Apéndice D: Formalismo Lagrangiano-Hamiltoniano y cuantización canónica¶
Resumen de los capítulos anteriores:
En los capítulos 1 a 28 del texto principal, construimos la visión completa de la mecánica cuántica partiendo de las amplitudes de probabilidad. En los Apéndice A a C preparamos las herramientas matemáticas: números complejos, álgebra lineal y análisis de Fourier. En este Apéndice D introducimos sistemáticamente el formalismo Lagrangiano-Hamiltoniano de la mecánica clásica y explicitamos el procedimiento de traducción "de la mecánica clásica a la mecánica cuántica" — la cuantización canónica.
Objetivo de este capítulo
- Comprender sistemáticamente el formalismo Lagrangiano-Hamiltoniano de la mecánica clásica y reconocer que la estructura algebraica del paréntesis de Poisson es isomorfa a las relaciones de conmutación de la mecánica cuántica
- Sobre esa base, captar claramente la "receta" de la cuantización canónica — sustituir el paréntesis de Poisson \(\{q_j, p_k\} = \delta_{jk}\) por la relación de conmutación \([\hat{q}_j, \hat{p}_k] = i\hbar\,\delta_{jk}\) — y comprender el origen del operador Hamiltoniano y la ecuación de Schrödinger, que fueron introducidos "por decreto" en el texto principal, rastreándolos hasta la mecánica clásica
- Además, obtener una visión panorámica de la extensión natural a la cuantización canónica de campos, abriendo la perspectiva hacia la teoría cuántica de campos
D.1 ¿Por qué es necesario el formalismo Lagrangiano?¶
🟡 Lina: Bien, en el texto principal construimos la mecánica cuántica a partir de las "reglas de amplitudes de probabilidad". Pero a partir del Cap. 7, cuando usamos la ecuación de Schrödinger, el Hamiltoniano \(\hat{H}\) apareció de repente, ¿verdad? De dónde viene ese \(\hat{H}\) — comprender su origen rastreándolo hasta la mecánica clásica es el propósito de este Apéndice.
🔵 Kai: ¿No basta con la \(F = ma\) de Newton?
🟡 Lina: Buena pregunta. La ecuación de movimiento de Newton tiene la "fuerza" como concepto fundamental. Pero en mecánica cuántica, el propio concepto de "por qué camino pasa la partícula" se difumina. Recuerda la integral de caminos de Feynman que aprendiste en el Cap. 4 — allí dijimos "asignamos una amplitud de probabilidad \(e^{iS/\hbar}\) a todos los caminos".
🔵 Kai: Ah, esa \(S\) es...
🟡 Lina: Exacto, la acción (action). La acción \(S\) se define como la integral temporal del Lagrangiano \(L\). Es decir, el Lagrangiano está en la raíz de la mecánica cuántica. No es la "fuerza" de Newton, sino la "acción" del Lagrangiano la que sirve de puente entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica. Y al avanzar del Lagrangiano al formalismo Hamiltoniano, la traducción a la mecánica cuántica se hace posible. Es decir, la evolución ha sido: formalismo de Newton → formalismo Lagrangiano → formalismo Hamiltoniano → mecánica cuántica.
⚪ Mei: Ya veo, en cada etapa aumenta el nivel de abstracción de la descripción, y finalmente se hace posible la conexión con la mecánica cuántica.
🟡 Lina: Exactamente. Enumeremos concretamente las ventajas del formalismo Lagrangiano:
- Independiente del sistema de coordenadas — Las ecuaciones de Euler-Lagrange tienen la misma forma en cualquier sistema de coordenadas
- Manejo sencillo de ligaduras — Se procesan naturalmente eligiendo adecuadamente los grados de libertad
- Simetrías y leyes de conservación están directamente conectadas — El teorema de Noether que aprendiste en el Cap. 26
- Se extiende a campos — Se usa de forma unificada para el campo electromagnético y campos cuánticos
- Puente directo hacia la teoría cuántica — La integral de caminos de Feynman usa el peso \(e^{iS/\hbar}\)
🔵 Kai: El punto 5 parece el más importante.
🟡 Lina: Así es. Entonces comencemos concretamente con el principio de mínima acción.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la razón principal por la que el formalismo Lagrangiano es más adecuado que el formalismo de Newton para la conexión con la mecánica cuántica?
Respuesta
Porque en la integral de caminos de Feynman, la fase de la amplitud de probabilidad asignada a cada camino \(e^{iS/\hbar}\) se escribe en términos de la acción \(S\), que es la integral temporal del Lagrangiano. Es decir, el Lagrangiano (la acción) está directamente en la raíz de la mecánica cuántica, y no es la "fuerza" de Newton sino la "acción" del Lagrangiano la que sirve de puente entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica.
D.2 La acción y el principio de mínima acción¶
🟡 Lina: Consideremos una partícula de masa \(m\) moviéndose en una dimensión. Escribimos la posición como \(q(t)\) y la velocidad como \(\dot{q}(t) = dq/dt\). El Lagrangiano \(L\) se define como:
Aquí \(T\) es la energía cinética y \(V\) es la energía potencial.
🔵 Kai: ¿No es la energía total \(E = T + V\)? ¿Es una resta?
🟡 Lina: Sí. Intuitivamente es una ponderación donde "más energía cinética es mejor, más energía potencial es peor". La razón de la resta es que, en última instancia, solo se puede decir "porque de esta definición salen las ecuaciones de movimiento correctas". La justificación del modelo es la concordancia con el experimento.
🟡 Lina: La integral temporal de este Lagrangiano es la acción (action) \(S\):
⚪ Mei: ¿Los corchetes en \(S[q]\) significan...?
🟡 Lina: Bien observado. \(S\) es un funcional (functional). Una función ordinaria "recibe un número y devuelve un número", pero un funcional "recibe una función y devuelve un número". Toma como entrada toda la función del camino \(q(t)\) y devuelve un único número real \(S\). Por eso escribimos con corchetes \(S[q]\) para distinguirlo de los paréntesis de una función ordinaria \(f(x)\) (quienes hayan estudiado Relatividad General reconocerán el mismo concepto del Relatividad General Cap. 1). Un ejemplo cotidiano: la "longitud de una curva" también es un funcional — recibe la forma de la curva (función) como entrada y devuelve su longitud (número), ¿verdad?
🔵 Kai: Ya veo... a cada camino le corresponde un valor numérico llamado "acción".
🟡 Lina: Así es. Y el principio de mínima acción (principle of least action) dice:
Cuando una partícula está en la posición \(q(t_1) = q_A\) en el instante \(t_1\) y en la posición \(q(t_2) = q_B\) en el instante \(t_2\), el camino que realmente sigue es aquel que hace la acción \(S[q]\) estacionaria (stationary).
🔵 Kai: ¿"Estacionaria" es diferente de "mínima"?
🟡 Lina: Estrictamente no es necesariamente "mínima", sino "estacionaria" — es decir, un camino para el cual la variación de primer orden de \(S\) es cero ante una modificación infinitesimal del camino. Igual que en funciones ordinarias, un punto donde "la derivada = 0" puede ser máximo, mínimo o punto de silla; un punto estacionario no es necesariamente un mínimo. Pero históricamente se llama "principio de mínima acción".
⚪ Mei: Es decir, entre todos los "caminos posibles", solo los caminos especiales para los que la acción es estacionaria se realizan físicamente.
🟡 Lina: Exacto. Y aquí surge una pregunta importante — "¿Por qué la naturaleza elige el camino que hace estacionaria la acción?". La respuesta a esta pregunta nos la da, de hecho, la mecánica cuántica.
🔵 Kai: ¿Eh, la mecánica cuántica?
🟡 Lina: En la integral de caminos de Feynman, la partícula recorre todos los caminos simultáneamente. A cada camino se le asigna un factor de fase \(e^{iS/\hbar}\). En el límite clásico (\(\hbar \to 0\)), solo la vecindad del camino donde la acción es estacionaria produce interferencia constructiva, mientras que los demás caminos oscilan violentamente y se cancelan mutuamente. Por eso, clásicamente parece que "solo sobrevive el camino estacionario".
🔵 Kai: Increíble... la mecánica cuántica responde al "por qué" de la mecánica clásica. Entonces, al revés, ¿si estuviéramos en un mundo solo de mecánica clásica, nunca podríamos responder "por qué la acción es estacionaria"?
🟡 Lina: Así es. Dentro del marco de la mecánica clásica, el principio de mínima acción debe aceptarse como un "principio". Pero la mecánica cuántica nos enseña el mecanismo subyacente — es la estructura donde una teoría más profunda responde al "por qué" de una teoría más superficial. Bien, el objetivo de hoy es, primero dentro del marco de la mecánica clásica, derivar la ecuación de movimiento a partir de la "condición de estacionariedad". Lo haremos en la siguiente sección.
✅ Verificación de comprensión: En el límite clásico (\(\hbar \to 0\)), explica cómo se deriva el principio de mínima acción a partir de la integral de caminos de Feynman.
Respuesta
En la integral de caminos se asigna un factor de fase \(e^{iS/\hbar}\) a cada camino. En el límite \(\hbar \to 0\), en la vecindad de caminos donde la acción no es estacionaria, la fase oscila violentamente y los caminos se cancelan mutuamente (interferencia destructiva). En cambio, en la vecindad del camino donde la acción es estacionaria, el cambio de fase es suave y ocurre interferencia constructiva. Como resultado, clásicamente solo sobrevive el camino estacionario.
✅ Verificación de comprensión: Explica en una frase por qué la acción \(S[q]\) se llama "funcional".
Respuesta
Porque la acción \(S\) recibe como entrada una "función", el camino \(q(t)\), y devuelve un único número real. Mientras que una función ordinaria es una correspondencia "número → número", un funcional es una correspondencia "función → número".
D.3 Derivación de la ecuación de Euler-Lagrange¶
🟡 Lina: Derivemos la ecuación de movimiento a partir del principio de mínima acción. Sea \(q(t)\) el camino real, y consideremos un camino infinitesimalmente desviado \(q(t) + \delta q(t)\). Con los extremos fijos:
🔵 Kai: Es decir, no movemos el punto de partida ni el de llegada.
🟡 Lina: Exacto. Calculemos la variación de la acción \(\delta S\):
Desarrollando \(L\) en Taylor hasta primer orden en \(\delta q\) y \(\delta\dot{q}\):
⚪ Mei: Es la aproximación de primer orden del desarrollo de Taylor de una función de dos variables. La misma estructura que \(f(x+\Delta x, y+\Delta y) \approx f(x,y) + \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\Delta y\).
