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Apéndice D Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. \(\Gamma^r_{\ tt}\) de Schwarzschild

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Estrategia de resolución

En una métrica diagonal, de los índices \(\alpha\) sobre los que se suma en la definición del símbolo de Christoffel, solo \(\alpha = \mu\) contribuye, ya que \(g^{\mu\alpha} \neq 0\) únicamente cuando \(\alpha = \mu\). Como \(\mu = r\), solo contribuye \(\alpha = r\).

Detalles del cálculo

Sustituimos \(\mu = r\), \(\nu = \sigma = t\) en la definición:

\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{1}{2}g^{r\alpha}\left(\partial_t g_{\alpha t} + \partial_t g_{\alpha t} - \partial_\alpha g_{tt}\right) \]

Como la métrica es diagonal, solo contribuye \(\alpha = r\):

\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{1}{2}g^{rr}\left(\underbrace{\partial_t g_{rt}}_{=0} + \underbrace{\partial_t g_{rt}}_{=0} - \partial_r g_{tt}\right) = -\frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{tt} \]

Cálculo de \(g^{rr}\):

\[ g^{rr} = \frac{1}{g_{rr}} = 1 - \frac{2M}{r} \]

Cálculo de \(\partial_r g_{tt}\):

\[ g_{tt} = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) = -1 + \frac{2M}{r} \]
\[ \partial_r g_{tt} = \partial_r\left(-1 + \frac{2M}{r}\right) = -\frac{2M}{r^2} \]

Sustitución:

\[ \Gamma^r{}_{tt} = -\frac{1}{2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\left(-\frac{2M}{r^2}\right) = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \]

Respuesta final

\[ \boxed{\Gamma^r{}_{tt} = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)} \]

Verificación

En el límite de campo lejano \(r \gg 2M\) se obtiene \(\Gamma^r{}_{tt} \approx M/r^2\). Esto coincide con la aceleración gravitatoria newtoniana \(GM/r^2\) (con \(G=1\)). ✓

B-2. \(\Gamma^r_{\ rr}\) de Schwarzschild

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Estrategia de resolución

Se sustituye \(\mu = \nu = \sigma = r\). Como la métrica es diagonal, se tiene \(\Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{rr}\).

Detalles del cálculo

Sustituyendo en la definición:

\[ \Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}g^{rr}\left(\partial_r g_{rr} + \partial_r g_{rr} - \partial_r g_{rr}\right) = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{rr} \]

Cálculo de \(\partial_r g_{rr}\):

Para \(g_{rr} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}\), haciendo la sustitución \(u = 1 - \frac{2M}{r}\) se tiene \(g_{rr} = u^{-1}\).

\[ \frac{du}{dr} = \frac{2M}{r^2} \]
\[ \partial_r g_{rr} = -u^{-2}\frac{du}{dr} = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-2}\cdot\frac{2M}{r^2} \]

Sustitución:

\[ \Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\cdot\left[-\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-2}\cdot\frac{2M}{r^2}\right] \]
\[ = -\frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1} \]

Respuesta final

\[ \boxed{\Gamma^r{}_{rr} = -\frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}} \]

Verificación

Se comprueba el producto \(\Gamma^r{}_{rr} \cdot \Gamma^r{}_{tt}\): \(\Gamma^r{}_{tt}\cdot\Gamma^r{}_{rr} = \frac{M}{r^2}(1-2M/r)\cdot\left(-\frac{M}{r^2}\right)(1-2M/r)^{-1} = -M^2/r^4\). Esto es consistente con los valores tabulados. ✓

B-3. \(\Gamma^\theta_{\ \varphi\varphi}\) en coordenadas esféricas de Minkowski

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Detalle del cálculo

Sustituyendo \(\mu = \theta\), \(\nu = \sigma = \varphi\). Como la métrica es diagonal, solo contribuye \(\alpha = \theta\):

\[ \Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = \frac{1}{2}g^{\theta\theta}\left(\underbrace{\partial_\varphi g_{\theta\varphi}}_{=0} + \underbrace{\partial_\varphi g_{\theta\varphi}}_{=0} - \partial_\theta g_{\varphi\varphi}\right) = -\frac{1}{2}g^{\theta\theta}\,\partial_\theta g_{\varphi\varphi} \]

Cálculo de cada cantidad:

\[ g^{\theta\theta} = \frac{1}{r^2} \]
\[ g_{\varphi\varphi} = r^2\sin^2\theta \quad \Longrightarrow \quad \partial_\theta g_{\varphi\varphi} = 2r^2\sin\theta\cos\theta \]

Sustitución:

\[ \Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{r^2}\cdot 2r^2\sin\theta\cos\theta = -\sin\theta\cos\theta \]

Resultado final

\[ \boxed{\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\sin\theta\cos\theta} \]

Verificación

En las tablas de fórmulas de la métrica de Schwarzschild también se tiene \(\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\cos\theta\sin\theta\), y como esta componente depende únicamente de la parte angular, el resultado coincide. ✓

B-4. \(\Gamma^r_{\ tr}\) de FRW

→ Volver al problema

Detalle del cálculo

Sustituimos \(\mu = r\), \(\nu = t\), \(\sigma = r\). En una métrica diagonal, solo contribuye \(\alpha = r\):

\[ \Gamma^r{}_{tr} = \frac{1}{2}g^{rr}\left(\partial_t g_{rr} + \partial_r g_{rt} - \partial_r g_{tr}\right) = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_t g_{rr} \]

(Como \(g_{rt} = 0\), el segundo y tercer término se anulan.)

