Apéndice A Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Cálculo básico de derivadas parciales
- B-2. Derivada parcial de \(1/r\)
- B-3. Conmutatividad de las derivadas parciales mixtas
- B-4. Gradiente y curvas de nivel
- B-5. Gradiente de distribución de temperatura
- B-6. Divergencia de un campo vectorial lineal
- B-7. Divergencia de un campo vectorial cuadrático
- B-8. Divergencia de un campo rotacional
- B-9. Rotacional de un campo rotacional
- B-10. rot de \((yz, xz, xy)\)
- B-11. Verificación de \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\)
- B-12. Potencial vectorial de un campo magnético uniforme
- B-13. Laplaciano de \(x^2 - y^2\)
- B-14. Laplaciano de \(e^x \cos y\)
- B-15. Laplaciano de \(\sin(kx)\sin(ly)\)
- B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)
- B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\)（\(\Phi = xyz\)）
- B-18. Verificación de que una onda plana satisface la ecuación de ondas
- B-19. La onda exponencial compleja satisface la ecuación de ondas
- B-20. Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales
Intermedio
- M-1. Verificación de la solución de la ecuación de difusión
- M-2. Gradiente del potencial gravitatorio
- M-3. La divergencia del campo eléctrico de Coulomb es cero
- M-4. Laplaciano de \(1/r\)
- M-5. Solución de d'Alembert \(g(x - vt)\)
- M-6. Descomposición de una onda estacionaria
- M-7. Condiciones de frontera de los modos de vibración de una cuerda
Avanzado
Básico¶
B-1. Cálculo básico de derivadas parciales¶
Dado \(f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y\), obtén \(\frac{\partial f}{\partial x}\) y \(\frac{\partial f}{\partial y}\).
B-2. Derivada parcial de \(1/r\)¶
Dado \(\Phi(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\), calcula \(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\). (Pista: si defines \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), entonces \(\Phi = 1/r\))
B-3. Conmutatividad de las derivadas parciales mixtas¶
Dado \(f(x, y) = e^{x}\sin y\), calcula \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) y \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\), y verifica que ambas son iguales.
B-4. Gradiente y curvas de nivel¶
Calcula el gradiente \(\nabla\Phi\) de \(\Phi(x, y) = x^2 + y^2\) y obtén el vector gradiente en el punto \((1, 2)\). Confirma que este vector es perpendicular a la curva de nivel \(\Phi = \text{const}\).
B-5. Gradiente de distribución de temperatura¶
La distribución de temperatura en un plano bidimensional está dada por \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\). Calcula el gradiente de temperatura \(\nabla T\) en el punto \((1, 1)\) e indica la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente.
B-6. Divergencia de un campo vectorial lineal¶
Calcula la divergencia \(\nabla \cdot \mathbf{V}\) de \(\mathbf{V} = (x, y, z)\).
B-7. Divergencia de un campo vectorial cuadrático¶
Calcula la divergencia de \(\mathbf{V} = (x^2, y^2, z^2)\).
B-8. Divergencia de un campo rotacional¶
Para un campo vectorial arbitrario \(\mathbf{A}\), demuestra que la divergencia del campo rotacional \(\nabla \times \mathbf{A}\) es igual a cero. Es decir, demuestra que:
B-9. Rotacional de un campo rotacional¶
Calcula el rotacional \(\nabla \times \mathbf{V}\) de \(\mathbf{V} = (-y, x, 0)\). ¿Tiene este campo un "vórtice"?
B-10. rot de \((yz, xz, xy)\)¶
Calcula el rot de \(\mathbf{V} = (yz, xz, xy)\).
B-11. Verificación de \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\)¶
Calcula el rot de \(\mathbf{V} = \nabla\Phi\) (con \(\Phi = x^2 + y^2 + z^2\)) y verifica que \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\).
B-12. Potencial vectorial de un campo magnético uniforme¶
Para el potencial vectorial \(\mathbf{A} = \frac{B}{2}(-y,\, x,\, 0)\) correspondiente a un campo magnético uniforme \(\mathbf{B} = B\hat{z}\), calcula el laplaciano de cada componente \(\nabla^2 A_x\), \(\nabla^2 A_y\), \(\nabla^2 A_z\). Además, verifica que se cumple \(\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}\).