🟡 Lina: Exacto. Sustituyendo esto en la ecuación (D.4):
Como \(\delta\dot{q} = \frac{d}{dt}(\delta q)\), integramos por partes el segundo término:
🔵 Kai: La integración por partes es \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\), ¿verdad?
🟡 Lina: Sí. Y el término de frontera \(\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\,\delta q\right]_{t_1}^{t_2}\) se anula por las condiciones en los extremos \(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\). Por lo tanto:
🔵 Kai: Hasta aquí es un cálculo mecánico. Pero ahora usamos "\(\delta S = 0\)" para obtener la ecuación de movimiento, ¿verdad?
🟡 Lina: Así es. La condición de estacionariedad es "\(\delta S = 0\) para todo \(\delta q(t)\)". Aquí "para todo" significa que, siempre que cumpla \(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\) en los extremos, puede ser cualquier función suave en el interior del intervalo. Para que la integral del integrando multiplicado por cualquier función \(\delta q\) de ese tipo sea cero, el integrando mismo debe ser cero. Esto se llama el lema fundamental del cálculo variacional. Matemáticamente: "si \(\int f(t)\,\delta q(t)\,dt = 0\) para todo \(\delta q\) que se anula en los extremos, entonces \(f(t) = 0\)". Intuitivamente, si el integrando \(f(t)\) fuera distinto de cero en algún punto, podríamos elegir un \(\delta q\) que solo tome valores positivos cerca de ese punto y hacer la integral distinta de cero — por eso \(f(t) = 0\) es necesario.
⚪ Mei: Ya veo, la condición "la integral es cero para todo \(\delta q\)" fuerza a que el integrando mismo sea cero.
🟡 Lina: Exacto. Así se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange:
🔵 Kai: ¿Esta es la que sustituye a la \(F = ma\) de Newton?
🟡 Lina: Verifiquémoslo. Sustituyendo \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\):
Sustituyendo en la ecuación de Euler-Lagrange:
🔵 Kai: ¡Oh, es la segunda ley de Newton tal cual!
⚪ Mei: Es decir, la ecuación de Euler-Lagrange contiene la ecuación de movimiento de Newton, pero es una forma más general. Al cambiar de coordenadas, la forma de la ecuación (D.9) no cambia.
🟡 Lina: Así es. Para sistemas con múltiples grados de libertad \(q_1, q_2, \ldots, q_f\), hay una ecuación por cada grado de libertad:
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué es el lema fundamental del cálculo variacional? ¿Cómo se usa en la derivación de la ecuación de Euler-Lagrange?
Respuesta
El lema fundamental del cálculo variacional establece que "si \(\int f(t)\,\delta q(t)\,dt = 0\) para toda función \(\delta q(t)\), entonces \(f(t) = 0\)". En la derivación de la ecuación de Euler-Lagrange, del hecho de que \(\delta S = \int \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\delta q\,dt = 0\) se cumple para todo \(\delta q\), se concluye que el integrando mismo es cero, es decir, se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange.
✅ Verificación de comprensión: En la derivación de la ecuación de Euler-Lagrange, ¿por qué se anula el término de frontera de la integración por partes?
Respuesta
Porque se impone la condición de fijar los extremos del camino \(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\). Como la variación \(\delta q\) es cero en ambos extremos, el término de frontera \(\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\,\delta q\right]_{t_1}^{t_2} = 0\).
📝 Ejercicios:
- Derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del Lagrangiano en coordenadas polares 2D → Problema M-1. Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange en coordenadas polares bidimensionales
D.4 Momento canónico y transformada de Legendre¶
🟡 Lina: La ecuación de Euler-Lagrange es una ecuación diferencial de segundo orden. Las variables son \(q\) y \(\dot{q}\). Pero en mecánica cuántica queremos tratar "posición" y "momento" en pie de igualdad. Para eso realizamos una operación que reemplaza la variable independiente \(\dot{q}\) por otra cantidad.
D.4.1 Definición del momento canónico¶
🟡 Lina: Definimos el momento canónico (canonical momentum) de la siguiente manera:
🔵 Kai: Si \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\), entonces \(p = m\dot{q}\), que es el momento habitual, ¿verdad?
🟡 Lina: En ese caso sí. Pero en general no es necesariamente "masa × velocidad". Por ejemplo, para una partícula cargada en un campo electromagnético, \(p = m\dot{q} + eA\) (donde \(A\) es el potencial vector), y se añade la contribución del campo. El momento canónico es una cantidad que se determina automáticamente a partir de la estructura del Lagrangiano, y puede diferir de la intuición cotidiana de "momento" — este es un punto importante.
✅ Verificación de comprensión: Da un ejemplo en el que el momento canónico no coincide con "masa × velocidad" y explica por qué ocurre así.
Respuesta
Para una partícula cargada en un campo electromagnético, el momento canónico es \(p = m\dot{q} + eA\), y se añade la contribución del potencial vector \(A\). Esto se debe a que el momento canónico se determina automáticamente como \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) a partir de la estructura del Lagrangiano, y cuando el Lagrangiano contiene términos de acoplamiento entre la velocidad y el campo (como \(e\dot{q}A\)), difiere del simple "masa × velocidad".
D.4.2 Motivación de la transformada de Legendre¶
🟡 Lina: El Lagrangiano \(L(q, \dot{q})\) es función de \(q\) y \(\dot{q}\). Pero para avanzar hacia la mecánica cuántica, necesitamos una nueva función que tenga \(q\) y \(p\) como variables independientes. Este "cambio de variable independiente" se llama en matemáticas transformada de Legendre.
🔵 Kai: ¿Por qué queremos cambiar las variables?
🟡 Lina: Hay dos razones. Primera, al tratar \(q\) y \(p\) en igualdad de condiciones, la estructura de la mecánica se vuelve más simétrica y elegante. Segunda, como en mecánica cuántica \(\hat{q}\) y \(\hat{p}\) son operadores fundamentales, si ya describimos la mecánica clásica en términos de \(q\) y \(p\), la transición a la cuantización se vuelve natural.
🟡 Lina: Te explico la idea general de la transformada de Legendre. Dada una función \(f(x)\):
- Se define una nueva variable como \(s = \frac{df}{dx}\)
- Se define una nueva función como \(g(s) = sx - f(x)\) (eliminando \(x\) como función de \(s\))
Esta es la transformada de Legendre. La información de la función original \(f\) se conserva completamente en \(g\), y se puede recuperar mediante la transformada inversa.
🔵 Kai: ¿Por qué se conserva la información? ¿Quieres decir que se puede volver de \(g\) a \(f\)?
🟡 Lina: Sí. Verifiquemos la transformada inversa. Para mostrar que "\(f\) se puede recuperar de \(g\)", derivamos \(g(s)\) respecto a \(s\). ¿Por qué derivamos? Porque en la definición de la transformada de Legendre "derivamos \(f\) para crear la nueva variable \(s\)", así que inversamente "al derivar \(g\) deberíamos recuperar la variable original \(x\)" — esperamos una estructura simétrica.
🟡 Lina: Lo importante aquí es que al resolver inversamente la relación \(s = \frac{df}{dx}\), \(x\) queda determinada como función de \(s\) — es decir, podemos escribir \(x = x(s)\). "Resolver inversamente" significa, por ejemplo, si \(f(x) = x^2\) entonces \(s = f'(x) = 2x\), así que \(x = s/2\). Es decir, "si se fija el valor de \(s\), se determina exactamente un \(x\) correspondiente".
🔵 Kai: ¿Y eso siempre se puede resolver inversamente?
🟡 Lina: Buena pregunta. Para resolver \(s = f'(x)\) respecto a \(x\), necesitamos que \(f'(x)\) sea una función monótona — es decir, siempre creciente o siempre decreciente. Si es monótona, "al fijar un valor de \(s\), se determina exactamente un \(x\) correspondiente", así que la función inversa existe. ¿Y cuál es la condición para que \(f'\) sea monótona? Recuerda que \(f''(x)\) es la derivada de \(f'(x)\) respecto a \(x\) — es decir, representa "la pendiente del gráfico de \(f'\)". Si \(f'' > 0\) siempre, el gráfico de \(f'\) siempre sube hacia la derecha (monótona creciente); si \(f'' < 0\) siempre, siempre baja hacia la derecha (monótona decreciente) — en cualquier caso no se da la vuelta. En resumen, la condición es "\(f''\) mantiene siempre el mismo signo".
⚪ Mei: Es decir, "si la función es convexa, la transformada de Legendre está definida".
🟡 Lina: Exacto. Inversamente, si \(f\) es una recta (\(f'' = 0\) en todas partes), entonces \(s = f'(x)\) es constante, y para cualquier \(x\) sale el mismo \(s\), así que no se puede invertir. Los Lagrangianos que aparecen en física normalmente satisfacen esta condición. Por ejemplo, si \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\), al ver \(L\) como función de \(\dot{q}\) (fijando \(q\)), la segunda derivada respecto a \(\dot{q}\) es \(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2} = m > 0\) — esto corresponde al \(f''(x) > 0\) de antes. Así que \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\dot{q}\) es función monótonamente creciente de \(\dot{q}\), y al invertir se determina unívocamente \(\dot{q} = p/m\).
Bien, asumiendo que la condición se cumple, calculemos efectivamente \(\frac{dg}{ds}\).
🔵 Kai: En el lado derecho hay \(x\) y \(f(x)\), pero ambos cambian a través de \(s\), ¿verdad? Si muevo \(s\) un poco, \(x\) también se mueve en consecuencia, así que al derivar \(sx\) ¿tengo que recoger también el cambio de \(x\)?
🟡 Lina: Exacto. \(x\) es función de \(s\) — \(x(s)\) obtenida al invertir \(s = f'(x)\) — así que al derivar respecto a \(s\) hay que recoger también el cambio de \(x\). Usamos la regla del producto y la regla de la cadena (derivada de función compuesta). Lo hago con detalle. Al derivar el primer término \(sx\) respecto a \(s\), por la regla del producto \((uv)' = u'v + uv'\): \(1 \cdot x + s \cdot \frac{dx}{ds} = x + s\frac{dx}{ds}\). Al derivar el segundo término \(-f(x)\) respecto a \(s\), por la regla de la cadena: \(-\frac{df}{dx}\cdot\frac{dx}{ds}\). Juntando:
🟡 Lina: Ahora recuerda que \(s = \frac{df}{dx}\). Sustituyendo \(\frac{df}{dx} = s\) en el tercer término \(-\frac{df}{dx}\frac{dx}{ds}\), obtenemos \(-s\frac{dx}{ds}\). Esto tiene signo opuesto y misma magnitud que el segundo término \(+s\frac{dx}{ds}\), así que ¡se cancelan completamente! Es decir:
🔵 Kai: ¡Oh, se cancela limpiamente!
