Capítulo 3 Teoría clásica de campos — Lagrangiano y teorema de Noether¶
Resumen de los capítulos anteriores:
En Cap. 2, repasamos la estructura básica de la relatividad especial. Confirmamos las transformaciones de Lorentz, los 4-vectores, la métrica de Minkowski \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\), y el requisito de que las leyes físicas deben ser covariantes bajo Lorentz. También nos familiarizamos con el sistema de unidades naturales \(\hbar = c = 1\), la 4-derivada \(\partial_\mu\) y la convención de suma de Einstein.
Objetivos de este capítulo
- Introducir la densidad lagrangiana de campos \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) y derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos a partir del principio de mínima acción
- Demostrar el teorema de Noether y confirmar que "si hay una simetría continua, hay una cantidad conservada" con ejemplos concretos (traslación espacio-temporal → conservación de energía-momento, transformación de fase interna → conservación de carga)
- Finalmente, presentar los lagrangianos de los campos de Klein-Gordon, Dirac y Maxwell, preparando el terreno para la cuantización en los capítulos siguientes
3.1 De la mecánica de partículas a la mecánica de campos¶
🟡 Lina: Bien, en el capítulo anterior reunimos las herramientas de la relatividad especial. Hoy vamos a establecer el lenguaje de la "mecánica de campos". En Mecánica Cuántica Cap. 26 aprendiste la profunda relación entre simetrías y leyes de conservación, ¿verdad? Hoy extenderemos eso al mundo de los "campos".
🔵 Kai: En mecánica cuántica trabajábamos con la función de onda de una partícula \(\psi(\mathbf{x}, t)\), pero ¿en qué se diferencia la "mecánica de campos"?
🟡 Lina: Buena pregunta. En mecánica cuántica, las variables dinámicas eran las posiciones de las partículas \(q_i(t)\). Los grados de libertad eran finitos — en tres dimensiones, 3. Pero un "campo" es una cantidad que tiene un valor en todos los puntos del espacio. Es decir, tiene infinitos grados de libertad continuos. Por ejemplo, una distribución de temperatura \(T(\mathbf{x}, t)\), donde a cada punto del espacio le corresponde un valor numérico (una cantidad que solo tiene magnitud pero no dirección), es un "campo escalar" — un campo donde a cada punto le corresponde un escalar (simplemente un número). Por otro lado, algo como el campo eléctrico \(\mathbf{E}(\mathbf{x}, t)\), donde a cada punto le corresponde un vector (una cantidad con magnitud y dirección), se llama "campo vectorial".
⚪ Mei: Ya veo. Los campos se distinguen entre campos escalares y campos vectoriales. La temperatura es un campo escalar, el campo eléctrico es un campo vectorial.
🟡 Lina: Exacto. Resumamos la correspondencia entre la mecánica de partículas y la teoría de campos en una tabla.
Tabla 3.1: Correspondencia básica entre mecánica de partículas y teoría de campos
| Mecánica de partículas | Teoría de campos | |
|---|---|---|
| Variables dinámicas | \(q_1(t), q_2(t), \ldots, q_N(t)\) | \(\phi_a(\mathbf{x}, t)\) |
| Número de grados de libertad | Finito (\(N\)) | Infinito continuo |
| Etiqueta | Índice discreto \(i = 1, \ldots, N\) | Coordenada espacial continua \(\mathbf{x}\) y \(a\) discreto |
🔵 Kai: Como hay un grado de libertad en cada punto del espacio, resultan infinitos. ¿Es como imaginar que cada punto de una lámina de goma puede vibrar independientemente hacia arriba y abajo? Pero "infinitos grados de libertad" suena aterrador, como si los cálculos fueran a explotar...
🟡 Lina: Buena preocupación. De hecho, tratar con infinitos grados de libertad genera un problema de "divergencias" más adelante — lo abordaremos de frente a partir de Cap. 8. Pero por ahora no te preocupes. La fortaleza del formalismo lagrangiano es que funciona igual tanto para un número finito como infinito de grados de libertad. Como imagen, la mecánica de partículas es como seguir el movimiento de una "canica" sobre una lámina. La teoría de campos describe la vibración de la lámina misma. Mira Fig. 3.1「Límite de un sistema discreto a un campo continuo」 — ilustra el límite desde un sistema discreto de resortes y masas hasta un campo continuo.
✅ Verificación de comprensión: ¿En qué se diferencia el número de grados de libertad de las variables dinámicas entre la mecánica de partículas y la teoría de campos?
Respuesta
En la mecánica de partículas, los grados de libertad de las variables dinámicas \(q_i(t)\) son finitos (\(N\)), pero en la teoría de campos, como el campo \(\phi(\mathbf{x}, t)\) tiene un valor en cada punto del espacio, los grados de libertad son infinitos continuos. El índice discreto \(i\) se reemplaza por la coordenada espacial continua \(\mathbf{x}\).
Fig. 3.1: Límite de un sistema discreto a un campo continuo. Desde un sistema discreto (masas conectadas por resortes, \(N\) grados de libertad) hasta un campo continuo \(\phi(x, t)\) (infinitos grados de libertad continuos). Se muestra cómo el índice discreto \(i\) se reemplaza por la coordenada continua \(x\).
Introducción de la densidad lagrangiana¶
🟡 Lina: En la mecánica de partículas, definíamos el lagrangiano \(L(q, \dot{q}) = T - V\) y derivábamos las ecuaciones de movimiento minimizando (más precisamente, haciendo estacionaria) la acción \(S = \int dt \, L\). En la teoría de campos usamos exactamente la misma idea.
Primero, el lagrangiano de la teoría de campos se escribe así:
Aquí el índice \(a\) es una etiqueta que distingue el tipo (componente) del campo. Por ejemplo, si solo hay un campo escalar, \(a\) toma un solo valor y se puede omitir. Si hay varios campos escalares reales \(\phi_1, \phi_2, \ldots\), entonces \(a = 1, 2, \ldots\). En el caso del potencial del campo electromagnético \(A_\mu\), que tiene 4 componentes, formalmente se puede considerar que \(a\) toma 4 valores — aunque en este caso \(a\) está vinculado a las direcciones espacio-temporales (índice de Lorentz), por lo que las componentes se mezclan bajo transformaciones de Lorentz, lo cual es diferente de una simple "numeración". Por ahora solo recuerda que "\(a\) es una etiqueta que distingue las componentes del campo". Explicaré esa distinción con más detalle cuando tratemos el campo de Maxwell.
🔵 Kai: ¿Qué es \(\mathcal{L}\)? ¿Es diferente de \(L\)?
🟡 Lina: \(\mathcal{L}\) se llama densidad lagrangiana y es el "lagrangiano por unidad de volumen". Es la misma idea que la densidad de masa \(\rho\) siendo la "masa por unidad de volumen". Al integrar sobre todo el espacio, se obtiene el lagrangiano total \(L\).
⚪ Mei: Es decir, la relación entre \(L\) y \(\mathcal{L}\) tiene la misma estructura que la relación entre la masa \(M\) y la densidad de masa \(\rho\): \(M = \int d^3x \, \rho\).
🟡 Lina: Así es. Sin embargo, los físicos son perezosos y a menudo llaman a \(\mathcal{L}\) simplemente "lagrangiano". Juzga por el contexto.
Y la acción (action) \(S\) es la integral de la densidad lagrangiana sobre todo el espacio-tiempo 4-dimensional:
Aquí \(d^4x = dt \, d^3x\) es el elemento de volumen 4-dimensional.
🔵 Kai: ¿\(\mathcal{L}\) solo depende de \(\phi_a\) y \(\partial_\mu \phi_a\)? ¿No entran derivadas de segundo orden \(\partial_\mu \partial_\nu \phi\)?
🟡 Lina: Muy agudo. Aquí asumimos que \(\mathcal{L}\) solo depende del campo y de su derivada de primer orden. Es el mismo espíritu que en la mecánica de partículas, donde \(L(q, \dot{q})\) no depende de \(\ddot{q}\). Si incluimos derivadas de segundo orden o superiores, surge un problema llamado inestabilidad de Ostrogradsky, donde la energía no está acotada por debajo — es decir, el sistema puede caer a estados de energía arbitrariamente bajos, por lo que no existe un "estado fundamental" estable. Es como una pelota cayendo eternamente en un pozo sin fondo, lo cual es físicamente absurdo.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la razón física por la que la densidad lagrangiana no debe depender de derivadas del campo de segundo orden o superiores?
Respuesta
En un lagrangiano que contiene derivadas de segundo orden o superiores, surge la inestabilidad de Ostrogradsky y la energía no está acotada por debajo (existen estados de energía arbitrariamente bajos). Esto significa una teoría físicamente inestable, por lo que se asume que \(\mathcal{L}\) solo depende del campo y de su derivada de primer orden.
⚪ Mei: Resumiendo la correspondencia con la mecánica de partículas:
Tabla 3.2: Comparación del lagrangiano y la acción entre partículas y campos
| Mecánica de partículas | Teoría de campos | |
|---|---|---|
| Lagrangiano | \(L(q, \dot{q})\) | \(L = \int d^3x \, \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)\) |
| Acción | \(S = \int dt \, L\) | \(S = \int d^4x \, \mathcal{L}\) |
| Derivadas de las que depende | Hasta \(\dot{q}\) (primer orden) | Hasta \(\partial_\mu \phi\) (primer orden) |
🟡 Lina: Organización perfecta. Déjame decir otra cosa importante: en la teoría cuántica de campos, el principio básico es construir la densidad lagrangiana \(\mathcal{L}\) como un escalar de Lorentz (una cantidad cuyo valor no cambia bajo transformaciones de Lorentz). De esta manera, se obtiene una teoría con la misma forma vista desde cualquier sistema de referencia inercial. Este es el método para satisfacer el requisito de invariancia de Lorentz que aprendimos en Cap. 2.
✅ Verificación de comprensión: Explica la relación entre la densidad lagrangiana \(\mathcal{L}\) y el lagrangiano \(L\) usando la analogía con la densidad de masa.
Respuesta
Así como al integrar la densidad de masa \(\rho\) sobre todo el espacio se obtiene la masa total \(M = \int d^3x\,\rho\), al integrar la densidad lagrangiana \(\mathcal{L}\) sobre todo el espacio se obtiene el lagrangiano \(L = \int d^3x\,\mathcal{L}\). \(\mathcal{L}\) es el "lagrangiano por unidad de volumen".
3.2 Principio de mínima acción y ecuaciones de Euler-Lagrange para campos¶
🟡 Lina: En la mecánica de partículas, la trayectoria \(q(t)\) que hace estacionaria la acción \(S\) es el movimiento que se realiza físicamente. En la teoría de campos usamos exactamente la misma idea. Deformamos infinitesimalmente la configuración del campo \(\phi_a(x)\) y exigimos \(\delta S = 0\). En Fig. 3.2「Imagen del principio variacional: mecánica de partículas (izquierda) y teoría de campos (derecha)」 he dibujado las variaciones de la mecánica de partículas y la teoría de campos lado a lado, así que compáralas.
Fig. 3.2: Imagen del principio variacional: mecánica de partículas (izquierda) y teoría de campos (derecha). En mecánica de partículas se deforma infinitesimalmente la trayectoria \(q(t)\) manteniendo fijos los extremos. En teoría de campos se deforma infinitesimalmente la configuración del campo \(\phi(x)\) con \(\delta\phi = 0\) en la frontera del espacio-tiempo. En ambos casos se exige \(\delta S = 0\) para derivar las ecuaciones de movimiento.
🔵 Kai: ¿Qué significa concretamente "deformar el campo infinitesimalmente"?
🟡 Lina: Se desplaza ligeramente el campo \(\phi_a(x)\) a \(\phi_a(x) + \delta\phi_a(x)\). Sin embargo, en la frontera del espacio-tiempo (infinito o tiempos inicial y final) se impone \(\delta\phi_a = 0\). Es decir, se mantienen fijos los extremos y solo se cambia la forma intermedia.
Entonces procedamos con la derivación. La variación de la acción es:
⚪ Mei: Esta es la fórmula del diferencial total de una función de varias variables. Como \(\mathcal{L}\) depende de "dos variables" \(\phi_a\) y \(\partial_\mu \phi_a\), se suman las contribuciones por la variación de cada una.
🔵 Kai: Espera un momento. \(\partial_\mu\phi\) se puede calcular a partir de \(\phi\), ¿por qué se puede tratar como una "variable independiente"?
🟡 Lina: Buena pregunta. Es la misma idea que cuando calculamos derivadas parciales de \(L(q, \dot{q})\) en mecánica de partículas. \(\dot{q}\) es la derivada temporal de \(q(t)\), así que debería estar determinada por \(q\), pero cuando calculamos la derivada parcial \(\frac{\partial L}{\partial q}\), convenimos en "mantener \(\dot{q}\) fija y mover solo \(q\)". Del mismo modo, cuando calculamos \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_a}\), "mantenemos \(\partial_\mu\phi_a\) fija y movemos solo \(\phi_a\)". Esto es un convenio procedimental del cálculo, y después de sustituir en la ecuación de Euler-Lagrange, la relación entre \(\partial_\mu\phi\) y \(\phi\) se recupera correctamente, así que no te preocupes.
