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Apéndice G Soluciones

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Intermedio

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M-1. Derivación de \(\delta\sqrt{-g}\)

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Estrategia: Variar ambos lados de la relación fundamental de la métrica \(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\) para obtener la relación entre las variaciones de \(g^{\mu\nu}\) y \(g_{\mu\nu}\), y luego combinar con la fórmula de Jacobi \(\delta g = g \cdot g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\) para obtener \(\delta\sqrt{-g}\).

Paso 1: Derivación de \(g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\)

Variamos ambos lados de \(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\). Como el lado derecho es un tensor constante, \(\delta(\delta^\mu_\nu) = 0\):

\(\delta(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}) = (\delta g^{\mu\alpha})g_{\alpha\nu} + g^{\mu\alpha}(\delta g_{\alpha\nu}) = 0\)

Multiplicando ambos lados por \(g^{\nu\beta}\) y reorganizando la contracción en \(\alpha, \nu\):

\(g^{\nu\beta}g_{\alpha\nu}\delta g^{\mu\alpha} + g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\nu} = 0\)

\(\delta^\beta_\alpha \delta g^{\mu\alpha} + g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\nu} = 0\)

\(\delta g^{\mu\beta} = -g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\nu}\)

Multiplicando ambos lados por \(g_{\mu\beta}\) y contrayendo:

\(g_{\mu\beta}\delta g^{\mu\beta} = -g_{\mu\beta}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\nu} = -\delta^\alpha_\beta g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\nu} = -g^{\nu\alpha}\delta g_{\alpha\nu}\)

Renombrando los índices:

\(\boxed{g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}}\)

Paso 2: Derivación de \(\delta\sqrt{-g}\)

Por la fórmula de Jacobi:

\(\delta g = g \cdot g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\)

Como \(\sqrt{-g} = (-g)^{1/2}\), por la regla de la cadena:

\(\delta\sqrt{-g} = \frac{1}{2}(-g)^{-1/2} \cdot \delta(-g) = -\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g = -\frac{1}{2\sqrt{-g}} \cdot g \cdot g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\)

Como \(g < 0\) (métrica lorentziana), tenemos \(g = -(-g) = -(\sqrt{-g})^2\). Por lo tanto \(g/\sqrt{-g} = -\sqrt{-g}\):

\(\delta\sqrt{-g} = -\frac{1}{2}(-\sqrt{-g})g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\)

Sustituyendo el resultado del Paso 1, \(g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} = -g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\):

\(\boxed{\delta\sqrt{-g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}}\)

Verificación: En el espacio-tiempo plano con \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)\), tenemos \(g = -1\), \(\sqrt{-g} = 1\). Considerando una desviación del espacio-tiempo plano \(g_{\mu\nu} \to \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}\), con \(\delta g_{\mu\nu} = h_{\mu\nu}\), la fórmula derivada \(\delta\sqrt{-g} = \frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\) da \(\delta\sqrt{-g} \approx \frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu} = \frac{1}{2}h\) (donde \(h \equiv \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}\) es la traza de la perturbación). Esto coincide con el resultado conocido en la expansión de campo gravitatorio débil.

M-2. Límite newtoniano de Einstein-Hilbert

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Estrategia: Se imponen sucesivamente las 3 condiciones —campo gravitatorio débil, velocidades bajas y régimen estático— y se deduce la ecuación de Poisson de Newton a partir de la componente \(00\) de las ecuaciones de Einstein.

Paso 1: Componente \(00\) del tensor de energía-momento

Para materia no relativista, la densidad de energía \(\rho c^2\) es mucho mayor que la densidad de momento. Por lo tanto, las componentes dominantes de \(T^{\mu\nu}\) son:

\(T^{00} \approx \rho c^2, \qquad T^{0i} \approx 0, \qquad T^{ij} \approx 0\)

Bajando los índices (con \(g_{00} \approx \eta_{00} = -1\)), se tiene \(T_{00} = g_{0\mu}g_{0\nu}T^{\mu\nu} \approx \rho c^2\).

La traza es:

\(T = g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} \approx \eta^{\mu\nu}T_{\mu\nu} = -T_{00} + T_{ii} \approx -\rho c^2\)

Paso 2: Reescritura de las ecuaciones de Einstein

Contrayendo ambos lados de la ecuación de Einstein \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) con \(g^{\mu\nu}\):

\(R - 2R = \frac{8\pi G}{c^4}T \quad\Rightarrow\quad R = -\frac{8\pi G}{c^4}T\)

Sustituyendo esto en la ecuación original y reordenando se obtiene la forma con traza invertida:

\(R_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right)\)

Paso 3: Componente \(00\)

\(R_{00} = \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{00} - \frac{1}{2}g_{00}T\right) \approx \frac{8\pi G}{c^4}\left(\rho c^2 - \frac{1}{2}(-1)(-\rho c^2)\right) = \frac{8\pi G}{c^4} \cdot \frac{\rho c^2}{2} = \frac{4\pi G \rho}{c^2}\)

Paso 4: Sustitución de \(R_{00} \approx -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\) y \(h_{00} = -2\Phi/c^2\)

Usando \(R_{00} \approx -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\), resultado admitido en el enunciado:

