Saltar a contenido

Apéndice A Soluciones

← Volver a ejercicios　|　Volver al capítulo

Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo de componentes del producto vectorial

→ Volver al problema

Problema: Calcula el producto vectorial \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\) de \(\boldsymbol{a} = (2, 1, -1)\) y \(\boldsymbol{b} = (0, 3, 2)\).

Estrategia de resolución: Se expande el determinante formal por cofactores a lo largo de la primera fila.

\[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} \]

Cálculo:

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_x = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3 = 2 + 3 = 5 \]
\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_y = -(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 0) = -(4 - 0) = -4 \]
\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_z = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 0 = 6 \]
\[ \boxed{\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (5,\, -4,\, 6)} \]

Verificación: Por la propiedad anticonmutativa, \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} = (-5, 4, -6)\). En efecto, \((\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a})_x = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -5\) ✓

B-2. Ortogonalidad del producto vectorial

→ Volver al problema

Problema: Verificar que \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (5, -4, 6)\) es ortogonal a \(\boldsymbol{a} = (2, 1, -1)\).

Cálculo:

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a} = 5 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 + 6 \cdot (-1) = 10 - 4 - 6 = 0 \]
\[ \boxed{(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a} = 0} \]

Verificación: Comprobamos también el producto escalar con \(\boldsymbol{b}\): \(5 \cdot 0 + (-4) \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 0 - 12 + 12 = 0\) ✓

B-3. Triple producto escalar

→ Volver al problema

Problema: Calcula el producto triple escalar de \(\boldsymbol{a} = (1, 0, 2)\), \(\boldsymbol{b} = (3, 1, 0)\), \(\boldsymbol{c} = (0, -1, 1)\) como un determinante.

Cálculo:

\[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]

Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila:

\[ = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \]
\[ = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - 0 + 2 \cdot (3 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) \]
\[ = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) = 1 - 6 = -5 \]
\[ \boxed{\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = -5} \]

Verificación (método de Sarrus):

Suma de las diagonales descendentes hacia la derecha: \(a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \cdot (-1) = 1 + 0 - 6 = -5\)

Suma de las diagonales descendentes hacia la izquierda: \(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32} = 2 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-1) = 0 + 0 + 0 = 0\)

Determinante \(= -5 - 0 = -5\) ✓

B-4. Gradiente de un campo escalar

→ Volver al problema

Problema: Determina el gradiente de \(\varphi(x, y, z) = x^2 y + y^2 z + z^2 x\).

Cálculo:

\[ \frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2xy + z^2, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^2 + 2yz, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial z} = y^2 + 2zx \]
\[ \boxed{\nabla\varphi = (2xy + z^2,\; x^2 + 2yz,\; y^2 + 2zx)} \]

Verificación: Se comprueban las dimensiones de cada término (derivadas parciales de cada monomio de \(\varphi\) respecto a las variables). \(\partial(x^2 y)/\partial x = 2xy\) ✓, \(\partial(y^2 z)/\partial x = 0\) ✓, \(\partial(z^2 x)/\partial x = z^2\) ✓. Las demás componentes se verifican de manera análoga.

B-5. Divergencia de un campo vectorial

→ Volver al problema

Problema: Calcula la divergencia de \(\boldsymbol{F} = (x^2 y,\; y^2 z,\; z^2 x)\).

Cálculo:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{\partial(x^2 y)}{\partial x} + \frac{\partial(y^2 z)}{\partial y} + \frac{\partial(z^2 x)}{\partial z} \]
\[ = 2xy + 2yz + 2zx \]
\[ \boxed{\nabla \cdot \boldsymbol{F} = 2(xy + yz + zx)} \]

Verificación: Comprobamos cada derivada parcial individualmente. \(\partial(x^2 y)/\partial x = 2xy\) (tratando \(y\) como constante) ✓

B-6. Rotacional de un campo vectorial

→ Volver al problema

Problema: Calcula el rotacional de \(\boldsymbol{F} = (yz,\; xz,\; xy)\).

Cálculo:

\[ (\nabla \times \boldsymbol{F})_x = \frac{\partial(xy)}{\partial y} - \frac{\partial(xz)}{\partial z} = x - x = 0 \]
\[ (\nabla \times \boldsymbol{F})_y = \frac{\partial(yz)}{\partial z} - \frac{\partial(xy)}{\partial x} = y - y = 0 \]
\[ (\nabla \times \boldsymbol{F})_z = \frac{\partial(xz)}{\partial x} - \frac{\partial(yz)}{\partial y} = z - z = 0 \]
\[ \boxed{\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}} \]

Verificación: Dado que \(\boldsymbol{F} = (yz, xz, xy) = \nabla(xyz)\), el rotacional de un campo gradiente es idénticamente cero. En efecto, \(\partial(xyz)/\partial x = yz\), \(\partial(xyz)/\partial y = xz\), \(\partial(xyz)/\partial z = xy\) ✓

B-7. Laplaciano de un campo escalar

→ Volver al problema

Problema: Calcula el laplaciano de \(\varphi = e^x \sin y + z^3\).

