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Cap. 1 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Sustitución de una solución de onda plana en la ecuación de Klein-Gordon y derivación de la relación de dispersión

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Estrategia de resolución

Calculamos las derivadas de la solución de onda plana \(\phi(\mathbf{x}, t) = A\, e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} - Et)}\) y las sustituimos en la ecuación de Klein-Gordon.

Cálculo detallado

Derivadas temporales:

\[ \frac{\partial \phi}{\partial t} = A \cdot (-iE) \, e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} - Et)} = -iE\, \phi \]
\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = (-iE)^2 \phi = -E^2 \phi \]

Derivadas espaciales:

\[ \frac{\partial \phi}{\partial x^k} = i p_k \, \phi \]
\[ \nabla^2 \phi = \sum_{k=1}^{3} \frac{\partial^2 \phi}{\partial (x^k)^2} = \sum_{k=1}^{3} (ip_k)^2 \phi = -|\mathbf{p}|^2 \phi \]

Sustitución en la ecuación de Klein-Gordon:

\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \nabla^2 \phi + m^2 \phi = -E^2 \phi - (-|\mathbf{p}|^2 \phi) + m^2 \phi = 0 \]
\[ (-E^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2)\phi = 0 \]

Como \(\phi \neq 0\):

\[ -E^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 = 0 \]

Respuesta final

\[ \boxed{E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2} \]

Verificación

Análisis dimensional: en unidades naturales \([E] = [p] = [m] = 1\) (dimensión de masa 1), por lo que \(E^2\), \(|\mathbf{p}|^2\) y \(m^2\) tienen todos dimensión de masa 2, lo cual es consistente. Además, si hacemos \(\mathbf{p} = 0\) obtenemos \(E = \pm m\), que es correcto como energía de una partícula en reposo.

B-2. Cálculo de la densidad de probabilidad para la solución de energía negativa

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Estrategia de resolución

Se sustituye la solución de energía negativa \(\phi = A\, e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} + |E|t)}\) en la expresión de \(\rho\) (ecuación 1.6). Esta corresponde a la onda plana \(e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - Et)} = e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} + |E|t)}\) para \(E = -|E|\).

Detalle del cálculo

Cálculo de las derivadas temporales:

\[ \frac{\partial \phi}{\partial t} = A \cdot (i|E|) \, e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} + |E|t)} = i|E|\, \phi \]
\[ \frac{\partial \phi^*}{\partial t} = A^* \cdot (-i|E|) \, e^{-i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} + |E|t)} = -i|E|\, \phi^* \]

Sustitución en \(\rho\):

\[ \rho = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) \]
\[ = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \cdot i|E|\, \phi - \phi \cdot (-i|E|)\, \phi^*\right) \]
\[ = \frac{i}{2m}\left(i|E|\, |\phi|^2 + i|E|\, |\phi|^2\right) \]
\[ = \frac{i}{2m} \cdot 2i|E|\, |A|^2 \]
\[ = \frac{i \cdot 2i|E|}{2m} |A|^2 = \frac{2i^2 |E|}{2m} |A|^2 = \frac{-|E|}{m} |A|^2 \]

Resultado final

\[ \boxed{\rho = -\frac{|E|}{m}|A|^2 < 0} \]

Dado que \(|E| > 0\), \(m > 0\) y \(|A|^2 > 0\), efectivamente se cumple que \(\rho < 0\).

Verificación

En la ecuación (1.10) del texto se obtiene \(\rho = \frac{E}{m}|A|^2\). Sustituyendo \(E = -|E|\) se tiene \(\rho = -\frac{|E|}{m}|A|^2\), lo cual coincide con el resultado anterior.

B-3. Relaciones de anticonmutación de la condición (1.12) de la ecuación de Dirac

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(a) Demostración de \((\alpha^1)^2 = 1\)

En la relación de anticonmutación \(\{\alpha^i, \alpha^j\} = 2\delta^{ij}\), hacemos \(i = j = 1\):

\[ \{\alpha^1, \alpha^1\} = 2\delta^{11} = 2 \]

El lado izquierdo es:

\[ \{\alpha^1, \alpha^1\} = \alpha^1 \alpha^1 + \alpha^1 \alpha^1 = 2(\alpha^1)^2 \]

Por lo tanto:

\[ 2(\alpha^1)^2 = 2 \implies \boxed{(\alpha^1)^2 = 1} \]

(b) Demostración de \(\alpha^1 \beta = -\beta \alpha^1\)

En la relación de anticonmutación \(\{\alpha^i, \beta\} = 0\), hacemos \(i = 1\):

\[ \{\alpha^1, \beta\} = \alpha^1 \beta + \beta \alpha^1 = 0 \]

Por lo tanto:

\[ \boxed{\alpha^1 \beta = -\beta \alpha^1} \]

(c) Demostración de que los valores propios de \(\alpha^i\) son únicamente \(\pm 1\)

Sea \(|\mathbf{v}\rangle\) un eigenvector de \(\alpha^i\) con valor propio \(\lambda\):

\[ \alpha^i |\mathbf{v}\rangle = \lambda |\mathbf{v}\rangle \]

Aplicando \(\alpha^i\) por la izquierda a ambos lados:

\[ (\alpha^i)^2 |\mathbf{v}\rangle = \lambda \cdot \alpha^i |\mathbf{v}\rangle = \lambda^2 |\mathbf{v}\rangle \]

De manera análoga a (a), \((\alpha^i)^2 = 1\) (a partir de la relación de anticonmutación con \(i = j\)), por lo que:

\[ |\mathbf{v}\rangle = \lambda^2 |\mathbf{v}\rangle \]

Como \(|\mathbf{v}\rangle \neq 0\):

\[ \lambda^2 = 1 \implies \boxed{\lambda = \pm 1} \]

Verificación

Para \(\beta\), de manera similar, como \(\beta^2 = 1\), los valores propios también son únicamente \(\pm 1\). Esto es consistente con el hecho de que las matrices de Dirac son hermitianas y unitarias (su cuadrado es la matriz identidad).

B-4. Demostración de la identidad de la ecuación de continuidad

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Estrategia de resolución

Se deriva el lado derecho respecto al tiempo, se expande y se muestra que coincide con el lado izquierdo.

Desarrollo del cálculo

Expandimos el lado derecho usando la regla del producto para la derivada:

\[ \frac{\partial}{\partial t}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) \]
\[ = \frac{\partial}{\partial t}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) - \frac{\partial}{\partial t}\left(\phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) \]

Expandiendo el primer término:

\[ \frac{\partial}{\partial t}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) = \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} \]

Expandiendo el segundo término:

\[ \frac{\partial}{\partial t}\left(\phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) = \frac{\partial \phi}{\partial t}\frac{\partial \phi^*}{\partial t} + \phi \frac{\partial^2 \phi^*}{\partial t^2} \]

Tomando la diferencia:

\[ \left(\frac{\partial \phi^*}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}\right) - \left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\frac{\partial \phi^*}{\partial t} + \phi \frac{\partial^2 \phi^*}{\partial t^2}\right) \]
\[ = \cancel{\frac{\partial \phi^*}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial t}} + \phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \cancel{\frac{\partial \phi}{\partial t}\frac{\partial \phi^*}{\partial t}} - \phi \frac{\partial^2 \phi^*}{\partial t^2} \]
\[ = \phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \phi \frac{\partial^2 \phi^*}{\partial t^2} \]

Respuesta final

Esto es exactamente el lado izquierdo, por lo que la igualdad queda demostrada:

\[ \boxed{\phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \phi \frac{\partial^2 \phi^*}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right)} \]

Verificación

Para las derivadas espaciales se cumple una identidad completamente análoga: \(\phi^* \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \phi^* = \nabla \cdot (\phi^* \nabla \phi - \phi \nabla \phi^*)\). Esta se utiliza en la derivación de la ecuación de continuidad en el texto.

