Saltar a contenido

Apéndice D Ejercicios

← Volver al capítulo　|　Ver soluciones

Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Determinación de la dimensión de masa (interacción de Yukawa)

La densidad lagrangiana de la interacción de Yukawa es

\[ \mathcal{L}_{\text{int}} = -g\,\bar{\psi}\psi\,\phi \]

donde \(\psi\) es el campo de Dirac y \(\phi\) es un campo escalar. Determina la dimensión de masa \([g]\) de la constante de acoplamiento \(g\).

Pista

Utiliza que \([\mathcal{L}] = 4\), \([\psi] = 3/2\) y \([\phi] = 1\).

→ Ver solución

B-2. Determinación de la dimensión de masa (campo escalar en espacio-tiempo de 6 dimensiones)

La densidad Lagrangiana libre de un campo escalar real en un espacio-tiempo de \(d\) dimensiones es

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]

Determina la dimensión de masa \([\phi]\) del campo escalar \(\phi\) en el caso \(d = 6\). Además, encuentra la dimensión de masa de la constante de acoplamiento \(g\) de la interacción \(\phi^3\): \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{g}{3!}\phi^3\).

Pista

En \(d\) dimensiones, de \([d^d x] = -d\) y \([S] = 0\) se obtiene \([\mathcal{L}] = d\). Determina \([\phi]\) a partir del término cinético y sustitúyelo en el término de interacción.

→ Ver solución

B-3. Cálculo directo de parámetros de Feynman

Utilizando la fórmula básica de parámetros de Feynman (D.24), reescribe la siguiente expresión en representación de parámetros de Feynman:

\[ \frac{1}{(k^2 - m^2)((k+q)^2 - m^2)} \]

Además, realiza el cambio de variable \(\ell = k + (1-x)q\) y reorganiza el denominador en la forma \(\ell^2 - \Delta\). Expresa \(\Delta\) en términos de \(m\), \(q^2\) y \(x\).

Pista

Aplica la ecuación (D.24) con \(A = k^2 - m^2\) y \(B = (k+q)^2 - m^2\). El truco para completar el cuadrado es realizar el cambio de variable de modo que "los términos lineales en \(\ell\) se cancelen".

→ Ver solución

B-4. Signos de la rotación de Wick

Reescribe las siguientes cantidades del espacio de Minkowski en cantidades del espacio euclídeo mediante la rotación de Wick \(\ell_0 = i\ell_0^E\):

(a) \(\ell^2 = \ell_0^2 - \vec{\ell}^{\,2}\)

(b) \(d^4\ell\)

(c) \(\displaystyle\frac{1}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^3}\)

Indica explícitamente los signos y los factores de \(i\) en cada paso.

Pista

(a) Sustituye \(\ell_0 = i\ell_0^E\). (b) Usa \(d\ell_0 = i\,d\ell_0^E\). (c) Sustituye el resultado de (a) y procesa \((-1)^3\). El término \(i\varepsilon\) deja de ser necesario en el espacio euclídeo.

→ Ver solución

B-5. Ángulo sólido de la esfera en 4 dimensiones

El área de la esfera unitaria (ángulo sólido) en un espacio euclídeo de \(d\) dimensiones viene dada por

\[ \Omega_d = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)} \]

Calcula \(\Omega_d\) para los casos \(d = 2, 3, 4\) respectivamente, y verifica que coincide con los resultados conocidos (\(2\pi\), \(4\pi\), \(2\pi^2\)).

Pista

Utiliza \(\Gamma(1) = 1\), \(\Gamma(3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\), \(\Gamma(2) = 1\).

→ Ver solución

B-6. Verificación de los factores de \(2\pi\)

Comprueba que la convención de la transformada de Fourier en 4 dimensiones

\[ f(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\;\tilde{f}(p)\,e^{ipx}, \qquad \tilde{f}(p) = \int d^4x\;f(x)\,e^{-ipx} \]

es consistente. Es decir, sustituye la expresión de \(\tilde{f}(p)\) en la expresión de \(f(x)\) y muestra que \(f(x)\) se reproduce idénticamente.

Pista

Usa \(\int d^4x'\,e^{i(p-p')\cdot x'} = (2\pi)^4\delta^{(4)}(p - p')\).

→ Ver solución

B-7. Fórmula general de parámetros de Feynman (\(n = 3\))

Escribe la fórmula de parámetros de Feynman (D.25) para tres factores \(A_1, A_2, A_3\), y reescríbela en una forma donde se haya eliminado \(x_3\) usando la función delta. Ilustra (describe con palabras) qué forma toma la región de integración.

Pista

Sustituye \(x_3 = 1 - x_1 - x_2\) usando \(\delta(1 - x_1 - x_2 - x_3)\). La región donde \(x_1, x_2 \geq 0\) y \(x_1 + x_2 \leq 1\) es un triángulo.