Cálculo:

\[ \frac{\partial \varphi}{\partial x} = e^x \sin y, \quad \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} = e^x \sin y \]
\[ \frac{\partial \varphi}{\partial y} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = -e^x \sin y \]
\[ \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 3z^2, \quad \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 6z \]
\[ \Delta\varphi = e^x \sin y - e^x \sin y + 6z = 6z \]
\[ \boxed{\Delta\varphi = 6z} \]

Verificación: La parte \(e^x \sin y\) es una función armónica bidimensional (\(\Delta_{2D}(e^x \sin y) = 0\)), por lo que su contribución al laplaciano es cero. El laplaciano de \(z^3\) es \(6z\). Coincide ✓

B-8. Verificación de la identidad de Lagrange

→ Volver al problema

Problema: Para \(\boldsymbol{a} = (1, 2, 0)\), \(\boldsymbol{b} = (0, 1, 3)\), verifica la identidad de Lagrange.

Cálculo (lado derecho):

\[ |\boldsymbol{a}|^2 = 1 + 4 + 0 = 5, \quad |\boldsymbol{b}|^2 = 0 + 1 + 9 = 10 \]
\[ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0 + 2 + 0 = 2 \]
\[ |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 = 50 - 4 = 46 \]

Cálculo (lado izquierdo):

\[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 1,\; 0 \cdot 0 - 1 \cdot 3,\; 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = (6, -3, 1) \]
\[ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 = 36 + 9 + 1 = 46 \]
\[ \boxed{|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 = 46} \]

Ambos lados coinciden ✓

B-9. Verificación de la fórmula BAC-CAB

→ Volver al problema

Problema: Verifica la fórmula BAC-CAB con \(\boldsymbol{a} = (1,0,0)\), \(\boldsymbol{b} = (0,1,0)\), \(\boldsymbol{c} = (0,0,1)\).

Cálculo del lado izquierdo:

\[ \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = (0,1,0) \times (0,0,1) = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0,\; 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1,\; 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = (1, 0, 0) \]
\[ \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = (1,0,0) \times (1,0,0) = (0, 0, 0) = \boldsymbol{0} \]

Cálculo del lado derecho:

\[ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \]
\[ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0 \]
\[ \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) = (0,1,0) \cdot 0 - (0,0,1) \cdot 0 = \boldsymbol{0} \]
\[ \boxed{\text{Lado izquierdo} = \text{Lado derecho} = \boldsymbol{0}} \]

Verificación: \(\boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_1\), \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{e}_2\), \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{e}_3\) son la base estándar mutuamente ortogonal, por lo que \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = 0\) es natural. Además, como \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = \boldsymbol{e}_1 = \boldsymbol{a}\), también es natural que \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}\) ✓

B-10. Verificación de rot(grad) = 0

→ Volver al problema

Problema: Para \(\varphi = x^2 + y^2 + z^2\), verifica que \(\nabla \times (\nabla\varphi) = \boldsymbol{0}\).

Cálculo:

\[ \nabla\varphi = (2x,\; 2y,\; 2z) \]

Sea \(\boldsymbol{G} = \nabla\varphi = (2x, 2y, 2z)\):

\[ (\nabla \times \boldsymbol{G})_x = \frac{\partial(2z)}{\partial y} - \frac{\partial(2y)}{\partial z} = 0 - 0 = 0 \]
\[ (\nabla \times \boldsymbol{G})_y = \frac{\partial(2x)}{\partial z} - \frac{\partial(2z)}{\partial x} = 0 - 0 = 0 \]
\[ (\nabla \times \boldsymbol{G})_z = \frac{\partial(2y)}{\partial x} - \frac{\partial(2x)}{\partial y} = 0 - 0 = 0 \]
\[ \boxed{\nabla \times (\nabla\varphi) = \boldsymbol{0}} \]

Verificación: Este es un ejemplo concreto de la identidad \(\operatorname{rot}(\operatorname{grad}\varphi) = \boldsymbol{0}\). Cada componente se anula automáticamente como \(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z \partial y} = 0\), gracias a la conmutatividad de las derivadas parciales (dado que \(\varphi\) es de clase \(C^2\)) ✓

Intermedio

M-1. Demostración de la fórmula BAC-CAB

→ Volver al problema

Problema: Demuestra la fórmula BAC-CAB mediante la comparación de la componente \(x\).