⚪ Mei: Es decir, \(\frac{dg}{ds} = x\). Solo con derivar \(g\) se recupera la variable original \(x\).
🟡 Lina: Sí. La transformada inversa es "definir una nueva variable \(x = \frac{dg}{ds}\) para \(g(s)\) y recuperar \(f(x) = xs - g(s)\)" — exactamente la misma estructura que la transformada original. La transformada de Legendre es una operación simétrica que "al aplicarla dos veces vuelve al original".
🔵 Kai: ¿Cómo funciona concretamente?
🟡 Lina: Hagamos un ejemplo sencillo. Si \(f(x) = x^2\), entonces \(s = \frac{df}{dx} = 2x\), así que \(x = s/2\). La nueva función es \(g(s) = sx - f(x) = s \cdot \frac{s}{2} - \left(\frac{s}{2}\right)^2 = \frac{s^2}{4}\). La variable independiente ha cambiado de \(x\) a \(s\). Inversamente, de \(g(s) = \frac{s^2}{4}\) se recupera \(\frac{dg}{ds} = \frac{s}{2} = x\), y \(f = xs - g(s) = \frac{s}{2}\cdot s - \frac{s^2}{4} = \frac{s^2}{4} = x^2\), volviendo al original.
D.4.3 Definición del Hamiltoniano¶
🟡 Lina: Apliquemos la transformada de Legendre al Lagrangiano. Para \(L(q, \dot{q})\):
- Nueva variable: \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) (momento canónico)
- Nueva función: Hamiltoniano \(H\)
Aquí \(\dot{q}_j\) se expresa como función de \(q\) y \(p\) al resolver inversamente \(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\). Por cierto, en física existe la convención de escritura según la cual "cuando un mismo índice aparece dos veces, se suma automáticamente sobre ese índice", y se llama convención de suma de Einstein. Es decir, escribir simplemente \(p_j\dot{q}_j\) significa \(\sum_j p_j\dot{q}_j = p_1\dot{q}_1 + p_2\dot{q}_2 + \cdots + p_f\dot{q}_f\). En este Apéndice escribiremos explícitamente \(\sum\) muchas veces para mayor claridad, así que si ves cualquiera de las dos notaciones, piensa que significan lo mismo.
🔵 Kai: ¿Qué representa \(H\)?
🟡 Lina: En muchos casos corresponde a la energía total del sistema. Verifiquémoslo. Para \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\), como \(p = m\dot{q}\) tenemos \(\dot{q} = p/m\). Sustituyendo:
⚪ Mei: \(T + V\) — la suma de la energía cinética y la energía potencial. Mientras que el Lagrangiano era \(T - V\), el Hamiltoniano es \(T + V\).
🟡 Lina: Sí. Pero ten cuidado — el Hamiltoniano no siempre coincide con la energía. Puede diferir según la elección de coordenadas o cuando el Lagrangiano depende explícitamente del tiempo. Pero para el alcance de este Apéndice puedes pensar que \(H = E\).
✅ Verificación de comprensión: Enuncia en una frase el propósito de la transformada de Legendre.
Respuesta
Cambiar la variable independiente de \(\dot{q}\) (velocidad generalizada) a \(p\) (momento canónico). Esto permite tratar \(q\) y \(p\) como variables independientes en pie de igualdad, y la transición a la cuantización se vuelve natural.
D.5 Ecuaciones de movimiento de Hamilton¶
🟡 Lina: A partir del Hamiltoniano \(H(q, p)\) se derivan ecuaciones de movimiento en una forma diferente a la de Euler-Lagrange. Estas son las ecuaciones de movimiento de Hamilton (ecuaciones canónicas).
D.5.1 Derivación¶
🟡 Lina: Consideremos la variación infinitesimal del lado derecho de \(H = \sum_j p_j\dot{q}_j - L\) (aquí escribo \(\sum_j\) explícitamente). El punto clave es que en el lado derecho aparecen tres tipos de cantidades: \(q_j\), \(\dot{q}_j\), \(p_j\), pero por la definición de \(p_j\): \(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\), \(\dot{q}_j\) queda determinada como función de \((q, p)\). Pero primero, formalmente variemos todas \(q_j\), \(\dot{q}_j\), \(p_j\) como si fueran independientes.
🔵 Kai: Pero si hay relaciones de dependencia, ¿se puede variar independientemente?
🟡 Lina: Buena pregunta. La idea es esta — primero calculamos formalmente "si \(q\), \(\dot{q}\), \(p\) fueran todas independientes, ¿cómo sería \(\delta H\)?". Esta es una estrategia de "calculemos asumiendo que son independientes, y si no surge contradicción, está bien". Al hacer el cálculo, se confirma que el coeficiente de \(\delta\dot{q}\) es cero. Esto constituye una demostración de que "\(H\) en realidad no depende de \(\dot{q}\)".
🔵 Kai: Es decir, "al asumir independencia y calcular, resultó que el término en \(\dot{q}\) desapareció. Por tanto, \(H\) no dependía de \(\dot{q}\)" y eso se descubre a posteriori, ¿verdad?
🟡 Lina: ¡Exacto! No estamos "asumiendo" que se varían independientemente, sino que al variarlas independientemente y calcular, se "deduce" como resultado que no hay dependencia en \(\dot{q}\) — esa es precisamente la potencia de la transformada de Legendre, y la evidencia de que "hemos elegido el conjunto correcto de variables \((q, p)\)" se manifiesta en la desaparición del término en \(\delta\dot{q}\).
🔵 Kai: Mmm, con palabras lo entiendo, pero concretamente ¿cómo desaparece?
🟡 Lina: Buena pregunta. Primero veamos con un ejemplo sencillo de 1 grado de libertad para captar la intuición, y luego hagamos el caso general. Si \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\), entonces \(p = m\dot{q}\) y \(H = p\dot{q} - L = m\dot{q}\cdot\dot{q} - \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + V(q) = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + V(q)\). Aquí, sustituyendo \(\dot{q} = p/m\): \(H = \frac{p^2}{2m} + V(q)\) — efectivamente \(\dot{q}\) desaparece y queda como función solo de \((q, p)\). Ahora mostraré que esto ocurre también en el caso general.
🟡 Lina: Pasemos al cálculo general. Variemos la parte \(\sum_j p_j\dot{q}_j\). A la variación también se le aplica la regla del producto igual que a la diferenciación — \(\delta(AB) = A\,\delta B + B\,\delta A\). Aplicando esto a cada término \(p_j\dot{q}_j\): \(\delta(p_j\dot{q}_j) = \dot{q}_j\,\delta p_j + p_j\,\delta\dot{q}_j\), así que en total: \(\delta(\sum_j p_j\dot{q}_j) = \sum_j(\dot{q}_j\,\delta p_j + p_j\,\delta\dot{q}_j)\). Luego, la parte \(L(q, \dot{q})\), en primer orden de Taylor: \(\delta L = \sum_j\left(\frac{\partial L}{\partial q_j}\delta q_j + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\delta\dot{q}_j\right)\). Juntando:
🔵 Kai: Hay cuatro términos, pero debo fijarme en el coeficiente de \(\delta\dot{q}\), ¿verdad?
🟡 Lina: Exacto. Como \(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\), el segundo término \(p_j\,\delta\dot{q}_j\) y el cuarto término \(-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\delta\dot{q}_j\) ¡se cancelan completamente!
🔵 Kai: ¡¿Se cancelan?! Pero ¿por qué se cancelan tan convenientemente?
🟡 Lina: Buena pregunta. No es casualidad, sino una propiedad esencial de la transformada de Legendre. Precisamente porque definimos \(p_j\) como \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\), el término en \(\delta\dot{q}\) desaparece. Y que desaparezca significa que la variación de \(H\) se escribe solo con \(\delta q\) y \(\delta p\) — es decir, se confirma que \(H\) está completa como función solo de \((q, p)\) y no contiene \(\dot{q}\) como variable independiente.
🔵 Kai: Ah, claro — como \(p\) se definió como "la pendiente de \(L\) respecto a \(\dot{q}\)", al cambiar la variable de \(\dot{q}\) a \(p\), es natural que desaparezca el rastro de \(\dot{q}\).
⚪ Mei: Dicho de otro modo, la "evidencia de que la transformada de Legendre funciona correctamente" se manifiesta en la desaparición del término en \(\delta\dot{q}\) — \(H\) es efectivamente función solo de \((q, p)\).
🟡 Lina: Exacto. Lo que queda es:
Por otro lado, como \(H\) es función de \(q\) y \(p\), en general:
Las ecuaciones (D.16) y (D.17) representan ambas el mismo \(\delta H\), así que deben ser iguales. Como \(q_j\) y \(p_j\) son las variables independientes del Hamiltoniano — es decir, mover una no afecta a la otra — \(\delta q_j\) y \(\delta p_j\) se pueden elegir libremente (igual que en el diferencial total \(df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy\) de \(f(x, y)\) se pueden elegir \(dx\) y \(dy\) independientemente). Por ejemplo, si solo hacemos \(\delta p_1\) distinto de cero y todos los demás \(\delta q_j\), \(\delta p_j\) son cero, ambos lados dan \(\dot{q}_1\,\delta p_1 = \frac{\partial H}{\partial p_1}\delta p_1\), y dividiendo por \(\delta p_1 \neq 0\) obtenemos \(\dot{q}_1 = \frac{\partial H}{\partial p_1}\). Repitiendo esto para todos los \(j\), los coeficientes deben coincidir.
⚪ Mei: En la sección D.3 derivamos el cero del integrando mediante el lema fundamental a partir de "la integral es cero multiplicada por una función arbitraria", pero aquí, sin integral, leemos los coeficientes "eligiendo una variación independiente a la vez". Los métodos son diferentes pero el espíritu de "determinar los coeficientes a partir de la arbitrariedad" es el mismo.