→ Ver solución

B-8. Estimación de divergencias mediante dimensión de masa

En el espacio-tiempo de 4 dimensiones, determina el grado superficial de divergencia (superficial degree of divergence) de las siguientes integrales de bucle a partir de argumentos de dimensión de masa:

(a) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{k^2 - m^2}\)

(b) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(k^2 - m^2)^2}\)

(c) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{k^2}{(k^2 - m^2)^3}\)

Pista

Examina el comportamiento del integrando cuando \(k \to \infty\). Ten en cuenta que \(d^4k \sim k^3 dk\). Cuando el integrando se comporta como \(k^n\), la integral diverge si \(n + 3 \geq -1\) (es decir, \(n \geq -4\)).

→ Ver solución

Intermedio

M-1. Organización completa de integrales a un loop usando parámetros de Feynman

En la teoría \(\phi^3\) (campo escalar de masa \(m\), constante de acoplamiento \(g\)), el diagrama de autoenergía a un loop contiene la siguiente integral para el momento externo \(p\):

\[ \Sigma(p^2) = \frac{g^2}{2}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(k^2 - m^2 + i\varepsilon)((k-p)^2 - m^2 + i\varepsilon)} \]

Realiza el cálculo siguiendo los pasos indicados a continuación:

(a) Introduce un parámetro de Feynman \(x\) y combina los denominadores en uno solo.

(b) Realiza el cambio de variable de momento \(\ell = k - (1-x)p\) y expresa \(\Delta\) en términos de \(m^2\), \(p^2\) y \(x\).

(c) Efectúa la rotación de Wick y reescribe la integral en el espacio euclídeo.

(d) Utiliza coordenadas esféricas en 4 dimensiones para realizar la integración angular y reduce el resultado a una integral unidimensional en la dirección radial. Demuestra que esta integral diverge logarítmicamente.

Pista

En (d) calcula \(\int_0^\Lambda d\ell_E\;\ell_E^3 / (\ell_E^2 + \Delta)^2\). A partir del hecho de que el integrando se comporta como \(\sim 1/\ell_E\) cuando \(\ell_E \gg \sqrt{\Delta}\), se puede ver la divergencia logarítmica.

→ Ver solución

M-2. Verificación de la validez de la rotación de Wick

En el plano complejo de \(\ell_0\), demuestra lo siguiente:

(a) Muestra que, debido a la prescripción \(i\varepsilon\) del propagador de Feynman, los polos de \(1/(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)\) respecto a \(\ell_0\) se encuentran en el segundo y cuarto cuadrante (suponiendo \(\Delta > 0\)).

(b) Cuando se rota el camino de integración de \(\ell_0\) desde el eje real al eje imaginario en 90° en sentido antihorario, argumenta que el integrando decae a cero suficientemente rápido sobre el contorno cerrado (arco de cuarto de círculo), de modo que la contribución de la parte del arco se anula.

(c) A partir de lo anterior, explica cómo la rotación de Wick queda justificada como consecuencia del teorema integral de Cauchy.

Pista

(a) Resolviendo \(\ell_0^2 = \vec{\ell}^{\,2} + \Delta - i\varepsilon\) se obtiene \(\ell_0 = \pm(\omega - i\varepsilon')\) (\(\omega > 0\)). El polo positivo está ligeramente por debajo del eje real (lado del cuarto cuadrante), y el polo negativo está ligeramente por encima del eje real (lado del segundo cuadrante). (b) Utiliza el hecho de que sobre el arco de cuarto de círculo, cuando \(|\ell_0| \to \infty\), el denominador crece como \(|\ell_0|^4\).

→ Ver solución

M-3. Derivación de la fórmula básica de regularización dimensional

Deriva la siguiente fórmula integral en el espacio euclídeo \(d\)-dimensional:

\[ \int \frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\;\frac{\Gamma(n - d/2)}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{\Delta^{n-d/2}} \]

Como pasos de la derivación:

(a) Realiza la integración angular utilizando coordenadas esféricas \(d\)-dimensionales y emplea \(\Omega_d = 2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)\).

(b) Reduce la integral radial \(\int_0^\infty d\ell_E\;\ell_E^{d-1}/(\ell_E^2 + \Delta)^n\) a la función beta \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\) mediante el cambio de variable \(t = \ell_E^2/\Delta\).

Pista

(b) Si se define \(t = \ell_E^2 / \Delta\), entonces \(d\ell_E = \frac{\sqrt{\Delta}}{2\sqrt{t}}\,dt\). Reescribiendo el integrando en términos de \(t\), se obtiene la forma \(\int_0^\infty dt\;t^{d/2-1}/(1+t)^n\), que es igual a la función beta \(B(d/2, n - d/2)\).

→ Ver solución

M-4. Recuperación de unidades y estimación de secciones eficaces

En QED, la sección eficaz total de \(e^+e^- \to \mu^+\mu^-\) en el límite de energía en el centro de masas \(\sqrt{s} \gg m_\mu\) viene dada por

\[ \sigma = \frac{4\pi\alpha^2}{3s} \]

donde \(\alpha = e^2/(4\pi) \approx 1/137\).

(a) Verifica que en unidades naturales la dimensión de masa de \(\sigma\) es \(-2\).