Estrategia de la solución

Se expande la componente \(x\) del lado izquierdo \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\) aplicando la definición del producto vectorial dos veces. También se expande la componente \(x\) del lado derecho \(\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\) y se muestra que ambas coinciden.

Detalle del cálculo

Componente \(x\) del lado izquierdo:

Primero escribimos las componentes de \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}\):

\[ (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_1 = b_2 c_3 - b_3 c_2, \quad (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_2 = b_3 c_1 - b_1 c_3, \quad (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_3 = b_1 c_2 - b_2 c_1 \]

La componente \(x\) de \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\) es:

\[ [\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})]_1 = a_2 (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_3 - a_3 (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_2 \]
\[ = a_2(b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3(b_3 c_1 - b_1 c_3) \]
\[ = a_2 b_1 c_2 - a_2 b_2 c_1 - a_3 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_3 \]
\[ = b_1(a_2 c_2 + a_3 c_3) - c_1(a_2 b_2 + a_3 b_3) \]

Aquí sumamos y restamos \(a_1 c_1\) y \(a_1 b_1\) (dado que \(b_1 a_1 c_1 - c_1 a_1 b_1 = 0\), el valor no cambia):

\[ = b_1(a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) - c_1(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) \]
\[ = b_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - c_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \]

Componente \(x\) del lado derecho:

\[ [\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})]_1 = b_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - c_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \]

Respuesta final

Las componentes \(x\) del lado izquierdo y del lado derecho coinciden:

\[ [\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})]_1 = b_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - c_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \]

Sobre las componentes \(y\) y \(z\): En el cálculo anterior solo se utilizó la estructura cíclica de los índices \(1, 2, 3\). Dado que la definición del producto vectorial tiene la misma forma bajo permutaciones cíclicas de los índices \((1 \to 2 \to 3 \to 1)\), sustituyendo \(1 \to 2\), \(2 \to 3\), \(3 \to 1\) en la demostración de la componente \(x\) se obtiene directamente la demostración de la componente \(y\), y sustituyendo \(1 \to 3\), \(2 \to 1\), \(3 \to 2\) se obtiene la de la componente \(z\).

Por lo tanto, la igualdad se cumple para las tres componentes, y la fórmula BAC-CAB queda demostrada. \(\blacksquare\)

Verificación

Confirmado con un ejemplo numérico concreto (base estándar) en D9 ✓

M-2. Demostración de div(rot) = 0

→ Volver al problema

Problema: Demuestra que \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0\) y enuncia su significado físico.

Estrategia de resolución

Se escriben explícitamente las componentes de \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) y, al tomar la \(\operatorname{div}\), se muestra que todos los términos se cancelan por pares gracias a la conmutatividad de las derivadas parciales.

Cálculo detallado

Sea \(\boldsymbol{F} = (F_1, F_2, F_3)\). Las componentes del rotacional son:

\[ (\nabla \times \boldsymbol{F})_1 = \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \quad (\nabla \times \boldsymbol{F})_2 = \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \quad (\nabla \times \boldsymbol{F})_3 = \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \]

Tomamos la divergencia:

\[ \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \]
\[ = \frac{\partial^2 F_3}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 F_2}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 F_1}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 F_3}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 F_2}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 F_1}{\partial z \partial y} \]

Si \(\boldsymbol{F}\) es suficientemente suave (de clase \(C^2\)), el orden de las derivadas parciales es intercambiable: \(\frac{\partial^2 F_i}{\partial x_j \partial x_k} = \frac{\partial^2 F_i}{\partial x_k \partial x_j}\). Por lo tanto:

  • \(\frac{\partial^2 F_3}{\partial x \partial y}\) y \(-\frac{\partial^2 F_3}{\partial y \partial x}\) se cancelan
  • \(-\frac{\partial^2 F_2}{\partial x \partial z}\) y \(\frac{\partial^2 F_2}{\partial z \partial x}\) se cancelan
  • \(\frac{\partial^2 F_1}{\partial y \partial z}\) y \(-\frac{\partial^2 F_1}{\partial z \partial y}\) se cancelan
\[ \boxed{\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = 0} \]

Significado físico

En electromagnetismo, el campo magnético \(\boldsymbol{B}\) se puede escribir mediante un potencial vector \(\boldsymbol{A}\) como \(\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}\). Aplicando la identidad anterior:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) = 0 \]