Cálculo de cada cantidad:

Para \(k=0\) se tiene \(g_{rr} = a^2(t)\), por lo que

\[ g^{rr} = \frac{1}{a^2(t)}, \qquad \partial_t g_{rr} = 2a\dot{a} \]

Sustitución:

\[ \Gamma^r{}_{tr} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a^2}\cdot 2a\dot{a} = \frac{\dot{a}}{a} \]

Respuesta final

\[ \boxed{\Gamma^r{}_{tr} = \frac{\dot{a}}{a} = H(t)} \]

Verificación

Esto es igual al parámetro de Hubble \(H(t)\). Representa el "efecto de arrastre" de las coordenadas comóviles debido a la expansión del universo, lo cual es físicamente razonable. Coincide también con los valores tabulados en formularios. ✓

B-5. \(\Gamma^t_{\ \theta\theta}\) de FRW

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Detalle del cálculo

Sustituyendo \(\mu = t\), \(\nu = \sigma = \theta\). En una métrica diagonal, solo contribuye \(\alpha = t\):

\[ \Gamma^t{}_{\theta\theta} = \frac{1}{2}g^{tt}\left(\underbrace{\partial_\theta g_{t\theta}}_{=0} + \underbrace{\partial_\theta g_{t\theta}}_{=0} - \partial_t g_{\theta\theta}\right) = -\frac{1}{2}g^{tt}\,\partial_t g_{\theta\theta} \]

Cálculo de cada cantidad:

\[ g^{tt} = -1, \qquad g_{\theta\theta} = a^2(t)\,r^2 \]
\[ \partial_t g_{\theta\theta} = 2a\dot{a}\,r^2 \]

Sustitución:

\[ \Gamma^t{}_{\theta\theta} = -\frac{1}{2}(-1)\cdot 2a\dot{a}\,r^2 = a\dot{a}\,r^2 \]

Resultado final

\[ \boxed{\Gamma^t{}_{\theta\theta} = a\dot{a}\,r^2} \]

Verificación

Coincide exactamente con el valor de la tabla de fórmulas \(\Gamma^t{}_{\theta\theta} = a\dot{a}\,r^2\). ✓

B-6. Verificación de la base ortonormal de Schwarzschild

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Detalle del cálculo

Del formulario:

\[ (\mathbf{e}_{\hat{r}})^\alpha = \left[0,\; \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{1/2},\; 0,\; 0\right] \]

Calculamos el producto interno:

\[ g(\mathbf{e}_{\hat{r}},\, \mathbf{e}_{\hat{r}}) = g_{\alpha\beta}\,(\mathbf{e}_{\hat{r}})^\alpha\,(\mathbf{e}_{\hat{r}})^\beta \]

La única componente no nula es \(\alpha = \beta = r\):

\[ = g_{rr}\cdot\left[\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{1/2}\right]^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}\cdot\left(1 - \frac{2M}{r}\right) = 1 \]

Respuesta final

\[ \boxed{g(\mathbf{e}_{\hat{r}},\, \mathbf{e}_{\hat{r}}) = +1} \]

Verificación

De manera análoga, se puede comprobar que \(g(\mathbf{e}_{\hat{t}},\, \mathbf{e}_{\hat{t}}) = g_{tt}\cdot(1-2M/r)^{-1} = -(1-2M/r)\cdot(1-2M/r)^{-1} = -1\), lo cual satisface la condición de base ortonormal \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\). ✓

B-7. Verificación de los símbolos de Christoffel para simetría esférica general

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Detalle del cálculo

A partir del formulario de la métrica esféricamente simétrica general:

\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{\nu'}{2}\,e^{\nu - \lambda} \]

En Schwarzschild, \(e^{\nu} = 1 - \frac{2M}{r}\), \(e^{-\lambda} = 1 - \frac{2M}{r}\), por lo que \(e^{\lambda} = (1-2M/r)^{-1}\).

Cálculo de \(\nu'\):

\[ \nu = \ln\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \]
\[ \nu' = \frac{d\nu}{dr} = \frac{1}{1 - 2M/r}\cdot\frac{2M}{r^2} = \frac{2M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1} \]

Cálculo de \(e^{\nu - \lambda}\):

\[ e^{\nu - \lambda} = e^{\nu}\cdot e^{-\lambda} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\cdot\left(1 - \frac{2M}{r}\right) = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^2 \]

Sustitución:

\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}\cdot\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^2 = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \]

Resultado final

\[ \boxed{\Gamma^r{}_{tt} = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)} \]

Coincide con el resultado de D1. ✓

Verificación

La reducción de la fórmula general al caso particular se ha realizado correctamente. El resultado intermedio \(\nu' = \frac{2M}{r^2(1-2M/r)}\) es razonable, ya que para \(r \to \infty\) se tiene \(\nu' \to 2M/r^2 \to 0\) (se aproxima al espaciotiempo plano). ✓

B-8. Aplicación de las simetrías del tensor de Riemann

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Detalles del cálculo

Del formulario: \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -2M/r^3\).

Método 1: Simetría de intercambio del primer y segundo par

\[ R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} \]

Aplicando la simetría de intercambio de pares \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}\):

\[ R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} \]

Esto nos devuelve a la misma cantidad, así que usamos otro método.