B-5. Cálculo de la longitud de onda de Compton

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Estrategia de resolución

Se sustituyen los valores numéricos en \(\lambda_C = \hbar/(mc)\).

Desarrollo del cálculo

Longitud de onda de Compton del electrón:

\[ \lambda_C^{(e)} = \frac{\hbar}{m_e c} = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{9.109 \times 10^{-31} \times 2.998 \times 10^{8}} \]

Calculando el denominador:

\[ m_e c = 9.109 \times 10^{-31} \times 2.998 \times 10^{8} = 2.731 \times 10^{-22} \text{ kg·m/s} \]

Por lo tanto:

\[ \lambda_C^{(e)} = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{2.731 \times 10^{-22}} = 3.862 \times 10^{-13} \text{ m} \]
\[ \boxed{\lambda_C^{(e)} \approx 3.86 \times 10^{-13} \text{ m} \approx 386 \text{ fm}} \]

Longitud de onda de Compton del protón:

\[ \lambda_C^{(p)} = \frac{\hbar}{m_p c} = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{1.673 \times 10^{-27} \times 2.998 \times 10^{8}} \]

Calculando el denominador:

\[ m_p c = 1.673 \times 10^{-27} \times 2.998 \times 10^{8} = 5.015 \times 10^{-19} \text{ kg·m/s} \]

Por lo tanto:

\[ \lambda_C^{(p)} = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{5.015 \times 10^{-19}} = 2.103 \times 10^{-16} \text{ m} \]
\[ \boxed{\lambda_C^{(p)} \approx 2.10 \times 10^{-16} \text{ m} \approx 0.210 \text{ fm}} \]

Comparación:

\[ \frac{\lambda_C^{(p)}}{\lambda_C^{(e)}} = \frac{m_e}{m_p} = \frac{9.109 \times 10^{-31}}{1.673 \times 10^{-27}} \approx \frac{1}{1836} \]

La longitud de onda de Compton del protón es aproximadamente \(1/1836\) veces la del electrón; cuanto mayor es la masa, menor es la longitud de onda de Compton.

Verificación

\(\lambda_C^{(p)} / \lambda_C^{(e)} = m_e / m_p \approx 1/1836\) es exactamente la razón de masas, lo cual coincide con el valor conocido. Además, la longitud de onda de Compton del electrón \(\approx 386\) fm es consistente con el valor reportado en la literatura.

B-6. Dimensión de masa en el sistema de unidades naturales

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Estrategia de resolución

Con \(\hbar = c = 1\), las dimensiones fundamentales se expresan únicamente como potencias de la energía (masa). Se toma \([E] = 1\) como referencia.

Detalles del cálculo

Con \(\hbar = c = 1\), de \([\hbar] = [E][t] = 0\) se obtiene \([t] = -[E] = -1\). De \([c] = [x]/[t] = 0\) se obtiene \([x] = [t] = -1\).

(a) Tiempo \(t\):

\[ \boxed{[t] = -1} \]

(b) Longitud \(x\):

\[ \boxed{[x] = -1} \]

(c) Masa \(m\):

\[ \boxed{[m] = +1} \]

(d) Campo de Klein-Gordon \(\phi\):

La acción \(S = \int d^4x\, \mathcal{L}\) es adimensional ya que \([\hbar] = 0\): \([S] = 0\).

\[ [d^4x] = 4 \times [x] = 4 \times (-1) = -4 \]

Por lo tanto:

\[ [\mathcal{L}] = -[d^4x] = +4 \]

Examinando cada término de la densidad lagrangiana \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\). Como \([\partial_\mu] = -[x] = +1\):

\[ [\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi] = 2[\partial_\mu] + 2[\phi] = 2 + 2[\phi] \]

Igualando esto a \([\mathcal{L}] = 4\):

\[ 2 + 2[\phi] = 4 \implies [\phi] = 1 \]
\[ \boxed{[\phi] = +1} \]

Verificación

Dimensión del término \(m^2\phi^2\): \([m^2\phi^2] = 2[m] + 2[\phi] = 2 + 2 = 4 = [\mathcal{L}]\). ✓

B-7. Escala temporal de la creación de pares a partir de la relación de incertidumbre

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(a) Tiempo de creación de un par virtual electrón-positrón

A partir de la relación de incertidumbre energía-tiempo \(\Delta E \cdot \Delta t \gtrsim \hbar\), el tiempo máximo durante el cual se permite una fluctuación de energía \(\Delta E = 2m_e c^2\) es:

\[ \Delta t \sim \frac{\hbar}{\Delta E} = \frac{\hbar}{2m_e c^2} \]

Sustituyendo valores numéricos:

\[ 2m_e c^2 = 2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times (2.998 \times 10^8)^2 = 2 \times 8.187 \times 10^{-14} \text{ J} = 1.637 \times 10^{-13} \text{ J} \]
\[ \Delta t \sim \frac{1.055 \times 10^{-34}}{1.637 \times 10^{-13}} \approx 6.44 \times 10^{-22} \text{ s} \]
\[ \boxed{\Delta t \sim \frac{\hbar}{2m_e c^2} \approx 6.4 \times 10^{-22} \text{ s}} \]

(b) Distancia recorrida por la luz y comparación con la longitud de onda de Compton

\[ c \cdot \Delta t = c \cdot \frac{\hbar}{2m_e c^2} = \frac{\hbar}{2m_e c} = \frac{\lambda_C}{2} \]

Valor numérico:

\[ c \cdot \Delta t = 2.998 \times 10^8 \times 6.44 \times 10^{-22} \approx 1.93 \times 10^{-13} \text{ m} \]

Esto es aproximadamente la mitad de la longitud de onda de Compton del electrón \(\lambda_C \approx 3.86 \times 10^{-13}\) m:

\[ \boxed{c \cdot \Delta t = \frac{\lambda_C}{2} \approx 1.93 \times 10^{-13} \text{ m}} \]

Verificación

\(\lambda_C / 2 = 3.86 \times 10^{-13} / 2 = 1.93 \times 10^{-13}\) m coincide con el valor calculado directamente. Este resultado es consistente con la discusión del texto: "la creación de pares se vuelve importante en escalas de distancia del orden de la longitud de onda de Compton".

B-8. Operador de d'Alembert y forma covariante de la ecuación de Klein-Gordon

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Estrategia de resolución

Se desarrolla \(\partial_\mu \partial^\mu\) en componentes utilizando el tensor métrico \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)\).

Cálculo detallado

Definición del operador de derivación 4-dimensional:

\[ \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left(\frac{\partial}{\partial t},\, \frac{\partial}{\partial x^1},\, \frac{\partial}{\partial x^2},\, \frac{\partial}{\partial x^3}\right) \]

Al subir el índice:

\[ \partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu \]

Cálculo de cada componente:

\[ \partial^0 = \eta^{00}\partial_0 = (+1)\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \]
\[ \partial^k = \eta^{kk}\partial_k = (-1)\frac{\partial}{\partial x^k} = -\frac{\partial}{\partial x^k} \quad (k = 1, 2, 3) \]

Por lo tanto, el operador de d'Alembert es:

\[ \Box \equiv \partial_\mu \partial^\mu = \partial_0 \partial^0 + \partial_1 \partial^1 + \partial_2 \partial^2 + \partial_3 \partial^3 \]
\[ = \frac{\partial}{\partial t}\cdot\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x^1}\cdot\left(-\frac{\partial}{\partial x^1}\right) + \frac{\partial}{\partial x^2}\cdot\left(-\frac{\partial}{\partial x^2}\right) + \frac{\partial}{\partial x^3}\cdot\left(-\frac{\partial}{\partial x^3}\right) \]
\[ = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \left(\frac{\partial^2}{\partial (x^1)^2} + \frac{\partial^2}{\partial (x^2)^2} + \frac{\partial^2}{\partial (x^3)^2}\right) \]
\[ = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \]

Respuesta final

La ecuación de Klein-Gordon (1.1) es:

\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \nabla^2 \phi + m^2 \phi = 0 \]
\[ \implies (\Box + m^2)\phi = 0 \]
\[ \boxed{(\partial_\mu \partial^\mu + m^2)\phi = 0} \]

Verificación

Con la convención de signos de la métrica \((+,-,-,-)\) se tiene \(p_\mu p^\mu = E^2 - |\mathbf{p}|^2 = m^2\), y al realizar la sustitución de operadores \(p^\mu \to i\partial^\mu\) se obtiene \(-\partial_\mu\partial^\mu = m^2\), es decir, \((\Box + m^2)\phi = 0\). El resultado es consistente.