Esto corresponde a una de las ecuaciones de Maxwell, \(\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0\) (inexistencia de monopolos magnéticos). Es decir, el hecho de que el campo magnético pueda expresarse como el rotacional de un potencial vector es automáticamente consistente con la inexistencia de monopolos magnéticos, gracias a la identidad matemática \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}) = 0\). Dicho de otro modo, si existieran monopolos magnéticos se tendría \(\nabla \cdot \boldsymbol{B} \neq 0\), y \(\boldsymbol{B}\) no podría representarse globalmente como el rotacional de un único potencial vector. \(\blacksquare\)

M-3. Fórmula del producto escalar entre productos vectoriales

→ Volver al problema

Problema: A partir de la fórmula del producto escalar entre dos productos vectoriales, deduce la identidad de Lagrange y demuestra que \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\).

Detalle del cálculo

Deducción de la identidad de Lagrange:

Fórmula del producto escalar entre dos productos vectoriales:

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \]

Sustituimos \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{d} = \boldsymbol{b}\):

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}) \]
\[ \boxed{|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2} \]

Deducción de \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\):

Si \(\theta\) (\(0 \leq \theta \leq \pi\)) es el ángulo entre \(\boldsymbol{a}\) y \(\boldsymbol{b}\), entonces \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta\), por lo que:

\[ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2\cos^2\theta = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2(1 - \cos^2\theta) = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2\sin^2\theta \]

Como \(\sin\theta \geq 0\) cuando \(0 \leq \theta \leq \pi\), tomando la raíz cuadrada positiva de ambos miembros:

\[ \boxed{|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta} \]

Verificación

\(\theta = 0\) (paralelos): \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = 0\) ✓ (el producto vectorial de vectores paralelos es cero)

\(\theta = \pi/2\) (perpendiculares): \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\) ✓ (por ejemplo, \(\boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{e}_3\) con \(|\boldsymbol{e}_3| = 1 = 1 \cdot 1\))

\(\theta = \pi\) (antiparalelos): \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = 0\) ✓ (\(\sin\pi = 0\), y el producto vectorial de vectores antiparalelos también es cero)

También verificado con el ejemplo numérico de D8 ✓

M-4. Fórmula de la divergencia de un producto

→ Volver al problema

Problema: Demuestra que \(\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F} + \varphi\,(\operatorname{div}\boldsymbol{F})\).

Estrategia de resolución

Escribe \(\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F})\) en representación por componentes y aplica la regla del producto de Leibniz a cada término para desarrollarlo.

Desarrollo del cálculo

Sea \(\boldsymbol{F} = (F_1, F_2, F_3)\).

\[ \operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = \frac{\partial(\varphi F_1)}{\partial x} + \frac{\partial(\varphi F_2)}{\partial y} + \frac{\partial(\varphi F_3)}{\partial z} \]

Aplica la regla del producto de Leibniz \(\frac{\partial(\varphi F_i)}{\partial x_i} = \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}F_i + \varphi\frac{\partial F_i}{\partial x_i}\) a cada término:

\[ \frac{\partial(\varphi F_1)}{\partial x} = \frac{\partial\varphi}{\partial x}F_1 + \varphi\frac{\partial F_1}{\partial x} \]
\[ \frac{\partial(\varphi F_2)}{\partial y} = \frac{\partial\varphi}{\partial y}F_2 + \varphi\frac{\partial F_2}{\partial y} \]
\[ \frac{\partial(\varphi F_3)}{\partial z} = \frac{\partial\varphi}{\partial z}F_3 + \varphi\frac{\partial F_3}{\partial z} \]

Sumando todos los términos:

\[ \operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}F_1 + \frac{\partial\varphi}{\partial y}F_2 + \frac{\partial\varphi}{\partial z}F_3\right) + \varphi\left(\frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}\right) \]

El primer paréntesis es el producto escalar del gradiente con el campo vectorial \((\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F}\), y el segundo paréntesis es la divergencia del campo vectorial \(\operatorname{div}\boldsymbol{F}\), por lo que:

\[ \boxed{\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F} + \varphi\,(\operatorname{div}\boldsymbol{F})} \]

\(\blacksquare\)

Verificación

Comprobamos con ejemplos concretos. Sea \(\varphi = x\), \(\boldsymbol{F} = (y, 0, 0)\):