Método 2: Aplicación doble de la antisimetría

Antisimetría en el 1.° y 2.° índice:

\[ R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = -R_{\hat{r}\hat{t}\hat{t}\hat{r}} \]

Antisimetría en el 3.° y 4.° índice:

\[ -R_{\hat{r}\hat{t}\hat{t}\hat{r}} = -(-R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}) = R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} \]

Por lo tanto:

\[ R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -\frac{2M}{r^3} \]

Respuesta final

\[ \boxed{R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = -\frac{2M}{r^3}} \]

Verificación

Confirmación directa mediante la simetría de intercambio de pares: \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}}\) (trivial). Aplicando la antisimetría una sola vez: \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = -R_{\hat{r}\hat{t}\hat{t}\hat{r}} = +R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\) (antisimetría en el 3.° y 4.° índice). El resultado es consistente. ✓

B-9. \(R_{tt} = 0\) de Schwarzschild

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Estrategia de resolución

Expandimos la definición del tensor de Ricci \(R_{\hat{t}\hat{t}} = R^{\hat{\rho}}{}_{\hat{t}\hat{\rho}\hat{t}}\), teniendo en cuenta que en una base ortonormal los índices se suben y bajan con \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\).

Detalles del cálculo

\[ R_{\hat{t}\hat{t}} = R^{\hat{t}}{}_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}} + R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} + R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} + R^{\hat{\varphi}}{}_{\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} \]

Término 1: \(R^{\hat{t}}{}_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = \eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = (-1)\cdot 0 = 0\)

(Por la antisimetría del tensor de Riemann, \(R_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = 0\))

Término 2: \(R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = \eta^{\hat{r}\hat{r}}R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = (+1)\cdot\left(-\frac{2M}{r^3}\right) = -\frac{2M}{r^3}\)

Término 3: \(R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = \eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = (+1)\cdot\frac{M}{r^3} = \frac{M}{r^3}\)

(Del formulario: \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = M/r^3\))

Término 4: \(R^{\hat{\varphi}}{}_{\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} = \eta^{\hat{\varphi}\hat{\varphi}}R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} = (+1)\cdot\frac{M}{r^3} = \frac{M}{r^3}\)

Suma total:

\[ R_{\hat{t}\hat{t}} = 0 - \frac{2M}{r^3} + \frac{M}{r^3} + \frac{M}{r^3} = 0 \]

Respuesta final

\[ \boxed{R_{\hat{t}\hat{t}} = 0} \]

Verificación

El espaciotiempo de Schwarzschild es una solución de vacío (\(G_{\mu\nu} = 0\)), por lo que \(R_{\mu\nu} = 0\). El resultado \(R_{\hat{t}\hat{t}} = 0\) es consistente con esto. ✓

B-10. Curvatura escalar de FRW

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Estrategia de resolución

Se toma la traza de la definición del tensor de Einstein \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\).

Desarrollo del cálculo

Calculamos la traza:

\[ G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}G_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = -G_{\hat{t}\hat{t}} + G_{\hat{r}\hat{r}} + G_{\hat{\theta}\hat{\theta}} + G_{\hat{\varphi}\hat{\varphi}} \]

Por otro lado, la traza de la definición:

\[ G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = R^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} - \frac{1}{2}\delta^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}}R = R - \frac{1}{2}\cdot 4\cdot R = R - 2R = -R \]

Por lo tanto:

\[ R = -G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = G_{\hat{t}\hat{t}} - G_{\hat{r}\hat{r}} - G_{\hat{\theta}\hat{\theta}} - G_{\hat{\varphi}\hat{\varphi}} \]

Componentes del tensor de Einstein para FRW (del formulario):

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} = 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} \]
\[ G_{\hat{r}\hat{r}} = G_{\hat{\theta}\hat{\theta}} = G_{\hat{\varphi}\hat{\varphi}} = -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} \]

(Por la isotropía, todas las componentes espaciales son iguales.)

Sustitución:

\[ R = 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} - 3\left(-\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\right) \]
\[ = 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} + \frac{6\ddot{a}}{a} + 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} \]
\[ = 6\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} + \frac{6\ddot{a}}{a} \]

Respuesta final

\[ \boxed{R = 6\left(\frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\right)} \]

Verificación

Para \(k = 0\), \(a = \text{const}\) (Minkowski) se obtiene \(R = 0\). ✓

En el espacio-tiempo de de Sitter (\(a \propto e^{Ht}\), \(k=0\)) se tiene \(\dot{a}/a = H\), \(\ddot{a}/a = H^2\), por lo que \(R = 6(H^2 + H^2) = 12H^2 = 4\Lambda\) (cuando \(H^2 = \Lambda/3\)). Esto coincide con el resultado conocido. ✓

Intermedio

M-1. Límite newtoniano de la geodésica de Schwarzschild

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se sustituyen los símbolos de Christoffel del formulario en la ecuación geodésica para la componente \(r\) y se toma el límite de baja velocidad y campo gravitatorio débil.

Detalles del cálculo

Sustitución de los símbolos de Christoffel:

Suponiendo el plano ecuatorial \(\theta = \pi/2\) (sin pérdida de generalidad):

\[ \frac{d^2 r}{d\tau^2} + \frac{M}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 - \frac{M}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 - (r-2M)\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 = 0 \]

Aquí se ha omitido el término \(\Gamma^r{}_{\theta\theta}(d\theta/d\tau)^2\) ya que \(d\theta/d\tau = 0\) en el plano ecuatorial.