🟡 Lina: Exacto. Lo importante aquí es que el orden de la variación \(\delta\) y la derivada \(\partial_\mu\) se puede intercambiar:
Esto significa que "tomar la variación infinitesimal y luego derivar" es lo mismo que "derivar y luego tomar la variación infinitesimal".
🔵 Kai: Ya veo, \(\delta\) es la operación de "desplazar un poco" y \(\partial_\mu\) es la operación de "derivar", así que da igual cuál se haga primero.
🟡 Lina: Así es. Ahora aplicamos integración por partes al segundo término de la ecuación (3.3). Es la versión 4-dimensional de la integración por partes en una variable \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).
La idea es la siguiente. Usando la regla del producto (regla de Leibniz) \(\partial_\mu(fg) = (\partial_\mu f)g + f(\partial_\mu g)\), se transforma como \(f(\partial_\mu g) = \partial_\mu(fg) - (\partial_\mu f)g\). Aquí hacemos \(f = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\), \(g = \delta\phi_a\):
🔵 Kai: ¿Qué es el último término?
🟡 Lina: El último término es una divergencia total. Recuerda el caso de una variable. \(\int_a^b \frac{d}{dx}[f(x)]\,dx = f(b) - f(a)\), y la integral de una derivada total solo depende de los valores en los extremos, ¿verdad? En 4 dimensiones ocurre lo mismo. Usando el teorema de Gauss (teorema de la divergencia) 4-dimensional, \(\int d^4x\,\partial_\mu(\cdots)\) se transforma en una integral de superficie sobre la "frontera" del espacio-tiempo. Y como hemos impuesto \(\delta\phi_a = 0\) en la frontera, este término se anula.
Por lo tanto:
🔵 Kai: \(\delta S = 0\) significa que toda esta integral es cero. Pero \(\delta\phi_a\) es arbitraria, así que... ¿acaso el contenido del corchete mismo tiene que ser cero?
🟡 Lina: ¡Exactamente! Si el contenido del corchete no fuera cero en algún punto, podríamos elegir una variación con \(\delta\phi_a \neq 0\) solo alrededor de ese punto y obtendríamos \(\delta S \neq 0\) — contradiciendo "\(\delta S = 0\) para todo \(\delta\phi_a\) arbitrario". Por lo tanto, el contenido del corchete debe ser cero en cada punto. Así se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos:
Fig. 3.3: Derivación de las ecuaciones de movimiento del campo a partir del principio de mínima acción. Flujo de la derivación: densidad lagrangiana → acción → principio variacional → ecuaciones de Euler-Lagrange. La clave es la integración por partes y la eliminación del término de superficie.
🔵 Kai: ¡Oh! ¡Es muy parecida a la ecuación de Euler-Lagrange de la mecánica de partículas \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\)!
🟡 Lina: Es exactamente su extensión natural. Resumamos la correspondencia:
Tabla 3.3: Correspondencia de las ecuaciones de Euler-Lagrange entre partículas y campos
| Mecánica de partículas | Teoría de campos |
|---|---|
| \(\dfrac{d}{dt}\) | \(\partial_\mu\) (derivada temporal → derivada espacio-temporal) |
| \(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) | \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi_a)}\) |
| \(\dfrac{\partial L}{\partial q}\) | \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_a}\) |
⚪ Mei: La derivada temporal \(d/dt\) se reemplaza por la derivada 4-dimensional \(\partial_\mu\), y al sumar sobre \(\mu\) (convención de suma de Einstein), se incluyen derivadas no solo en la dirección temporal sino también en las direcciones espaciales.
✅ Verificación de comprensión: En la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos, ¿por qué se anula el "término de superficie" que aparece después de la integración por partes?
Respuesta
Porque se impone la condición de contorno de que la variación del campo \(\delta\phi_a\) es cero en la frontera del espacio-tiempo (en el infinito o en los tiempos inicial y final), de modo que el término convertido en integral de superficie mediante el teorema de Gauss se anula.
Ejemplo concreto: derivación de la ecuación de Klein-Gordon¶
🟡 Lina: Usemos enseguida la ecuación de Euler-Lagrange. Consideremos la siguiente densidad lagrangiana para un campo escalar real \(\phi(x)\):
🔵 Kai: ¿De dónde viene este lagrangiano? ¿Por qué tiene esta forma?
🟡 Lina: Muy buena pregunta. Hay 3 razones para elegir este lagrangiano:
- Es un escalar de Lorentz: \(\partial_\mu \phi \, \partial^\mu \phi\) no cambia de valor bajo transformaciones de Lorentz
- Solo contiene el campo y su derivada de primer orden: no contiene derivadas de segundo orden o superiores
- Es el más simple: es la combinación más sencilla de escalares de Lorentz que se pueden construir con \(\phi\) y \(\partial_\mu\phi\)
Veamos su estructura. Expandiendo usando el tensor métrico \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) que aprendimos en Cap. 2:
Por lo tanto:
🔵 Kai: Ah, al expandirlo se ve la estructura \(T - V\). \(\dot{\phi}^2\) es como la energía cinética, y el resto es como el potencial.
🟡 Lina: Exacto. Comparemos con \(L = T - V\) de la mecánica de partículas. \(\frac{1}{2}\dot{\phi}^2\) es un "término tipo energía cinética" relacionado con el cambio temporal del campo, y \(\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2\) es un "término tipo energía potencial" relacionado con la variación espacial del campo y el valor del campo mismo.
⚪ Mei: Ya veo, la estructura \(T - V\) de la mecánica de partículas se extiende directamente a los campos.
🟡 Lina: Así es. Ahora calculemos las derivadas parciales necesarias para la ecuación de Euler-Lagrange.
Paso 1: Derivada parcial respecto a \(\phi\)
En \(\mathcal{L}\), el único término que contiene \(\phi\) sin derivar es \(-\frac{1}{2}m^2\phi^2\). Por lo tanto:
Paso 2: Derivada parcial respecto a \(\partial_\mu \phi\)
Derivamos \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi \, \partial_\beta\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) respecto a \(\partial_\mu\phi\). Es la misma idea que \(\frac{d}{dv}\left(\frac{1}{2}v^2\right) = v\):
🔵 Kai: ¿Por qué el índice sube?
🟡 Lina: Al derivar \(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi \, \partial_\beta\phi\) respecto a \(\partial_\mu\phi\), el tensor métrico sube el índice. Escribiéndolo explícitamente:
Déjame complementar el cálculo intermedio. Aquí \(\delta^\mu_\alpha\) es la delta de Kronecker — vale 1 cuando \(\mu = \alpha\) y 0 en caso contrario. Derivar \(\partial_\beta\phi\) respecto a \(\partial_\mu\phi\) se entiende así: piensa en \(\partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi\) como 4 variables independientes. Por ejemplo, si tienes 4 variables \(x, y, z, w\), entonces \(\frac{\partial y}{\partial x} = 0\), \(\frac{\partial y}{\partial y} = 1\), ¿verdad? Del mismo modo, \(\frac{\partial(\partial_\beta\phi)}{\partial(\partial_\mu\phi)}\) es "1 solo cuando \(\beta = \mu\), 0 en caso contrario" — es decir, \(\delta^\mu_{\;\beta}\).
⚪ Mei: O sea que el tensor métrico sube el índice que queda gracias a la delta de Kronecker.
🟡 Lina: Exacto. La razón por la que \(\delta^\mu_{\;\beta}\) tiene \(\mu\) como superíndice es para ser consistente con la "operación de subir índices" que aprendimos en Cap. 2. Veámoslo concretamente. En el primer término, \(\delta^\mu_\alpha\) selecciona \(\alpha = \mu\), así que \(\eta^{\alpha\beta} \to \eta^{\mu\beta}\), y luego \(\eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi = \partial^\mu\phi\) (esta es la operación de "subir el índice con la métrica"). El segundo término es similar: \(\delta^\mu_\beta\) selecciona \(\beta = \mu\) y da \(\eta^{\alpha\mu}\partial_\alpha\phi = \partial^\mu\phi\). Que los dos términos den el mismo \(\partial^\mu\phi\) es gracias a la simetría del tensor métrico \(\eta^{\alpha\beta} = \eta^{\beta\alpha}\).
En resumen, al derivar con \(\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi)}\), el tensor métrico sube el índice restante, y el resultado es \(\partial^\mu\phi\) (con superíndice). Por ahora basta con entender que "con esta regla de cálculo sale \(\partial^\mu\phi\)".
Paso 3: Sustitución en la ecuación de Euler-Lagrange
Sustituyendo en la ecuación (3.7):
🔵 Kai: ¡Esta es la ecuación de Klein-Gordon que vimos en Mecánica Cuántica Cap. 27!
🟡 Lina: ¡Exacto! En Mecánica Cuántica Cap. 27, partimos de la relación relativista energía-momento \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) y la obtuvimos "reemplazando por operadores". Esta vez se ha derivado automáticamente a partir del lagrangiano. Escribámosla en una forma más familiar. Como \(\partial_\mu\partial^\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\):
Este \(\partial_\mu\partial^\mu\) se abrevia como \(\Box\) y se llama d'Alembertiano. Usando esto, la ecuación de Klein-Gordon se escribe compactamente como \((\Box + m^2)\phi = 0\). Y si hacemos \(m = 0\), obtenemos \(\Box\phi = 0\) — la ecuación de ondas ordinaria.
Lectura de la relación de dispersión¶
🟡 Lina: Probemos con una solución de onda plana de la ecuación de Klein-Gordon. Asumamos la forma \(\phi \propto e^{-iEt + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\). Aquí \(E\) y \(\mathbf{p}\) son parámetros constantes aún desconocidos — al sustituir en la ecuación veremos a qué corresponden.
Sustituyendo:
Si \(\phi \neq 0\):
🔵 Kai: ¡Es la relación energía-momento de Einstein misma! Incluir el término \(m^2\phi^2\) en el lagrangiano corresponde a darle masa \(m\) a la partícula.
🟡 Lina: Exacto. Si \(m = 0\), entonces \(E = |\mathbf{p}|\), que es la relación de dispersión para partículas sin masa como el fotón. Si \(m \neq 0\), incluso con \(|\mathbf{p}| = 0\) tenemos \(E = m \neq 0\) — existe la energía en reposo \(E = mc^2\) (en unidades naturales \(E = m\)).
✅ Verificación de comprensión: Escribe la ecuación de movimiento y su relación de dispersión derivadas de la densidad lagrangiana \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) (sin término \(m^2\)).
Respuesta
La ecuación de movimiento es \(\partial_\mu\partial^\mu\phi = 0\) (ecuación de ondas). La relación de dispersión es \(E^2 = |\mathbf{p}|^2\), es decir, \(E = |\mathbf{p}|\). Esto corresponde a una partícula sin masa.
3.3 Teorema de Noether — Derivando leyes de conservación a partir de simetrías¶
🟡 Lina: Ahora entramos en la parte central de este capítulo. En Mecánica Cuántica Cap. 26 aprendimos que "si hay una simetría, hay una cantidad conservada". Las correspondencias concretas que vimos fueron:
Tabla 3.4: Correspondencia entre simetrías y cantidades conservadas
| Simetría | Cantidad conservada |
|---|---|
| Invariancia bajo traslación espacial | Momento |
| Invariancia rotacional | Momento angular |
| Invariancia bajo traslación temporal | Energía |
Hoy vamos a demostrar matemáticamente esta relación en el contexto de la teoría de campos. Este es el teorema de Noether.
Fig. 3.4: Correspondencia entre simetrías y cantidades conservadas según el teorema de Noether — traslación espacio-temporal → energía-momento, rotación → momento angular, transformación de fase \(U(1)\) → carga (el caso \(U(1)\) se trata en detalle en la segunda mitad de este capítulo).
🔵 Kai: Es el teorema que demostró Emmy Noether.
🟡 Lina: Así es. Publicado en 1918, se considera uno de los teoremas más bellos y más prácticos de la física. He ilustrado la correspondencia entre simetrías y cantidades conservadas en Fig. 3.4「Correspondencia entre simetrías y cantidades conservadas según el teorema de Noether」, así que tenlo a la vista para captar la visión general mientras escuchas. Déjame enunciar primero la afirmación del teorema:
Teorema de Noether: Si la densidad lagrangiana \(\mathcal{L}\) es invariante bajo una cierta transformación continua, entonces existe una corriente conservada \(j^\mu\) asociada a esa transformación que satisface \(\partial_\mu j^\mu = 0\).
🔵 Kai: ¿Qué es una "corriente conservada"? "Corriente" se refiere a corriente eléctrica, ¿verdad? ¿Por qué sale una corriente de una simetría?