  • Lado izquierdo: \(\operatorname{div}(xy, 0, 0) = \frac{\partial(xy)}{\partial x} + 0 + 0 = y\)
  • Lado derecho: \((\nabla x) \cdot (y, 0, 0) + x \cdot \operatorname{div}(y, 0, 0) = (1, 0, 0) \cdot (y, 0, 0) + x \cdot 0 = y + 0 = y\)

Coinciden ✓

Otro ejemplo. Sea \(\varphi = x^2 + y^2 + z^2\), \(\boldsymbol{F} = (x, y, z)\):

  • \(\varphi\boldsymbol{F} = ((x^2+y^2+z^2)x,\; (x^2+y^2+z^2)y,\; (x^2+y^2+z^2)z)\)
  • Derivada parcial de la componente \(x\) del lado izquierdo: \(\frac{\partial}{\partial x}[(x^2+y^2+z^2)x] = (2x)x + (x^2+y^2+z^2) = 2x^2 + x^2+y^2+z^2\). De manera análoga se calculan las componentes \(y\) y \(z\), y al sumar: \(2(x^2+y^2+z^2) + 3(x^2+y^2+z^2) = 5(x^2+y^2+z^2)\)
  • Lado derecho: \((\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F} + \varphi(\operatorname{div}\boldsymbol{F}) = (2x,2y,2z)\cdot(x,y,z) + (x^2+y^2+z^2) \cdot 3 = 2(x^2+y^2+z^2) + 3(x^2+y^2+z^2) = 5(x^2+y^2+z^2)\)

Coinciden ✓

M-5. Teorema de Gauss y campo de Coulomb

→ Volver al problema

Problema: Utilizando el teorema de Gauss, demuestra que el flujo eléctrico del campo de Coulomb es \(q/\varepsilon_0\).

Estrategia de resolución

Dentro de una superficie cerrada arbitraria \(S\) que contenga el origen, se toma una superficie esférica \(S_\epsilon\) de radio \(\epsilon\) suficientemente pequeño centrada en el origen. En la región \(V'\) comprendida entre \(S\) y \(S_\epsilon\), dado que \(r \neq 0\), se cumple \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0\). Aplicando el teorema de Gauss a esta región, se reduce la integral de superficie sobre \(S\) a la integral de superficie sobre \(S_\epsilon\).

Desarrollo del cálculo

Paso 1: Verificación de \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0\) para \(r \neq 0\)

Para \(\boldsymbol{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\), calculamos la divergencia de \(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3} = \left(\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\; \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\; \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right)\).

Derivada parcial de la componente \(x\):

\[ \frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r^3} = \frac{r^3 - x \cdot 3r^2 \cdot (x/r)}{r^6} = \frac{r^3 - 3x^2 r}{r^6} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5} \]

Calculando de manera análoga las componentes \(y\) y \(z\) y sumando:

\[ \nabla \cdot \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} = \left(\frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}\right) + \left(\frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5}\right) + \left(\frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5}\right) = \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2 + y^2 + z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3}{r^3} = 0 \quad (r \neq 0) \]

Paso 2: Aplicación del teorema de Gauss

Consideramos la región \(V'\) encerrada entre \(S\) y \(S_\epsilon\). La frontera de \(V'\) está formada por \(S\) en el exterior (normal hacia afuera) y \(S_\epsilon\) en el interior (cuya normal exterior respecto a \(V'\) apunta hacia el origen, es decir, en la dirección \(-\hat{\boldsymbol{r}}\)).

Dado que en \(V'\) se cumple \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0\), por el teorema de Gauss:

\[ 0 = \int_{V'} \nabla \cdot \boldsymbol{E}\, dV = \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}_{\text{exterior}} + \oint_{S_\epsilon} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}_{V'\text{exterior}} \]

Sobre \(S_\epsilon\), la normal exterior respecto a \(V'\) apunta en la dirección \(-\hat{\boldsymbol{r}}\), por lo que \(d\boldsymbol{S}_{V'\text{exterior}} = -\hat{\boldsymbol{r}}\, dA\). Por tanto:

\[ 0 = \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} - \oint_{S_\epsilon} \boldsymbol{E} \cdot \hat{\boldsymbol{r}}\, dA \]
\[ \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \oint_{S_\epsilon} \boldsymbol{E} \cdot \hat{\boldsymbol{r}}\, dA \]

Paso 3: Cálculo de la integral de superficie sobre la esfera

Sobre \(S_\epsilon\) se tiene \(r = \epsilon\) (constante), y \(\boldsymbol{E}\) apunta en la dirección radial con magnitud constante:

\[ \boldsymbol{E}\big|_{S_\epsilon} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{\epsilon^2} \]