Límite de baja velocidad y campo gravitatorio débil:

Condiciones: - \(dr/d\tau \approx 0\), \(d\varphi/d\tau \approx 0\) (baja velocidad) - \(r \gg 2M\) (campo gravitatorio débil), por lo que \(1 - 2M/r \approx 1\) - \(dt/d\tau \approx 1\) (la dilatación temporal es despreciable) - \(d\tau \approx dt\)

Todos los términos excepto el segundo son despreciables:

\[ \frac{d^2 r}{d\tau^2} + \frac{M}{r^2}\cdot 1\cdot 1^2 \approx 0 \]

Usando \(d\tau \approx dt\):

\[ \frac{d^2 r}{dt^2} \approx -\frac{M}{r^2} \]

Respuesta final

\[ \boxed{\frac{d^2 r}{dt^2} \approx -\frac{M}{r^2}} \]

Esto es exactamente la ecuación de movimiento dada por la ley de gravitación universal de Newton \(F = -GMm/r^2\) (con \(G = 1\)).

Verificación

Análisis dimensional: \([M/r^2] = \text{(longitud)}/\text{(longitud)}^2 = 1/\text{(longitud)}\). En unidades geométricas (\(G = c = 1\)), \(M\) tiene dimensiones de longitud, por lo que \(M/r^2\) tiene dimensiones de \(1/\text{longitud}\) = dimensiones de aceleración. ✓

M-2. FRW y ecuaciones de Friedmann · ley de conservación

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se utilizan las componentes \((\hat{t},\hat{t})\) y \((\hat{r},\hat{r})\) de la ecuación de Einstein \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\).

Desarrollo del cálculo

Primera ecuación de Friedmann:

Sustituyendo \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 3(\dot{a}^2 + k)/a^2\) y \(T_{\hat{t}\hat{t}} = \rho\) en \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi T_{\hat{t}\hat{t}}\):

\[ 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} = 8\pi\rho \]
\[ \boxed{H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi\rho}{3} - \frac{k}{a^2}} \]

Segunda ecuación de Friedmann (ecuación de aceleración):

Sustituyendo \(G_{\hat{r}\hat{r}} = -2\ddot{a}/a - (\dot{a}^2 + k)/a^2\) y \(T_{\hat{r}\hat{r}} = p\) en \(G_{\hat{r}\hat{r}} = 8\pi T_{\hat{r}\hat{r}}\):

\[ -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} = 8\pi p \]

Sustituyendo \((\dot{a}^2 + k)/a^2 = 8\pi\rho/3\) de la primera ecuación de Friedmann:

\[ -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{8\pi\rho}{3} = 8\pi p \]
\[ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) \]
\[ \boxed{\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p)} \]

Derivación de la ecuación de continuidad:

Se deriva temporalmente la primera ecuación de Friedmann:

\[ \frac{d}{dt}\left(\dot{a}^2 + k\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{8\pi\rho}{3}a^2\right) \]
\[ 2\dot{a}\ddot{a} = \frac{8\pi}{3}\left(\dot{\rho}\,a^2 + 2\rho\,a\dot{a}\right) \]

Dividiendo ambos lados por \(2a\dot{a}\) (suponiendo \(\dot{a} \neq 0\)):

\[ \frac{\ddot{a}}{a} = \frac{8\pi}{3}\left(\frac{\dot{\rho}}{2}\frac{a}{\dot{a}} + \rho\right) = \frac{4\pi}{3}\frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} + \frac{8\pi\rho}{3} \]

Sustituyendo la ecuación de aceleración \(\ddot{a}/a = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p)\) en el lado izquierdo:

\[ -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) = \frac{4\pi}{3}\frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} + \frac{8\pi\rho}{3} \]
\[ -\frac{4\pi}{3}\rho - 4\pi p = \frac{4\pi}{3}\frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} + \frac{8\pi\rho}{3} \]
\[ -4\pi p - \frac{4\pi}{3}\rho - \frac{8\pi\rho}{3} = \frac{4\pi}{3}\frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} \]
\[ -4\pi p - 4\pi\rho = \frac{4\pi}{3}\frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} \]
\[ -3(\rho + p) = \frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} \]
\[ \dot{\rho} = -3\frac{\dot{a}}{a}(\rho + p) \]

Resultado final

\[ \boxed{\dot{\rho} + 3\frac{\dot{a}}{a}(\rho + p) = 0} \]

Verificación

Caso de polvo (\(p = 0\)): \(\dot{\rho}/\rho = -3\dot{a}/a\) → \(\rho \propto a^{-3}\). Dado que el volumen es proporcional a \(a^3\), esto es consistente con la conservación de masa \(\rho \propto 1/\text{volumen}\). ✓

Caso de radiación (\(p = \rho/3\)): \(\dot{\rho}/\rho = -4\dot{a}/a\) → \(\rho \propto a^{-4}\). La disminución extra corresponde a la pérdida de energía por corrimiento al rojo, lo cual coincide con el resultado conocido. ✓

M-3. Escalar de Kretschmann de Schwarzschild

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Enumerar las componentes independientes del tensor de Riemann en la base ortonormal, y contar mediante simetrías cuántas veces contribuye cada componente a \(K = R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\).