🟡 Lina: Si escribimos el significado de la ecuación \(\partial_\mu j^\mu = 0\) en componentes, lo verás claro:
🔵 Kai: ¡Ah, esta es la ecuación de continuidad! Es la misma forma que en electromagnetismo, donde la densidad de carga \(\rho\) y la densidad de corriente \(\mathbf{j}\) satisfacen \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\).
🟡 Lina: Exactamente. \(j^0\) se interpreta como "la densidad de algo" y \(\mathbf{j} = (j^1, j^2, j^3)\) como "el flujo de algo". Y la cantidad obtenida al integrar \(j^0\) sobre todo el espacio:
no cambia con el tiempo — es decir, es una cantidad conservada.
🔵 Kai: Que \(Q\) se conserve significa \(\frac{dQ}{dt} = 0\), ¿verdad? Pero si tomo la derivada temporal de \(Q = \int d^3x\,j^0\), obtengo \(\frac{dQ}{dt} = \int d^3x\,\frac{\partial j^0}{\partial t}\), y todavía no veo por qué esto es cero.
🟡 Lina: Sustituyendo la ecuación de continuidad \(\frac{\partial j^0}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{j}\), obtenemos \(\frac{dQ}{dt} = -\int d^3x\,\nabla\cdot\mathbf{j}\). Y esto se puede convertir en una integral de superficie usando el teorema de Gauss. \(\int d^3x\,\nabla\cdot\mathbf{j}\) es igual a la integral de superficie de \(\mathbf{j}\) sobre una esfera suficientemente grande, ¿verdad? Aquí usamos condiciones de contorno físicas. En teoría de campos imponemos que "la energía total del sistema sea finita". Intuitivamente, si el campo \(\phi\) no se aproximara a cero en el infinito, la densidad de energía \(T^{00} \sim \phi^2\) se extendería por todo el espacio y al integrar daría infinito — eso no es físicamente posible. Así que la condición de "energía finita" exige que el campo \(\phi\) y sus derivadas se aproximen a cero suficientemente rápido en el infinito. Entonces \(j^\mu\), que está construida a partir de \(\phi\) y sus derivadas, también decae en el infinito. Por lo tanto, si tomamos la esfera suficientemente grande, la integral de superficie es cero y se demuestra \(\frac{dQ}{dt} = 0\).
⚪ Mei: Es decir, la lógica es "campo de energía finita" → "el campo decae en el infinito" → "la integral de superficie es cero" → "\(Q\) se conserva".
Demostración del teorema de Noether¶
🟡 Lina: Entremos en la demostración. Supongamos que el campo \(\phi(x)\) sufre una transformación continua infinitesimal:
Entonces la variación de la densidad lagrangiana es:
🔵 Kai: Tiene la misma forma que la ecuación (3.3).
🟡 Lina: Sí. Aquí usamos un truco de manipulación algebraica. Primero, usamos \(\delta(\partial_\mu\phi) = \partial_\mu(\delta\phi)\). Luego, usando la regla del producto (regla de Leibniz) \(\partial_\mu(fg) = (\partial_\mu f)g + f(\partial_\mu g)\) transformada como \(f(\partial_\mu g) = \partial_\mu(fg) - (\partial_\mu f)g\), reescribimos el segundo término:
⚪ Mei: Ya veo, es simplemente despejar en la fórmula de la derivada del producto que se aprende en el instituto.
🟡 Lina: Exacto. Sustituyendo la ecuación (3.18) en la ecuación (3.17):
🔵 Kai: El contenido del primer corchete es... ¡Ah! ¡Es el lado izquierdo de la ecuación de Euler-Lagrange!
🟡 Lina: ¡Sí! Ese es el punto clave del teorema de Noether. Déjame aclarar un poco. Voy a hacer explícito qué difiere entre lo de antes y lo de ahora.
- Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange (lo que hicimos antes): \(\phi(x)\) es un campo desconocido cualquiera. Exigimos "\(\delta S = 0\) para todo \(\delta\phi\) arbitrario". Como \(\delta\phi\) puede ser cualquier cosa, el integrando mismo debe ser cero — así se derivan las ecuaciones de movimiento.
- Teorema de Noether (lo que estamos haciendo ahora): \(\phi(x)\) ya satisface las ecuaciones de movimiento — es decir, es una configuración de campo físicamente realizada. Sobre ella, aplicamos una variación \(\delta\phi\) específica (la transformación de simetría).
⚪ Mei: Aunque usamos la misma ecuación (3.19), las premisas son completamente diferentes. Antes era "consideramos \(\delta\phi\) arbitraria para derivar las ecuaciones", ahora es "sobre un campo que satisface las ecuaciones, consideramos una \(\delta\phi\) específica".
🟡 Lina: Exacto. Sobre un campo que satisface las ecuaciones de movimiento, el contenido del corchete (= lado izquierdo de la ecuación de Euler-Lagrange) es idénticamente cero sin importar qué sea \(\delta\phi\) — porque el contenido del corchete es una cantidad que no depende de \(\delta\phi\) (está escrita solo en términos de \(\phi\) y sus derivadas), y es cero por las ecuaciones de movimiento. Por lo tanto:
Ahora usamos la condición de simetría. Que "\(\mathcal{L}\) sea invariante bajo esta transformación" significa \(\delta\mathcal{L} = 0\). Por lo tanto:
🔵 Kai: ¡Guau, solo con esto sale la ley de conservación! El contenido del paréntesis es directamente la corriente conservada.
🟡 Lina: Es decir, si llamamos \(j^\mu\) al contenido del paréntesis: \(j^\mu \equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \, \delta\phi\) satisface \(\partial_\mu j^\mu = 0\) — esta es la corriente conservada.
⚪ Mei: Solo combinando la condición de simetría \(\delta\mathcal{L} = 0\) con las ecuaciones de movimiento, la ley de conservación sale automáticamente.
🟡 Lina: Exactamente así. Aquí es conveniente descomponer la transformación infinitesimal en "magnitud" y "dirección". Por ejemplo, si consideramos la transformación de fase \(\delta\phi = i\alpha\,\phi\), \(\alpha\) es la "magnitud" (cuánto rotar) e \(i\phi\) representa el "tipo de cambio" (en qué dirección cambia). Esto se escribe en general como \(\delta\phi = \epsilon \, D\phi\). \(\epsilon\) es un pequeño parámetro constante que representa "cuánto se transforma", y \(D\phi\) es "lo que queda al factorizar \(\epsilon\)" — es decir, la cantidad que representa "de qué forma cambia el campo".
🔵 Kai: ¿\(D\) tiene relación con la \(d\) de derivada?
🟡 Lina: Buena pregunta. Aquí \(D\) no es un operador diferencial, sino simplemente un símbolo que representa "lo que queda de \(\delta\phi\) después de factorizar el parámetro constante \(\epsilon\)". Es decir, de la ecuación de definición \(\delta\phi = \epsilon \times D\phi\) se determina \(D\phi \equiv \delta\phi / \epsilon\).
Confirmemos con el ejemplo de la transformación de fase: \(\delta\phi = i\alpha\,\phi\), así que \(\epsilon = \alpha\), \(D\phi = \delta\phi/\epsilon = i\phi\). Es decir, \(D\phi\) es "el campo \(\phi\) multiplicado por \(i\)" — el valor del campo multiplicado por una constante. La forma de \(D\phi\) cambia según el tipo de transformación. En la siguiente sección, al tratar la traslación espacio-temporal, aparecerá otra forma \(D\phi = \partial_\nu\phi\), así que lo confirmaremos de nuevo allí.
¿Por qué separar en \(\epsilon\) y \(D\phi\)? Porque en la ecuación (3.21), \(\partial_\mu\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \cdot \epsilon\,D\phi\right) = 0\), y como \(\epsilon\) es una constante, se puede sacar fuera de \(\partial_\mu\). Dividiendo ambos lados por \(\epsilon \neq 0\), la expresión de la corriente conservada se vuelve una forma universal que no depende del valor de \(\epsilon\) — es decir, la cantidad conservada se determina solo por el tipo de simetría, independientemente de "cuánto se transformó".
Escribiéndolo así, sustituimos \(\delta\phi\) por \(\epsilon\,D\phi\) en la ecuación (3.21): \(\partial_\mu\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \cdot \epsilon\,D\phi\right) = 0\). Como \(\epsilon\) es constante, no depende de \(x\), así que sale fuera de \(\partial_\mu\):
Dividiendo por \(\epsilon \neq 0\), podemos definir la corriente conservada \(j^\mu\) como:
Esta es la conclusión del teorema de Noether (para el caso \(\delta\mathcal{L} = 0\)).
Nota: Esta ecuación (3.22) se aplica directamente cuando \(\delta\mathcal{L} = 0\) (la densidad lagrangiana es completamente invariante) y el parámetro de transformación es una sola constante. La transformación de fase \(U(1)\) (\(\delta\phi = i\alpha\,\phi\), parámetro \(\alpha\) único, \(\delta\mathcal{L} = 0\)) que trataremos en la siguiente sección es exactamente este caso. En cambio, para las traslaciones espacio-temporales, \(\delta\mathcal{L} \neq 0\) (aunque resulta ser una divergencia total) y el parámetro tiene 4 componentes, así que se usa la generalización de la ecuación (3.25) que derivaremos en la siguiente 「Generalización: caso en que \(\delta\mathcal{L}\) es una divergencia total」 — lo veremos concretamente allí, así que por ahora solo recuerda que "la ecuación (3.22) es la forma básica para el caso \(\delta\mathcal{L} = 0\)".
La generalización para el caso en que \(\delta\mathcal{L} \neq 0\) pero es una divergencia total se trata justo después en 「Generalización: caso en que \(\delta\mathcal{L}\) es una divergencia total」.
🔵 Kai: Increíble... solo combinando la simetría (\(\delta\mathcal{L} = 0\)) y las ecuaciones de movimiento (Euler-Lagrange), sale la corriente conservada.
🟡 Lina: Sí. La belleza de esta demostración está en que dos condiciones independientes — "simetría" y "ecuaciones de movimiento" — convergen en una única conclusión: la ley de conservación.
Generalización: caso en que \(\delta\mathcal{L}\) es una divergencia total¶
🟡 Lina: En realidad, el teorema de Noether se puede usar incluso cuando \(\delta\mathcal{L} \neq 0\). Al considerar las traslaciones espacio-temporales en la siguiente sección, la densidad lagrangiana sí cambia (\(\delta\mathcal{L} \neq 0\)), pero si ese cambio tiene una forma especial, se puede derivar una ley de conservación — esa situación realmente aparece.
Concretamente, basta con que \(\delta\mathcal{L}\) tenga la forma de una divergencia 4-dimensional (divergencia total):
🔵 Kai: Si \(\delta\mathcal{L} \neq 0\), ¿se puede llamar "simetría"?
🟡 Lina: Buena duda. El punto es "si la acción \(S\) cambia o no". Transformando \(\delta S = \int d^4x\,\delta\mathcal{L} = \int d^4x\,\partial_\mu K^\mu\) con el teorema de Gauss, se convierte en una integral de superficie sobre la frontera del espacio-tiempo. Para dar una analogía con una integral en una variable, \(\int_a^b \frac{df}{dx}dx = f(b) - f(a)\): la integral de una derivada total solo depende de los valores en los extremos, ¿verdad? Lo mismo ocurre en 4 dimensiones. Bajo la condición de fijar los campos en la frontera (\(\delta\phi = 0\)), este término de superficie no contribuye a la derivación de las ecuaciones de movimiento. Es decir, si \(\delta\mathcal{L}\) es una divergencia total, aunque el valor de la densidad lagrangiana cambie, la física (las ecuaciones de movimiento) no cambia. A veces se llama cuasi-simetría (quasi-symmetry), pero no necesitas recordar el nombre. Lo importante es que "si \(\delta\mathcal{L}\) es una divergencia total, se puede usar el teorema de Noether".
⚪ Mei: Entiendo. \(\delta\mathcal{L} = 0\) es "la densidad no cambia", \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\) es "la densidad cambia pero la acción (la integral total) no cambia" — ambos son físicamente equivalentes.
🟡 Lina: En este caso, el lado izquierdo de la ecuación (3.20) y el lado derecho de la ecuación (3.23) son ambos iguales a \(\delta\mathcal{L}\), así que:
Tomando la diferencia de ambos lados y factorizando \(\partial_\mu\):
Así que la corriente conservada es:
⚪ Mei: En el caso de las traslaciones espacio-temporales, \(\delta\mathcal{L} \neq 0\) pero sí es una divergencia total, así que se necesita esta generalización.
🟡 Lina: Exacto. Veamos ejemplos concretos.
✅ Verificación de comprensión: En la demostración del teorema de Noether, ¿cuál es el papel que desempeñan las ecuaciones de Euler-Lagrange? Descríbelo en una frase.
Respuesta
Al cumplirse las ecuaciones de Euler-Lagrange, el "término de las ecuaciones de movimiento" se anula en la expresión de \(\delta\mathcal{L}\), y el término de divergencia total restante proporciona la condición de divergencia cero de la corriente conservada \(\partial_\mu j^\mu = 0\).
