Prólogo Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Cálculo de la fuerza gravitatoria entre el Sol y la Tierra
- B-2. Razón entre la fuerza gravitatoria y la fuerza de Coulomb entre protones
- B-3. Gradiente de un potencial bidimensional
- B-4. Criterio relativista para distintos cuerpos celestes
- B-5. Derivación del radio de Schwarzschild
- B-6. Criterio de evaluación en el radio de Schwarzschild
- B-7. Condición de equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria
- B-8. Cálculos básicos de derivadas parciales
- B-9. Vector gradiente y curvas isotermas
Intermedio
- M-1. Evaluación cuantitativa de las 4 propiedades de la gravedad
- M-2. Etapas de la transición de Newton a la RG
- M-3. Relación entre geodésicas y el principio de equivalencia
Avanzado
Básico¶
B-1. Cálculo de la fuerza gravitatoria entre el Sol y la Tierra¶
En la gravitación universal de Newton \(F = Gm_1 m_2/r^2\), calcula la magnitud de la fuerza gravitatoria entre el Sol (masa \(M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\) kg) y la Tierra (masa \(M_\oplus \approx 6.0 \times 10^{24}\) kg). Considera que la distancia entre el Sol y la Tierra es \(r \approx 1.5 \times 10^{11}\) m.
Pista
Solo tienes que sustituir los valores numéricos en \(F = G M_\odot M_\oplus / r^2\). Como hay muchas cifras, resulta más fácil agrupar primero las partes exponenciales.
B-2. Razón entre la fuerza gravitatoria y la fuerza de Coulomb entre protones¶
Calcula la razón entre la fuerza gravitatoria y la fuerza de Coulomb \(F_{\text{grav}}/F_{\text{em}}\) entre dos protones, sustituyendo los valores numéricos concretos. Utiliza \(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), \(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27}\) kg, \(e \approx 1.60 \times 10^{-19}\) C, \(1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\).
Pista
\(F_{\text{grav}} = G m_p^2 / r^2\), \(F_{\text{em}} = e^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\). Al tomar la razón, \(r^2\) se cancela.
B-3. Gradiente de un potencial bidimensional¶
Dado el potencial bidimensional \(\Phi(x, y) = x^2 + 4y^2\), responde a las siguientes preguntas.
(a) Calcula el gradiente \(\nabla\Phi = (\partial\Phi/\partial x,\;\partial\Phi/\partial y)\).
(b) Determina la dirección y la magnitud del vector gradiente en el punto \((1, 1)\).
(c) Explica en qué dirección apunta la fuerza \(\boldsymbol{F} = -m\nabla\Phi\) que actúa sobre un objeto en ese punto, en relación con las líneas equipotenciales (curvas donde \(\Phi = \text{const}\)).
Pista
(a) Solo tienes que derivar parcialmente respecto a cada variable. (b) La magnitud del vector es \(|\nabla\Phi| = \sqrt{(\partial\Phi/\partial x)^2 + (\partial\Phi/\partial y)^2}\). (c) ¿En qué dirección apunta el vector gradiente respecto a las líneas equipotenciales?
B-4. Criterio relativista para distintos cuerpos celestes¶
Calcula el criterio \(\Phi_{\text{rel}} = GM/(Rc^2)\) para los siguientes cuerpos celestes.
(a) El Sol (\(M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\) kg, \(R_\odot \approx 7.0 \times 10^{8}\) m)
(b) Una estrella de neutrones (neutron star) (\(M \approx 1.4\,M_\odot\), \(R \approx 10\) km)
Expresa cada resultado con 1 cifra significativa y discute en qué medida el modelo de Newton es confiable en cada caso.
Pista
Usa \(c \approx 3.0 \times 10^8\) m/s; calcula primero el numerador \(GM\) y luego divide entre \(Rc^2\).
B-5. Derivación del radio de Schwarzschild¶
Usando la velocidad de escape (escape velocity) \(v_{\text{esc}} = \sqrt{2GM/R}\), expresa el radio \(R_s\) tal que \(v_{\text{esc}} = c\) en términos de \(M\), \(G\) y \(c\). Este \(R_s\) se denomina radio de Schwarzschild.