🟡 Lina: Buena síntesis. Lo que se obtiene es:
🟡 Lina: Aquí quiero que notes que la ecuación (D.18) \(\dot{q}_j = \frac{\partial H}{\partial p_j}\) sale solo de la estructura de la transformada de Legendre — no hemos usado la ecuación de Euler-Lagrange. En cambio, para reescribir \(\frac{\partial L}{\partial q_j}\) de la ecuación (D.19) como \(\dot{p}_j\), necesitamos la ecuación de Euler-Lagrange (D.9). Reordenando: \(\frac{\partial L}{\partial q_j} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\). El lado derecho es la derivada temporal de ambos lados de la definición del momento canónico \(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\) — es decir \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \frac{dp_j}{dt} = \dot{p}_j\). Por lo tanto la ecuación (D.19) se convierte en:
En resumen:
Estas son las ecuaciones canónicas de Hamilton. Es decir, las ecuaciones de Hamilton son equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange — son la misma física escrita en otro lenguaje.
D.5.2 Comparación de estructuras¶
🟡 Lina: Comparemos las dos formulaciones. La ecuación de Euler-Lagrange es 1 ecuación diferencial ordinaria de segundo orden por cada grado de libertad. Las ecuaciones de Hamilton son 2 ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden por cada grado de libertad. Matemáticamente contienen la misma información.
⚪ Mei: Ya veo, solo descomponemos 1 ecuación de segundo orden en 2 de primer orden, así que la cantidad de información no cambia.
🟡 Lina: Exacto. Y las ecuaciones de primer orden tienen la simetría de tratar \(q\) y \(p\) en igualdad. Al espacio que generan \(q\) y \(p\) lo llamamos espacio fásico (phase space). El espacio fásico de un sistema con \(f\) grados de libertad tiene \(2f\) dimensiones. El estado del sistema se representa como un punto en el espacio fásico, y la evolución temporal se describe como una trayectoria en el espacio fásico.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuántas dimensiones tiene el espacio fásico de un sistema con \(f\) grados de libertad? Además, ¿cómo se representa el estado del sistema en el espacio fásico?
Respuesta
El espacio fásico es de dimensión \(2f\) (generado por \(f\) coordenadas generalizadas \(q_j\) y \(f\) momentos canónicos \(p_j\)). El estado del sistema se representa como un punto \((q_1, \ldots, q_f, p_1, \ldots, p_f)\) en el espacio fásico, y la evolución temporal se describe como una trayectoria (curva) en ese espacio.
D.5.3 Ejemplo concreto: oscilador armónico unidimensional¶
🟡 Lina: Para verificar, hagámoslo con el oscilador armónico unidimensional.
Ecuaciones de Hamilton:
🔵 Kai: La primera ecuación es \(p = m\dot{q}\) (definición de momento), y la segunda es \(m\ddot{q} = -m\omega^2 q\) (fuerza restauradora del resorte). ¡Es lo mismo que la ecuación de movimiento de Newton!
🟡 Lina: Así es. Es la misma física descrita en otro lenguaje. Pero este lenguaje del formalismo Hamiltoniano es el que abre el camino hacia la cuantización. Visto en el espacio fásico \((q, p)\) (Fig. D.1「Trayectorias en el espacio fásico \((q, p)\) del oscilador armónico」), la conservación de la energía \(H = E\) significa \(\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 = E\) — esto es la ecuación de una elipse respecto a los ejes \(p\) y \(q\) (de la forma \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)). Así que las trayectorias del oscilador armónico son elipses cerradas correspondientes a cada energía. Además, las ecuaciones de Hamilton (D.23)–(D.24) asignan a cada punto \((q, p)\) del espacio fásico un vector velocidad "hacia dónde se moverá en el instante siguiente" — esto es el "flujo" sobre el espacio fásico. Como diferentes energías corresponden a elipses de diferente tamaño, las trayectorias elípticas se anidan según la energía — en Fig. D.1「Trayectorias en el espacio fásico \((q, p)\) del oscilador armónico」 puedes verificar visualmente lo que acabo de decir.
Fig. D.1: Trayectorias en el espacio fásico \((q, p)\) del oscilador armónico. Se representan como elipses cerradas correspondientes a cada energía. Las ecuaciones de Hamilton (D.23)–(D.24) determinan el flujo sobre el espacio fásico.
D.5.4 Conservación de la energía¶
🟡 Lina: Otra cosa importante. En general, \(H\) es función de \(q_j(t)\), \(p_j(t)\), y en algunos casos del propio \(t\). Para obtener la variación temporal de \(H\), hay que considerar tanto "el cambio debido a que \(q_j\) y \(p_j\) se mueven con el tiempo" como "el cambio debido a que la forma funcional de \(H\) misma varía con el tiempo".
🔵 Kai: ¿La diferencia entre esas dos cosas cómo se refleja concretamente en el cálculo?
🟡 Lina: Primero recuerda la derivada de una función compuesta de una variable. La derivada temporal de \(f(x(t))\) es \(\frac{df}{dt} = \frac{df}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\). Si \(f\) tiene 2 variables \(f(x(t), y(t))\), se suman las contribuciones del cambio de \(x\) y del cambio de \(y\): \(\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\). No importa cuántas variables haya, el patrón es el mismo: para cada variable, sumamos "derivada parcial de \(f\) respecto a esa variable × tasa de cambio temporal de esa variable".
Además, si \(f\) depende no solo de \(x, y\) sino directamente del propio \(t\) — \(f(x(t), y(t), t)\) — se añade la contribución del cambio de \(t\) mismo: \(\frac{\partial f}{\partial t}\). Aquí presta atención a la diferencia entre \(\frac{\partial f}{\partial t}\) y \(\frac{df}{dt}\). \(\frac{\partial f}{\partial t}\) es "la tasa de cambio cuando fijamos \(x\) e \(y\) y solo movemos la \(t\) que aparece directamente en la expresión de \(f\)". En cambio, \(\frac{df}{dt}\) es "la tasa de cambio total de \(f\) a lo largo del movimiento real, incluyendo que \(x(t)\), \(y(t)\) también se mueven".
🔵 Kai: Ah, es la diferencia entre derivada parcial y derivada total. \(\frac{\partial}{\partial t}\) es "fijar lo demás y mover solo \(t\)", \(\frac{d}{dt}\) es "mover todo junto".
🟡 Lina: Exacto. Para \(H(q_1, \ldots, q_f, p_1, \ldots, p_f, t)\):
Esta es la fórmula de la derivada temporal total de una función multivariable (versión multivariable de la derivada de función compuesta, también llamada regla de la cadena). El primer término \(\frac{\partial H}{\partial t}\) es "la tasa de cambio cuando fijamos \(q_j\) y \(p_j\) y solo movemos la \(t\) que aparece directamente en la expresión de \(H\)" — es decir, representa si "la forma funcional de \(H\) misma cambia con el tiempo". Por ejemplo, en un sistema con fuerzas externas que varían en el tiempo tendríamos \(\frac{\partial H}{\partial t} \neq 0\), pero en un sistema aislado normalmente es cero.
🟡 Lina: Cuando \(H\) no depende explícitamente del tiempo (\(\frac{\partial H}{\partial t} = 0\)) — es decir, cuando las reglas del sistema no cambian con el tiempo — el primer término de la ecuación (D.25) es cero. Sustituyendo las ecuaciones de Hamilton \(\dot{q}_j = \frac{\partial H}{\partial p_j}\), \(\dot{p}_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}\) en los términos restantes:
🔵 Kai: ¡Oh, se cancelan completamente! Se cancelan porque aparece algo con la misma forma que él mismo pero con signo opuesto.
⚪ Mei: Es decir \(\frac{dH}{dt} = 0\), y \(H\) es una cantidad conservada — la ley de conservación de la energía.
✅ Verificación de comprensión: Explica por qué en el proceso de derivar \(\frac{dH}{dt} = 0\) a partir de las ecuaciones canónicas de Hamilton, los dos términos se cancelan.
Respuesta
Al sustituir las ecuaciones de Hamilton \(\dot{q}_j = \frac{\partial H}{\partial p_j}\), \(\dot{p}_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}\) en \(\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial H}{\partial p_j}\dot{p}_j\), se obtiene \(\frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j} - \frac{\partial H}{\partial p_j}\frac{\partial H}{\partial q_j} = 0\). El término positivo y el término negativo tienen exactamente la misma magnitud con signo opuesto, así que se cancelan.
📝 Ejercicios:
- Escribir el Hamiltoniano de un campo de fuerza central 2D \(V(r)\) en coordenadas polares y derivar las ecuaciones de Hamilton → Problema B-2. Construcción del Hamiltoniano mediante la transformada de Legendre
D.6 Paréntesis de Poisson — La estructura algebraica de la mecánica clásica¶
🟡 Lina: Para comprender más profundamente la estructura simétrica de las ecuaciones de Hamilton, introducimos la herramienta del paréntesis de Poisson (Poisson bracket). Este será el núcleo del "diccionario de traducción" que conecta la mecánica clásica con la mecánica cuántica.
D.6.1 Definición¶
🟡 Lina: Para dos cantidades físicas sobre el espacio fásico — es decir, cantidades que se pueden escribir como funciones de \(q\) y \(p\) — \(A(q, p)\) y \(B(q, p)\), definimos el paréntesis de Poisson como:
🔵 Kai: ¿Qué significa? Me parece solo una fórmula...
🟡 Lina: Primero confirmemos la "lectura" de la fórmula. Cada término de la definición (D.26):
- Primer término \(\frac{\partial A}{\partial q_j}\frac{\partial B}{\partial p_j}\): "cuánto cambia \(A\) en la dirección \(q_j\)" × "cuánto cambia \(B\) en la dirección \(p_j\)"
- Segundo término \(\frac{\partial A}{\partial p_j}\frac{\partial B}{\partial q_j}\): "cuánto cambia \(A\) en la dirección \(p_j\)" × "cuánto cambia \(B\) en la dirección \(q_j\)"
El paréntesis de Poisson es la diferencia de estos dos "productos cruzados", sumada sobre todos los grados de libertad \(j\).
Intuitivamente, \(\{A, B\}\) mide "cuánto están directamente acopladas \(A\) y \(B\) dentro de la estructura canónica". \(\{q_j, p_k\} = \delta_{jk}\) expresa que "\(q_j\) y \(p_k\) son un par de variables conjugadas entre sí". Por otro lado \(\{q_j, q_k\} = 0\) indica que "las \(q\) entre sí son canónicamente independientes" — es decir, no están directamente acopladas en el sentido de la estructura canónica.
🔵 Kai: Entonces, ¿\(\{A, B\} = 0\) significa que "\(A\) y \(B\) no tienen relación"?