(b) Para \(\sqrt{s} = 10\ \text{GeV}\), utiliza el factor de conversión de la ecuación (D.6) para obtener \(\sigma\) en unidades de picobarn (pb).

(c) Estima el número de eventos esperados en un día en un acelerador con luminosidad \(\mathcal{L} = 10^{33}\ \text{cm}^{-2}\text{s}^{-1}\).

Pista

(a) De \([\alpha] = 0\), \([s] = 2\) se obtiene \([\sigma] = -2\). (b) Calcula \(\sigma = \frac{4\pi}{3 \times 137^2 \times 100}\ \text{GeV}^{-2}\) y convierte usando \(1\ \text{GeV}^{-2} = 0.3894\ \text{mb} = 3.894 \times 10^8\ \text{pb}\). (c) \(N = \sigma \mathcal{L} T\).

→ Ver solución

Avanzado

A-1. El problema de \(\gamma_5\) en regularización dimensional y la anomalía ABJ

La matriz \(\gamma_5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\), definida en 4 dimensiones, satisface \(\{\gamma_5, \gamma^\mu\} = 0\) (\(\mu = 0,1,2,3\)). Sin embargo, al realizar la continuación analítica a \(d = 4 - 2\epsilon\) dimensiones en la regularización dimensional, surge una contradicción entre esta relación de anticonmutación y las fórmulas de traza de \(\gamma^\mu\).

(a) Supón que la relación \(\{\gamma_5, \gamma^\mu\} = 0\) se cumple para todo \(\mu\) también en \(d\) dimensiones. Demuestra que al calcular \(\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma]\), la combinación de \(\gamma^\alpha\gamma_\alpha = d\) con \(\{\gamma_5, \gamma^\alpha\} = 0\) conduce a una contradicción.

(b) Explica la idea básica de la prescripción de 't Hooft–Veltman (donde \(\gamma_5\) anticonmuta solo en el subespacio de 4 dimensiones) que evita esta contradicción, y discute cualitativamente cómo se modifica el cálculo de trazas del diagrama triangular (vértice AVV) bajo esta prescripción.

(c) Describe qué consecuencias físicas tiene la discusión anterior en el cálculo de la anomalía ABJ (Adler–Bell–Jackiw), desde el punto de vista de la violación de la ley de conservación de la corriente axial.

Pista

(a) Calcula \(0 = \text{Tr}[\gamma_5\gamma^\alpha\gamma_\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma]\) de dos maneras distintas. Compara el método de mover \(\gamma^\alpha\) hacia la derecha anticonmutándolo con \(\gamma_5\), con el método de usar directamente \(\gamma^\alpha\gamma_\alpha = d\). (b) En la prescripción de 't Hooft–Veltman, se descompone \(\gamma^\mu\) en una componente de 4 dimensiones \(\hat{\gamma}^\mu\) y una componente de \((d-4)\) dimensiones \(\tilde{\gamma}^\mu\), y \(\gamma_5\) anticonmuta solo con \(\hat{\gamma}^\mu\). (c) El procedimiento de regularización rompe la simetría axial, y queda un término de anomalía finito.

→ Ver solución

A-2. Relación entre parámetros de Feynman y la representación de Mellin–Barnes

En cálculos de loops de orden superior, las integrales sobre parámetros de Feynman pueden volverse excesivamente complicadas. Como técnica alternativa existe la representación de Mellin–Barnes.

(a) Demuestra la siguiente identidad:

\[ \frac{1}{(A + B)^n} = \frac{1}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} ds\;\Gamma(-s)\Gamma(n+s)\;\frac{A^s}{B^{n+s}} \]

donde el contorno de integración se elige de manera que separe los polos de \(\Gamma(-s)\) (\(s = 0, 1, 2, \ldots\)) hacia la derecha y los polos de \(\Gamma(n+s)\) (\(s = -n, -n-1, \ldots\)) hacia la izquierda.

(b) Utilizando esta representación, expresa la integral a un loop que contiene dos propagadores con masas diferentes

\[ I(p^2) = \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(k^2 - m_1^2)((k-p)^2 - m_2^2)} \]

como una integral de Mellin–Barnes, y verifica que es equivalente a la representación con parámetros de Feynman.

(c) En el caso \(m_1 = 0\), \(m_2 = m\), \(p^2 = -Q^2\) (\(Q^2 > 0\): momento espacial), obtén los dos primeros términos de la expansión asintótica de \(I\) en el límite \(Q^2 \gg m^2\) mediante el cálculo de residuos en la representación de Mellin–Barnes.

Pista

(a) Evalúa el lado derecho como una suma de residuos en \(s\) y redúcelo al desarrollo binomial \(\sum_{k=0}^\infty \binom{-n}{k}(A/B)^k \cdot 1/B^n\). (b) Después de obtener \(\Delta\) con parámetros de Feynman, separa los dos términos en \(\Delta\) usando Mellin–Barnes. (c) En el límite \(m^2/Q^2 \to 0\), los residuos en \(s = 0, 1\) son dominantes. Aparecen los residuos de los polos de la función \(\Gamma\) y la función \(\psi\) (función digamma).

→ Ver solución