Detalles del cálculo

Componentes independientes no nulas (del formulario):

Componente Valor
\(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\) \(-2M/r^3\)
\(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\) \(M/r^3\)
\(R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}}\) \(M/r^3\)
\(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\) \(-M/r^3\)
\(R_{\hat{r}\hat{\varphi}\hat{r}\hat{\varphi}}\) \(-M/r^3\)
\(R_{\hat{\theta}\hat{\varphi}\hat{\theta}\hat{\varphi}}\) \(2M/r^3\)

Subida y bajada de índices:

En la base ortonormal se suben los índices con \(\eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = \text{diag}(-1,+1,+1,+1)\).

\[ R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\mu}}\eta^{\hat{\beta}\hat{\nu}}\eta^{\hat{\gamma}\hat{\rho}}\eta^{\hat{\delta}\hat{\sigma}}R_{\hat{\mu}\hat{\nu}\hat{\rho}\hat{\sigma}} \]

Para cada componente independiente, verificamos el producto de los cuatro factores \(\eta\). Debido a la antisimetría del tensor de Riemann, cada par de índices \((ab)\) y \((cd)\) contiene 0 o 1 índice temporal. Por lo tanto, el número total de índices temporales es 0 o 2, y el producto de los factores \(\eta\) resulta \((-1)^0 = 1\) o \((-1)^2 = 1\).

Por ejemplo, para \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\): $$ R^{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = \eta^{\hat{r}\hat{r}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}\eta^{\hat{r}\hat{r}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = (+1)(-1)(+1)(-1)R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} $$

Para \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\): $$ R^{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = \eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}\eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = (+1)(-1)(+1)(-1)R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} $$

Para \(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\): $$ R^{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = (+1)(+1)(+1)(+1)R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} $$

Por lo tanto, para todas las componentes independientes se cumple \(R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\).

Conteo de contribuciones de cada componente independiente:

Usando las simetrías del tensor de Riemann \(R_{abcd} = -R_{bacd} = -R_{abdc} = R_{cdab}\), contamos las componentes no nulas que se generan a partir de una componente independiente \(R_{abcd}\) (con \(a \neq b\), \(c \neq d\)).

Las 6 componentes independientes tienen todas la forma \(R_{\hat{A}\hat{B}\hat{A}\hat{B}}\) (el par de índices \((ab) = (cd)\)). En este caso:

  • \((AB, AB)\): la componente original
  • \((BA, AB)\): antisimetría del primer par → \(-R_{ABAB}\)
  • \((AB, BA)\): antisimetría del segundo par → \(-R_{ABAB}\)
  • \((BA, BA)\): antisimetría de ambos pares → \(+R_{ABAB}\)

Esto da 4 combinaciones. El intercambio de pares \(R_{ABAB} = R_{ABAB}\) es trivial y no genera nuevas componentes.

Por lo tanto, cada componente independiente contribuye 4 veces a la suma de \(K\), y cada contribución es \((R_{ABAB})^2\) (ya que \(R^{ABAB} = R_{ABAB}\)).

Cálculo de \(K\):

\[ K = 4\left[\left(-\frac{2M}{r^3}\right)^2 + \left(\frac{M}{r^3}\right)^2 + \left(\frac{M}{r^3}\right)^2 + \left(-\frac{M}{r^3}\right)^2 + \left(-\frac{M}{r^3}\right)^2 + \left(\frac{2M}{r^3}\right)^2\right] \]
\[ = 4\left[\frac{4M^2}{r^6} + \frac{M^2}{r^6} + \frac{M^2}{r^6} + \frac{M^2}{r^6} + \frac{M^2}{r^6} + \frac{4M^2}{r^6}\right] \]
\[ = 4\cdot\frac{(4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4)M^2}{r^6} = 4\cdot\frac{12M^2}{r^6} = \frac{48M^2}{r^6} \]

Respuesta final

\[ \boxed{K = R_{\alpha\beta\gamma\delta}\,R^{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{48M^2}{r^6}} \]

Verificación

  • Para \(r \to \infty\), \(K \to 0\): consistente con la planitud asintótica. ✓
  • En \(r = 2M\), \(K = 48M^2/(2M)^6 = 48/(64M^4) = 3/(4M^4)\): valor finito. Es una singularidad coordenada, no una singularidad física. ✓
  • Para \(r \to 0\), \(K \to \infty\): singularidad verdadera. ✓
  • Análisis dimensional: \([M^2/r^6] = \text{(longitud)}^2/\text{(longitud)}^6 = 1/\text{(longitud)}^4\). Al ser el cuadrado del tensor de curvatura, \(1/\text{(longitud)}^4\) es correcto. ✓

M-4. Derivación de la función de masa

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Estrategia de resolución

Se sustituye \(e^{-\lambda} = 1 - 2m(r)/r\) en la expresión de \(G_{\hat{t}\hat{t}}\) y se simplifica.