3.4 Ejemplo concreto ① — Invariancia bajo traslación espacio-temporal y tensor energía-momento¶
🟡 Lina: Como primer ejemplo concreto, consideremos la invariancia bajo traslaciones espacio-temporales. Es la transformación que desplaza las coordenadas espacio-temporales como \(x^\mu \to x^\mu + \epsilon^\mu\) (\(\epsilon^\mu\) es un vector constante infinitesimal).
🔵 Kai: Es la suposición de que "las leyes de la física son las mismas en cualquier lugar y en cualquier momento del universo".
🟡 Lina: Así es. ¿Cómo cambia el campo bajo esta transformación? Como el campo \(\phi(x)\) es una función del espacio-tiempo, cuando la coordenada se desplaza a \(x^\mu + \epsilon^\mu\):
Es el término de primer orden de la expansión de Taylor. Por lo tanto:
Comparando con la descomposición general \(\delta\phi = \epsilon\,D\phi\), en las traslaciones espacio-temporales \(\epsilon^\nu\) es el parámetro y \(D\phi = \partial_\nu\phi\).
⚪ Mei: Ya veo, en el caso \(U(1)\) era \(D\phi = i\phi\), pero en las traslaciones espacio-temporales es \(D\phi = \partial_\nu\phi\). La afirmación de que la forma de \(D\phi\) cambia según el tipo de transformación se ve concretamente aquí.
🟡 Lina: A continuación, consideremos la variación de la densidad lagrangiana. \(\mathcal{L}\) no depende explícitamente de las coordenadas \(x^\mu\) — es decir, tiene la forma \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\), donde \(x\) no aparece directamente como argumento. Pero como \(\phi(x)\) es función de \(x\), \(\mathcal{L}\) también depende indirectamente de \(x\).
Calculemos \(\delta\mathcal{L}\) de dos maneras diferentes.
Cuando la coordenada se desplaza \(x^\mu \to x^\mu + \epsilon^\mu\), ¿cómo cambia el valor de \(\mathcal{L}\)? Aunque \(\mathcal{L}\) no tiene \(x\) como argumento directo, depende indirectamente de \(x\) a través de \(\phi(x)\). Calculando por la regla de la cadena (derivada de función compuesta): los argumentos \(\phi\) y \(\partial_\mu\phi\) de \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) cambian respectivamente en \(\delta\phi = \epsilon^\nu\partial_\nu\phi\) y \(\delta(\partial_\mu\phi) = \epsilon^\nu\partial_\nu(\partial_\mu\phi)\). Confirmemos la segunda expresión. Derivando ambos lados de \(\delta\phi = \epsilon^\nu\partial_\nu\phi\) con \(\partial_\mu\): \(\partial_\mu(\delta\phi) = \partial_\mu(\epsilon^\nu\partial_\nu\phi) = \epsilon^\nu\partial_\mu\partial_\nu\phi\) (\(\epsilon^\nu\) es constante así que sale fuera de \(\partial_\mu\)). Y como el orden de las derivadas parciales se puede intercambiar (\(\partial_\mu\partial_\nu\phi = \partial_\nu\partial_\mu\phi\), esto se cumple siempre que la función sea suficientemente suave): \(\epsilon^\nu\partial_\mu\partial_\nu\phi = \epsilon^\nu\partial_\nu(\partial_\mu\phi)\). Por otro lado, como confirmamos en la ecuación (3.4), \(\delta(\partial_\mu\phi) = \partial_\mu(\delta\phi)\), así que finalmente obtenemos \(\delta(\partial_\mu\phi) = \epsilon^\nu\partial_\nu(\partial_\mu\phi)\). Resumiendo todo:
El contenido del paréntesis del lado derecho es exactamente la tasa de variación total \(\partial_\nu\mathcal{L}\) cuando se ve \(\mathcal{L}\) como función compuesta de \(x^\nu\). Esto coincide con el resultado de la regla de la cadena: \(\partial_\nu\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\partial_\nu\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu(\partial_\mu\phi)\). Por lo tanto:
🔵 Kai: Es decir, aunque decimos "\(\mathcal{L}\) no depende explícitamente de \(x\)", como \(\phi(x)\) sí depende de \(x\), \(\partial_\nu\mathcal{L}\) puede ser distinto de cero a través de esa dependencia indirecta.
🟡 Lina: Exacto. Aquí \(\partial_\nu\mathcal{L}\) es "la tasa de variación total de \(\mathcal{L}\) vista como función de \(x^\nu\)" — una derivada indirecta a través de la dependencia de \(\phi\) y \(\partial_\mu\phi\) en \(x\). Que "\(\mathcal{L}\) no dependa explícitamente de \(x\)" y que \(\partial_\nu\mathcal{L} \neq 0\) puede parecer contradictorio, pero como \(\phi(x)\) es función de \(x\), \(\mathcal{L}(\phi(x), \partial_\mu\phi(x))\) varía indirectamente a través de \(x\). El cálculo con la regla de la cadena de arriba es precisamente lo que rastrea esa dependencia indirecta.
Ahora, para sustituir en la ecuación (3.25), necesitamos la forma \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\). Usando la regla del producto: \(\partial_\nu(\epsilon^\nu\mathcal{L}) = (\partial_\nu\epsilon^\nu)\mathcal{L} + \epsilon^\nu\partial_\nu\mathcal{L}\), pero como \(\epsilon^\nu\) es constante (no depende de \(x\)), \(\partial_\nu\epsilon^\nu = 0\). Por lo tanto \(\epsilon^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = \partial_\nu(\epsilon^\nu\mathcal{L})\). Como \(\nu\) en \(\partial_\nu(\epsilon^\nu\mathcal{L})\) aparece una vez arriba y una vez abajo y se suma (es un índice mudo), podemos cambiar su nombre a \(\mu\) sin alterar el valor:
Con esto tenemos la forma \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\), con \(K^\mu = \epsilon^\mu\mathcal{L}\).
Sin embargo, en el siguiente paso (ecuación (3.29)) queremos factorizar \(\epsilon^\nu\) como factor común. En \(\delta\phi = \epsilon^\nu \partial_\nu\phi\) ya aparece \(\epsilon^\nu\), ¿verdad? Queremos que \(K^\mu\) también tenga \(\epsilon^\nu\) con el mismo índice \(\nu\).
Para ello usamos la reescritura idéntica \(\epsilon^\mu = \epsilon^\nu\delta^\mu_\nu\). Esto es "sumar sobre \(\nu\), pero \(\delta^\mu_\nu\) selecciona solo \(\nu = \mu\) así que se recupera \(\epsilon^\mu\)" — una reescritura que no cambia el valor en absoluto. Confirmando con un ejemplo concreto: cuando \(\mu = 2\), \(\epsilon^\nu\delta^2_\nu = \epsilon^0 \cdot 0 + \epsilon^1 \cdot 0 + \epsilon^2 \cdot 1 + \epsilon^3 \cdot 0 = \epsilon^2\) — efectivamente es lo mismo.
Así, reescribiendo \(K^\mu = \epsilon^\nu\delta^\mu_{\ \nu}\mathcal{L}\), tanto \(\delta\phi\) como \(K^\mu\) tienen \(\epsilon^\nu\) como factor común, y se pueden factorizar limpiamente en la ecuación (3.29).
🔵 Kai: Como \(\delta\mathcal{L} \neq 0\) pero tiene la forma de una divergencia total, se puede usar la generalización de la ecuación (3.25).
🟡 Lina: Exacto. Sustituyamos en la ecuación (3.25). Como \(\delta\phi = \epsilon^\nu \partial_\nu\phi\):
Sustituyendo \(j^\mu = \epsilon^\nu[\cdots]\) en la ley de conservación \(\partial_\mu j^\mu = 0\), obtenemos \(\epsilon^\nu\,\partial_\mu[\cdots] = 0\) (\(\epsilon^\nu\) es constante y sale fuera de \(\partial_\mu\)). Lo importante aquí es que \(\epsilon^\nu\) es un parámetro arbitrario que representa "en qué dirección y cuánto desplazar". Ya sea que desplacemos en la dirección temporal, en la dirección \(x\), o en cualquier dirección, las leyes de la física no deberían cambiar — así que la igualdad anterior debe cumplirse para cualquier elección de \(\epsilon^\nu\). Si elegimos \(\epsilon^\nu = (1,0,0,0)\), el corchete para \(\nu = 0\) debe ser cero; si elegimos \((0,1,0,0)\), el corchete para \(\nu = 1\) debe ser cero, ... y así, para cada \(\nu\) independientemente, la divergencia del contenido del corchete debe ser cero.
🔵 Kai: Entiendo, \(\epsilon^\nu\) es un parámetro que elige "en qué dirección desplazar", y como la ley de conservación debe cumplirse para cualquier dirección, salen 4 leyes de conservación independientes, una para cada dirección.
🟡 Lina: Exacto. Entonces definimos el tensor energía-momento (energy-momentum tensor) \(T^\mu_{\ \nu}\):
La ley de conservación es:
⚪ Mei: Como \(\nu\) puede tomar 4 valores, hay 4 leyes de conservación. ¿A qué corresponde cada una?
🟡 Lina: Buena pregunta. Recuerda la correspondencia que aprendimos en Mecánica Cuántica Cap. 26 — la traslación temporal corresponde a la conservación de energía y la traslación espacial a la conservación del momento. Aquí es lo mismo: \(\nu = 0\) corresponde a la conservación de energía (traslación temporal), y \(\nu = 1, 2, 3\) a la conservación del momento (traslación espacial). Subiendo el índice \(\nu\) con el tensor métrico \(\eta^{\nu\alpha}\) en la ecuación (3.30), definimos el tensor con ambos índices arriba \(T^{\mu\nu} = \eta^{\nu\alpha}T^\mu_{\ \alpha}\):
Veamos cada término concretamente. El primer término: \(\eta^{\nu\alpha}\partial_\alpha\phi = \partial^\nu\phi\) (es exactamente la definición de subir un índice). El segundo término: \(\eta^{\nu\alpha}\delta^\mu_{\ \alpha} = \eta^{\nu\mu}\). Como el tensor métrico es simétrico (\(\eta^{\nu\mu} = \eta^{\mu\nu}\)), resulta \(\eta^{\mu\nu}\). Por lo tanto:
🔵 Kai: De un solo lagrangiano salen las 4 leyes de conservación de energía y momento juntas...
🟡 Lina: Cabe señalar que este tensor canónico de energía-momento no es necesariamente simétrico (\(T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu}\)) en general. Para el campo de Klein-Gordon, mirando la ecuación (3.36): \(T^{\mu\nu} = \partial^\mu\phi\,\partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}\), el primer término es simétrico al intercambiar \(\mu\) y \(\nu\) (el producto de escalares no depende del orden), y el segundo también lo es porque \(\eta^{\mu\nu} = \eta^{\nu\mu}\). Pero para campos con espín puede ser asimétrico. El procedimiento de simetrización (método de Belinfante) lo mencionaremos más adelante según sea necesario.
Concretamente:
- Cuando \(\nu = 0\): \(\partial_\mu T^{\mu 0} = 0\) → Conservación de energía
Para el campo de Klein-Gordon (ecuación (3.8)), poniendo \(\mu = \nu = 0\) en la ecuación (3.32): \(T^{00} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\,\partial^0\phi - \eta^{00}\mathcal{L}\). Aquí \(\partial^0 = \eta^{00}\partial_0 = (+1)\partial_0 = \frac{\partial}{\partial t}\), así que \(\partial^0\phi = \dot{\phi}\). También, por la ecuación (3.10b), \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)} = \partial^0\phi = \dot{\phi}\), y \(\eta^{00} = +1\). Por lo tanto:
Sustituyendo \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) de la ecuación (3.9): \(T^{00} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2\). Como todos los términos son cuadráticos, se puede ver que la densidad de energía es no negativa.
- Cuando \(\nu = i\) (\(i = 1,2,3\)): \(\partial_\mu T^{\mu i} = 0\) → Conservación del momento
En la segunda igualdad hemos usado \(\eta^{0i} = 0\) (los elementos no diagonales de la métrica de Minkowski son cero).
Confirmemos aquí la operación de subir el índice. \(\partial^i\phi = \eta^{i\mu}\partial_\mu\phi\), y el lado derecho se suma sobre \(\mu\) (porque \(\mu\) aparece una vez arriba y una vez abajo, se aplica la convención de suma de Einstein). Expandiendo: el término \(\mu = 0\) es \(\eta^{i0}\partial_0\phi = 0\) (los elementos no diagonales de la métrica son cero), los términos \(\mu = j\) (\(j \neq i\)) también dan \(\eta^{ij} = 0\) y se anulan. Solo queda el término \(\mu = i\): \(\eta^{ii}\partial_i\phi = (-1)\partial_i\phi = -\partial_i\phi\).
