base completa del espacio del marcador). De forma más sencilla, demuestra que \(P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \mathrm{Re}(\gamma \cdot \phi_1^* \phi_2)\). El punto clave es que el coeficiente del término de interferencia es \(\gamma\).

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A-2. Análisis del experimento de elección retardada (delayed choice experiment)

Consideremos el experimento de elección retardada de Wheeler. Después de que el electrón haya pasado por la rendija, se elige si observar la interferencia o la información de trayectoria.

Configuración concreta: detrás de la doble rendija se coloca un divisor de haz (beam splitter) que puede insertarse o retirarse.

  • Caso en que se inserta el divisor de haz: las amplitudes de las dos trayectorias se superponen, y la interferencia se observa a partir de la intensidad en los puertos de salida.
  • Caso en que se retira el divisor de haz: cada trayectoria llega directamente a un detector separado, obteniéndose la información de trayectoria.

Sea \(t\) la transmitancia y \(r\) la reflectancia del divisor de haz (\(|t|^2 + |r|^2 = 1\)). Para las amplitudes incidentes \(\phi_1\), \(\phi_2\), las amplitudes en los puertos de salida \(A\), \(B\) son:

\[\phi_A = t\phi_1 + r\phi_2, \quad \phi_B = r\phi_1 + t\phi_2\]
  1. Para un divisor de haz 50:50 (\(t = r = 1/\sqrt{2}\), pero considerando un desfase de \(\pi/2\) en la reflexión, es decir \(r = i/\sqrt{2}\), \(t = 1/\sqrt{2}\)), expresa \(|\phi_A|^2\) y \(|\phi_B|^2\) en función de \(|\phi_1|\), \(|\phi_2|\) y la diferencia de fase \(\delta = \arg(\phi_1) - \arg(\phi_2)\).
  2. Cuando \(|\phi_1| = |\phi_2| = 1/\sqrt{2}\), obtén \(|\phi_A|^2\) y \(|\phi_B|^2\) como función de \(\delta\), y demuestra que se observa interferencia.
  3. Explica por qué, cuando se retira el divisor de haz (\(\phi_A = \phi_1\), \(\phi_B = \phi_2\)), se obtiene información de trayectoria a cambio de que la interferencia desaparezca.
  4. Discute cómo el hecho de que "se elige después de que el electrón haya pasado por la rendija" contradice el realismo clásico (el electrón posee una trayectoria definida en el momento del paso).
Pista

(1) Desarrolla \(|\phi_A|^2\) a partir de \(\phi_A = \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_2\). (4) Utiliza el argumento de que, si la trayectoria del electrón estuviera definida en el momento del paso, el resultado no debería cambiar dependiendo de si se inserta o no el divisor de haz posteriormente (la trayectoria ya habría quedado determinada en el pasado).

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