Detalles del cálculo

Derivada de \(e^{-\lambda}\):

\[ \frac{d}{dr}e^{-\lambda} = -\lambda'\,e^{-\lambda} \]

Por otro lado,

\[ \frac{d}{dr}\left(1 - \frac{2m}{r}\right) = -\frac{2m'r - 2m}{r^2} = \frac{2m - 2m'r}{r^2} \]

Por lo tanto:

\[ -\lambda'\,e^{-\lambda} = \frac{2m - 2m'r}{r^2} \]
\[ \lambda'\,e^{-\lambda} = \frac{2m'r - 2m}{r^2} \]

Sustitución en \(G_{\hat{t}\hat{t}}\):

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} = \frac{1}{r^2}\,e^{-\lambda}\left(\lambda' r - 1 + e^{\lambda}\right) \]

Se calcula \(\lambda' r\,e^{-\lambda}\):

\[ \lambda' r\,e^{-\lambda} = r\cdot\frac{2m'r - 2m}{r^2} = \frac{2m'r - 2m}{r} \]

Como \(e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda} = 1\), se simplifica la expresión de \(G_{\hat{t}\hat{t}}\):

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} = \frac{1}{r^2}\left[\lambda' r\,e^{-\lambda} - e^{-\lambda} + 1\right] \]

Sustituyendo cada término:

\[ = \frac{1}{r^2}\left[\frac{2m'r - 2m}{r} - \left(1 - \frac{2m}{r}\right) + 1\right] \]
\[ = \frac{1}{r^2}\left[\frac{2m'r - 2m}{r} - 1 + \frac{2m}{r} + 1\right] \]
\[ = \frac{1}{r^2}\cdot\frac{2m'r - 2m + 2m}{r} = \frac{1}{r^2}\cdot\frac{2m'r}{r} = \frac{2m'}{r^2} \]

Aplicación de la ecuación de Einstein:

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi\rho \quad \Longrightarrow \quad \frac{2m'}{r^2} = 8\pi\rho \]
\[ m' = \frac{dm}{dr} = 4\pi r^2\rho \]

Respuesta final

\[ \boxed{\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho} \]

Significado físico: Esta expresión indica que el incremento de masa de una capa esférica de radio \(r\) es \(dm = \rho \cdot 4\pi r^2\,dr\) (densidad de energía × elemento de volumen coordenado de la capa). Es decir, \(m(r)\) es la masa gravitacional contenida dentro del radio \(r\) (masa de Misner-Sharp), y constituye la versión relativista general de la fórmula integral de la masa en mecánica newtoniana:

\[ m(r) = \int_0^r 4\pi r'^2\,\rho(r')\,dr' \]

Sin embargo, en relatividad general \(\rho\) es la densidad de energía local, y el efecto de la energía de ligadura gravitacional está implícitamente contenido a través de \(e^{\lambda}\) (el elemento de volumen propio es \(4\pi r^2 e^{\lambda/2}dr\), que difiere del elemento de volumen coordenado \(4\pi r^2 dr\)).

Verificación

En la región de vacío exterior (\(\rho = 0\)) se tiene \(dm/dr = 0\) → \(m = \text{const} = M\). Se obtiene \(e^{-\lambda} = 1 - 2M/r\), recuperando la solución de Schwarzschild. ✓

Avanzado

A-1. Órbita circular de Schwarzschild y fuerzas de marea

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(a) Derivación de la tercera ley de Kepler

Estrategia de resolución: Sustituir las condiciones de una órbita circular en el plano ecuatorial (\(r = \text{const}\), \(\theta = \pi/2\)) en la componente \(r\) de la ecuación de las geodésicas.

Detalles del cálculo:

Condiciones de órbita circular: \(dr/d\tau = 0\), \(d^2r/d\tau^2 = 0\), \(\theta = \pi/2\), \(d\theta/d\tau = 0\).

Componente \(r\) de la ecuación de las geodésicas:

\[ 0 + \Gamma^r{}_{tt}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + 0 + 0 + \Gamma^r{}_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 = 0 \]

Del formulario (con \(\theta = \pi/2\)):

\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right), \qquad \Gamma^r{}_{\varphi\varphi} = -(r - 2M)\sin^2\theta = -(r - 2M) \]

Sustituyendo:

\[ \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 - (r - 2M)\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 = 0 \]

Usando \((1 - 2M/r) = (r - 2M)/r\):

\[ \frac{M}{r^2}\cdot\frac{r - 2M}{r}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 = (r - 2M)\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 \]

Como \(r > 2M\) implica \(r - 2M \neq 0\), dividimos ambos lados entre \((r - 2M)\):

\[ \frac{M}{r^3}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 = \left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 \]

Usando la velocidad angular \(\Omega = d\varphi/dt = (d\varphi/d\tau)/(dt/d\tau)\):

\[ \Omega^2 = \frac{(d\varphi/d\tau)^2}{(dt/d\tau)^2} = \frac{M}{r^3} \]
\[ \boxed{\Omega^2 = \frac{M}{r^3}} \]

Esto tiene la misma forma que la tercera ley de Kepler de la mecánica newtoniana \(\omega^2 = GM/r^3\) (con \(G = 1\)). En relatividad general también se cumple la misma relación para la velocidad angular coordenada.

(b) Evaluación de la fuerza de marea

Estrategia de resolución: Usar la ecuación de desviación geodésica.

\[ \frac{D^2\xi^{\hat{\alpha}}}{d\tau^2} = -R^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\,u^{\hat{\beta}}\,u^{\hat{\gamma}}\,\xi^{\hat{\delta}} \]

La cuadrivelocidad del observador en órbita circular es, en una base ortonormal, aproximadamente \(u^{\hat{\beta}} \approx (u^{\hat{t}}, 0, 0, u^{\hat{\varphi}})\), pero para \(r \gg M\) o cuando se buscan los términos dominantes de la fuerza de marea, se puede aproximar como \(u^{\hat{\beta}} \approx (1, 0, 0, 0)\). Aquí evaluamos la fuerza de marea para un observador estático (\(u^{\hat{\beta}} = (1, 0, 0, 0)\)) de forma general.