Es decir, en nuestra convención de signos \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\), subir un índice espacial invierte el signo: \(\partial^i = -\partial_i\). La componente temporal es \(\partial^0 = \eta^{00}\partial_0 = +\partial_0\) sin cambio de signo. Esta asimetría viene únicamente de la convención de signos de la métrica y no tiene significado físico.
Aquí podrías preguntarte "¿\(\eta^{ii}\) no suma sobre \(i\)?". El \(i\) en \(T^{0i}\) es un índice libre (el índice que "especifica qué componente queremos"), así que no se suma. \(\eta^{ii}\) significa "leer directamente la componente diagonal \((i, i)\) del tensor métrico" — por ejemplo, si \(i = 1\) entonces \(\eta^{11} = -1\).
Por lo tanto, para el campo de Klein-Gordon: \(T^{0i} = \dot{\phi}\,\partial^i\phi = \dot{\phi}\cdot(-\partial_i\phi) = -\dot{\phi}\,\partial_i\phi\) (usando \(\partial^i = -\partial_i\)). El momento total es \(P^i = \int d^3x\,T^{0i} = -\int d^3x\,\dot{\phi}\,\partial_i\phi\).
🔵 Kai: Hay un signo menos, pero ¿eso significa que el momento es negativo?
🟡 Lina: Buena pregunta. Para adelantar la conclusión, el signo es correcto. La fuente de confusión es "si el índice está arriba o abajo".
De la ecuación (3.32): \(T^{0i} = \dot{\phi}\,\partial^i\phi\), y como \(\partial^i = -\partial_i\), se escribe \(T^{0i} = -\dot{\phi}\,\partial_i\phi\). El signo menos es un reflejo de la convención de signos de la métrica (\(\eta^{ii} = -1\)), no un problema físico.
Confirmemos concretamente en una dimensión. Si \(\phi = A\cos(Et - px)\), entonces \(\dot{\phi} = -AE\sin(Et - px)\), \(\partial_1\phi = Ap\sin(Et - px)\), así que \(T^{01} = -\dot{\phi}\,\partial_1\phi = A^2 Ep\sin^2(Et - px)\). El promedio temporal da \(\langle T^{01}\rangle = \frac{1}{2}A^2 Ep > 0\). La onda se propaga en la dirección \(+x\), así que la densidad de momento \(T^{01}\) es positiva — apunta en la dirección físicamente correcta.
🔵 Kai: Ya veo, aunque la fórmula de \(T^{0i}\) tiene un signo menos, al calcular concretamente da un valor positivo en la dirección de propagación de la onda. La convención de signos de la métrica ajusta las cuentas internamente.
⚪ Mei: Para leer la dirección física basta con mirar las componentes contravariantes \(P^i\).
🟡 Lina: Dejemos los signos por ahora y veamos un poco más la estructura de la ecuación (3.32). Poniendo \(\mu = \nu = 0\) en \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}\), obtenemos \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\dot{\phi} - \mathcal{L}\). ¿Te resulta familiar esta forma?
🔵 Kai: ¡Ah! ¡Eso tiene la misma estructura que la definición del hamiltoniano \(H = p\dot{q} - L\)! Cuando aprendí el hamiltoniano en mecánica cuántica, aparecía \(H = p\dot{q} - L\), ¿verdad?
🟡 Lina: ¡Muy agudo! Exactamente así, \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\) corresponde al "momento \(p = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\)" de la mecánica de partículas. Así que \(T^{00} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\dot{\phi} - \mathcal{L}\) es la versión de campo de \(p\dot{q} - L\). \(T^{00}\) integrado sobre todo el espacio corresponde a la energía total del sistema (hamiltoniano). En general:
Para el campo de Klein-Gordon, \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} = \dot{\phi}\), así que \(T^{00} = \dot{\phi}^2 - \mathcal{L}\).
Tensor energía-momento del campo de Klein-Gordon¶
🟡 Lina: Calculemos concretamente con el lagrangiano de Klein-Gordon (ecuación (3.8)). Como teníamos \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi\), sustituyendo en la ecuación (3.32):
La densidad de energía \(T^{00}\) ya la calculamos en la ecuación (3.33):
🔵 Kai: Los 3 términos están todos al cuadrado. ¿Eso tiene algún significado?
🟡 Lina: Buena observación. Como todos son cuadrados, la densidad de energía \(T^{00}\) es siempre no negativa — es decir, la energía está acotada por debajo. Esto es muy importante para la estabilidad de la teoría. ¿Recuerdas la discusión sobre la inestabilidad de Ostrogradsky? El problema era que la energía no estaba acotada por debajo. Para el campo de Klein-Gordon, efectivamente \(T^{00} \geq 0\), lo que da una teoría físicamente sana.
⚪ Mei: Que la densidad de energía sea no negativa garantiza la estabilidad de la teoría — no hay riesgo de caer en un pozo sin fondo.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuáles son las cantidades conservadas que se derivan del teorema de Noether a partir de la invariancia bajo traslaciones espacio-temporales? Además, describe la estructura de índices de la corriente conservada correspondiente.
Respuesta
El tensor energía-momento \(T^\mu_{\ \nu}\) es la corriente conservada, con \(\partial_\mu T^\mu_{\ \nu} = 0\). \(\nu = 0\) corresponde a la conservación de energía y \(\nu = 1,2,3\) a la conservación del momento. Las cantidades conservadas son \(P_\nu = \int d^3x \, T^{0}_{\ \nu}\), donde \(P_0\) es la energía total y \(P_i\) es el momento total.
📝 Ejercicios:
- Cálculo del tensor energía-momento del campo escalar real → Problema M-3. Invariancia bajo traslaciones espacio-temporales y tensor energía-momento
3.5 Ejemplo concreto ② — Simetría interna y conservación de carga¶
🟡 Lina: Ahora consideremos no una transformación del espacio-tiempo, sino una transformación del propio campo — una simetría interna (internal symmetry).
🔵 Kai: ¿Qué es una "simetría interna"?
🟡 Lina: Es una simetría que transforma solo el "valor" del campo, dejando las coordenadas espacio-temporales intactas. El ejemplo más sencillo es la rotación de fase de un campo escalar complejo.
Lagrangiano del campo escalar complejo¶
🟡 Lina: Consideremos un campo escalar complejo \(\phi(x)\). Este es un campo con parte real e imaginaria, que se puede escribir como \(\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + i\phi_2)\). La densidad lagrangiana es:
Aquí \(\phi^*(x)\) es el conjugado complejo de \(\phi(x)\) — es decir, en cada punto del espacio-tiempo, si \(\phi(x) = a(x) + ib(x)\), se invierte el signo de la parte imaginaria: \(\phi^*(x) = a(x) - ib(x)\).
⚪ Mei: Comparando con el lagrangiano del campo escalar real (3.8), \(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) se reemplaza por \(\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi\), y \(\frac{1}{2}m^2\phi^2\) por \(m^2\phi^*\phi\). ¿Por qué desaparece el \(\frac{1}{2}\)?
🟡 Lina: Buena pregunta. La razón de que desaparezca el \(\frac{1}{2}\) se entiende al descomponer en 2 campos reales. Sustituyamos \(\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + i\phi_2)\). Primero calculemos el término de masa: \(\phi^*\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 - i\phi_2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + i\phi_2) = \frac{1}{2}(\phi_1^2 + \phi_2^2)\). El término con derivadas da igualmente \(\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_1\,\partial^\mu\phi_1 + \partial_\mu\phi_2\,\partial^\mu\phi_2)\) (los términos cruzados \(\phi_1\phi_2\) se cancelan entre \(i\) y \(-i\)). Por lo tanto:
¡Es el lagrangiano de 2 campos escalares reales con la misma masa \(m\)! Es decir, un campo escalar complejo tiene los grados de libertad de 2 campos escalares reales.
🔵 Kai: Ya veo, el \(\frac{1}{2}\) no está porque "dentro hay 2 campos reales".
Transformación de fase \(U(1)\)¶
🟡 Lina: Bien, este lagrangiano es invariante bajo la siguiente transformación. Mira Fig. 3.5「Imagen geométrica de la transformación de fase \(U(1)\)」, donde he dibujado la imagen geométrica de la rotación de fase — se entiende como la operación de "rotar solo el ángulo sin cambiar la magnitud" en el plano complejo.
Fig. 3.5: Imagen geométrica de la transformación de fase \(U(1)\). Al multiplicar el campo \(\phi\) por \(e^{i\alpha}\) en el plano complejo, solo la fase rota un ángulo \(\alpha\) manteniendo la magnitud \(|\phi|\). Como el lagrangiano solo depende de \(|\phi|^2 = \phi^*\phi\), es invariante bajo esta transformación, y del teorema de Noether se deriva la conservación de carga.
Aquí \(\alpha\) es un parámetro real constante.
🔵 Kai: Es una transformación que rota solo la fase sin cambiar la magnitud de \(\phi\). \(|\phi|^2 = \phi^*\phi\) no cambia, así que el término \(m^2\phi^*\phi\) es invariante. \(\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi\) también... ah, pero me preocupa si \(\partial_\mu\) actúa sobre \(e^{i\alpha}\) en el término con derivadas.
🟡 Lina: Buena observación. Pero como \(\alpha\) es constante (no depende de \(x\)), \(\partial_\mu(e^{i\alpha}\phi) = e^{i\alpha}\partial_\mu\phi\) — el \(e^{i\alpha}\) se saca fuera de la derivada. Por lo tanto \(\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi \to e^{-i\alpha}\partial_\mu\phi^* \cdot e^{i\alpha}\partial^\mu\phi = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi\). Efectivamente es invariante.
Esta transformación se llama simetría \(U(1)\). \(U(1)\) se refiere al "conjunto de números complejos de valor absoluto 1, \(e^{i\alpha}\)". Estos son cerrados bajo la multiplicación (\(e^{i\alpha_1} \times e^{i\alpha_2} = e^{i(\alpha_1 + \alpha_2)}\), que es de nuevo un número complejo de valor absoluto 1), tienen elemento inverso (multiplicar por \(e^{-i\alpha}\) devuelve a 1), y tienen elemento identidad (la transformación que no hace nada, \(e^{i \cdot 0} = 1\)). Un "conjunto que es cerrado bajo una operación (combinar dos elementos no sale del conjunto), tiene una operación que no hace nada (identidad), y cada operación tiene una que la deshace (inverso)" se llama en matemáticas un grupo. El grupo de Lorentz que apareció en Cap. 2 tiene la misma estructura — hacer dos transformaciones de Lorentz seguidas da otra transformación de Lorentz (cerrado), existe la transformación que no hace nada (identidad), y cada transformación tiene su inversa (inverso). La \(U\) en \(U(1)\) viene de unitary (unitario), y el \((1)\) significa matrices de \(1 \times 1\) — es decir, simplemente números complejos.
Derivación de la corriente conservada¶
🟡 Lina: Apliquemos el teorema de Noether. Para la transformación infinitesimal (\(\alpha\) pequeño), \(e^{i\alpha} \approx 1 + i\alpha\), así que:
En el caso del campo complejo, tratamos \(\phi\) y \(\phi^*\) como campos independientes. "¿\(\phi^*\) está determinado por \(\phi\) y aun así son independientes?" podrías pensar, pero cuando escribimos \(\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + i\phi_2)\), la parte real \(\phi_1\) y la parte imaginaria \(\phi_2\) son ciertamente 2 campos reales independientes, ¿verdad? \(\phi\) y \(\phi^*\) son combinaciones lineales de \(\phi_1\) y \(\phi_2\), así que "variar respecto a \(\phi\) y \(\phi^*\)" da la misma información que "variar respecto a \(\phi_1\) y \(\phi_2\)" — solo es una forma diferente de tomar las variables, con el mismo número de grados de libertad independientes: 2. La corriente conservada es la generalización de la ecuación (3.22). La ecuación (3.22) era para el caso de un solo campo (\(\phi\) solamente), pero ahora tenemos dos campos independientes \(\phi\) y \(\phi^*\). Consideremos el caso con múltiples campos. Escribiendo la versión multivariable de la ecuación (3.17): \(\delta\mathcal{L} = \sum_a\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_a}\delta\phi_a + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\delta(\partial_\mu\phi_a)\right]\) — simplemente sumamos las contribuciones de cada campo. Esto es el diferencial total de una función multivariable, igual que cuando hay múltiples variables \(\phi_1, \phi_2, \ldots\) se suman derivada parcial × variación para cada variable. Por ejemplo, el diferencial total de una función de 2 variables \(f(u, v)\) se escribe \(df = \frac{\partial f}{\partial u}du + \frac{\partial f}{\partial v}dv\) — tiene exactamente la misma estructura, con \(u\) y \(v\) correspondiendo a \(\phi\) y \(\phi^*\).