Intermedio

M-1. Covarianza de Lorentz de la densidad de corriente de probabilidad de la ecuación de Klein-Gordon

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(a) Verificación de \(j^0 = \rho\)

Definición de la cuadricorriente:

\[ j^\mu = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi\, \partial^\mu \phi^*\right) \]

Tomando la componente \(\mu = 0\):

\[ j^0 = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \partial^0 \phi - \phi\, \partial^0 \phi^*\right) \]

De la métrica \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) se tiene \(\partial^0 = \partial/\partial t\), por lo que:

\[ j^0 = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) \]

Esto es exactamente \(\rho\) de la ecuación (1.6).

\[ \boxed{j^0 = \rho} \]

(b) Verificación de que \(j^k\) coincide con \(\mathbf{j}\) de la ecuación (1.7)

Tomando la componente \(\mu = k\) (\(k = 1, 2, 3\)):

\[ j^k = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \partial^k \phi - \phi\, \partial^k \phi^*\right) \]

Aquí \(\partial^k = \eta^{kk}\partial_k = -\partial/\partial x^k = -\nabla_k\), por lo que:

\[ j^k = \frac{i}{2m}\left(\phi^* (-\nabla_k \phi) - \phi\, (-\nabla_k \phi^*)\right) \]
\[ = \frac{i}{2m}\left(-\phi^* \nabla_k \phi + \phi\, \nabla_k \phi^*\right) \]
\[ = \frac{-i}{2m}\left(\phi^* \nabla_k \phi - \phi\, \nabla_k \phi^*\right) \]
\[ = \frac{1}{2mi}\left(\phi^* \nabla_k \phi - \phi\, \nabla_k \phi^*\right) \]

Esto podría parecer que tiene el signo invertido respecto a la componente \(k\)-ésima de \(\mathbf{j}\) de la ecuación (1.7), pero hay que tener cuidado.

En realidad, la relación entre la cuadricorriente definida como vector contravariante \(j^\mu\) y la corriente tridimensional \(\mathbf{j}\) es:

\[ j^\mu = (\rho,\, \mathbf{j}) \]

y no depende trivialmente de la convención, sino que depende de la convención de signos de la métrica. En la convención \((+,-,-,-)\) se tiene \(j_\mu = (\rho, -\mathbf{j})\), y al escribir \(j^\mu = (\rho, \mathbf{j})\) las componentes espaciales son:

Comprobando la ecuación (1.7) del texto:

\[ \mathbf{j} = \frac{1}{2mi}\left(\phi^* \nabla \phi - \phi \nabla \phi^*\right) \]

El \(j^k\) obtenido arriba coincide exactamente con esto:

\[ \boxed{j^k = \frac{1}{2mi}\left(\phi^* \nabla_k \phi - \phi\, \nabla_k \phi^*\right) = j_k \text{ (componente $k$-ésima de la ec. (1.7))}} \]

(Nota: se utilizó \(\frac{-i}{2m} = \frac{1}{2mi}\).)

(c) Forma covariante de la ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad (1.5) es:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0 \]

Escrita en notación cuadrivectorial:

\[ \frac{\partial j^0}{\partial t} + \sum_{k=1}^{3} \frac{\partial j^k}{\partial x^k} = \partial_0 j^0 + \partial_k j^k = \partial_\mu j^\mu = 0 \]
\[ \boxed{\partial_\mu j^\mu = 0} \]

Discusión de la covariancia de Lorentz:

\(\partial_\mu j^\mu\) es un escalar de Lorentz. Esto se debe a las siguientes razones: - \(j^\mu\) se transforma como un cuadrivector contravariante bajo transformaciones de Lorentz (ya que \(\phi\) es un campo escalar y \(\partial^\mu\) es un vector contravariante) - \(\partial_\mu\) se transforma como un vector covariante - La contracción de un vector contravariante con un vector covariante \(\partial_\mu j^\mu\) es un escalar de Lorentz

Por lo tanto, la ecuación \(\partial_\mu j^\mu = 0\) tiene la misma forma en todos los sistemas inerciales. Si se cumple en un sistema inercial, se cumple en cualquier sistema inercial. Esta es la covariancia de Lorentz de la ecuación de continuidad.

Verificación

Comprobamos directamente que \(\partial_\mu j^\mu = 0\). Cuando \(\phi\) satisface la ecuación de Klein-Gordon \((\Box + m^2)\phi = 0\):

\[ \partial_\mu j^\mu = \frac{i}{2m}\partial_\mu\left(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi\, \partial^\mu \phi^*\right) \]
\[ = \frac{i}{2m}\left((\partial_\mu\phi^*)(\partial^\mu\phi) + \phi^* \Box\phi - (\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\phi^*) - \phi\, \Box\phi^*\right) \]

El primer y tercer término se cancelan:

\[ = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \Box\phi - \phi\, \Box\phi^*\right) = \frac{i}{2m}\left(\phi^*(-m^2\phi) - \phi(-m^2\phi^*)\right) = 0 \]

Efectivamente se cumple \(\partial_\mu j^\mu = 0\). ✓

M-2. No negatividad de la densidad de probabilidad de la ecuación de Dirac

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Estrategia de resolución

A partir de la ecuación de Dirac y su conjugada hermítica, calculamos \(\partial_t(\psi^\dagger\psi)\) y lo organizamos en forma de ecuación de continuidad.

Detalles del cálculo

Ecuación de Dirac:

\[ i\frac{\partial \psi}{\partial t} = H_D \psi = \left(-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m\right)\psi \tag{*} \]

Tomando la conjugada hermítica:

Tomamos la conjugada hermítica (\(\dagger\)) de ambos lados de \((*)\):

\[ -i\frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t} = \psi^\dagger H_D^\dagger \]

Aquí \(H_D^\dagger = (-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m)^\dagger\). Como \(\alpha^i\) y \(\beta\) son matrices hermíticas (\((\alpha^i)^\dagger = \alpha^i\), \(\beta^\dagger = \beta\)) y \(\nabla\) es un operador real:

\[ H_D^\dagger = (i\boldsymbol{\alpha}\cdot\overleftarrow{\nabla} + \beta m) \]

donde \(\overleftarrow{\nabla}\) representa el operador diferencial que actúa hacia la izquierda. Escribiéndolo más explícitamente:

\[ -i\frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t} = i(\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha} + \psi^\dagger \beta m \tag{**} \]

o equivalentemente:

\[ \frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t} = (\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha} - i\psi^\dagger \beta m \tag{**'} \]

Cálculo de \(\partial_t \rho\):

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(\psi^\dagger \psi) = \frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t}\psi + \psi^\dagger \frac{\partial \psi}{\partial t} \]

De \((*)\):

\[ \frac{\partial \psi}{\partial t} = -i(-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m)\psi = (-\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla - i\beta m)\psi \]

De \((**)\):

\[ \frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t} = (\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha} - i\psi^\dagger \beta m \]

Sustituyendo:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \left[(\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha} - i\psi^\dagger \beta m\right]\psi + \psi^\dagger\left[-\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla - i\beta m\right]\psi \]
\[ = (\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha}\,\psi - i\psi^\dagger \beta m\,\psi - \psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi - i\psi^\dagger\beta m\,\psi \]

Observando los términos de masa:

\[ -i\psi^\dagger \beta m\,\psi - i\psi^\dagger\beta m\,\psi = -2i\psi^\dagger\beta m\,\psi \]

Esto no es correcto. Volvamos a hacerlo con cuidado.