Detalles del cálculo:

Aceleración relativa en la dirección radial para una desviación radial \(\xi^{\hat{\delta}} = (0, \delta r, 0, 0)\):

\[ \frac{D^2\xi^{\hat{r}}}{d\tau^2} = -R^{\hat{r}}{}_{\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\,u^{\hat{\beta}}\,u^{\hat{\gamma}}\,\xi^{\hat{\delta}} \]

Con \(u^{\hat{\beta}} = \delta^{\hat{\beta}}_{\hat{t}}\), \(\xi^{\hat{\delta}} = \delta^{\hat{\delta}}_{\hat{r}}\,\delta r\):

\[ \frac{D^2\xi^{\hat{r}}}{d\tau^2} = -R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\,\delta r \]

Subiendo el índice:

\[ R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = \eta^{\hat{r}\hat{r}}R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = (+1)\cdot\left(-\frac{2M}{r^3}\right) = -\frac{2M}{r^3} \]

Por lo tanto:

\[ \frac{D^2\xi^{\hat{r}}}{d\tau^2} = -\left(-\frac{2M}{r^3}\right)\delta r = \frac{2M}{r^3}\,\delta r \]

Magnitud de la aceleración relativa:

\[ \boxed{\left|\frac{D^2\xi^{\hat{r}}}{d\tau^2}\right| = \frac{2M}{r^3}\,\delta r} \]

Esto tiene la misma forma que la fuerza de marea newtoniana \(2GM\,\delta r/r^3\).

(c) Cociente de fuerzas de marea en la ISCO y el horizonte de eventos

La fuerza de marea es \(\propto M/r^3\), por lo que:

\[ \frac{(\text{fuerza de marea})_{r=6M}}{(\text{fuerza de marea})_{r=2M}} = \frac{(2M)^3}{(6M)^3} = \frac{8M^3}{216M^3} = \frac{1}{27} \]
\[ \boxed{\frac{(\text{fuerza de marea})_{\text{ISCO}}}{(\text{fuerza de marea})_{\text{horizonte}}} = \frac{1}{27}} \]

Verificación

  • (a) En \(r = 6M\): \(\Omega^2 = M/(216M^3) = 1/(216M^2)\), \(\Omega = 1/(6\sqrt{6}\,M)\). Valor razonable. ✓
  • (b) Dimensiones: \([M/r^3] = \text{(longitud)}/\text{(longitud)}^3 = 1/\text{(longitud)}^2\). Multiplicando por \(\delta r\) se obtiene \(1/\text{(longitud)}\) = dimensión de aceleración. ✓
  • (c) \(6^3 = 216\), \(2^3 = 8\), \(8/216 = 1/27\). ✓

A-2. de Sitter y la constante cosmológica

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(a) Derivación de las ecuaciones de Friedmann modificadas

Detalles del cálculo:

La ecuación de Einstein es \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\).

Componente \((\hat{t},\hat{t})\):

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} + \Lambda\,\eta_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi T_{\hat{t}\hat{t}} \]
\[ 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} + \Lambda(-1) = 8\pi\rho \]
\[ 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} = 8\pi\rho + \Lambda \]
\[ \boxed{H^2 = \frac{8\pi\rho}{3} + \frac{\Lambda}{3} - \frac{k}{a^2}} \]

Componente \((\hat{r},\hat{r})\):

\[ G_{\hat{r}\hat{r}} + \Lambda\,\eta_{\hat{r}\hat{r}} = 8\pi T_{\hat{r}\hat{r}} \]
\[ -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} + \Lambda(+1) = 8\pi p \]

Sustituyendo \((\dot{a}^2 + k)/a^2 = \frac{8\pi\rho}{3} + \frac{\Lambda}{3}\) de la primera ecuación de Friedmann:

\[ -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{8\pi\rho}{3} - \frac{\Lambda}{3} + \Lambda = 8\pi p \]
\[ -\frac{2\ddot{a}}{a} = 8\pi p + \frac{8\pi\rho}{3} - \frac{2\Lambda}{3} \]
\[ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3} \]
\[ \boxed{\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3}} \]

(b) Espaciotiempo de de Sitter

Condiciones: \(\rho = p = 0\), \(k = 0\).

Primera ecuación de Friedmann:

\[ H^2 = \frac{\Lambda}{3} \]

Como \(H = \dot{a}/a = \text{const}\):

\[ \frac{\dot{a}}{a} = \sqrt{\frac{\Lambda}{3}} \equiv H = \text{const} \]

Solución de esta ecuación diferencial:

\[ a(t) = a_0\,\exp\left(\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}\,t\right) \propto e^{Ht} \]

Verificación (ecuación de aceleración):

\[ \frac{\ddot{a}}{a} = H^2 = \frac{\Lambda}{3} \quad \checkmark \]
\[ \boxed{a(t) \propto e^{Ht}, \qquad H = \sqrt{\frac{\Lambda}{3}}} \]

(c) Verificación de que el tensor de Riemann del espaciotiempo de de Sitter adopta la forma de un espacio máximamente simétrico

Estrategia de resolución: Calcular el tensor de Ricci y la curvatura escalar del espaciotiempo de de Sitter, y compararlos con la forma general del tensor de Riemann de un espacio máximamente simétrico. Además, verificar mediante el cálculo directo de las componentes del tensor de Riemann de FRW.