\(-\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00} = \frac{4\pi G\rho}{c^2}\)

Sustituyendo \(h_{00} = -2\Phi/c^2\):

\(-\frac{1}{2}\nabla^2\!\left(-\frac{2\Phi}{c^2}\right) = \frac{4\pi G\rho}{c^2}\)

\(\frac{1}{c^2}\nabla^2\Phi = \frac{4\pi G\rho}{c^2}\)

\(\boxed{\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho}\)

Nota complementaria (origen de \(R_{00} \approx -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\)): Con la signatura de la métrica \((-,+,+,+)\), al calcular los símbolos de Christoffel en campo débil y estático se obtiene \(\Gamma^i_{00} \approx -\frac{1}{2}\partial_i h_{00}\), de donde \(R_{00} \approx \partial_i\Gamma^i_{00} = -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\). En el enunciado se admite este resultado y el objetivo central del problema es combinarlo con la componente \(00\) de las ecuaciones de Einstein para deducir la ecuación de Poisson.

Verificación: En el vacío (\(\rho = 0\)), si \(\Phi = -GM/r\) entonces \(\nabla^2\Phi = 0\) (para \(r \neq 0\)), lo cual es consistente con el lado derecho de la ecuación de Poisson. En regiones con distribución de masa se tiene \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho > 0\), y \(\Phi\) como potencial atractivo (\(\Phi < 0\)) reproduce correctamente la gravedad.

M-3. Variación del término de constante cosmológica

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Estrategia: Variamos la acción \(S = \frac{c^4}{16\pi G}\int (R - 2\Lambda)\sqrt{-g}\,d^4x + S_M\) respecto a \(g^{\mu\nu}\). La variación de la parte \(R\) ya fue calculada en la sección G.2 del texto, así que solo necesitamos calcular la variación del término adicional \(-2\Lambda\sqrt{-g}\).

Paso 1: Variación de \(-2\Lambda\sqrt{-g}\)

Como \(\Lambda\) es una constante:

\(\delta(-2\Lambda\sqrt{-g}) = -2\Lambda \cdot \delta\sqrt{-g}\)

Sustituyendo el resultado del problema G.1, \(\delta\sqrt{-g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\):

\(\delta(-2\Lambda\sqrt{-g}) = -2\Lambda \cdot \left(-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\right) = \Lambda\,g_{\mu\nu}\,\delta g^{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\)

Paso 2: Integración de las variaciones

Combinando con el resultado de la sección G.3, \(\delta(R\sqrt{-g}) = (R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R)\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\) (habiendo eliminado los términos de frontera):

\(\delta S_{EH+\Lambda} = \frac{c^4}{16\pi G}\int\left[\left(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\right) + \Lambda g_{\mu\nu}\right]\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\,d^4x\)

Definiendo \(T_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu\nu}}\) a partir de la variación de la acción de materia \(S_M\):

\(\delta S_M = -\frac{1}{2}\int T_{\mu\nu}\,\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\,d^4x\)

Paso 3: Variación de la acción total \(\delta S = 0\)

\(\delta S = \frac{c^4}{16\pi G}\int\left[R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} - \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\right]\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\,d^4x = 0\)

Como \(\delta g^{\mu\nu}\) es arbitrario, el coeficiente del integrando debe anularse:

\(\boxed{R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}}\)

Esta es la ecuación de Einstein con constante cosmológica.

Verificación del significado físico:

En el vacío (\(T_{\mu\nu} = 0\)), se tiene \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = 0\). Tomando la traza: \(-R + 4\Lambda = 0\), es decir, \(R = 4\Lambda\). Sustituyendo se obtiene \(R_{\mu\nu} = \Lambda g_{\mu\nu}\), lo que corresponde al espaciotiempo de de Sitter (\(\Lambda > 0\)) o al espaciotiempo anti-de Sitter (\(\Lambda < 0\)). En el universo real, \(\Lambda \approx 10^{-52}\ \mathrm{m}^{-2}\) (valor observacional) es el candidato principal para la energía oscura.

Solución alternativa (interpretando \(\Lambda\) como tensor de energía-momento): Si pasamos \(\Lambda g_{\mu\nu}\) al lado derecho:

\(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{\mu\nu} - \frac{\Lambda c^4}{8\pi G}g_{\mu\nu}\right) = \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{\mu\nu} + T^{(\Lambda)}_{\mu\nu}\right)\)

Aquí \(T^{(\Lambda)}_{\mu\nu} = -\frac{\Lambda c^4}{8\pi G}g_{\mu\nu}\) puede interpretarse como el tensor de energía-momento del vacío. Leyendo la componente \(T_{00}\) en el sistema en reposo (\(g_{00} = -1\)), la densidad de energía es \(\rho_\Lambda c^2 = \frac{\Lambda c^4}{8\pi G}\) (es decir, la densidad de masa \(\rho_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{8\pi G}\)). De las componentes espaciales \(T_{ij} = p\,g_{ij}\) se obtiene la presión \(p_\Lambda = -\frac{\Lambda c^4}{8\pi G} = -\rho_\Lambda c^2\) (presión negativa). La ecuación de estado es \(w \equiv p/(\rho c^2) = -1\). Esta es la esencia de la «energía oscura».