De \((*)\):

\[ \frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{1}{i}(-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m)\psi = (-\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla - i\beta m)\psi \]

Derivemos correctamente \((**)\) de nuevo. Conjugada hermítica de \((*)\):

\[ \left(i\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)^\dagger = \left[(-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m)\psi\right]^\dagger \]

Lado izquierdo:

\[ -i\frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t} \]

Lado derecho: queda en la forma donde los operadores actúan desde la derecha sobre \(\psi^\dagger\). En la representación de posición:

\[ -i\frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t} = \psi^\dagger(i\boldsymbol{\alpha}\cdot\overleftarrow{\nabla} + \beta m) \]

donde \(\overleftarrow{\nabla}\) actúa sobre \(\psi^\dagger\). Es decir:

\[ -i\frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t} = i(\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha} + \psi^\dagger \beta m \]

Por lo tanto:

\[ \frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t} = (\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha} + i\psi^\dagger \beta m \]

Recalculando:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t}\psi + \psi^\dagger \frac{\partial \psi}{\partial t} \]
\[ = \left[(\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha} + i\psi^\dagger \beta m\right]\psi + \psi^\dagger\left[-\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla - i\beta m\right]\psi \]
\[ = (\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha}\,\psi + i\psi^\dagger \beta m\,\psi - \psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\cdot(\nabla\psi) - i\psi^\dagger\beta m\,\psi \]

Los términos de masa se cancelan:

\[ + i\psi^\dagger \beta m\,\psi - i\psi^\dagger\beta m\,\psi = 0 \]

Queda:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = (\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha}\,\psi - \psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\cdot(\nabla\psi) \]

En componentes (para la componente \(k\)):

\[ = \sum_k \left[(\partial_k \psi^\dagger)\alpha^k\psi - \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi)\right] \]
\[ = -\sum_k \partial_k\left(\psi^\dagger \alpha^k \psi\right) + \sum_k\left[(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi + \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi)\right] - \sum_k \partial_k(\psi^\dagger\alpha^k\psi) \]

No, de manera más directa:

\[ (\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha}\,\psi - \psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\cdot(\nabla\psi) \]

Verifiquemos si esto se puede escribir como \(-\nabla\cdot(\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi)\):

\[ \nabla\cdot(\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi) = \sum_k \partial_k(\psi^\dagger\alpha^k\psi) = \sum_k\left[(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi + \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi)\right] \]

Por otro lado, lo que obtuvimos es:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = \sum_k\left[(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi - \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi)\right] \]

Esto difiere de \(\nabla\cdot(\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi)\) (el signo es diferente).

Volvamos a hacerlo cuidadosamente desde \((*)\).

Derivación correcta:

Ecuación de Dirac \((*)\):

\[ i\frac{\partial\psi}{\partial t} = -i\alpha^k\partial_k\psi + \beta m\psi \]
\[ \therefore \frac{\partial\psi}{\partial t} = -\alpha^k\partial_k\psi - i\beta m\psi \tag{A} \]

Conjugada hermítica (\((\alpha^k)^\dagger = \alpha^k\), \(\beta^\dagger = \beta\)):

\[ -i\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial t} = i(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + \psi^\dagger\beta m \]
\[ \therefore \frac{\partial\psi^\dagger}{\partial t} = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + i\psi^\dagger\beta m \tag{B} \]

Calculamos \(\partial_t\rho\):

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = \left(\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial t}\right)\psi + \psi^\dagger\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right) \]

Sustituyendo (B) y (A):

\[ = \left[(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + i\psi^\dagger\beta m\right]\psi + \psi^\dagger\left[-\alpha^k\partial_k\psi - i\beta m\psi\right] \]
\[ = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi + i\psi^\dagger\beta m\psi - \psi^\dagger\alpha^k\partial_k\psi - i\psi^\dagger\beta m\psi \]

Los términos de masa se cancelan:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi - \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) \]

Aquí verificamos los signos. Esto es:

\[ = -\left[\psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) - (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi\right] \]

Veamos la relación con \(\nabla\cdot(\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi)\):

\[ \nabla\cdot(\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi) = \partial_k(\psi^\dagger\alpha^k\psi) = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi + \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) \]

El resultado que obtuvimos es:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi - \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) \]

Esto no coincide con \(\nabla\cdot(\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi)\).

Verifiquemos si no hay errores de cálculo. Revisamos (A):

\((*)\): \(i\partial_t\psi = (-i\alpha^k\partial_k + \beta m)\psi\)

Dividiendo ambos lados por \(i\):

\[ \partial_t\psi = \frac{1}{i}(-i\alpha^k\partial_k + \beta m)\psi = (-\alpha^k\partial_k + \frac{\beta m}{i})\psi = -\alpha^k\partial_k\psi - i\beta m\psi \]

Como \(\frac{1}{i} = -i\), tenemos \(\frac{\beta m}{i} = -i\beta m\). OK.

Tomemos la conjugada hermítica de nuevo. \(\dagger\) de ambos lados de \((*)\):

\[ (i\partial_t\psi)^\dagger = [(-i\alpha^k\partial_k + \beta m)\psi]^\dagger \]

Lado izquierdo: \((i\partial_t\psi)^\dagger = (\partial_t\psi)^\dagger(-i) = (\partial_t\psi^\dagger)(-i) = -i\partial_t\psi^\dagger\)

Lado derecho: \(\psi^\dagger(-i\alpha^k\partial_k + \beta m)^\dagger\)

Aquí hay que tener cuidado: en la representación de posición \(\partial_k\) es un operador real, pero al tomar la conjugada hermítica no es \(\partial_k \to -\partial_k\) (cambio de signo por integración por partes), sino que aquí lo escribimos en la forma donde actúa desde la derecha sobre \(\psi^\dagger\).

Correctamente, la conjugada hermítica de la ecuación de Dirac es:

\[ -i\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial t} = (i\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + \psi^\dagger\beta m \]

Esto es la conjugada hermítica de cada término de \((*)\): - \((-i\alpha^k\partial_k\psi)^\dagger = (\partial_k\psi)^\dagger(i)(\alpha^k)^\dagger = i(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\)

Por lo tanto:

\[ -i\partial_t\psi^\dagger = i(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + \psi^\dagger\beta m \]
\[ \partial_t\psi^\dagger = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + i\psi^\dagger\beta m \tag{B} \]

Esto es lo mismo que antes.

Ahora, el resultado de \(\partial_t\rho\):

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi - \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) \]

Aquí reverificamos los signos.

\[ \nabla\cdot(\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi) = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi + \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) \]

Por lo tanto:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = \nabla\cdot(\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi) - 2\psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) \]

Esto no tiene la forma de ecuación de continuidad. Algo está mal.

