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Cap. 4 Ejercicios

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Índice

Básico

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Básico

B-1. Conversión al sistema de unidades naturales y restauración de \(c\)

Reescribe las siguientes expresiones en unidades SI en el sistema de unidades naturales (\(c = 1\)). Inversamente, convierte las expresiones en unidades naturales de vuelta al sistema SI.

(a) Escribe la expresión en unidades SI \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\) en el sistema de unidades naturales.

(b) Escribe la expresión en unidades naturales \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}\) en el sistema SI.

(c) En el sistema de unidades naturales se tiene la expresión "energía \(E = 5\)". Suponiendo que la masa en reposo \(m\) (kg) es distinta de cero, expresa la energía correspondiente en unidades SI (julios) en función de \(m\).

(d) Expresa la energía en reposo del electrón, cuya masa en reposo es \(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}\) kg, tanto en unidades SI (julios) como en unidades naturales (kg).

Pista

(a)(b) Inserta o elimina \(c\) de modo que las dimensiones de los términos con y sin \(c\) sean consistentes. (c) En unidades naturales, multiplicando la energía por \(c^2\) dimensionalmente se obtiene la energía en SI. (d) En unidades naturales \(E = m\). En SI \(E = mc^2\).

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B-2. Tiempo y longitud en unidades naturales

En el sistema de unidades naturales (\(c = 1\)), el tiempo y la longitud se miden en las mismas unidades. Responde a las siguientes preguntas.

(a) Expresa 1 segundo en unidades de longitud (metros). ¿Cuántos metros equivale?

(b) Expresa 1 metro en unidades de tiempo (segundos). ¿Cuántos segundos equivale?

(c) La distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente \(1.5 \times 10^{11}\) m. Exprésala en unidades de tiempo (segundos). ¿Qué significa físicamente este valor numérico?

(d) Supón que la velocidad de una persona caminando es \(v \approx 1\) m/s. ¿Qué valor numérico aproximado tiene en unidades naturales (donde la velocidad de la luz es 1)?

Pista

(a) La distancia que recorre la luz en 1 segundo es aproximadamente \(3 \times 10^8\) m. Por lo tanto, en unidades naturales, "1 segundo = \(3 \times 10^8\) m". (c) Corresponde al tiempo que tarda la luz en llegar de la Tierra al Sol (aproximadamente 8 minutos y 20 segundos). (d) \(v/c \approx 1 / (3 \times 10^8) \approx 3.3 \times 10^{-9}\). Las velocidades cotidianas son extremadamente pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.

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B-3. Cálculo del producto interno de Minkowski

Dados los cuadrivectores \(A^\mu = (5,\, 3,\, 0,\, 0)\) y \(B^\mu = (2,\, 1,\, 0,\, 0)\), calcula el producto interno de Minkowski

\[ \eta_{\mu\nu}\,A^\mu\,B^\nu \]

utilizando la convención de suma de Einstein (regla de contracción) en el sistema de unidades con \(c = 1\).

Pista

Como \(\eta_{\mu\nu}\) es una matriz diagonal, solo sobreviven los términos con \(\mu = \nu\). Ten en cuenta que \(\eta_{00} = -1\).

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B-4. Componentes del vector covariante

Dado el cuadrivector \(A^\mu = (E,\, p_x,\, p_y,\, p_z)\), expresa cada componente \(A_0,\, A_1,\, A_2,\, A_3\) del vector covariante (covariant vector) \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}\,A^\nu\), obtenido al bajar el índice, en términos de \(E,\, p_x,\, p_y,\, p_z\).

Pista

Aplica \(\eta_{00} = -1\), \(\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = +1\) a cada componente.

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B-5. Expansión en 16 términos del intervalo espaciotemporal

Escribe explícitamente los 16 términos del intervalo espaciotemporal \(ds^2 = \eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu\) para todos los valores de \(\mu,\, \nu\), y demuestra que, dado que las componentes no diagonales de \(\eta_{\mu\nu}\) son cero, se obtiene \(ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) (con \(c = 1\)).

Pista

Como \(\eta_{\mu\nu} = 0\) (para \(\mu \neq \nu\)), solo sobreviven los 4 términos con \(\mu = \nu\).

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B-6. Reetiquetado de índices mudos

Practica el reetiquetado de índices mudos (dummy index). Verifica que la siguiente igualdad es correcta bajo la convención de suma, escribiendo las sumas de forma explícita.

\[ \eta_{\mu\nu}\,A^\mu\,B^\nu = \eta_{\alpha\beta}\,A^\alpha\,B^\beta \]
Pista

Expande cada lado usando \(\sum\) y muestra que ambos resultan en la misma suma de 16 términos.

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B-7. Verificación de la condición de normalización de la 4-velocidad

Para la 4-velocidad (four-velocity) de una partícula con velocidad tridimensional \(\mathbf{v} = (v,\, 0,\, 0)\)

\[ U^\mu = \gamma(1,\, v,\, 0,\, 0) \]

verifica mediante cálculo directo que se cumple \(\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,U^\nu = -1\) (con \(c = 1\)).

Pista

Simplifica \(\gamma^2(-1 + v^2)\) utilizando la definición de \(\gamma\).