B-13. Laplaciano de \(x^2 - y^2\)¶
Calcula el laplaciano \(\nabla^2\Phi\) de \(\Phi(x, y) = x^2 - y^2\). ¿Satisface esta función la ecuación de Laplace \(\nabla^2\Phi = 0\)?
B-14. Laplaciano de \(e^x \cos y\)¶
Verifica que \(\Phi(x, y) = e^x \cos y\) satisface la ecuación de Laplace.
B-15. Laplaciano de \(\sin(kx)\sin(ly)\)¶
Para el campo escalar bidimensional \(f(x,y) = \sin(kx)\sin(ly)\), calcula el laplaciano \(\nabla^2 f\).
B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)¶
Para \(\mathbf{A} = (xy, yz, zx)\), calcula \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})\) y verifica que el resultado es cero.
B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\)（\(\Phi = xyz\)）¶
Para \(\Phi = xyz\), calcula \(\nabla \times (\nabla\Phi)\) y verifica que el resultado es cero.
B-18. Verificación de que una onda plana satisface la ecuación de ondas¶
Verifica que \(f(x, t) = A\sin(kx - \omega t)\) satisface la ecuación de ondas \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\) y demuestra que \(v = \omega/k\).
B-19. La onda exponencial compleja satisface la ecuación de ondas¶
Verifica que \(f(x, t) = e^{i(kx - \omega t)}\) satisface la ecuación de ondas. (\(i\) es la unidad imaginaria)
B-20. Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales¶
Clasifica las siguientes ecuaciones en derivadas parciales como hiperbólicas, parabólicas (de difusión) o elípticas.
- (a) \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
- (b) \(\frac{\partial u}{\partial t} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
- (c) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\rho(x,y)\)
- (d) \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\)
Intermedio¶
M-1. Verificación de la solución de la ecuación de difusión¶
Ecuación de difusión
Sustituye la forma de la solución \(u(x, t) = e^{ikx - \alpha t}\) en esta ecuación y expresa \(\alpha\) en términos de \(D\) y \(k\).
M-2. Gradiente del potencial gravitatorio¶
Calcula el gradiente de \(\Phi(x, y, z) = -\frac{GM}{r}\) (donde \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)) y demuestra que \(\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}\). (Potencial gravitatorio del Capítulo 1)
M-3. La divergencia del campo eléctrico de Coulomb es cero¶
Para \(\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r}}{r^3}\) (donde \(\mathbf{r} = (x, y, z)\), \(r = |\mathbf{r}|\)), demuestra que \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) en la región donde \(r \neq 0\). (Pista: \(\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r^3} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}\))
M-4. Laplaciano de \(1/r\)¶
Confirma que \(\Phi(r) = 1/r\) (\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), \(r \neq 0\)) satisface \(\nabla^2\Phi = 0\), utilizando el laplaciano en coordenadas esféricas \(\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d\Phi}{dr})\). (Relacionado con el problema de práctica 1.3 del Capítulo 1)
M-5. Solución de d'Alembert \(g(x - vt)\)¶
Demuestra, usando la regla de la cadena, que \(f(x, t) = g(x - vt)\) (donde \(g\) es una función arbitraria dos veces diferenciable) satisface la ecuación de ondas.
M-6. Descomposición de una onda estacionaria¶
Confirma que la solución de la ecuación de ondas \(f(x, t) = A\sin(kx)\cos(\omega t)\) es una onda estacionaria (standing wave). Demuestra, utilizando la fórmula de producto a suma de funciones trigonométricas, que esta puede escribirse como la superposición de una onda que se propaga hacia la derecha y otra que se propaga hacia la izquierda.
M-7. Condiciones de frontera de los modos de vibración de una cuerda¶
Verifica que la solución \(f_n(x, t) = A_n \sin(n\pi x/L)\cos(\omega_n t)\) (con \(\omega_n = n\pi v/L\)) satisface las condiciones de frontera \(f(0, t) = f(L, t) = 0\) de la ecuación de onda que describe la vibración de una cuerda (de longitud \(L\), con ambos extremos fijos). (Preparación para los modos de vibración de una cuerda del Capítulo 14)
Avanzado¶
A-1. Identidad de \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})\)¶
Para el caso en que el campo eléctrico tiene la forma \(\mathbf{E} = (E_x(x,y,z),\, 0,\, 0)\), demuestra directamente que la identidad vectorial
se cumple, calculando cada lado componente a componente.
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