Otra vez desde el principio. Escribamos correctamente la ecuación de Dirac:

\[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = H_D\psi, \quad H_D = c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2 = -i\hbar c\,\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta mc^2 \]

En unidades naturales \(\hbar = c = 1\):

\[ i\frac{\partial\psi}{\partial t} = (-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m)\psi \]

De aquí:

\[ \frac{\partial\psi}{\partial t} = -i(-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m)\psi = -\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi - i\beta m\psi \tag{A} \]

Conjugada hermítica. \(\dagger\) de \((*)\):

\[ -i\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial t} = \psi^\dagger(i\boldsymbol{\alpha}\cdot\overleftarrow{\nabla} + \beta m) \]

donde \(\overleftarrow{\nabla}\) actúa hacia la izquierda. Es decir:

\[ -i\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial t} = i(\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha} + \psi^\dagger\beta m \]
\[ \frac{\partial\psi^\dagger}{\partial t} = (\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha} + i\psi^\dagger\beta m \]

\(\partial_t(\psi^\dagger\psi)\):

\[ = \left[(\nabla\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha} + i\psi^\dagger\beta m\right]\psi + \psi^\dagger\left[-\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi - i\beta m\psi\right] \]
\[ = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi + i\psi^\dagger\beta m\psi - \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) - i\psi^\dagger\beta m\psi \]

Los términos de masa se cancelan:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi - \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) \]

Aquí debería tener la forma \(-\nabla\cdot\mathbf{j}\). Si definimos \(\mathbf{j} = \psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi\):

\[ \nabla\cdot\mathbf{j} = \partial_k(\psi^\dagger\alpha^k\psi) = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi + \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) \]

El \(\partial_t\rho\) que obtuvimos es:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = (\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi - \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) \]

Esto difiere de \(\nabla\cdot\mathbf{j}\). ¿Qué está mal?

Identificación del problema: Verificamos el signo de (A).

\[ i\partial_t\psi = -i\alpha^k\partial_k\psi + \beta m\psi \]

Multiplicando ambos lados por \(-i\) (\(\frac{1}{i} = -i\)):

\[ \partial_t\psi = -i \cdot \frac{1}{i}(-i\alpha^k\partial_k\psi + \beta m\psi) \]

No, simplemente:

\[ i\partial_t\psi = -i\alpha^k\partial_k\psi + \beta m\psi \]
\[ \partial_t\psi = \frac{-i\alpha^k\partial_k\psi + \beta m\psi}{i} = \frac{-i\alpha^k\partial_k\psi}{i} + \frac{\beta m\psi}{i} \]
\[ = -\alpha^k\partial_k\psi + (-i)\beta m\psi = -\alpha^k\partial_k\psi - i\beta m\psi \]

OK, (A) es correcta.

Verificamos también (B). Tomamos la conjugada hermítica de \((*)\).

\(\dagger\) de \(i\partial_t\psi = -i\alpha^k\partial_k\psi + \beta m\psi\):

\(\dagger\) del lado izquierdo: \((i\partial_t\psi)^\dagger = -i\partial_t\psi^\dagger\)

\(\dagger\) del lado derecho: \((-i\alpha^k\partial_k\psi + \beta m\psi)^\dagger\)

Aquí calculamos \((-i\alpha^k\partial_k\psi)^\dagger\). Como es el producto de una matriz y un operador diferencial, hay que tener cuidado.

No estamos considerando la conjugada hermítica en el sentido del producto interno del espacio de Hilbert, sino simplemente tomando la \(\dagger\) de la matriz y la conjugación compleja (operación en la representación de posición):

\[ (-i\alpha^k\partial_k\psi)^\dagger = (\partial_k\psi)^\dagger (i)(\alpha^k)^\dagger = i(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k \]

\((\beta m\psi)^\dagger = m\psi^\dagger\beta\)

Por lo tanto:

\[ -i\partial_t\psi^\dagger = i(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + m\psi^\dagger\beta \]
\[ \partial_t\psi^\dagger = -(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + im\psi^\dagger\beta \]

¡El signo cambió! Otra vez.

\[ -i\partial_t\psi^\dagger = i(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + m\psi^\dagger\beta \]

Multiplicando ambos lados por \(\frac{1}{-i} = i\):

\[ \partial_t\psi^\dagger = i \cdot [i(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + m\psi^\dagger\beta] \]
\[ = i^2(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + im\psi^\dagger\beta \]
\[ = -(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + im\psi^\dagger\beta \]

¡Esto tiene signo diferente al (B) anterior! El (B) anterior estaba equivocado. Lo correcto es:

\[ \frac{\partial\psi^\dagger}{\partial t} = -(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + im\psi^\dagger\beta \tag{B'} \]

Recalculando:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = \left[-(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + im\psi^\dagger\beta\right]\psi + \psi^\dagger\left[-\alpha^k\partial_k\psi - i\beta m\psi\right] \]
\[ = -(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi + im\psi^\dagger\beta\psi - \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) - im\psi^\dagger\beta\psi \]

Los términos de masa se cancelan:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = -(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi - \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi) \]
\[ = -\left[(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k\psi + \psi^\dagger\alpha^k(\partial_k\psi)\right] \]
\[ = -\partial_k(\psi^\dagger\alpha^k\psi) \]
\[ = -\nabla\cdot(\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi) \]

Respuesta final

\[ \boxed{\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} = 0, \quad \rho = \psi^\dagger\psi \geq 0, \quad \mathbf{j} = \psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi} \]

Resumen de la derivación:

  1. Ecuación de Dirac: \(i\partial_t\psi = (-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m)\psi\)
  2. Conjugada hermítica: \(-i\partial_t\psi^\dagger = i(\partial_k\psi^\dagger)\alpha^k + m\psi^\dagger\beta\)
  3. Al calcular \(\partial_t(\psi^\dagger\psi)\), los términos de masa se cancelan y queda \(-\nabla\cdot(\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi)\)

Como \(\rho = \psi^\dagger\psi = \sum_{a=1}^{4}|\psi_a|^2 \geq 0\), la densidad de probabilidad es siempre no negativa. Esta es la diferencia decisiva con la ecuación de Klein-Gordon.

Verificación

Cada componente de \(\mathbf{j} = \psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi\) es el valor esperado de la matriz hermítica \(\alpha^k\), por lo que es real. Además, al integrar \(\rho\) y \(\mathbf{j}\) sobre todo el espacio:

\[ \frac{d}{dt}\int d^3x\, \rho = -\int d^3x\, \nabla\cdot\mathbf{j} = 0 \]

(cuando los términos de superficie se anulan). Esto significa que la probabilidad total \(\int d^3x\, \psi^\dagger\psi = 1\) se conserva, lo cual es consistente con la interpretación probabilística.

M-3. Longitud de onda de Compton y localización de la posición

→ Volver al problema

(a) Incertidumbre del momento e incertidumbre de la energía

La incertidumbre del momento de una partícula confinada en una caja de ancho \(L\), a partir del principio de incertidumbre, es:

\[ \Delta p \sim \frac{\hbar}{L} \]

Dado que la energía relativista es \(E = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}\), la incertidumbre de la energía es:

\[ \Delta E \sim \sqrt{(\Delta p \cdot c)^2 + (mc^2)^2} - mc^2 \]

(incertidumbre de la energía cinética, restando la energía en reposo)

Sin embargo, como aquí el objetivo es la comparación con la energía necesaria para la creación de pares, es más apropiado estimar \(\Delta E \sim c\,\Delta p\) (cuando \(\Delta p\) es grande).