Por lo tanto:

\[ \boldsymbol{E} \cdot \hat{\boldsymbol{r}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\epsilon^2} \]

Integrando sobre toda la superficie esférica:

\[ \oint_{S_\epsilon} \boldsymbol{E} \cdot \hat{\boldsymbol{r}}\, dA = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\epsilon^2} \cdot 4\pi\epsilon^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \]

Respuesta final

\[ \boxed{\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{q}{\varepsilon_0}} \]

Se cumple para cualquier superficie cerrada \(S\) que contenga el origen. \(\blacksquare\)

Verificación

  • Análisis dimensional: \([E] = \text{V/m}\), \([dS] = \text{m}^2\), por lo que \([E \cdot dS] = \text{V·m}\). \([q/\varepsilon_0] = \text{C}/(\text{C}^2\text{s}^2/(\text{kg·m}^3))\), que simplificado da \(\text{kg·m}^3/(\text{C·s}^2) = \text{V·m}\). Consistente ✓
  • Caso particular: Si \(S\) es una superficie esférica de radio \(R\), el cálculo directo da \(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \cdot 4\pi R^2 = q/\varepsilon_0\) ✓
  • Caso \(q < 0\): El campo eléctrico apunta hacia el origen (dirección \(-\hat{\boldsymbol{r}}\)), por lo que el producto escalar con la normal exterior es negativo. El flujo \(q/\varepsilon_0 < 0\), lo cual es consistente ✓

Avanzado

A-1. Identidades con el símbolo de Levi-Civita

→ Volver al problema

Problema: Cálculo con índices usando el símbolo de Levi-Civita.

(a) Fórmula del producto escalar de dos productos vectoriales

Detalle del cálculo:

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = \sum_i (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_i (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})_i = \sum_i \left(\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j\, b_k\right)\left(\sum_{l,m} \varepsilon_{ilm}\, c_l\, d_m\right) \]
\[ = \sum_{j,k,l,m} \left(\sum_i \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{ilm}\right) a_j\, b_k\, c_l\, d_m \]

Aplicando la fórmula de contracción \(\sum_i \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}\):

\[ = \sum_{j,k,l,m} (\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl})\, a_j\, b_k\, c_l\, d_m \]
\[ = \sum_{j,k} a_j\, b_k\, c_j\, d_k - \sum_{j,k} a_j\, b_k\, c_k\, d_j \]
\[ = \left(\sum_j a_j c_j\right)\left(\sum_k b_k d_k\right) - \left(\sum_j a_j d_j\right)\left(\sum_k b_k c_k\right) \]
\[ \boxed{= (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})} \]

\(\blacksquare\)

(b) Fórmula BAC-CAB

Detalle del cálculo:

\[ [\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})]_i = \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j\, (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_k = \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j \sum_{l,m} \varepsilon_{klm}\, b_l\, c_m \]
\[ = \sum_{j,l,m} \left(\sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{klm}\right) a_j\, b_l\, c_m \]

Como \(\varepsilon_{klm} = \varepsilon_{lmk}\) (invariante bajo permutaciones cíclicas), se tiene \(\sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{klm} = \sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{lmk}\).

Aplicando la fórmula de contracción \(\sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}\):

\[ = \sum_{j,l,m} (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl})\, a_j\, b_l\, c_m \]
\[ = \sum_{j} a_j\, b_i\, c_j - \sum_{j} a_j\, b_j\, c_i \]
\[ = b_i \sum_j a_j c_j - c_i \sum_j a_j b_j \]
\[ = b_i (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - c_i (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \]
\[ \boxed{= [\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})]_i} \]

Como esto se cumple para todo \(i\), queda demostrada la fórmula BAC-CAB. \(\blacksquare\)

(c) Demostración de \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0\) mediante cálculo con índices

Componente \(i\)-ésima de \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\):

\[ (\nabla \times \boldsymbol{F})_i = \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, \partial_j F_k \]

donde \(\partial_j = \frac{\partial}{\partial x_j}\).

Cálculo de \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F})\):

\[ \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = \sum_i \partial_i (\nabla \times \boldsymbol{F})_i = \sum_i \partial_i \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, \partial_j F_k = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\, \partial_i \partial_j F_k \]

Aquí, \(\partial_i \partial_j F_k\) es simétrico en los índices \(i, j\) (cuando \(\boldsymbol{F}\) es de clase \(C^2\), \(\partial_i \partial_j = \partial_j \partial_i\)), mientras que \(\varepsilon_{ijk}\) es antisimétrico en los índices \(i, j\) (\(\varepsilon_{ijk} = -\varepsilon_{jik}\)).