Repitiendo exactamente el mismo procedimiento de las ecuaciones (3.18)–(3.21) con esta versión multivariable: se integra por partes para cada campo \(\phi_a\) y se elimina con la ecuación de Euler-Lagrange (que se cumple independientemente para cada campo). El punto es que la ecuación de Euler-Lagrange de \(\phi\) sale de la variación de \(\phi\), y la de \(\phi^*\) sale de la variación de \(\phi^*\) — cada una se anula independientemente, y lo que queda es solo la suma de los términos de divergencia total de cada campo. Como resultado, la corriente conservada es la suma de las contribuciones de cada campo: \(j^\mu = \sum_a \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi_a)} D\phi_a\). En nuestro caso, \(\phi_a = \phi, \phi^*\) son 2, así que:
Aquí \(D\phi = \delta\phi/\alpha = i\phi\), \(D\phi^* = \delta\phi^*/\alpha = -i\phi^*\) (respectivamente el residuo de dividir \(\delta\phi\) y \(\delta\phi^*\) de la ecuación (3.40) por el parámetro común \(\alpha\)).
🟡 Lina: Ahora sustituyamos las derivadas parciales concretas en la ecuación (3.40a). Con \(\mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi\), tratamos \(\phi\) y \(\phi^*\) como independientes.
Primero hallemos \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\). Lo importante aquí es que al derivar respecto a \(\phi\), se trata \(\phi^*\) como "otra variable fijada" — exactamente igual que cuando derivamos parcialmente \(f(x, y) = xy\) respecto a \(x\), tratamos \(y\) como constante y obtenemos \(\partial f/\partial x = y\).
🔵 Kai: Pero \(\phi^*\) es el conjugado complejo de \(\phi\), así que si \(\phi\) está determinado, \(\phi^*\) también lo está. ¿Son realmente "independientes"?
🟡 Lina: Buena pregunta. Como confirmamos antes, escribiendo \(\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + i\phi_2)\), \(\phi^* = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 - i\phi_2)\), y en esencia estamos variando respecto a dos variables reales independientes \(\phi_1\) y \(\phi_2\). "Derivar independientemente respecto a \(\phi\) y \(\phi^*\)" es simplemente una reescritura del "derivar independientemente respecto a \(\phi_1\) y \(\phi_2\)" con un cambio de variables — operaciones matemáticamente completamente equivalentes. Así que puedes derivar respecto a \(\phi\) tratando \(\phi^*\) como constante con total tranquilidad.
Haciendo explícito el tensor métrico: \(\partial_\alpha\phi^*\,\partial^\alpha\phi = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi\). Al derivar respecto a \(\partial_\mu\phi\), \(\partial_\alpha\phi^*\) se trata como "otra variable" y es constante. Con el mismo procedimiento que para el campo escalar real (ecuación (3.10b)), derivar \(\partial_\beta\phi\) respecto a \(\partial_\mu\phi\) da la delta de Kronecker \(\delta^\mu_\beta\):
Para el campo escalar real (ecuación (3.10b)), teníamos \(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\) con un \(\frac{1}{2}\); como \(\phi\) y \(\phi\) eran la misma variable y aparecía dos veces, daba \(\frac{1}{2} \times 2 = 1\). Ahora \(\phi^*\) y \(\phi\) son variables diferentes, así que al derivar respecto a \(\partial_\mu\phi\), solo reacciona la parte \(\partial_\beta\phi\) y sale una sola vez — pero como no hay \(\frac{1}{2}\) desde el principio, el resultado es igualmente coeficiente 1 y \(\partial^\mu\phi^*\).
Análogamente, derivando respecto a \(\partial_\mu\phi^*\) queda \(\partial^\mu\phi\):
🔵 Kai: Para el campo escalar real (ecuación (3.10b)) era \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi\), pero ahora sale \(\partial^\mu\phi^*\). Es interesante que queda el campo "compañero".
🟡 Lina: Buena observación. En el campo complejo, \(\phi\) y \(\phi^*\) forman un "par", así que al derivar respecto a uno, queda el otro. Ahora sustituyamos en la ecuación (3.40a). Teníamos \(D\phi = i\phi\), \(D\phi^* = -i\phi^*\):
(En la segunda igualdad solo hemos intercambiado el orden del producto de escalares — \(\partial^\mu\phi^* \cdot i\phi = i\phi \cdot \partial^\mu\phi^*\).)
En la última igualdad simplemente hemos factorizado \(i\) como factor común.
Cabe señalar que por convención, a veces se adopta \(j^\mu = i(\phi^*\partial^\mu\phi - \phi\,\partial^\mu\phi^*)\) (multiplicando todo por \(-1\)) como la corriente conservada, de modo que la carga de la partícula sea positiva. La normalización global de la corriente de Noether (multiplicar todo por una constante) es arbitraria, así que ambas son correctas. En Cap. 4, al cuantizar, elegiremos la normalización para que la carga de la partícula sea \(+1\), así que por ahora solo recuerda que "hay libertad en la elección del signo".
⚪ Mei: Pude seguir el cálculo. Sumando las contribuciones de los dos campos y agrupando con \(i\), se obtiene esta forma.
🔵 Kai: ¿Es esta la corriente conservada que corresponde a la carga? Pero en \(j^0\) aparecen \(\dot{\phi}^*\) y \(\dot{\phi}\) con signos opuestos. ¿Eso significa que aparecen tanto carga positiva como negativa?
🟡 Lina: ¡Exacto! Esta \(j^\mu\) satisface \(\partial_\mu j^\mu = 0\), y la cantidad conservada correspondiente:
corresponde a la carga eléctrica. La versión de campo de "\(U(1)\) simetría → conservación de carga" que aprendimos en Mecánica Cuántica Cap. 26 es exactamente esto. En mecánica cuántica, la transformación de fase de la función de onda \(\psi \to e^{i\alpha}\psi\) estaba vinculada a la conservación de probabilidad, pero en la teoría de campos aparece como conservación de carga.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es el significado físico de la corriente conservada \(j^\mu\) derivada de la simetría \(U(1)\) del campo escalar complejo?
Respuesta
\(j^\mu\) es una corriente conservada que corresponde a la densidad de carga y la densidad de corriente del electromagnetismo. La cantidad conservada \(Q = \int d^3x\,j^0\) obtenida al integrar \(j^0\) sobre todo el espacio corresponde a la carga eléctrica, y \(\partial_\mu j^\mu = 0\) (ecuación de continuidad) expresa la ley de conservación de carga.
⚪ Mei: Ya veo, la misma estructura del caso de mecánica cuántica se reproduce en el lenguaje de campos. La simetría \(U(1)\) implica que existe una cantidad conservada, que es la carga.
🟡 Lina: Conexión espléndida. Y lo importante es que el campo escalar real no tiene simetría \(U(1)\). Un campo real tiene \(\phi = \phi^*\), así que no se puede rotar la fase. Por eso, las partículas descritas por un campo escalar real no tienen carga. Se necesita un campo complejo.
🔵 Kai: ¡Ya veo! ¿Está relacionado con la existencia de antipartículas? En Mecánica Cuántica Cap. 27 aprendimos que "en las ecuaciones relativistas siempre aparecen antipartículas"...
🟡 Lina: Intuición aguda. De hecho, el campo complejo puede describir tanto partículas como antipartículas. Los estados con \(Q > 0\) corresponden a partículas y los de \(Q < 0\) a antipartículas. A nivel de la teoría clásica solo podemos decir que "\(Q\) puede ser tanto positivo como negativo", pero en Cap. 4, al cuantizar, las partículas con carga positiva y las antipartículas con carga negativa se distinguen claramente — lo veremos con detalle allí.
🔵 Kai: Estoy ansioso. Entonces, si el universo no tuviera simetría \(U(1)\), ¿el concepto mismo de carga no existiría? Pero al revés, ¿quién decidió que "el universo tiene simetría \(U(1)\)"?
🟡 Lina: Esa intuición toca la esencia. De hecho, en el Modelo Estándar, no solo \(U(1)\) sino también \(SU(2)\) y \(SU(3)\), grupos de simetría más grandes, definen las "cargas" correspondientes a la fuerza débil y la fuerza fuerte. Las simetrías determinan la clasificación de la materia y la estructura de las interacciones — esta es una idea central de la física moderna. Lo veremos en detalle a partir de Cap. 19.
🔵 Kai: Las simetrías determinan los "tipos de fuerza"... Pero, ¿por qué la naturaleza "eligió" simetrías específicas como \(U(1)\), \(SU(2)\) y \(SU(3)\)? ¿Existe una teoría aún más profunda que explique eso?
🟡 Lina: Sí. Esa es una de las preguntas más importantes en la frontera de la física moderna. Las teorías de gran unificación y la teoría de cuerdas aspiran a responderla, pero aún no se ha resuelto. Por ahora concentrémonos en dominar el marco de que "si asumimos una simetría, se determinan las cantidades conservadas y la estructura de las fuerzas".
🔵 Kai: Es decir, la física actual sabe "qué pasa si hay una simetría" pero aún no sabe "por qué esa simetría" — es un estado donde solo se conoce uno de los dos lados, entrada y salida.
✅ Verificación de comprensión: ¿El lagrangiano del campo escalar real \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) posee simetría \(U(1)\)? Justifica tu respuesta.
Respuesta
No la posee. Al aplicar la transformación \(U(1)\) \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\), \(\phi\) se convertiría en un número complejo, lo que contradice la premisa de campo escalar real. En un campo real \(\phi = \phi^*\), no hay grado de libertad de fase. Por lo tanto no hay simetría \(U(1)\) y no existe una carga conservada asociada.
📝 Ejercicios:
- Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange y la corriente conservada del campo escalar complejo → Problema M-2. Simetría interna del campo escalar complejo y corriente de Noether
- Aplicación del teorema de Noether a las transformaciones de Lorentz y derivación del tensor de momento angular → Problema A-1. Generalización del teorema de Noether
3.6 Catálogo de lagrangianos representativos¶
🟡 Lina: Hasta aquí hemos adquirido dos herramientas poderosas: las ecuaciones de Euler-Lagrange y el teorema de Noether. Por último, resumamos los lagrangianos de los 3 campos que protagonizan la teoría cuántica de campos. La cuantización se realizará en los capítulos siguientes, así que hoy solo confirmamos que "se parte de estos lagrangianos". En Fig. 3.6「Catálogo de lagrangianos representativos」 he resumido la visión general.
Fig. 3.6: Catálogo de lagrangianos representativos. Catálogo de lagrangianos del campo de Klein-Gordon (espín 0), campo de Dirac (espín 1/2) y campo de Maxwell (espín 1). Las partículas fundamentales de la naturaleza se describen con uno de estos 3 tipos.
Campo de Klein-Gordon (espín 0)¶
🟡 Lina: Primero el campo de Klein-Gordon, que ya usamos hoy. Describe partículas de espín 0 (partículas escalares).
Campo escalar real:
Ecuación de movimiento: \((\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi = 0\) (ecuación de Klein-Gordon)
Campo escalar complejo:
🔵 Kai: El bosón de Higgs es una partícula escalar, ¿verdad?
🟡 Lina: Sí. El campo de Higgs es un tipo de campo escalar complejo descrito por una versión extendida de este lagrangiano. Más precisamente, tiene una estructura que se transforma bajo una simetría mayor (el grupo \(SU(2)\)) — lo trataremos en detalle en Cap. 19.
Campo de Dirac (espín 1/2)¶
🟡 Lina: Ahora el campo de Dirac. Describe partículas de espín 1/2 — fermiones como el electrón y los quarks.
🔵 Kai: Uf, muchos símbolos... ¿Qué es \(\psi\)? ¿Y \(\bar{\psi}\)? ¿Y \(\gamma^\mu\)?
🟡 Lina: Te explico uno por uno.