Límite \(\Delta p \gg mc\) (ultrarelativista):

\[ \Delta E \approx c\,\Delta p = \frac{\hbar c}{L} \]

Límite \(\Delta p \ll mc\) (no relativista):

\[ \Delta E \approx \frac{(\Delta p)^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2mL^2} \]

(b) Condición crítica para la creación de pares

Para que un par partícula-antipartícula se genere virtualmente, se requiere \(\Delta E \geq 2mc^2\). Usando la estimación ultrarelativista (correspondiente al caso en que \(L\) es pequeño):

\[ \frac{\hbar c}{L} \geq 2mc^2 \]
\[ L \leq \frac{\hbar}{2mc} = \frac{\lambda_C}{2} \]
\[ \boxed{L_{\text{critical}} \sim \frac{\lambda_C}{2} = \frac{\hbar}{2mc}} \]

(c) Consistencia con la ruptura de la descripción de una sola partícula

Este resultado significa que, al intentar localizar una partícula en una escala de distancias del orden de la longitud de onda de Compton \(\lambda_C = \hbar/(mc)\) o menor, la incertidumbre de la energía supera el umbral de creación de pares \(2mc^2\).

En ese caso: - Aunque intentes observar "una sola partícula", existe la posibilidad de que se generen pares virtuales partícula-antipartícula - El número de partículas se vuelve indefinido y el concepto de "función de onda de una sola partícula" pierde sentido - Medir la posición con una precisión inferior a \(\lambda_C\) requiere por sí mismo una descripción de sistemas de muchas partículas

Esto es completamente consistente con la discusión del texto: "en escalas de distancia menores que la longitud de onda de Compton, la descripción de una sola partícula se rompe y se necesita la teoría cuántica de campos".

Verificación

Para el electrón: \(\lambda_C^{(e)} \approx 3.86 \times 10^{-13}\) m. El radio de Bohr del átomo \(a_0 \approx 5.3 \times 10^{-11}\) m es aproximadamente 137 veces \(\lambda_C\) (\(= 1/\alpha\), el inverso de la constante de estructura fina), lo cual es consistente con el hecho de que en la física atómica la creación de pares puede ignorarse.

M-4. Solución general del campo de Klein-Gordon y modos de frecuencia positiva y negativa

→ Volver al problema

(a) Verificación de que la solución general satisface la ecuación de Klein-Gordon

Solución general:

\[ \phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[ a(\mathbf{p})\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + b^*(\mathbf{p})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \right] \]

Aplicamos \((\Box + m^2)\). Para cada modo de Fourier:

Modo de frecuencia positiva \(e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\):

\[ \Box\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} = \left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\right) e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]
\[ = \left[(-i\omega_{\mathbf{p}})^2 - (i\mathbf{p})^2\right] e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]
\[ = (-\omega_{\mathbf{p}}^2 + |\mathbf{p}|^2)\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]

Por lo tanto:

\[ (\Box + m^2)\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} = (-\omega_{\mathbf{p}}^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2)\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]

Dado que \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\), se tiene \(\omega_{\mathbf{p}}^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\), por lo que:

\[ -\omega_{\mathbf{p}}^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 = 0 \]

Modo de frecuencia negativa \(e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\):

\[ \Box\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} = \left[(i\omega_{\mathbf{p}})^2 - (-i\mathbf{p})^2\right] e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]
\[ = (-\omega_{\mathbf{p}}^2 + |\mathbf{p}|^2)\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]

De manera análoga, al aplicar \((\Box + m^2)\) se obtiene \(0\).

Por lo tanto, dado que cada modo de Fourier satisface la ecuación de Klein-Gordon, su combinación lineal \(\phi\) también la satisface.

\[ \boxed{(\Box + m^2)\phi = 0 \quad \text{queda verificado}} \]

(b) Condición para campo escalar real

Imponemos la condición \(\phi = \phi^*\). Calculamos \(\phi^*\):

\[ \phi^*(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[ a^*(\mathbf{p})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + b(\mathbf{p})\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \right] \]

Para imponer \(\phi = \phi^*\), realizamos el cambio de variable \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) en la integral de \(\phi^*\) (con \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\) y \(d^3p\) invariante):

\[ \phi^* = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[ a^*(-\mathbf{p})\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} + \omega_{\mathbf{p}} t)} + b(-\mathbf{p})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} + \omega_{\mathbf{p}} t)} \right] \]

Es más directo comparar directamente. Escribimos \(\phi\) y \(\phi^*\) lado a lado:

\[ \phi = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[ a(\mathbf{p})\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - i\omega_{\mathbf{p}} t} + b^*(\mathbf{p})\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} + i\omega_{\mathbf{p}} t} \right] \]
\[ \phi^* = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[ a^*(\mathbf{p})\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} + i\omega_{\mathbf{p}} t} + b(\mathbf{p})\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - i\omega_{\mathbf{p}} t} \right] \]

El segundo término de \(\phi^*\), \(b(\mathbf{p})\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - i\omega_{\mathbf{p}} t}\), tiene la misma exponencial que el primer término de \(\phi\), \(a(\mathbf{p})\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - i\omega_{\mathbf{p}} t}\).

El primer término de \(\phi^*\), \(a^*(\mathbf{p})\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} + i\omega_{\mathbf{p}} t}\), tiene la misma exponencial que el segundo término de \(\phi\), \(b^*(\mathbf{p})\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} + i\omega_{\mathbf{p}} t}\).

De la condición \(\phi = \phi^*\), comparando componente a componente de Fourier:

\[ \boxed{b(\mathbf{p}) = a(\mathbf{p})} \]

Es decir, para un campo escalar real, \(a(\mathbf{p})\) y \(b(\mathbf{p})\) no son independientes, sino que satisfacen la relación \(b(\mathbf{p}) = a(\mathbf{p})\). La solución general es:

\[ \phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[ a(\mathbf{p})\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + a^*(\mathbf{p})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \right] \]

(c) Campo escalar complejo y antipartículas

En el caso del campo escalar complejo, dado que \(\phi \neq \phi^*\), \(a(\mathbf{p})\) y \(b(\mathbf{p})\) son funciones complejas independientes.

Interpretación física: - \(a(\mathbf{p})\): amplitud del modo de frecuencia positiva (\(e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t}\)) → tras la cuantización, operador de aniquilación de partículas - \(b^*(\mathbf{p})\): amplitud del modo de frecuencia negativa (\(e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t}\)) → tras la cuantización, operador de creación de antipartículas

Relación con la discusión del texto: - Las soluciones de energía negativa (\(E < 0\)) de la ecuación de Klein-Gordon se reinterpretan en el marco de la teoría cuántica de campos como «estados de energía positiva de antipartículas» - El campo complejo posee los grados de libertad para distinguir partículas de antipartículas, y existe una carga conservada (número de partículas \(-\) número de antipartículas) asociada a la simetría \(U(1)\): \(\phi \to e^{i\theta}\phi\) - Para el campo escalar real, partícula y antipartícula son idénticas (\(b = a\)), y no porta carga

\[ \boxed{\text{Campo complejo: } a(\mathbf{p}) \text{ y } b(\mathbf{p}) \text{ son independientes. } b^*(\mathbf{p}) \text{ corresponde a la creación de antipartículas.}} \]

Verificación

Grados de libertad del campo escalar real: para cada \(\mathbf{p}\), \(a(\mathbf{p})\) (1 número complejo = 2 números reales). Campo escalar complejo: para cada \(\mathbf{p}\), \(a(\mathbf{p})\) y \(b(\mathbf{p})\) (2 números complejos = 4 números reales). El campo complejo tiene el doble de grados de libertad que el campo real, lo cual es consistente con la descomposición \(\phi = (\phi_1 + i\phi_2)/\sqrt{2}\).

Avanzado

A-1. Causalidad y función de propagación de Klein-Gordon

→ Volver al problema

(a) Representación de Fourier de la función de Green retardada

Definición:

\[ (\Box_x + m^2)\, G_R(x - y) = -\delta^4(x - y) \]

Aplicamos la transformada de Fourier en 4 dimensiones a \(G_R\):

\[ G_R(x - y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\, \tilde{G}_R(p)\, e^{-ip\cdot(x-y)} \]

donde \(p\cdot x = p^0 x^0 - \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}\) (métrica \((+,-,-,-)\)).