Cálculo de la curvatura escalar:

A partir del resultado D10:

\[ R = 6\left(\frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\right) \]

En el espaciotiempo de de Sitter (\(k = 0\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(\dot{a}^2/a^2 = H^2\)):

\[ R = 6(H^2 + H^2) = 12H^2 = 12\cdot\frac{\Lambda}{3} = 4\Lambda \]

Cálculo del tensor de Ricci:

A partir de la definición del tensor de Einstein \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\):

\[ R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R \]

En el espaciotiempo de de Sitter, la ecuación de Einstein es \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = -\Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\) (\(T_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 0\)), por lo que:

\[ R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = -\Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\cdot 4\Lambda = -\Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + 2\Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} \]

Es decir, el espaciotiempo de de Sitter es un espacio de Einstein (\(R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \frac{R}{n}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\), \(n = 4\)):

\[ R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \frac{R}{4}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} \]

Tensor de Riemann de un espacio máximamente simétrico:

En un espacio máximamente simétrico de \(n\) dimensiones:

\[ R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{R}{n(n-1)}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}) \]

Sustituyendo \(n = 4\), \(R = 4\Lambda\):

\[ R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{4\Lambda}{4\cdot 3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}}) = \frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}}) \]

Verificación directa a partir del tensor de Riemann de FRW:

Calculamos las componentes del tensor de Riemann de FRW para el espaciotiempo de de Sitter (\(k = 0\), \(\dot{a}/a = H\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(H^2 = \Lambda/3\)).

Las componentes del tensor de Riemann en la base ortonormal para un espaciotiempo FRW tienen, en general, dos tipos de componentes independientes (por la simetría de FRW):

$$R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -\frac{\ddot{a}}{a}\,\delta_{ij} $$ $$R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ donde \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}, \hat{l}\) son índices de la base ortonormal espacial (\(1, 2, 3\)).

Sustitución de los valores del espaciotiempo de de Sitter:

En el espaciotiempo de de Sitter, \(k = 0\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(\dot{a}^2/a^2 = H^2\), \(H^2 = \Lambda/3\), por lo que:

$$R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -H^2\,\delta_{ij} = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij} $$ $$R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = H^2\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) = \frac{\Lambda}{3}\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ Comparación con la forma del espacio máximamente simétrico:

Expandimos las componentes del tensor de Riemann del espacio máximamente simétrico \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}})\).

Componente \((\hat{t},\hat{i},\hat{t},\hat{j})\):

$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{t}\hat{t}}\eta_{\hat{i}\hat{j}} - \eta_{\hat{t}\hat{j}}\eta_{\hat{i}\hat{t}}) = \frac{\Lambda}{3}((-1)\delta_{ij} - 0) = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij} $$ Esto coincide con \(R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij}\) calculado anteriormente. ✓

Componente \((\hat{i},\hat{j},\hat{k},\hat{l})\) (espacio-espacio):

$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{i}\hat{k}}\eta_{\hat{j}\hat{l}} - \eta_{\hat{i}\hat{l}}\eta_{\hat{j}\hat{k}}) = \frac{\Lambda}{3}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ Esto coincide con \(R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = \frac{\Lambda}{3}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk})\) calculado anteriormente. ✓

Componente \((\hat{t},\hat{i},\hat{j},\hat{k})\) (1 temporal + 3 espaciales):

$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{t}\hat{j}}\eta_{\hat{i}\hat{k}} - \eta_{\hat{t}\hat{k}}\eta_{\hat{i}\hat{j}}) = \frac{\Lambda}{3}(0 - 0) = 0 $$ Por la simetría de FRW, esta componente también es cero. ✓

Conclusión:

Se ha verificado mediante el cálculo directo de las componentes del tensor de Riemann de FRW que todas las componentes del tensor de Riemann del espaciotiempo de de Sitter coinciden con la forma general de un espacio máximamente simétrico:

$$\boxed{R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}\left(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}}\right)} $$ Esto significa que el espaciotiempo de de Sitter es un espacio máximamente simétrico de 4 dimensiones (con el número máximo de vectores de Killing: \(4\times 5/2 = 10\)). El espaciotiempo de de Sitter es una variedad lorentziana de curvatura constante positiva y puede ser embebido como un hiperboloide de una hoja \(-T^2 + X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 = 3/\Lambda\) en el espacio de Minkowski de 5 dimensiones.

Verificación

  1. Consistencia del tensor de Ricci: Calculamos el tensor de Ricci a partir del tensor de Riemann del espacio máximamente simétrico. \(R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}R_{\hat{\alpha}\hat{\mu}\hat{\beta}\hat{\nu}} = \frac{\Lambda}{3}\eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\nu}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\beta}}) = \frac{\Lambda}{3}(4\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}) = \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\). Coincide con el resultado obtenido anteriormente. ✓

  2. Consistencia de la curvatura escalar: \(R = \eta^{\hat{\mu}\hat{\nu}}R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda\,\eta^{\hat{\mu}\hat{\nu}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda \cdot 4 = 4\Lambda\). Coincide con el resultado obtenido anteriormente. ✓

  3. Límite de Schwarzschild: Para \(\Lambda \to 0\), \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} \to 0\) (espaciotiempo de Minkowski). El espaciotiempo de de Sitter es un «universo vacío» con \(\Lambda > 0\), que se reduce al espaciotiempo plano cuando \(\Lambda = 0\). ✓