- \(\psi(x)\) es un espinor de Dirac (spinor): un vector columna de 4 componentes (valores complejos). Mientras que un campo escalar asigna un número a cada punto, un campo espinorial asigna 4 números complejos a cada punto. Como aprendimos en Mecánica Cuántica Cap. 27, las 4 componentes corresponden a espín arriba/abajo (2 componentes) × partícula/antipartícula (2 conjuntos)
- \(\bar{\psi} \equiv \psi^\dagger \gamma^0\) es el conjugado de Dirac (Dirac adjoint): aquí \(\psi^\dagger\) es el conjugado hermítico de \(\psi\) — se toma el vector columna de 4 componentes \(\psi\), se pone horizontal como vector fila (esto se llama "transponer"), y se toma el conjugado complejo de cada componente. Por ejemplo, si \(\psi = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}\) entonces \(\psi^\dagger = (a^*, b^*, c^*, d^*)\). A eso se multiplica \(\gamma^0\) por la derecha para obtener \(\bar{\psi}\). ¿Por qué se usa \(\psi^\dagger\gamma^0\) en lugar de simplemente \(\psi^\dagger\)? Porque así \(\bar{\psi}\psi\) resulta ser un escalar de Lorentz (\(\psi^\dagger\psi\) cambiaría de valor bajo transformaciones de Lorentz)
- \(\gamma^\mu\) (\(\mu = 0,1,2,3\)) son las matrices gamma: matrices de \(4 \times 4\). Para números normales \(ab = ba\), pero las matrices en general satisfacen \(AB \neq BA\). Las matrices gamma satisfacen una relación de anticonmutación. Definamos la notación: para dos matrices \(A\), \(B\), escribimos \(\{A, B\} \equiv AB + BA\) y lo llamamos anticonmutador. El conmutador \([A, B] = AB - BA\) que aprendimos en mecánica cuántica tomaba la "diferencia", pero el anticonmutador toma la "suma". ¿Por qué la "suma"? Lo confirmaremos enseguida — al derivar la ecuación de Klein-Gordon a partir de la ecuación de Dirac, en el cálculo de \(\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_\mu\partial_\nu\) solo sobrevive la parte simétrica (= anticonmutador). Es decir, la relación de anticonmutación es una condición que se exige naturalmente como "la condición para que la ecuación de Dirac reproduzca la relación de dispersión correcta". La condición que satisfacen las matrices gamma es: \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu = 2\eta^{\mu\nu}I_4\). El lado izquierdo es la suma de productos de matrices \(4\times 4\), así que es una matriz \(4\times 4\). En el lado derecho, \(\eta^{\mu\nu}\) es simplemente un número (la componente \(\mu\nu\) del tensor métrico), multiplicado por la matriz identidad \(4\times 4\) \(I_4\) para convertirlo en una igualdad matricial. Por ejemplo, si \(\mu = \nu = 0\), \(\eta^{00} = +1\) así que \((\gamma^0)^2 = I_4\) (multiplicar \(\gamma^0\) dos veces da la identidad). Si \(\mu = 0, \nu = 1\), \(\eta^{01} = 0\) así que \(\gamma^0\gamma^1 + \gamma^1\gamma^0 = 0\) (\(\gamma^0\) y \(\gamma^1\) "anticonmutan" — intercambiar el orden de multiplicación invierte el signo). Confirmemos por qué esta condición es necesaria.
⚪ Mei: Es decir, la relación de anticonmutación de las matrices gamma es la condición de consistencia para que la ecuación de Dirac reproduzca la relación de dispersión relativista \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\).
Guía para primera lectura: El cálculo que sigue es una verificación técnica. En una primera lectura, basta con retener el punto de que "sin la relación de anticonmutación \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\), no se puede reducir la ecuación de Dirac a la ecuación de Klein-Gordon", y puedes avanzar a Cap. 5.
🟡 Lina: Multipliquemos la ecuación de Dirac \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\) por la izquierda con \((i\gamma^\nu\partial_\nu + m)\). Expandiendo: \((i\gamma^\nu\partial_\nu + m)(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = (i\gamma^\nu\partial_\nu)(i\gamma^\mu\partial_\mu)\psi + m(i\gamma^\mu\partial_\mu)\psi - (i\gamma^\nu\partial_\nu)(m)\psi - m^2\psi\). El segundo y tercer término son \(im\gamma^\mu\partial_\mu\psi - im\gamma^\nu\partial_\nu\psi\), pero como \(\mu\) y \(\nu\) son índices mudos (sumados de 0 a 3), tienen el mismo valor — se cancelan y dan cero. Lo que queda es \((-\gamma^\nu\gamma^\mu\partial_\nu\partial_\mu - m^2)\psi = 0\).
El punto aquí es que \(\partial_\nu\partial_\mu\) es simétrico bajo el intercambio de \(\nu\) y \(\mu\) (\(\partial_\nu\partial_\mu = \partial_\mu\partial_\nu\)). Cuando se multiplica algo simétrico y se suma, la parte antisimétrica desaparece. Confirmemos con un ejemplo sencillo. Si \(a_{12} = -a_{21}\) (antisimétrico) y \(b_{12} = b_{21}\) (simétrico), entonces \(\sum_{i,j} a_{ij}b_{ij} = a_{12}b_{12} + a_{21}b_{21} = a_{12}b_{12} + (-a_{12})b_{12} = 0\).
🔵 Kai: Entiendo, simétrico por antisimétrico sumado da cero — así que la parte antisimétrica de las matrices gamma desaparece al contraer con \(\partial_\nu\partial_\mu\).
🟡 Lina: Exacto. Así que al calcular \(\gamma^\nu\gamma^\mu\partial_\nu\partial_\mu\), la "parte antisimétrica" de \(\gamma^\nu\gamma^\mu\) se anula al multiplicar y sumar con el simétrico \(\partial_\nu\partial_\mu\), y solo sobrevive la "parte simétrica". Cualquier cantidad se puede descomponer en parte simétrica y antisimétrica: \(\gamma^\nu\gamma^\mu = \frac{1}{2}\underbrace{(\gamma^\nu\gamma^\mu + \gamma^\mu\gamma^\nu)}_{\text{parte simétrica}} + \frac{1}{2}\underbrace{(\gamma^\nu\gamma^\mu - \gamma^\mu\gamma^\nu)}_{\text{parte antisimétrica}}\). La parte antisimétrica se anula por la razón anterior, así que solo queda la parte simétrica — es decir, \(\gamma^\nu\gamma^\mu\partial_\nu\partial_\mu = \frac{1}{2}(\gamma^\nu\gamma^\mu + \gamma^\mu\gamma^\nu)\partial_\nu\partial_\mu = \frac{1}{2}\{\gamma^\nu, \gamma^\mu\}\partial_\nu\partial_\mu\).
Usando \(\{\gamma^\nu, \gamma^\mu\} = 2\eta^{\nu\mu}\), sale \(\eta^{\nu\mu}\partial_\nu\partial_\mu = \Box\). Entonces \(-(\Box + m^2)\psi = 0\) — se reproduce la ecuación de Klein-Gordon. Como confirmamos en Mecánica Cuántica Cap. 27.
Es decir, la relación de anticonmutación de las matrices gamma es la condición que garantiza que "cada componente de la ecuación de Dirac satisface la ecuación de Klein-Gordon". Cuando tratemos el campo de Dirac en profundidad en Cap. 5, lo confirmaremos con cuidado de nuevo.
🔵 Kai: En Mecánica Cuántica Cap. 27 vimos la ecuación de Dirac \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\). ¿Sale de este lagrangiano?
🟡 Lina: Sí. Vamos a verificarlo. Con el mismo espíritu que tratamos \(\phi\) y \(\phi^*\) como independientes en el campo escalar complejo, tratamos \(\psi\) y \(\bar{\psi}\) como campos independientes. Mira bien la ecuación (3.45): \(\mathcal{L}_{\text{Dirac}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi\). \(\partial_\mu\) solo actúa sobre \(\psi\), y \(\bar{\psi}\) no tiene derivadas (solo multiplica por la izquierda).
Así que planteemos la ecuación de Euler-Lagrange (3.7) con \(\bar{\psi}\) como "variable dinámica". Sustituyendo \(\bar{\psi}\) en lugar de \(\phi_a\) en la ecuación (3.7):
Miremos el primer término. Como \(\partial_\mu\bar{\psi}\) no aparece en absoluto en \(\mathcal{L}\), \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi})} = 0\). Así que el primer término se anula y la ecuación es simplemente \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = 0\).
🔵 Kai: Como la derivada de \(\bar{\psi}\) no entra en el lagrangiano, la ecuación de Euler-Lagrange se simplifica mucho.
🟡 Lina: Sí. Y derivamos \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi\) respecto a \(\bar{\psi}\). Tiene la misma estructura que derivar \(f = ax\) respecto a \(a\) y que quede \(x\) — \(\bar{\psi}\) está multiplicando en primer grado sin derivadas en \(\mathcal{L}\), así que al derivar respecto a \(\bar{\psi}\) queda directamente \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi\). Más precisamente, \(\bar{\psi}\) es un vector fila de 4 componentes, así que estamos derivando respecto a cada componente \(\bar{\psi}_\alpha\). Escribiendo \(\mathcal{L} = \sum_{\alpha,\beta}\bar{\psi}_\alpha\, M_{\alpha\beta}\,\psi_\beta\) (con \(M = i\gamma^\mu\partial_\mu - m\)), \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}_\alpha} = \sum_\beta M_{\alpha\beta}\psi_\beta = [(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi]_\alpha\) — es decir, para cada componente ocurre lo mismo que "derivar \(f = ax\) respecto a \(a\) da \(x\)", y el resultado se escribe en forma matricial como \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\):
Esta es la ecuación de Dirac. Si variamos respecto a \(\psi\), sale una ecuación para \(\bar{\psi}\), pero eso lo trataremos en detalle en Cap. 5.
🔵 Kai: Es interesante que el lagrangiano solo contenga derivadas de primer orden. El campo de Klein-Gordon tiene \((\partial_\mu\phi)^2\), así que la ecuación de movimiento es efectivamente de segundo orden, pero el campo de Dirac es de primer orden desde el principio.
🟡 Lina: Buena observación. Que Dirac pensara "quiero construir una ecuación de primer orden" llevó al descubrimiento de los espinores y las matrices gamma. Como aprendimos en Mecánica Cuántica Cap. 27.
Campo de Maxwell (espín 1)¶
🟡 Lina: Finalmente el campo de Maxwell — el campo electromagnético. Describe partículas de espín 1 con masa cero (fotones).
Donde \(F_{\mu\nu}\) es el tensor del campo electromagnético:
\(A^\mu = (\Phi, \mathbf{A})\) son las componentes contravariantes del 4-potencial. \(\Phi\) es el potencial escalar familiar del electromagnetismo y \(\mathbf{A}\) es el potencial vector. ¿Por qué escribimos con potenciales en lugar de usar directamente el campo eléctrico \(\mathbf{E}\) o el campo magnético \(\mathbf{B}\)? Porque con los potenciales se puede construir el lagrangiano de forma más natural — \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{B}\) tienen 6 componentes, pero \(A^\mu\) solo tiene 4, y de la definición \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) se satisface automáticamente la mitad de las ecuaciones de Maxwell. Además, agrupar \(\Phi\) y \(\mathbf{A}\) en 4 componentes es para mantener la covariancia de Lorentz que aprendimos en Cap. 2 — como la componente temporal \(\Phi\) y las componentes espaciales \(\mathbf{A}\) se mezclan bajo transformaciones de Lorentz, tratarlas por separado haría difícil ver la covariancia. Las componentes covariantes son \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu = (\Phi, -\mathbf{A})\).
🔵 Kai: ¿\(F_{\mu\nu}\) es algo que agrupa el campo eléctrico y el campo magnético?
🟡 Lina: Sí. El campo eléctrico \(\mathbf{E}\) y el campo magnético \(\mathbf{B}\) familiares del electromagnetismo están contenidos como componentes de \(F_{\mu\nu}\). Haré la derivación con cuidado.
Primero, recuerda la definición del campo eléctrico del electromagnetismo. Usando el potencial escalar \(\Phi\) y el potencial vector \(\mathbf{A}\), cada componente del campo eléctrico se escribe \(E^i = -\partial_i\Phi - \frac{\partial A^i}{\partial t}\) (en física de bachillerato solo era \(\mathbf{E} = -\nabla\Phi\), pero cuando hay un potencial vector que varía con el tiempo se añade el término \(-\dot{\mathbf{A}}\)). Aquí \(A^i\) son las componentes contravariantes (las componentes de \(\mathbf{A}\) que se usan normalmente en electromagnetismo), y \(\partial_i = \partial/\partial x^i\) es la derivada parcial espacial habitual. En el espacio euclídeo 3-dimensional no hay distinción entre índices arriba y abajo, así que \(E_i = E^i\) se pueden identificar.
Por otro lado, poniendo \(\mu = 0\), \(\nu = i\) en la definición de \(F_{\mu\nu}\) (3.48):
Aquí \(A_0 = \Phi\), y la relación entre componentes covariantes y contravariantes es \(A_i = \eta_{ij}A^j = -A^i\) (las componentes espaciales cambian de signo). Sustituyendo:
Es decir, \(F_{0i} = E_i\).
🔵 Kai: Pero he visto libros donde dice \(F_{0i} = -E_i\)...
🟡 Lina: Eso es cuando la convención de signos de la métrica es la opuesta (\(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)\)). Con nuestra convención \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\), resulta \(F_{0i} = E_i\). Resumiendo:
- \(F_{0i} = E_i\) (las componentes tiempo-espacio corresponden al campo eléctrico)
- \(F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i = -(\partial_i A^j - \partial_j A^i)\) (las componentes espacio-espacio corresponden al campo magnético). Aquí, la definición del campo magnético del electromagnetismo \(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\) en componentes es \(B_k = \epsilon_{kij}\partial_i A^j\) (\(\epsilon_{kij}\) es el símbolo de Levi-Civita que aprendimos en Mecánica Cuántica Cap. 15). Concretamente, para \(k = 3\): \(B_3 = \partial_1 A^2 - \partial_2 A^1\). Por otro lado \(F_{12} = -(\partial_1 A^2 - \partial_2 A^1) = -B_3\) (ya que \(B_3 = \partial_1 A^2 - \partial_2 A^1\)). Igualmente \(F_{13} = -(\partial_1 A^3 - \partial_3 A^1) = -(- B_2) = B_2\) (porque \(B_2 = \partial_3 A^1 - \partial_1 A^3\), así que \(\partial_1 A^3 - \partial_3 A^1 = -B_2\)), \(F_{23} = -(\partial_2 A^3 - \partial_3 A^2) = -B_1\) (porque \(B_1 = \partial_2 A^3 - \partial_3 A^2\)). En general \(F_{ij} = -\epsilon_{ijk}B_k\).
esa es la estructura.