La contracción de un tensor simétrico con un tensor antisimétrico es cero. Demostrémoslo explícitamente:

\[ S \equiv \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\, \partial_i \partial_j F_k \]

Intercambiando las variables mudas \(i \leftrightarrow j\):

\[ S = \sum_{j,i,k} \varepsilon_{jik}\, \partial_j \partial_i F_k = \sum_{i,j,k} (-\varepsilon_{ijk})\, \partial_i \partial_j F_k = -S \]

(En la primera igualdad se renombraron las variables mudas \(i \leftrightarrow j\), y en la segunda se usaron \(\varepsilon_{jik} = -\varepsilon_{ijk}\) (antisimetría) y \(\partial_j \partial_i = \partial_i \partial_j\) (conmutación de derivadas parciales).)

Por lo tanto \(S = -S\), es decir \(2S = 0\), de donde:

\[ \boxed{\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = 0} \]

\(\blacksquare\)

Correspondencia con 4 dimensiones: En la parte principal sobre relatividad general, se utilizó el tensor de Levi-Civita en 4 dimensiones \(\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\) para la construcción del tensor dual. De la misma manera que \(\varepsilon_{ijk}\) en 3 dimensiones define el rotacional (rot), \(\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\) en 4 dimensiones define el dual del tensor electromagnético \(F_{\mu\nu}\): \({}^*F^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}\). La versión en 4 dimensiones de \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}) = 0\) corresponde a la identidad de Bianchi \(\partial_{[\mu}F_{\nu\rho]} = 0\), que da lugar a las ecuaciones homogéneas de Maxwell (\(\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0\) y la ley de Faraday).

Verificación

(a) Sustituyendo \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{d} = \boldsymbol{b}\) se obtiene la identidad de Lagrange, consistente con S3 ✓

(b) Consistente con el ejemplo numérico de D9 ✓

(c) Consistente con la demostración por componentes de S2 ✓

A-2. Aplicaciones del teorema de Stokes

→ Volver al problema

Problema: Argumentos utilizando el teorema de Stokes.

(a) La integral de línea de un campo gradiente sobre una curva cerrada es cero

Demostración:

Sea \(\boldsymbol{F} = \nabla\varphi\). Para cualquier curva cerrada \(C\), tomamos una superficie \(S\) cuyo borde sea \(C\). Por el teorema de Stokes:

\[ \oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S} = \int_S (\nabla \times \nabla\varphi) \cdot d\boldsymbol{S} \]

Por la identidad \(\nabla \times (\nabla\varphi) = \boldsymbol{0}\) (verificada en D10; en general se deduce de la conmutatividad de las derivadas parciales):

\[ \boxed{\oint_C \nabla\varphi \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S \boldsymbol{0} \cdot d\boldsymbol{S} = 0} \]

\(\blacksquare\)

Demostración alternativa (método directo sin usar el teorema de Stokes): Parametrizamos \(C\) como \(\boldsymbol{r}(t)\) (\(t: a \to b\), \(\boldsymbol{r}(a) = \boldsymbol{r}(b)\)):

\[ \oint_C \nabla\varphi \cdot d\boldsymbol{r} = \int_a^b \nabla\varphi \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\, dt = \int_a^b \frac{d\varphi(\boldsymbol{r}(t))}{dt}\, dt = \varphi(\boldsymbol{r}(b)) - \varphi(\boldsymbol{r}(a)) = 0 \]

(Como la curva es cerrada, el punto inicial y el final coinciden.) Esta demostración alternativa no requiere el teorema de Stokes. ✓

(b) Un campo irrotacional posee un potencial escalar

Demostración:

Supongamos que \(\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\) se cumple en una región simplemente conexa \(D\).

Paso 1: Construcción de \(\varphi\)

Elegimos un punto fijo \(\boldsymbol{r}_0 \in D\) y para cualquier punto \(\boldsymbol{r} \in D\) definimos:

\[ \varphi(\boldsymbol{r}) = \int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}' \]

donde la integral se realiza a lo largo de cualquier curva dentro de \(D\) que vaya de \(\boldsymbol{r}_0\) a \(\boldsymbol{r}\).