🟡 Lina: Pero ten cuidado, \(\{A, B\} = 0\) no significa que "\(A\) y \(B\) son físicamente irrelevantes entre sí". Pueden influirse mutuamente indirectamente a través del Hamiltoniano. Lo importante es que cuando \(\{A, H\} = 0\), \(A\) es una cantidad conservada — es decir "el paréntesis de Poisson con \(H\) es cero" es el criterio para identificar cantidades conservadas.
🟡 Lina: Veamos primero el ejemplo más simple — con 1 grado de libertad y \(A = q\), \(B = H = \frac{p^2}{2m} + V(q)\), de la definición (D.26): \(\{q, H\} = \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial q}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q} = 1 \cdot \frac{p}{m} - 0 = \frac{p}{m}\). Esto coincide con \(\dot{q} = p/m\) (que ya verificamos en la ecuación de Hamilton (D.23)). Es decir, el paréntesis de Poisson \(\{q, H\}\) da la tasa de cambio temporal de \(q\) — esto no es coincidencia, y lo probaremos en general en D.6.3.
🔵 Kai: Vaya... ¿solo calculando el paréntesis de Poisson se obtiene la evolución temporal? Eso es increíble.
🟡 Lina: Adelantándome a la conclusión: la evolución temporal de cualquier cantidad física \(A\) viene dada por \(\{A, H\}\). Así que \(\{A, H\} \neq 0\) significa que "\(A\) cambia con el tiempo", y \(\{A, H\} = 0\) significa que \(A\) es una cantidad conservada — este es el significado práctico más importante del paréntesis de Poisson.
De hecho, esta estructura ya la hemos visto. En la sección D.5.4 sobre conservación de la energía apareció la combinación \(\frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j} - \frac{\partial H}{\partial p_j}\frac{\partial H}{\partial q_j}\), ¿verdad? Eso es precisamente la forma \(\{H, H\}\). El paréntesis de Poisson es una herramienta que generaliza aquel cálculo para expresar "la relación dinámica entre dos cantidades físicas cualesquiera". Concretamente, al tomar el paréntesis de Poisson de una cantidad física con el Hamiltoniano, se obtiene la evolución temporal de esa cantidad — esto lo mostraremos enseguida.
🔵 Kai: Entonces, por ejemplo, ¿si calculo \(\{q, H\}\) me sale \(\dot{q}\)?
🟡 Lina: ¡Exactamente! Eso lo mostraremos formalmente en D.6.3, pero sabiendo la conclusión de antemano es más fácil captar el significado de la definición. Primero calculemos en la siguiente subsección los más sencillos — los paréntesis de Poisson de \(q\) y \(p\) entre sí.
🟡 Lina: Observando la estructura de la fórmula, el paréntesis de Poisson es "el producto del cambio de \(A\) en la dirección \(q\) por el cambio de \(B\) en la dirección \(p\)" menos "el producto del cambio de \(A\) en la dirección \(p\) por el cambio de \(B\) en la dirección \(q\)". Al intercambiar los roles de \(q\) y \(p\) cambia el signo — tiene estructura antisimétrica.
🔵 Kai: Ya veo, si intercambias \(A\) y \(B\) el signo se invierte — es como un producto vectorial. ¿Lo de que "\(\{A, H\}\) da la evolución temporal" lo verificamos a continuación?
⚪ Mei: Organizando la estructura de la definición (D.26), es el mismo patrón que el producto vectorial "cruza las componentes de dos vectores y resta". Es antisimétrico y con combinaciones cruzadas de \(q\) y \(p\).
🟡 Lina: Buena síntesis. Y sobre tu pregunta, Kai — sí, lo demostraremos formalmente en D.6.3. Primero en D.6.2 calculamos los paréntesis de Poisson fundamentales, y luego en D.6.3 confirmamos que "\(\{A, H\}\) da la evolución temporal".
🔵 Kai: Antes dije que es como un producto vectorial, pero ¿el paréntesis de Poisson es realmente pariente del producto vectorial? Siento que hay una "estructura más profunda"...
🟡 Lina: Buena intuición. De hecho, en el espacio fásico existe una estructura geométrica llamada "estructura simpléctica", y el paréntesis de Poisson está profundamente relacionado con ella — juega un papel similar al de "una generalización del producto exterior en el espacio fásico". Sin embargo, este es un tema avanzado que va más allá del alcance de hoy, así que solo menciono el nombre. Aquí quédate con la estructura "antisimétrica, con combinaciones cruzadas de \(q\) y \(p\)". Pasemos a calcular concretamente en la siguiente subsección.
D.6.2 Paréntesis de Poisson fundamentales¶
🟡 Lina: Calculemos los paréntesis de Poisson más básicos. Queremos obtener el paréntesis de Poisson de \(q_j\) y \(p_k\). Ponemos \(A = q_j\), \(B = p_k\) en la definición (D.26). Aquí cuidado — el índice de la suma en la definición también era \(j\). Pero ahora la \(j\) de \(A = q_j\) es "un número fijo que señala un grado de libertad particular", y la \(j\) del índice de suma es "un índice mudo que recorre de 1 a \(f\)". Para evitar confusión al usar la misma letra con dos significados, renombremos el índice de suma como \(i\) (un índice mudo se puede cambiar a cualquier letra sin cambiar el significado):
\(q_j\) derivada parcialmente respecto a \(q_i\) da \(\delta_{ji}\) (delta de Kronecker), y respecto a \(p_i\) da cero. Igualmente \(p_k\) derivada respecto a \(p_i\) da \(\delta_{ki}\), y respecto a \(q_i\) da cero. Por lo tanto:
De manera análoga:
⚪ Mei: En resumen:
Tabla D.1: Paréntesis de Poisson fundamentales de las variables canónicas
| Paréntesis de Poisson | Valor |
|---|---|
| \(\{q_j, p_k\}\) | \(\delta_{jk}\) |
| \(\{q_j, q_k\}\) | \(0\) |
| \(\{p_j, p_k\}\) | \(0\) |
🟡 Lina: Estos se llaman paréntesis de Poisson fundamentales. Cuando cuanticemos más adelante, estos corresponderán a las relaciones canónicas de conmutación.
✅ Verificación de comprensión: Enuncia los puntos clave para derivar el paréntesis de Poisson fundamental \(\{q_j, p_k\} = \delta_{jk}\) a partir de la definición.
Respuesta
Derivar parcialmente \(q_j\) respecto a \(q_i\) da \(\delta_{ji}\), y respecto a \(p_i\) da cero. Igualmente, derivar \(p_k\) respecto a \(p_i\) da \(\delta_{ki}\), y respecto a \(q_i\) da cero. Sustituyendo en la definición: \(\{q_j, p_k\} = \sum_i \delta_{ji}\delta_{ki} = \delta_{jk}\). Para los paréntesis entre \(q\) con \(q\) o \(p\) con \(p\), una de las derivadas parciales es siempre cero, así que el resultado también es cero.
D.6.3 Expresión de las ecuaciones de Hamilton mediante paréntesis de Poisson¶
🟡 Lina: Usando los paréntesis de Poisson, las ecuaciones de Hamilton se pueden escribir de forma sorprendentemente compacta. Consideremos la evolución temporal de una cantidad física arbitraria \(A(q, p, t)\). Incluyendo el caso de dependencia explícita del tiempo:
Sustituyendo las ecuaciones de Hamilton \(\dot{q}_j = \frac{\partial H}{\partial p_j}\), \(\dot{p}_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}\):
🔵 Kai: ¡Es tan simple! Pero esto significa que si "el paréntesis de Poisson con el Hamiltoniano es cero", no hay evolución temporal — ¿es decir, es una cantidad conservada?
🟡 Lina: ¡Exacto! Si \(A\) no depende explícitamente del tiempo (\(\frac{\partial A}{\partial t} = 0\)), entonces \(\frac{dA}{dt} = \{A, H\}\), así que si \(\{A, H\} = 0\) entonces \(\frac{dA}{dt} = 0\), es decir \(A\) es una cantidad conservada. Para encontrar cantidades conservadas basta con "calcular el paréntesis de Poisson con \(H\) y verificar si es cero" — esa es la potencia práctica del paréntesis de Poisson. Y la evolución temporal de una cantidad física que no depende explícitamente del tiempo viene dada por el paréntesis de Poisson de esa cantidad con el Hamiltoniano. Esta es la expresión más elegante de la mecánica Hamiltoniana.
En particular, sustituyendo \(A = q_j\) o \(A = p_j\) (que no dependen explícitamente del tiempo):
Estas son precisamente las ecuaciones de Hamilton (D.21).
D.6.4 Propiedades del paréntesis de Poisson¶
🟡 Lina: Resumamos las propiedades importantes del paréntesis de Poisson:
1. Antisimetría:
En particular \(\{A, A\} = 0\).
2. Linealidad:
(\(a, b\) son constantes)
3. Regla del producto (regla de Leibniz):
(En mecánica clásica \(A, B\) son funciones numéricas conmutativas, así que intercambiar el orden da lo mismo. Sin embargo, en la correspondencia con la mecánica cuántica que aprenderemos en D.7, los operadores \(\hat{A}\hat{B} \neq \hat{B}\hat{A}\), así que el orden es importante. Para que la correspondencia con la identidad cuántica \([\hat{A}\hat{B},\, \hat{C}] = \hat{A}[\hat{B}, \hat{C}] + [\hat{A}, \hat{C}]\hat{B}\) (derivada en Cap. 15) sea más clara, escribimos el lado clásico también en este orden. Sobre la ambigüedad de ordenamiento al cuantizar el producto clásico \(AB\), lo discutiremos en D.7.4.)
4. Identidad de Jacobi:
🔵 Kai: ¿Para qué sirve la identidad de Jacobi? Honestamente, al ver la fórmula no me queda claro qué dice.
🟡 Lina: Intuitivamente, la identidad de Jacobi garantiza que "aunque anidemos paréntesis de Poisson múltiples veces, no surgen contradicciones" — es una condición de consistencia. Más concretamente, al crear una nueva cantidad física con \(\{A, B\}\) y luego tomar su paréntesis de Poisson con \(C\) — al repetir estas operaciones, el resultado no depende del "orden en que se combinaron" — garantiza esa coherencia. La demostración se puede verificar sustituyendo en la definición (D.26) y calculando pacientemente, pero aquí basta con aceptar el resultado.
⚪ Mei: Es decir, una garantía de que "la estructura de anidamiento de operaciones es consistente".
🟡 Lina: Así es. Y lo importante es que los conmutadores de la mecánica cuántica \([A, B] = AB - BA\) satisfacen exactamente las mismas propiedades — antisimetría, linealidad, regla de Leibniz, identidad de Jacobi. Es decir, el paréntesis de Poisson y el conmutador tienen la misma estructura algebraica — por eso es posible la "traducción" de uno al otro.