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B-8. Límite de baja velocidad de la energía relativista

Sobre el límite de baja velocidad de la energía relativista \(E = \gamma mc^2\), demuestra lo siguiente.

(a) Utilizando la fórmula aproximada \((1 + x)^n \approx 1 + nx\) (\(|x| \ll 1\)), demuestra que cuando \(v \ll c\)

\[ E \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 \]

se cumple. Es decir, en el límite de baja velocidad la energía total se reduce a la suma de la energía en reposo y la energía cinética newtoniana.

(b) Para un objeto de masa \(m = 1\) kg y velocidad \(v = 100\) m/s (aproximadamente la de un tren bala), calcula el valor de \(v^2/c^2\) y la razón entre la energía cinética \(\frac{1}{2}mv^2\) y la energía en reposo \(mc^2\). A partir de esta razón, explica por qué en la época de Newton no fue posible percatarse de la energía en reposo.

(c) Para una partícula de masa cero, sustituye \(m = 0\) en \(E^2 = |\vec{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\) para obtener \(E = |\vec{p}|c\). Además, combinando con la relación \(E = \gamma mc^2\), argumenta que una partícula de masa cero con energía finita debe necesariamente moverse a la velocidad de la luz.

Pista

(a) Sustituye \(x = -v^2/c^2\), \(n = -1/2\) en \(\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\). (b) Usando \(c \approx 3 \times 10^8\) m/s se obtiene \(v^2/c^2 \sim 10^{-13}\). (c) Para que \(m = 0\) y \(E \neq 0\) se cumplan simultáneamente en \(E = \gamma mc^2\), se necesita \(\gamma \to \infty\).

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Intermedio

M-1. Contracción de tensores y clasificación de índices

La contracción \(T^{\mu\nu}A_\nu\) del tensor de rango 2 \(T^{\mu\nu}\) con el cuadrivector \(A_\nu\), ¿qué rango de tensor es? Indica cuáles son los índices libres y cuáles son los índices mudos.

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Avanzado

A-1. 4-velocidad y 4-aceleración

Sobre la 4-velocidad \(U^\mu\) y la 4-aceleración (four-acceleration) \(a^\mu \equiv dU^\mu/d\tau\), demuestra lo siguiente.

(a) Derivando ambos lados de \(\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,U^\nu = -1\) con respecto al tiempo propio \(\tau\), obtén \(\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,a^\nu = 0\). Es decir, la 4-velocidad y la 4-aceleración son siempre ortogonales en el sentido del producto interno de Minkowski.

(b) En el sistema de reposo instantáneo de la partícula (\(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\)), muestra a partir del resultado de (a) que \(a^0 = 0\), y explica que la 4-aceleración es un vector puramente espacial (\(\eta_{\mu\nu}\,a^\mu\,a^\nu > 0\)).

(c) Muestra que la línea de mundo de una partícula en movimiento unidimensional (solo en la dirección \(x\)) con aceleración propia constante \(g\) (\(\eta_{\mu\nu}\,a^\mu\,a^\nu = g^2 = \text{const.}\)) se describe mediante la hipérbola

\[ x^2 - t^2 = \frac{1}{g^2} \]

(con condiciones iniciales: en \(t = 0\), \(x = 1/g\), \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\)).

Pista

En (c), propón \(U^0 = \cosh(g\tau)\), \(U^1 = \sinh(g\tau)\), verifica que \(\eta_{\mu\nu}\,a^\mu\,a^\nu = g^2\), e integra respecto a \(\tau\) para obtener la línea de mundo.

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A-2. Boost de Lorentz en una dirección general

Considera el boost de Lorentz general entre dos sistemas inerciales \(S\) y \(S'\). Cuando \(S'\) se mueve respecto a \(S\) con velocidad \(\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)\) (de magnitud \(v = |\mathbf{v}|\)), la transformación viene dada por

\[ t' = \gamma\!\left(t - \mathbf{v} \cdot \mathbf{x}\right) \]
\[ \mathbf{x}' = \mathbf{x} + (\gamma - 1)\frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{x})}{v^2}\,\mathbf{v} - \gamma\,\mathbf{v}\,t \]

(con \(c = 1\)). Demuestra lo siguiente.

(a) Verifica que esta transformación deja invariante el intervalo espaciotemporal \(ds^2 = -dt^2 + d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x}\).

(b) Muestra que en el caso \(\mathbf{v} = (v, 0, 0)\), se reduce al boost estándar en la dirección \(x\) derivado en este capítulo.

(c) Discute por qué la composición \(\Lambda(\mathbf{v}_2)\Lambda(\mathbf{v}_1)\) de dos boosts en direcciones diferentes (\(\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 \neq \mathbf{0}\)) no es, en general, un boost puro, sino un boost más una rotación espacial. Esta rotación espacial se denomina rotación de Thomas (rotación de Wigner). Para el caso en que \(\mathbf{v}_1\) y \(\mathbf{v}_2\) están ambos en el plano \(x\)-\(y\), demuestra que la transformación compuesta contiene una rotación espacial, mediante un argumento basado en la simetría de la matriz de transformación.

Pista

(c) La matriz de un boost puro es una matriz simétrica, pero el producto de dos matrices simétricas no es, en general, simétrico. La parte antisimétrica corresponde a la rotación.

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