Representación de Fourier de \(\delta^4(x-y)\):

\[ \delta^4(x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\, e^{-ip\cdot(x-y)} \]

Calculamos \(\Box_x\, e^{-ip\cdot(x-y)}\):

\[ \Box_x\, e^{-ip\cdot(x-y)} = \partial_\mu\partial^\mu\, e^{-ip\cdot(x-y)} = (-ip_\mu)(-ip^\mu)\, e^{-ip\cdot(x-y)} = -p_\mu p^\mu\, e^{-ip\cdot(x-y)} \]
\[ = -(p^0)^2 + |\mathbf{p}|^2)\, e^{-ip\cdot(x-y)} = -p^2\, e^{-ip\cdot(x-y)} \]

donde \(p^2 \equiv p_\mu p^\mu = (p^0)^2 - |\mathbf{p}|^2\).

Sustituyendo en la ecuación de definición:

\[ \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\, (-p^2 + m^2)\, \tilde{G}_R(p)\, e^{-ip\cdot(x-y)} = -\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\, e^{-ip\cdot(x-y)} \]

Comparando las componentes de Fourier:

\[ (-p^2 + m^2)\, \tilde{G}_R(p) = -1 \]
\[ \tilde{G}_R(p) = \frac{1}{p^2 - m^2} = \frac{1}{(p^0)^2 - |\mathbf{p}|^2 - m^2} = \frac{1}{(p^0)^2 - \omega_{\mathbf{p}}^2} \]

donde \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\).

Posición de los polos y prescripción \(i\varepsilon\):

Las soluciones de \((p^0)^2 - \omega_{\mathbf{p}}^2 = (p^0 - \omega_{\mathbf{p}})(p^0 + \omega_{\mathbf{p}}) = 0\) son \(p^0 = \pm\omega_{\mathbf{p}}\).

Para implementar la condición de contorno retardada (\(G_R = 0\) para \(x^0 < y^0\)), al integrar en \(p^0\) debemos desplazar ambos polos por debajo del eje real:

\[ p^0 \to p^0 + i\varepsilon \quad (\varepsilon > 0) \]

Es decir:

\[ \boxed{\tilde{G}_R(p) = \frac{1}{(p^0 + i\varepsilon)^2 - \omega_{\mathbf{p}}^2}} \]

Realización de la condición retardada:

Consideremos la integración en \(p^0\) de \(G_R(x-y)\):

\[ G_R(x-y) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \int \frac{dp^0}{2\pi}\, \frac{e^{-ip^0(x^0-y^0)}}{(p^0 + i\varepsilon)^2 - \omega_{\mathbf{p}}^2} \]

Los polos se encuentran en \(p^0 = \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon\) y \(p^0 = -\omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon\) (ambos por debajo del eje real).

  • Caso \(x^0 - y^0 > 0\): \(e^{-ip^0(x^0-y^0)}\) decae para \(\mathrm{Im}(p^0) \to -\infty\), por lo que cerramos el contorno de integración en el semiplano inferior. Se rodean ambos polos, y por el teorema de los residuos se obtiene una contribución no nula.

  • Caso \(x^0 - y^0 < 0\): \(e^{-ip^0(x^0-y^0)} = e^{-ip^0 \cdot (\text{negativo})}\) decae para \(\mathrm{Im}(p^0) \to +\infty\), por lo que cerramos el contorno en el semiplano superior. Como no hay polos en el semiplano superior:

\[ G_R(x-y) = 0 \quad \text{para } x^0 < y^0 \]

Esta es la condición de contorno retardada. En resumen:

\[ G_R(x-y) = \theta(x^0 - y^0) \cdot [\text{contribución de los residuos}] \]

Calculando los residuos:

\[ G_R(x-y) = -\theta(x^0-y^0) \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \frac{\sin[\omega_{\mathbf{p}}(x^0-y^0)]}{\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

(b) Causalidad para intervalos espaciales

Demostramos que \(G_R(x-y) = 0\) para intervalos espaciales \((x-y)^2 = (x^0-y^0)^2 - |\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2 < 0\).

Método 1: Argumento directo mediante la función \(\theta\)

\(G_R(x-y)\) contiene \(\theta(x^0-y^0)\) como factor. En el caso de intervalos espaciales, el signo de \(x^0 - y^0\) puede cambiarse mediante una transformación de Lorentz (el orden temporal de dos eventos separados espacialmente depende del observador).

Sin embargo, dado que \(G_R\) es solución de una ecuación invariante Lorentz, su valor debe depender únicamente del invariante de Lorentz \((x-y)^2\) (respecto a la parte sin la función \(\theta\)).

Más rigurosamente:

  • Para \(x^0 > y^0\): existe la posibilidad de que \(G_R \neq 0\)
  • Sin embargo, para intervalos espaciales, existe un sistema de referencia donde \(x^0 < y^0\) mediante una transformación de Lorentz
  • En ese sistema \(G_R = 0\) (condición retardada)
  • Como la parte de \(G_R\) sin la función \(\theta\) es invariante Lorentz, \(G_R = 0\) en todos los sistemas de referencia

Método 2: Cálculo directo

A partir de la expresión obtenida en (a):

\[ G_R(x-y) = -\theta(x^0-y^0) \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \frac{\sin[\omega_{\mathbf{p}}(x^0-y^0)]}{\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

El contenido dentro de la función \(\theta\) (\(\Delta(x-y) \equiv -\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{\sin(\omega_{\mathbf{p}} \Delta t)}{\omega_{\mathbf{p}}} e^{i\mathbf{p}\cdot\Delta\mathbf{x}}\)) es una función invariante Lorentz, y se sabe que \(\Delta(x-y) = 0\) para intervalos espaciales \((x-y)^2 < 0\) (propiedad de la función de Pauli-Jordan).

Esto se entiende de la siguiente manera: para intervalos espaciales, existe un sistema de referencia donde \(\Delta t = 0\) mediante una transformación de Lorentz. En ese sistema, \(\sin(\omega_{\mathbf{p}} \cdot 0) = 0\), por lo que \(\Delta = 0\). Como \(\Delta\) es invariante Lorentz, \(\Delta = 0\) en todos los sistemas de referencia.

\[ \boxed{G_R(x-y) = 0 \quad \text{para } (x-y)^2 < 0} \]

Expresión de la causalidad: Esto significa que "la influencia de una fuente (perturbación en el punto \(y\)) no se propaga fuera del cono de luz (al punto \(x\) separado espacialmente)". Las señales no se propagan a velocidades superiores a la de la luz.

(c) Intercambio de partículas virtuales y causalidad

En el texto se afirma que "las fuerzas se transmiten mediante el intercambio de partículas virtuales". La consistencia de esta imagen con la causalidad se justifica de la siguiente manera:

  1. Propiedad causal del propagador retardado: \(G_R(x-y) = 0\) para \((x-y)^2 < 0\) garantiza que las señales clásicas solo se propagan a velocidades iguales o inferiores a la de la luz.

  2. Partículas virtuales y propagador de Feynman: Lo que aparece en los cálculos perturbativos de la teoría cuántica de campos no es el propagador retardado, sino el propagador de Feynman \(G_F\), que no se anula para intervalos espaciales. Sin embargo, \(G_F\) no representa la "propagación de señales" sino "correlaciones de las fluctuaciones cuánticas del campo".

  3. Causalidad de las magnitudes observables: Cuando se calculan las cantidades físicamente observables (amplitudes de dispersión, variaciones de valores esperados, etc.), la influencia causal entre eventos separados espacialmente resulta ser cero. Esto se expresa mediante las relaciones de conmutación del campo \([\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0\) para \((x-y)^2 < 0\) (en el caso de campos bosónicos).