🔵 Kai: Ya veo... "sistemas de cálculo que siguen las mismas reglas", así que al sustituir uno por otro la lógica global no se rompe.
⚪ Mei: Es decir, las "reglas" comunes son las cuatro que Lina enumeró: antisimetría, linealidad, regla de Leibniz e identidad de Jacobi.
🟡 Lina: Comprensión perfecta.
✅ Verificación de comprensión: Enumera dos propiedades algebraicas comunes al paréntesis de Poisson y al conmutador de la mecánica cuántica que fundamentan que sean "traducibles" entre sí.
Respuesta
(1) Antisimetría: \(\{A, B\} = -\{B, A\}\) y \([\hat{A}, \hat{B}] = -[\hat{B}, \hat{A}]\). (2) Identidad de Jacobi: \(\{\{A,B\},C\} + \{\{C,A\},B\} + \{\{B,C\},A\} = 0\) y \([[\hat{A},\hat{B}],\hat{C}] + [[\hat{C},\hat{A}],\hat{B}] + [[\hat{B},\hat{C}],\hat{A}] = 0\). Estas estructuras comunes (estructura de álgebra de Lie) permiten la correspondencia entre uno y otro.
✅ Verificación de comprensión: Escribe la fórmula que expresa la evolución temporal de una cantidad física \(A\) mediante el paréntesis de Poisson, y verifica que es equivalente a las ecuaciones de Hamilton.
Respuesta
\(\frac{dA}{dt} = \{A, H\}\). Si \(A = q_j\): \(\dot{q}_j = \{q_j, H\} = \frac{\partial q_j}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial q_j}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} = \delta_{ji}\frac{\partial H}{\partial p_i} - 0 = \frac{\partial H}{\partial p_j}\). Si \(A = p_j\): \(\dot{p}_j = \{p_j, H\} = 0 - \delta_{ji}\frac{\partial H}{\partial q_i} = -\frac{\partial H}{\partial q_j}\). Estas son exactamente las ecuaciones de Hamilton (D.21).
📝 Ejercicios:
- Calcular todos los paréntesis de Poisson del momento angular \(L_z = xp_y - yp_x\) con \(x, y, p_x, p_y\) → Problema B-8. Cálculo de corchetes de Poisson
D.7 La receta de la cuantización canónica¶
🟡 Lina: Llegamos por fin al tema principal — el procedimiento de transición de la mecánica clásica a la mecánica cuántica, la cuantización canónica (canonical quantization). Toda la preparación hasta aquí fue para este momento.
D.7.1 Los 3 pasos de la cuantización canónica¶
🟡 Lina: El procedimiento es claro. Con los siguientes 3 pasos "traducimos" la mecánica clásica a la mecánica cuántica:
Paso 1: Escribir el Hamiltoniano clásico en términos de \(q, p\)
A partir del conocimiento de mecánica clásica, expresamos el Hamiltoniano \(H(q, p)\) del sistema como función de las coordenadas generalizadas y los momentos canónicos.
Paso 2: Reemplazar \(q, p\) por operadores \(\hat{q}, \hat{p}\)
Los números ordinarios que representan cantidades físicas (en mecánica clásica las cantidades físicas son funciones de valores reales) se reemplazan por operadores. Un operador es una regla lineal que actúa sobre un vector de estado y devuelve otro vector de estado (ver Apéndice B). El espacio donde viven los vectores de estado es el espacio de Hilbert (un espacio vectorial completo con producto interno definido, ver Cap. 11).
¿Por qué "operadores"? — En mecánica clásica la posición de una partícula es un número definido, pero en mecánica cuántica existen estados de superposición y no se puede representar una cantidad física con "un solo número". Un operador puede contener la información de "qué puede ocurrir al medir" — es decir, la lista completa de valores de medida posibles (autovalores). Por eso representamos las cantidades físicas con operadores (ver Cap. 8).
Paso 3: Reemplazar los paréntesis de Poisson fundamentales por relaciones canónicas de conmutación
🔵 Kai: Un momento. ¿Por qué el paréntesis de Poisson corresponde al conmutador? ¿De dónde sale \(i\hbar\)?
🟡 Lina: Pregunta muy aguda. Para ser honesta, la cuantización canónica es un axioma, y no se deriva lógicamente. "Al asumir esta correspondencia se obtiene una mecánica cuántica que concuerda con los experimentos" es la justificación.
🟡 Lina: Sin embargo, hay varias pistas sobre por qué esta correspondencia es "natural". Primero, en la ecuación (D.31) la evolución temporal de una cantidad física clásica era \(\frac{dA}{dt} = \{A, H\}\). En mecánica cuántica también hay una ecuación que describe la evolución temporal de los operadores — llamada ecuación de movimiento de Heisenberg, que se deriva de los principios fundamentales de la mecánica cuántica (ver Cap. 14):
⚪ Mei: ¡La estructura es la misma! El \(\{A, H\}\) clásico corresponde al \(\frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{H}]\) cuántico.
🟡 Lina: Así es. La regla de correspondencia general es:
Es decir:
Aplicando esto al paréntesis de Poisson fundamental \(\{q_j, p_k\} = \delta_{jk}\), se obtiene \([\hat{q}_j, \hat{p}_k] = i\hbar\,\delta_{jk}\).
🔵 Kai: Ya veo... la estructura algebraica del paréntesis de Poisson se "traduce" directamente a la estructura algebraica del conmutador. \(i\hbar\) es como el "tipo de cambio" de la traducción.
🟡 Lina: Buena metáfora. Y en el límite \(\hbar \to 0\) el conmutador se hace cero, los efectos cuánticos desaparecen y se recupera la mecánica clásica — esta es la expresión matemática del principio de correspondencia.
✅ Verificación de comprensión: En la regla de correspondencia de la cuantización canónica \(\{A, B\} \leftrightarrow \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]\), ¿qué significado físico tiene el límite \(\hbar \to 0\)?
Respuesta
En el límite \(\hbar \to 0\) el conmutador \([\hat{A}, \hat{B}] = i\hbar\{A,B\}\) tiende a cero, y los operadores se vuelven conmutativos (se comportan como números ordinarios). Esto significa que los efectos cuánticos desaparecen y se recupera la mecánica clásica, lo cual es la expresión matemática del principio de correspondencia.
D.7.2 Ejemplo concreto: cuantización del oscilador armónico unidimensional¶
🟡 Lina: Hagámoslo concretamente.
Paso 1: El Hamiltoniano clásico es
Paso 2: Reemplazamos \(q \to \hat{q}\), \(p \to \hat{p}\):
Paso 3: Imponemos la relación canónica de conmutación:
🔵 Kai: ¿Con solo esto se completa la formulación mecánico-cuántica?
🟡 Lina: Con esto se completa la formulación del oscilador armónico cuántico. El punto de partida de aquel problema que tratamos en el Cap. 9 está aquí.
🔵 Kai: En el Cap. 9 empezábamos diciendo "dado el Hamiltoniano", pero ahora por fin entiendo de dónde viene ese Hamiltoniano. Pero al revés, si fuera un sistema sin Hamiltoniano clásico conocido — por ejemplo, el espín que apareció en el Cap. 17, donde no hay "posición y momento" clásicos — ¿esta receta no se puede usar?
🟡 Lina: Pregunta aguda. Así es, para cantidades sin correspondencia clásica como el espín, la receta de cuantización canónica no se puede aplicar directamente. En el caso del espín, las relaciones de conmutación se determinan a partir de la simetría (teoría de representaciones del grupo de rotaciones). La cuantización canónica no es omnipotente, sino una receta poderosa para "sistemas con correspondencia clásica" — esa es su posición exacta.
D.7.3 Representación de Schrödinger¶
🟡 Lina: Como manera concreta de realizar la relación canónica de conmutación \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\), existe la representación de Schrödinger. Es exactamente el lenguaje de funciones de onda que usamos en el Cap. 7:
- Estado: función de onda \(\psi(q, t)\)
- Operador posición: \(\hat{q}\,\psi(q) = q\,\psi(q)\) (simple multiplicación)
- Operador momento: \(\hat{p}\,\psi(q) = -i\hbar\frac{\partial}{\partial q}\psi(q)\) (operador diferencial). Esto también se puede escribir como \(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q}\psi(q)\) (ya que \(\frac{1}{i} = -i\), ambas son lo mismo — verificación: \(\frac{\hbar}{i} = \hbar \times \frac{1}{i} = \hbar \times (-i) = -i\hbar\)). La notación varía según el libro de texto, así que acostúmbrate a ambas. En los cálculos siguientes usaremos la forma \(\frac{\hbar}{i}\).
🔵 Kai: Posición es multiplicación, momento es derivada — quiero verificar si esta realización extraña satisface la relación de conmutación.
🟡 Lina: Verifiquemos que se satisface la relación canónica de conmutación. Aquí usamos la forma \(\hat{p} = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q}\) — porque en esta forma es más fácil seguir los signos en los cálculos intermedios (por supuesto es exactamente lo mismo que \(-i\hbar\frac{\partial}{\partial q}\)). Para un \(\psi(q)\) arbitrario:
Desarrollando el segundo término con la derivada del producto \(\frac{\partial}{\partial q}(q\psi) = 1\cdot\psi + q\cdot\frac{\partial\psi}{\partial q} = \psi + q\frac{\partial\psi}{\partial q}\):
(La última igualdad usa \(\frac{1}{i} = -i\) — que se verifica de \(i \cdot (-i) = -i^2 = 1\) (ver también Apéndice A) — así que \(-\frac{\hbar}{i} = -\hbar \cdot (-i) = i\hbar\).)
⚪ Mei: Efectivamente \([\hat{q}, \hat{p}]\psi = i\hbar\,\psi\) se cumple. El orden de los operadores importa y \(\hat{q}\hat{p} \neq \hat{p}\hat{q}\) porque el operador diferencial "actúa sobre la función que tiene detrás".
🟡 Lina: Así es. Y la ecuación de Schrödinger es:
Para el oscilador armónico, sustituyendo \(\hat{p} = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial q}\) en \(\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\): \(\frac{\hat{p}^2}{2m} = \frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\right)^2\frac{\partial^2}{\partial q^2}\). Como \(\left(\frac{\hbar}{i}\right)^2 = \frac{\hbar^2}{i^2} = \frac{\hbar^2}{-1} = -\hbar^2\), tenemos \(\frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial q^2}\). Por lo tanto:
🔵 Kai: ¡Es la ecuación de Schrödinger que vimos en el Cap. 7! Usando la receta de cuantización canónica, esta ecuación sale automáticamente del Hamiltoniano clásico. ¡El Hamiltoniano clásico era el "plano de diseño" de la ecuación de Schrödinger cuántica!