🔵 Kai: Que el campo eléctrico y el magnético estén agrupados en un solo tensor está relacionado con lo que aprendimos en Cap. 2 de que "bajo transformaciones de Lorentz el campo eléctrico y el magnético se mezclan".
🟡 Lina: Exacto. Subir y bajar índices cambia signos, así que al principio puede ser confuso, pero lo importante es que "dentro de \(F_{\mu\nu}\) están el campo eléctrico y el magnético". Ahora calculemos concretamente \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\). \(F_{\mu\nu}\) es antisimétrico (\(F_{\mu\nu} = -F_{\nu\mu}\)), así que los términos \(\mu = \nu\) son cero. Las componentes independientes restantes son la parte \(F_{0i}\) (campo eléctrico) y la parte \(F_{ij}\) (campo magnético). El punto es el cambio de signo al subir los índices. Por ejemplo, calculemos \(F^{0i} = \eta^{0\alpha}\eta^{i\beta}F_{\alpha\beta}\). \(\eta^{0\alpha}\) es no nula solo para \(\alpha = 0\) (\(\eta^{00} = +1\)), así que la suma solo sobrevive para \(\alpha = 0\): \(F^{0i} = \eta^{i\beta}F_{0\beta}\). Luego \(\eta^{i\beta}\) es no nula solo para \(\beta = i\) (\(\eta^{ii} = -1\)), así que \(F^{0i} = (-1)F_{0i} = -E_i\) (subir el índice espacial introduce un \(-1\)). Así \(F_{0i}F^{0i} = E_i \times (-E_i) = -\mathbf{E}^2\) (sumando sobre \(i\)).
⚪ Mei: Cada vez que se sube un índice espacial aparece un \(-1\) — esto es un efecto directo de la signatura de la métrica \(\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\).
🟡 Lina: En la suma doble \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = \sum_{\mu}\sum_{\nu}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\), \(\mu\) y \(\nu\) recorren independientemente de 0 a 3, así que los 3 términos \((\mu, \nu) = (0, i)\) y los 3 términos \((\mu, \nu) = (i, 0)\) aparecen por separado (no es doble conteo — se recorren \(\mu\) y \(\nu\) independientemente). La contribución de \((\mu, \nu) = (i, 0)\) usando la antisimetría \(F_{i0} = -F_{0i}\) y \(F^{i0} = -F^{0i}\) da \(F_{i0}F^{i0} = (-F_{0i})(-F^{0i}) = F_{0i}F^{0i} = -\mathbf{E}^2\), igual que el caso \((0, i)\). Juntos, la contribución de la parte tiempo-espacio es \((-\mathbf{E}^2) + (-\mathbf{E}^2) = -2\mathbf{E}^2\). Ahora veamos la parte espacio-espacio. Al subir los índices: \(F^{ij} = \eta^{i\alpha}\eta^{j\beta}F_{\alpha\beta} = (-1)(-1)F_{ij} = F_{ij}\) (subir un índice espacial da \(-1\), pero como se suben dos, se cancelan). Así \(F_{ij}F^{ij} = F_{ij}F_{ij}\). Contando concretamente las componentes independientes con \(i < j\): \((i,j) = (1,2), (1,3), (2,3)\) son 3, con \(F_{12} = -B_3\), \(F_{13} = B_2\), \(F_{23} = -B_1\). En la suma doble, las parejas \(i \neq j\) aparecen como \((i,j)\) y \((j,i)\), 2 veces cada una, así que \(F_{ij}F^{ij} = 2(B_3^2 + B_2^2 + B_1^2) = 2\mathbf{B}^2\). Sumando todo: \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = -2\mathbf{E}^2 + 2\mathbf{B}^2 = 2(\mathbf{B}^2 - \mathbf{E}^2)\). Por lo tanto el lagrangiano es:
¿Ves la estructura \(L = T - V\) como en el campo de Klein-Gordon? El campo eléctrico \(\mathbf{E}\) contiene la derivada temporal del potencial, así que es el "término tipo energía cinética", y el campo magnético \(\mathbf{B}\) solo tiene derivadas espaciales, así que es el "término tipo potencial".
⚪ Mei: Ya veo, la misma estructura \(\frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2\) aparece en el campo electromagnético como \(\frac{1}{2}\mathbf{E}^2 - \frac{1}{2}\mathbf{B}^2\).
🟡 Lina: Exacto. Y al derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange de este lagrangiano, se obtienen las ecuaciones de Maxwell en el vacío (la otra mitad). Concretamente:
Esto agrupa \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) y \(\nabla \times \mathbf{B} - \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = 0\) del vacío (sin cargas ni corrientes). Si hay cargas, hay que añadir un término de interacción al lagrangiano — eso lo trataremos en Cap. 7. La otra mitad de las ecuaciones de Maxwell (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) y \(\nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0\)) se satisface automáticamente a partir de la propia definición \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\).
🔵 Kai: Increíble... todas las ecuaciones de Maxwell salen de un solo lagrangiano \(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\).
Guía para primera lectura: Basta con recordar el resultado \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = 2(\mathbf{B}^2 - \mathbf{E}^2)\) y que el lagrangiano es \(\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2 - \mathbf{B}^2)\); los detalles del cálculo de índices pueden revisarse después.
🟡 Lina: Así es. Este es el poder del formalismo lagrangiano. La cuantización se hará en Cap. 6, donde nos enfrentaremos al espinoso problema de la "libertad de gauge".
✅ Verificación de comprensión: En el lagrangiano del campo de Maxwell \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\), ¿cómo se satisface la "otra mitad" de las ecuaciones de Maxwell (\(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\) y la ley de Faraday)?
Respuesta
Estas no se derivan de las ecuaciones de Euler-Lagrange, sino que se satisfacen automáticamente (como identidades) a partir de la propia definición del tensor del campo electromagnético \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\). Lo que se deriva del lagrangiano es \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\) (\(\nabla\cdot\mathbf{E}=0\) y la ley de Ampère).
📝 Ejercicios:
- Derivación de las ecuaciones de Maxwell en el vacío a partir del lagrangiano del campo de Maxwell → Problema A-2. Lagrangiano del campo de Maxwell e invariancia de gauge
Comparación de los 3 lagrangianos¶
🟡 Lina: Resumamos los 3 campos en una tabla.
Tabla 3.5: Comparación de lagrangianos representativos
| Campo | Espín | Densidad lagrangiana | Ecuación de movimiento | Ejemplos de partículas que describe |
|---|---|---|---|---|
| Klein-Gordon | 0 | \(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) | \((\Box + m^2)\phi = 0\) | Bosón de Higgs, pión |
| Dirac | 1/2 | \(\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi\) | \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\) | Electrón, quarks |
| Maxwell | 1 | \(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) | \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\) | Fotón |
⚪ Mei: Las partículas fundamentales de la naturaleza son de espín 0, 1/2 o 1, y cada una tiene un lagrangiano correspondiente. Y una vez escrito el lagrangiano, las ecuaciones de movimiento, las simetrías y las cantidades conservadas se determinan todo automáticamente.
🟡 Lina: Así es. En la teoría cuántica de campos, "elegir el lagrangiano" es "definir la teoría". El Modelo Estándar mismo es, en última instancia, un único lagrangiano escrito. A partir del próximo capítulo, tomaremos estos lagrangianos como punto de partida para proceder con la cuantización.
🔵 Kai: Entonces si se puede escribir el lagrangiano, el resto avanza mecánicamente. Pero visto al revés, encontrar el "lagrangiano correcto" es el problema más difícil, ¿no?
🟡 Lina: Exactamente ahí es donde los físicos muestran su destreza. Lo que decide "qué lagrangiano elegir" son los requisitos de simetría y los datos experimentales. Las simetrías restringen fuertemente la forma del lagrangiano — esto es el uso inverso del teorema de Noether. Se puede razonar: "como esta ley de conservación debe cumplirse, el lagrangiano debe tener esta simetría".
✅ Verificación de comprensión: En la teoría cuántica de campos, ¿qué significa concretamente "definir una teoría"?
Respuesta
Significa especificar la densidad lagrangiana \(\mathcal{L}(\phi_a, \partial_\mu\phi_a)\). Una vez determinado el lagrangiano, de las ecuaciones de Euler-Lagrange se derivan las ecuaciones de movimiento, del teorema de Noether las cantidades conservadas, y (como aprenderemos en los siguientes capítulos) del procedimiento de cuantización las amplitudes de dispersión de partículas.
3.7 Resumen de este capítulo¶
🟡 Lina: Organicemos lo que aprendimos hoy.
-
Definimos la densidad lagrangiana \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) y, haciendo estacionaria la acción \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\), derivamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos
-
Demostramos el teorema de Noether: simetría continua → corriente conservada \(j^\mu\) (\(\partial_\mu j^\mu = 0\)) → cantidad conservada \(Q = \int d^3x\,j^0\)
-
Ejemplos concretos:
- Invariancia bajo traslación espacio-temporal → tensor energía-momento \(T^{\mu\nu}\) → conservación de energía-momento
-
Invariancia bajo transformación de fase \(U(1)\) → corriente \(j^\mu\) → conservación de carga
-
Presentamos los 3 lagrangianos representativos (Klein-Gordon, Dirac, Maxwell) y confirmamos sus respectivas ecuaciones de movimiento
🔵 Kai: La relación "simetría y ley de conservación" que aprendimos en Mecánica Cuántica Cap. 26 se formula de manera tan elegante en el lenguaje de campos. Pero algo que me pregunto es: hoy todo fue sobre campos "clásicos". Cuando se cuantiza, ¿qué pasa con esta corriente conservada y el tensor energía-momento?
🟡 Lina: Buena pregunta. Las cantidades conservadas clásicas se mantienen básicamente en la teoría cuántica — aunque surge un nuevo problema de "orden de operadores". Lo veremos en los próximos capítulos.
🔵 Kai: "Orden de operadores"... en mecánica cuántica también \(\hat{x}\hat{p} \neq \hat{p}\hat{x}\) y el orden era importante. En la teoría cuántica de campos, el campo \(\phi(x)\) se convierte en operador, así que... en la teoría clásica \(\phi(x)\phi(y) = \phi(y)\phi(x)\) era obvio, pero ¿al cuantizar el orden se vuelve un problema? Por ejemplo, la densidad de energía \(T^{00}\) contenía \(\dot{\phi}^2\), pero al hacerse operador, ¿cómo se decide el orden de \(\hat{\dot{\phi}}\hat{\dot{\phi}}\)...?
🟡 Lina: Buena pregunta. De hecho, si escribes ingenuamente productos de operadores, salen infinitos. Eso se trata con una receta llamada "ordenamiento normal" — lo veremos concretamente en el próximo capítulo.
⚪ Mei: Y con solo escribir el lagrangiano, las ecuaciones de movimiento y las cantidades conservadas quedan todas determinadas. Este marco unificado es el punto de partida de la teoría cuántica de campos.
🟡 Lina: Exacto. En el próximo capítulo montaremos la estructura de la mecánica cuántica sobre este marco clásico — es decir, avanzaremos a la cuantización del campo de Klein-Gordon. Presenciaremos el momento en que los modos de oscilación del campo aparecen como "partículas".
Avance del próximo capítulo¶
Cap. 4 Cuantización del campo escalar — Las partículas nacen del campo
Promovemos el campo clásico \(\phi(x)\) a operador e imponemos relaciones de conmutación — ejecutamos el procedimiento de segunda cuantización. De la expansión de Fourier del campo emergen operadores de creación y aniquilación, y presenciaremos el momento en que las "partículas" surgen naturalmente como excitaciones del campo.
Referencias¶
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) Capítulo 2 "Lagrangians", Capítulo 6 "A first stab at canonical quantization", Capítulo 8 "Examples of Lagrangians, or how to build a theory", Capítulo 11 "Symmetry"
- Quantum Field Theory and the Standard Model (Schwartz) Capítulo 3 "Classical field theory"
- 場の量子論 — 不変性と自由場を中心にして (坂本) Capítulo 9 "解析力学の復習と場のラグランジアン形式"
- Classical Theory of Fields (Landau & Lifshitz) Capítulo 2 "Relativistic Mechanics", Capítulo 4 "The Electromagnetic Field Equations"
- Quantum Field Theory (David Tong, Cambridge lecture notes) Capítulo 1 "Classical Field Theory"
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