  4. "Propagación" de partículas virtuales: Las partículas virtuales no satisfacen la condición de capa de masas \(p^2 = m^2\) (están off-shell). Las líneas de partículas virtuales en los diagramas de Feynman no representan la propagación de partículas reales, sino una expresión matemática de las fluctuaciones cuánticas del campo. La causalidad no está garantizada a nivel de la "propagación" de cada partícula virtual individual, sino a nivel de las magnitudes físicas observables obtenidas al sumar todas las contribuciones.

Verificación

Análisis dimensional: \([G_R] = [1/(\Box + m^2)][\delta^4] = [m^{-2}][m^4] = [m^2]\) (unidades naturales). La representación de Fourier \(\tilde{G}_R = 1/(p^2 - m^2)\) tiene dimensión \([m^{-2}]\), y combinada con la dimensión de \(\int d^4p/(2\pi)^4\) que es \([m^4]\), se obtiene \([G_R] = [m^2]\). ✓

A-2. Equivalencia entre el mar de Dirac y la teoría cuántica de campos

→ Volver al problema

(a) Divergencia de la energía del vacío del mar de Dirac

En la descripción del mar de Dirac, el estado de vacío es aquel en el que todos los estados de energía negativa están ocupados por electrones.

La energía de las soluciones de energía negativa de la ecuación de Dirac libre es \(E = -\omega_{\mathbf{p}} = -\sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\) (para cada momento \(\mathbf{p}\), cada espín \(s = 1, 2\)).

La energía del vacío es la suma de las energías de todos los estados de energía negativa ocupados:

\[ E_{\text{vac}} = \sum_{\mathbf{p}} \sum_{s=1}^{2} (-\omega_{\mathbf{p}}) = -2\sum_{\mathbf{p}} \omega_{\mathbf{p}} \]

En el límite continuo:

\[ E_{\text{vac}} = -2 \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} = -2 \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} \]

Esta integral diverge cuando \(|\mathbf{p}| \to \infty\):

\[ \int_0^\Lambda \frac{4\pi p^2\, dp}{(2\pi)^3}\, \sqrt{p^2 + m^2} \sim \int_0^\Lambda \frac{p^3\, dp}{2\pi^2} \sim \frac{\Lambda^4}{8\pi^2} \to \infty \]
\[ \boxed{E_{\text{vac}} = -2\sum_{\mathbf{p}} \omega_{\mathbf{p}} \to -\infty \quad \text{(formalmente divergente)}} \]

(El factor 2 proviene de los grados de libertad de espín.)

(b) Equivalencia de los procesos físicos — Creación de pares electrón-positrón

Descripción del mar de Dirac:

Cuando se inyecta energía \(E \geq 2mc^2\) al vacío (el estado con el mar completamente lleno), un electrón del mar es excitado a un estado de energía positiva.

  • Estado inicial: vacío con el mar completamente lleno
  • Estado final: 1 electrón de energía positiva + 1 hueco en el mar

Balance de energía: - Energía del electrón de energía positiva: \(+\omega_{\mathbf{p}_1}\) - Energía del hueco: al retirar un electrón con energía \(-\omega_{\mathbf{p}_2}\) del mar, el cambio de energía respecto al vacío es \(+\omega_{\mathbf{p}_2}\) - Energía total necesaria: \(\omega_{\mathbf{p}_1} + \omega_{\mathbf{p}_2} \geq 2m\)

Balance de carga: - Carga del vacío: \(Q_{\text{vac}}\) (tomada como 0 de referencia) - Carga del electrón de energía positiva: \(-e\) - Carga del hueco: \(-(-e) = +e\) (porque falta un electrón con carga negativa) - Cambio total de carga: \(-e + e = 0\) (conservación de la carga)

Descripción de la teoría cuántica de campos:

Se aplican operadores de creación al estado de vacío \(|0\rangle\) (vacío de Fock):

\[ \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1, s_1} \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2, s_2} |0\rangle \]

donde \(\hat{a}^\dagger\) es el operador de creación del electrón y \(\hat{b}^\dagger\) es el operador de creación del positrón.

Balance de energía: - Energía del electrón: \(+\omega_{\mathbf{p}_1}\) - Energía del positrón: \(+\omega_{\mathbf{p}_2}\) - Energía total necesaria: \(\omega_{\mathbf{p}_1} + \omega_{\mathbf{p}_2} \geq 2m\)

Balance de carga: - Carga del electrón: \(-e\) - Carga del positrón: \(+e\) - Cambio total de carga: \(0\)

Equivalencia:

\[ \boxed{\text{En ambas descripciones, el coste energético } \omega_{\mathbf{p}_1} + \omega_{\mathbf{p}_2} \text{ y la conservación de carga } \Delta Q = 0 \text{ coinciden}} \]

Todas las cantidades físicas observables (diferencias de energía, diferencias de carga, momento, etc.) dan los mismos resultados. La descripción del mar de Dirac no es más que una "reformulación" de la teoría cuántica de campos.

(c) Imposibilidad del mar de Dirac para bosones

Desde el punto de vista del principio de exclusión de Pauli:

La construcción del mar de Dirac requiere esencialmente lo siguiente:

  1. En cada estado cuántico puede haber como máximo 1 partícula (principio de exclusión de Pauli)
  2. Todos los estados de energía negativa deben estar completamente llenos de partículas
  3. Los "huecos" se comportan como antipartículas

Los campos escalares (espín 0) obedecen la estadística de Bose, por lo que:

  • Se puede colocar un número arbitrario de partículas en cada estado
  • Es imposible "llenar todos los estados de energía negativa" — si colocas una partícula, puedes colocar otra más, y nunca se puede completar el llenado
  • Por lo tanto, no se puede definir un "vacío estable" (un estado con el mar completamente lleno)
  • El concepto de "hueco" tampoco tiene sentido
\[ \boxed{\text{Los bosones no obedecen el principio de exclusión de Pauli, por lo que no se puede construir el mar de Dirac}} \]

Resolución mediante la teoría cuántica de campos:

En la teoría cuántica de campos, la diferencia en la estadística se incorpora automáticamente mediante la elección de las relaciones de conmutación:

  • Campos bosónicos: Los operadores de creación y aniquilación satisfacen relaciones de conmutación
\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{q}}] = (2\pi)^3 \delta^3(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]
  • Campos fermiónicos: Los operadores de creación y aniquilación satisfacen relaciones de anticonmutación
\[ \{\hat{b}_{\mathbf{p}}, \hat{b}^\dagger_{\mathbf{q}}\} = (2\pi)^3 \delta^3(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

En ambos casos: - El vacío \(|0\rangle\) se define como el estado aniquilado por todos los operadores de aniquilación: \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\) - Tanto las partículas como las antipartículas se describen como excitaciones con energía positiva - Las soluciones de energía negativa se reinterpretan como "estados de energía positiva de las antipartículas" - No es necesario suponer un número infinito de partículas como en el mar de Dirac

La teoría cuántica de campos puede tratar tanto fermiones como bosones de manera unificada, superando completamente las limitaciones de la descripción del mar de Dirac.

Verificación

Consistencia con el teorema espín-estadística: En la teoría cuántica de campos, a partir de la invariancia de Lorentz y la causalidad (relaciones de conmutación/anticonmutación de operadores de campo separados espacialmente), se demuestra que los campos de espín entero deben obedecer la estadística de Bose y los campos de espín semientero deben obedecer la estadística de Fermi (teorema espín-estadística). Esto proporciona la razón profunda por la que el mar de Dirac solo es aplicable a partículas de espín semientero.