D.7.4 Ambigüedad de ordenamiento¶
🟡 Lina: Hay una observación importante. En mecánica clásica \(qp = pq\) (es simple multiplicación de números). Pero en mecánica cuántica \(\hat{q}\hat{p} \neq \hat{p}\hat{q}\). Por lo tanto, al cuantizar la cantidad física clásica \(qp\), el resultado difiere según elijamos \(\hat{q}\hat{p}\) o \(\hat{p}\hat{q}\).
🔵 Kai: ¿Qué se hace entonces?
🟡 Lina: Como regla general, se elige el orden de modo que el operador cuantizado sea autoadjunto (hermítico). Para \(qp\):
Esta es una de las prescripciones llamada ordenamiento de Weyl. Sin embargo, para el oscilador armónico donde \(H = \frac{p^2}{2m} + V(q)\), como no hay términos mixtos de \(p\) y \(q\), no surge el problema de ordenamiento.
⚪ Mei: En la práctica, para muchos sistemas físicos la ambigüedad de ordenamiento no es un problema.
✅ Verificación de comprensión: Enumera en orden los 3 pasos de la cuantización canónica.
Respuesta
- Escribir el Hamiltoniano clásico \(H(q, p)\) del sistema como función de las coordenadas generalizadas y los momentos canónicos
- Reemplazar \(q, p\) por operadores \(\hat{q}, \hat{p}\)
- Reemplazar los paréntesis de Poisson fundamentales por las relaciones canónicas de conmutación \([\hat{q}_j, \hat{p}_k] = i\hbar\,\delta_{jk}\)
📝 Ejercicios:
- A partir del Lagrangiano clásico de una partícula cargada en un campo electromagnético \(L = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 + e\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A} - e\phi\), obtener el momento canónico, derivar el Hamiltoniano y realizar la cuantización canónica → Problema A-1. Cuantización canónica de una partícula cargada en un campo electromagnético
D.8 Resumen de la correspondencia global¶
🟡 Lina: Resumamos en una tabla la correspondencia entre mecánica clásica y mecánica cuántica:
Tabla D.2: Correspondencia entre mecánica clásica y mecánica cuántica
| Mecánica clásica | Mecánica cuántica |
|---|---|
| Cantidad física \(A(q, p)\) (número-\(c\): números ordinarios conmutativos) | Operador \(\hat{A}\) (sobre espacio de Hilbert) |
| Estado: un punto del espacio fásico \((q, p)\) | Estado: vector ket $ |
| Paréntesis de Poisson \(\{A, B\}\) | Conmutador \(\frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]\) |
| \(\{q_j, p_k\} = \delta_{jk}\) | \([\hat{q}_j, \hat{p}_k] = i\hbar\,\delta_{jk}\) |
| Evolución temporal: \(\frac{dA}{dt} = \{A, H\}\) | Ecuación de Heisenberg: \(\frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{H}]\) |
| Función de Hamilton \(H(q, p)\) | Operador Hamiltoniano \(\hat{H}\) |
| Generador de la evolución temporal: \(H\) | Evolución temporal: $i\hbar\frac{\partial}{\partial t} |
🔵 Kai: La correspondencia es muy limpia... Pero algo me preocupa: en esta tabla el "estado" clásico es un punto del espacio fásico, mientras que el "estado" cuántico es un vector ket. Un punto y un vector de dimensión infinita — la cantidad de información parece totalmente diferente. ¿Aun así se puede decir que "corresponden"?
🟡 Lina: Observación aguda. Efectivamente así es: esta correspondencia no es una "traducción completa". La mecánica clásica está contenida como límite \(\hbar \to 0\) de la mecánica cuántica, pero inversamente no se puede determinar unívocamente la mecánica cuántica a partir de la mecánica clásica (por ejemplo, la ambigüedad de ordenamiento). El espacio de estados cuántico es mucho más rico que el clásico, y posee estructuras sin correspondencia clásica como la superposición y el entrelazamiento. La cuantización canónica es solo una "receta para hacer la mejor conjetura", y en última instancia se justifica por la concordancia con el experimento.
D.9 Extensión a sistemas continuos — Perspectiva hacia la teoría cuántica de campos¶
🟡 Lina: Para terminar, veamos panorámicamente cómo se extiende de sistemas discretos de partículas a campos continuos. Esta es la puerta de entrada a la teoría cuántica de campos (quantum field theory).
D.9.1 De lo discreto a lo continuo¶
🟡 Lina: Como imagen concreta, piensa en un sistema de \(N\) masas puntuales alineadas, conectadas entre sí por resortes — imagina una cuerda de guitarra. Al ampliar la cuerda se ven átomos alineados, conectados entre vecinos por fuerzas de enlace (resortes). Sea \(a\) la distancia de equilibrio entre masas puntuales, \(\kappa\) la constante del resorte, y \(q_i(t)\) el desplazamiento de la \(i\)-ésima masa respecto a su posición de equilibrio. El Lagrangiano es:
Fig. D.2: Sistema discreto de \(N\) masas puntuales conectadas por resortes (arriba) y el campo continuo \(\phi(x,t)\) obtenido en el límite continuo \(N \to \infty\), \(a \to 0\) (abajo). Los desplazamientos discretos \(q_i(t)\) transicionan al campo continuo \(\phi(x,t)\).
🟡 Lina: Al tomar el límite continuo \(N \to \infty\), \(a \to 0\), los desplazamientos discretos \(q_i(t)\) transicionan a un campo continuo \(\phi(x, t)\). El índice \(i\) se reemplaza por la variable continua \(x\). Mira la Fig. D.2「Sistema discreto de \(N\) masas puntuales conectadas por resortes (arriba) y el campo continuo \(\phi(x,t)\) obtenido en el límite continuo \(N \to \infty\), \(a \to 0\) (abajo)」 — la correspondencia entre el sistema discreto (arriba) y el límite continuo (abajo) se ve visualmente.
D.9.2 Densidad Lagrangiana¶
🟡 Lina: En el límite continuo, el Lagrangiano toma la forma de una integral espacial:
Aquí \(\mathcal{L}\) se llama densidad Lagrangiana (Lagrangian density). Por ejemplo, para la vibración de una cuerda:
Aquí \(\mu\) es la densidad lineal (masa por unidad de longitud) y \(\tau\) es la tensión — veamos concretamente cómo surgen de los parámetros del sistema discreto.
🟡 Lina: Observemos la correspondencia del límite continuo. El punto clave es "reescribir \(\sum_i\) como \(\int dx\)". Como la separación entre masas vecinas es \(a\), la posición de la \(i\)-ésima masa es \(x_i = ia\). Cuando \(a \to 0\) y las masas se distribuyen continuamente, \(\sum_i a\) es la suma de Riemann misma que transiciona a \(\int dx\) — el \(\Delta x\) de \(\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N f(x_i)\,\Delta x\) que aprendiste en bachillerato corresponde a \(a\).
🔵 Kai: Ah, \(\sum_i a\) es la misma estructura que sumar rectángulos de ancho \(a\). Pero la ecuación original (D.51) tiene \(\sum_i\) y no \(\sum_i a\), ¿verdad?
🟡 Lina: Buena observación. Como la \(\sum_i\) original no tiene \(a\), necesitamos reescribir cada término en la forma "\(a \times\)(algo)". Es decir, transformamos \(\sum_i (\cdots) = \sum_i a \cdot \frac{(\cdots)}{a}\). Así la parte \(\sum_i a\) transiciona a \(\int dx\), y la parte \(\frac{(\cdots)}{a}\) se convierte en la densidad Lagrangiana \(\mathcal{L}\).
Primero el término de energía cinética. Reescribimos \(\frac{1}{2}m\dot{q}_i^2\) como \(a \cdot \frac{1}{2}\frac{m}{a}\dot{q}_i^2\). Con \(\sum_i a \to \int dx\), \(m/a\) se convierte en "masa por unidad de longitud", es decir la densidad lineal \(\mu\). Así se obtiene \(\frac{1}{2}\mu\dot{\phi}^2 = \frac{1}{2}\mu(\partial\phi/\partial t)^2\).
🔵 Kai: Ya veo, sacamos un factor \(a\) para usarlo en la conversión \(\int dx\), y lo que queda se convierte en densidad. ¿El término de potencial sigue la misma estrategia?
🟡 Lina: Exacto. Ahora el término de potencial. \((q_{i+1} - q_i)/a\) es "la diferencia de desplazamiento entre vecinos dividida por la separación", así que cuando \(a \to 0\) se aproxima a la derivada espacial \(\partial\phi/\partial x\). Aquí también usamos la estrategia de "sacar un factor \(a\)" — el objetivo es poner la forma \(\sum_i a \cdot (\text{algo})\) para que con \(\sum_i a \to \int dx\) ese "algo" se convierta en la densidad Lagrangiana.
⚪ Mei: Es decir, la operación de dividir o multiplicar los parámetros del sistema discreto por \(a\) para convertirlos en "densidades".
🟡 Lina: Así es. Reescribimos el término original \(\frac{1}{2}\kappa(q_{i+1}-q_i)^2\) como \(\frac{1}{2}\kappa a^2 \left(\frac{q_{i+1}-q_i}{a}\right)^2\) — ya que \((q_{i+1}-q_i)^2 = a^2\left(\frac{q_{i+1}-q_i}{a}\right)^2\). Luego descomponemos \(\kappa a^2 = a \cdot (\kappa a)\). Así queda \(a \cdot \frac{1}{2}\kappa a \left(\frac{q_{i+1}-q_i}{a}\right)^2\), donde un \(a\) se usa para la conversión \(\sum_i a \to \int dx\), y el \(\kappa a\) restante queda como parámetro físico. Definiendo la tensión como \(\tau = \kappa a\), el integrando es \(\frac{1}{2}\tau(\partial\phi/\partial x)^2\).
🔵 Kai: Ah, ya veo — \(a\) cumple dos funciones. Una se usa para la conversión "\(\sum_i a \to \int dx\)", y la otra queda dentro del parámetro físico. Pero ¿por qué \(\kappa a\) es la tensión? ¿Las dimensiones son correctas?