Paso 2: Independencia del camino

Tomamos dos caminos \(C_1\) y \(C_2\) de \(\boldsymbol{r}_0\) a \(\boldsymbol{r}\). Conectando \(C_1\) con \(C_2^{-1}\) (el camino \(C_2\) recorrido en sentido inverso) obtenemos una curva cerrada \(C = C_1 + C_2^{-1}\). Como \(D\) es simplemente conexo, existe una superficie \(S \subset D\) cuyo borde es \(C\). Por el teorema de Stokes:

\[ \oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S} = \int_S \boldsymbol{0} \cdot d\boldsymbol{S} = 0 \]

Por lo tanto:

\[ \int_{C_1} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}' - \int_{C_2} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}' = 0 \]

Así, \(\varphi(\boldsymbol{r})\) está bien definida independientemente de la elección del camino.

Paso 3: Verificación de que \(\nabla\varphi = \boldsymbol{F}\)

Consideramos el camino recto de \(\boldsymbol{r}\) a \(\boldsymbol{r} + \delta\boldsymbol{r}\) (con \(\delta\boldsymbol{r} = \delta x\, \boldsymbol{e}_1\)):

\[ \varphi(\boldsymbol{r} + \delta x\, \boldsymbol{e}_1) - \varphi(\boldsymbol{r}) = \int_{\boldsymbol{r}}^{\boldsymbol{r} + \delta x\, \boldsymbol{e}_1} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}' \approx F_1(\boldsymbol{r})\, \delta x \]

Por lo tanto:

\[ \frac{\partial\varphi}{\partial x} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\varphi(\boldsymbol{r} + \delta x\, \boldsymbol{e}_1) - \varphi(\boldsymbol{r})}{\delta x} = F_1(\boldsymbol{r}) \]

De manera análoga para las componentes \(y\) y \(z\) se obtiene \(\frac{\partial\varphi}{\partial y} = F_2\), \(\frac{\partial\varphi}{\partial z} = F_3\), por lo que:

\[ \boxed{\nabla\varphi = \boldsymbol{F}} \]

\(\blacksquare\)

Nota: La hipótesis de conexión simple es esencial. Por ejemplo, en \(D = \mathbb{R}^3 \setminus \{z\text{-eje}\}\) (el espacio sin el eje \(z\)), el campo \(\boldsymbol{F} = \frac{1}{x^2+y^2}(-y, x, 0)\) satisface \(\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\), pero la integral de línea a lo largo de una curva cerrada que rodea el eje \(z\) vale \(2\pi \neq 0\), y no existe un potencial escalar global.

(c) Relación entre el teorema de Stokes y la curvatura

Discusión cualitativa:

El teorema de Stokes establece que la circulación (integral de línea) de un campo vectorial \(\boldsymbol{F}\) a lo largo de una curva cerrada \(C\) es igual a la integral de superficie de \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) sobre una superficie \(S\) cuyo borde es \(C\):

\[ \oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S} \]

En particular, para una curva cerrada infinitesimal (de área \(\delta A\) y normal \(\hat{\boldsymbol{n}}\)):

\[ \oint_{\delta C} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} \approx (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \hat{\boldsymbol{n}}\, \delta A \]

Es decir, \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) representa la "circulación por unidad de área".

En relatividad general, el tensor de curvatura \(R^\mu{}_{\nu\rho\sigma}\) desempeña un papel completamente análogo. Cuando un vector \(V^\mu\) se transporta paralelamente a lo largo de un paralelogramo infinitesimal cerrado (con lados \(\delta x^\rho\) y \(\delta x^\sigma\)), al completar el recorrido el vector experimenta un cambio. Dicho cambio viene dado por

\[\delta V^\mu = R^\mu{}_{\nu\rho\sigma}\,V^\nu\,\delta x^\rho\,\delta x^\sigma \]

Esto puede considerarse como la versión del teorema de Stokes en relatividad general:

Análisis vectorial (\(\mathbb{R}^3\)) Relatividad general (espacio-tiempo curvo)
Circulación del campo vectorial \(\boldsymbol{F}\) Cambio del vector \(V^\mu\) por transporte paralelo
Rotacional \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) Tensor de curvatura de Riemann \(R^\mu{}_{\nu\rho\sigma}\)
Área de la curva cerrada infinitesimal \(\delta A\) Área del paralelogramo infinitesimal \(\delta x^\rho \wedge \delta x^\sigma\)
  • En un espacio plano (\(R^\mu{}_{\nu\rho\sigma} = 0\)), el transporte paralelo no depende del camino (circulación nula).
  • En un espacio curvo (\(R^\mu{}_{\nu\rho\sigma} \neq 0\)), el transporte paralelo depende del camino (circulación no nula).

Esta correspondencia muestra que el tensor de curvatura es la cantidad que mide la "no conmutatividad del transporte paralelo", lo cual es consistente con la derivación del tensor de Riemann estudiada en Cap. 12. \(\square\)