🟡 Lina: Buena verificación. La dimensión de la constante del resorte \(\kappa\) es [fuerza/longitud], así que la dimensión de \(\kappa a\) es [fuerza/longitud]×[longitud] = [fuerza] — efectivamente la dimensión de tensión. Físicamente, cuando resortes de constante \(\kappa\) están separados por una distancia \(a\), la fuerza (tensión) para estirar el conjunto se determina por el producto de \(\kappa\) y \(a\).
⚪ Mei: Resumiendo, \(\mu = m/a\) es la densidad lineal y \(\tau = \kappa a\) es la tensión. La distribución de \(a\) es diferente entre el término de energía cinética y el de potencial porque la forma en que \(a\) entra en las ecuaciones originales es diferente.
🟡 Lina: Exacto. En resumen, \(\frac{1}{2}m\dot{q}_i^2\) del sistema discreto corresponde a \(\frac{1}{2}\mu(\partial\phi/\partial t)^2\), y \(\frac{1}{2}\kappa(q_{i+1}-q_i)^2\) corresponde a \(\frac{1}{2}\tau(\partial\phi/\partial x)^2\).
🔵 Kai: En el sistema discreto era "la \(i\)-ésima masa puntual", y en el sistema continuo es "el valor del campo en la posición \(x\)". Pero si \(a \to 0\), el número de masas se hace infinito, ¿verdad? Es extraño que se pueda usar el mismo procedimiento.
🟡 Lina: Buena intuición. La razón por la que "se puede usar" es que la receta de cuantización canónica depende solo de la estructura "encontrar un par de variables canónicas para cada grado de libertad e imponer relaciones de conmutación", y no depende esencialmente de si el número de grados de libertad es finito o infinito. Concretamente cómo se sustituye lo veremos en D.9.3, pero adelantando la conclusión: lo que en el sistema discreto era \([\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\,\delta_{ij}\), en el sistema continuo simplemente se reemplaza por \([\hat{\phi}(x), \hat{\pi}(x')] = i\hbar\,\delta(x-x')\) — formalmente es la repetición del mismo patrón. Sin embargo, precisamente porque los grados de libertad se hacen infinitos, en la teoría cuántica de campos aparecen fenómenos nuevos que no existen en la mecánica cuántica de partículas — como la creación y aniquilación de partículas.
🔵 Kai: Vaya... la forma es la misma pero solo por tener infinitos grados de libertad aparecen fenómenos completamente diferentes como la creación y aniquilación de partículas. Concretamente, ¿en qué punto surge la historia de que "se crean partículas"?
🟡 Lina: Pregunta aguda. El punto clave es que al hacer la expansión de Fourier del campo, cada modo se convierte en un oscilador armónico independiente — como viste en el Cap. 27. El operador de creación \(\hat{a}^\dagger\) de cada modo corresponde a la operación de "aumentar una partícula". Como la relación de conmutación \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\) crea una escalera que sube y baja el número de partículas, el número de partículas puede cambiar. Precisamente porque la forma es la misma podemos extender con confianza, pero el hecho de que los grados de libertad se hagan infinitos da lugar a nueva física — esa es la gracia de la teoría cuántica de campos. Para más detalles revisa el Cap. 27.
⚪ Mei: Organizando, la correspondencia discreto→continuo es: índice \(i\) → coordenada \(x\), desplazamiento \(q_i(t)\) → campo \(\phi(x,t)\), suma \(\sum_i\) → integral \(\int dx\), y los parámetros físicos son \(m/a \to \mu\) (densidad lineal), \(\kappa a \to \tau\) (tensión).
🟡 Lina: Exacto. Es decir, la ecuación (D.51) en el límite continuo toma la forma de la ecuación (D.53), y el integrando es precisamente la densidad Lagrangiana \(\mathcal{L}\) de la ecuación (D.54) — todo sale naturalmente de la operación de límite \(a \to 0\). Explícitamente:
Este es el límite continuo del sistema discreto (D.51).
D.9.3 Cuantización canónica de campos¶
🟡 Lina: Aplicamos exactamente el mismo procedimiento de cuantización canónica del sistema discreto al campo:
Tabla D.3: Correspondencia entre la cuantización canónica del sistema discreto y del campo continuo
| Sistema discreto | Sistema continuo (campo) |
|---|---|
| Coordenada generalizada \(q_i(t)\) | Campo \(\phi(x, t)\) |
| Momento canónico \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) | Densidad de momento canónico \(\pi(x,t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}\) |
| \(\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}\) | \(\{\phi(x), \pi(x')\} = \delta(x - x')\) |
| \([\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\,\delta_{ij}\) | \([\hat{\phi}(x), \hat{\pi}(x')] = i\hbar\,\delta(x - x')\) |
🔵 Kai: La delta de Kronecker se convierte en función delta, pero la estructura es exactamente la misma.
⚪ Mei: La delta de Kronecker \(\delta_{ij}\) se reemplaza por la función delta de Dirac \(\delta(x - x')\) — una extensión natural de lo discreto a lo continuo.
🟡 Lina: Exacto. Como complemento, la función delta de Dirac se introdujo en el Apéndice C, pero confirmemos su significado aquí. \(\delta(x - x')\) es una "función" especial que "solo es infinita cuando \(x = x'\), es cero en los demás puntos, y al integrarla sobre todo el dominio da 1". Cumple el mismo papel que \(\delta_{ij}\), que en el sistema discreto era "1 cuando \(i = j\), 0 en caso contrario", pero para variables continuas.
⚪ Mei: Es la versión continua de la delta de Kronecker. La herramienta que "determina si es el mismo punto" es \(\delta_{ij}\) en lo discreto y \(\delta(x-x')\) en lo continuo.
🟡 Lina: Así es. Esta "cuantización canónica de campos" es precisamente el punto de partida de la teoría cuántica de campos. Al cuantizar el campo electromagnético nacen los fotones, al cuantizar el campo de Dirac nacen electrones y positrones. La respuesta a "por qué no basta con partículas solas", que vislumbramos en el Cap. 27, está precisamente aquí.
🔵 Kai: Cuantizar la mecánica de partículas da la mecánica cuántica. Cuantizar la mecánica de campos da la teoría cuántica de campos. La misma receta de "cuantización canónica" se usa para ambas.
🟡 Lina: Comprensión perfecta. La mecánica cuántica del texto principal es "cuantización canónica de un número finito de grados de libertad". La teoría cuántica de campos es "cuantización canónica de un número infinito de grados de libertad (sistema continuo)". La herramienta es la misma, solo cambia el objeto al que se aplica.
✅ Verificación de comprensión: Enuncia en una frase la diferencia entre la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos desde el punto de vista de la cuantización canónica.
Respuesta
La mecánica cuántica es la cuantización canónica de un número finito de grados de libertad (coordenadas y momentos de partículas), mientras que la teoría cuántica de campos es la cuantización canónica de un número infinito de grados de libertad (campo continuo y su densidad de momento canónico). La receta de cuantización canónica que se aplica es la misma, pero el número de grados de libertad del sistema difiere.
✅ Verificación de comprensión: En la cuantización canónica de campos, ¿qué corresponde a la delta de Kronecker \(\delta_{ij}\) del sistema discreto?
Respuesta
La función delta de Dirac \(\delta(x - x')\). Al pasar de índices discretos \(i, j\) a coordenadas continuas \(x, x'\), la delta de Kronecker se reemplaza por la función delta.
Avance del próximo capítulo¶
🟡 Lina: En este Apéndice hemos recorrido el camino desde el formalismo Lagrangiano-Hamiltoniano de la mecánica clásica hasta la cuantización canónica hacia la mecánica cuántica.
🔵 Kai: Newton \(F = ma\) → Lagrangiano y acción → Hamiltoniano y espacio fásico → Paréntesis de Poisson → Cuantización canónica → Ecuación de Schrödinger. Todo está conectado. Pero si avanzamos a la teoría cuántica de campos, ¿hay nuevas "barreras de traducción"?
🟡 Lina: Buena pregunta. La cuantización canónica de campos es la entrada a la teoría cuántica de campos (quantum field theory). La puerta al mundo que vislumbramos en el Cap. 27 se ha abierto formalmente aquí. Nuevas dificultades — como el tratamiento de infinitos (renormalización) — ciertamente existen, pero las herramientas de partida son las mismas que aprendimos hoy.
⚪ Mei: Si avanzamos a la teoría cuántica de campos, podremos describir naturalmente fenómenos como creación y aniquilación de partículas, antipartículas, fluctuaciones del vacío.
🟡 Lina: Exacto. Si quieres estudiar más la teoría cuántica de campos, las herramientas de este Apéndice — especialmente los conceptos de densidad Lagrangiana y densidad de momento canónico — serán el punto de partida. Espero que, sobre la base de la mecánica cuántica del texto principal, avances hacia ese mundo más allá.
Problemas de práctica¶
📝 Ejercicios:
- Derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del Lagrangiano en coordenadas polares 2D → Problema M-1. Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange en coordenadas polares bidimensionales
- Escribir el Hamiltoniano de un campo de fuerza central 2D \(V(r)\) en coordenadas polares y derivar las ecuaciones de Hamilton → Problema B-2. Construcción del Hamiltoniano mediante la transformada de Legendre
- Calcular todos los paréntesis de Poisson del momento angular \(L_z = xp_y - yp_x\) con \(x, y, p_x, p_y\) → Problema B-8. Cálculo de corchetes de Poisson
- A partir del Lagrangiano clásico de una partícula cargada en un campo electromagnético, obtener el momento canónico, derivar el Hamiltoniano y realizar la cuantización canónica → Problema A-1. Cuantización canónica de una partícula cargada en un campo electromagnético
Referencias¶
-
Lancaster, T. & Blundell, S. J., Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Oxford University Press, 2014), Ch.2 "Lagrangians" & Ch.6 "A first stab at relativistic quantum mechanics" — Introducción cuidadosa del formalismo Lagrangiano, derivada funcional, Hamiltoniano y paréntesis de Poisson. Óptimo como puente hacia la teoría cuántica de campos.
-
Sakurai, J. J. & Napolitano, J., Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. (Cambridge University Press, 2021), Ch.2 primera mitad — Operador de evolución temporal, ecuación de movimiento de Heisenberg, correspondencia con la mecánica clásica (paréntesis de Poisson → conmutadores).
-
清水明, 『新版 量子論の基礎 — その本質のやさしい理解のために』(サイエンス社, 2004), Ch.6 — Formulación rigurosa y concisa del procedimiento de cuantización canónica. Introducción de la representación de Schrödinger.
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