Pista
Basta con sustituir \(v_{\text{esc}} = c\) y despejar \(R\).
B-6. Criterio de evaluación en el radio de Schwarzschild¶
Utilizando el radio de Schwarzschild \(R_s\) obtenido en Problema B-5. Derivación del radio de Schwarzschild, calcula el criterio de evaluación \(GM/(Rc^2)\) para \(R = R_s\) y verifica el valor correspondiente a un agujero negro.
Pista
Sustituye la expresión de \(R_s\) en \(GM/(Rc^2)\).
B-7. Condición de equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria¶
Distinguiendo la masa inercial (inertial mass) \(m_i\) de la masa gravitatoria (gravitational mass) \(m_g\), escribimos la ecuación de movimiento en un campo gravitatorio uniforme \(\mathbf{g}\) como
Expresa, utilizando la razón entre \(m_i\) y \(m_g\), la condición para que el objeto A (\(m_i^{(A)},\; m_g^{(A)}\)) y el objeto B (\(m_i^{(B)},\; m_g^{(B)}\)) caigan con la misma aceleración.
Pista
Escribe la aceleración de cada objeto \(\ddot{\boldsymbol{x}} = (m_g/m_i)\,\mathbf{g}\) y considera la condición para que ambas sean iguales.
B-8. Cálculos básicos de derivadas parciales¶
Práctica de cálculo de derivadas parciales. Para las siguientes funciones, calcula las derivadas parciales indicadas.
(a) Para \(f(x, y) = 3x^2 y + 2y^3\), calcula \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) y \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\).
(b) Para \(g(x, y, z) = x^2 y z^3\), calcula \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\), \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\) y \(\dfrac{\partial g}{\partial z}\).
(c) Para \(h(r, \theta) = r^2 \cos\theta\), calcula \(\dfrac{\partial h}{\partial r}\) y \(\dfrac{\partial h}{\partial \theta}\).
Pista
En las derivadas parciales, todas las variables excepto aquella respecto a la cual se deriva se tratan como constantes. Por ejemplo, en \(\partial(3x^2 y)/\partial x\) se considera \(y\) como una constante y se deriva respecto a \(x\).
B-9. Vector gradiente y curvas isotermas¶
Relación entre derivadas parciales y gradiente. La función de dos variables \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\) representa la distribución de temperatura en un plano.
(a) Calcula \(\dfrac{\partial T}{\partial x}\) y \(\dfrac{\partial T}{\partial y}\).
(b) Calcula los valores de \(\partial T/\partial x\) y \(\partial T/\partial y\) en el punto \((1, 2)\), y explica con palabras su significado físico ("si te desplazas un poco en la dirección \(x\), ¿cómo cambia la temperatura?").
(c) Calcula el vector gradiente \(\nabla T = (\partial T/\partial x,\;\partial T/\partial y)\) en el punto \((1, 2)\), y responde en qué dirección apunta este vector respecto a las curvas isotermas (curvas donde \(T = \text{const.}\)).
Pista
(b) Solo sustituye los valores numéricos. Presta atención al signo: si es negativo, significa que "al avanzar en esa dirección la temperatura disminuye". (c) El vector gradiente siempre es perpendicular a las curvas isotermas y apunta en la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente.
Intermedio¶
M-1. Evaluación cuantitativa de las 4 propiedades de la gravedad¶
Considerando las cuatro propiedades fundamentales de la gravedad (universalidad, imposibilidad de apantallamiento, largo alcance y extrema debilidad), responde a las siguientes preguntas.
(a) Explica cuantitativamente, utilizando la razón de intensidades entre la gravedad y la fuerza electromagnética, por qué la gravedad es despreciable a la escala atómica y molecular (\(\sim 10^{-10}\) m).
(b) Explica por qué, a pesar de lo anterior, la gravedad se vuelve dominante a la escala de cúmulos de galaxias (\(\sim 10^{23}\) m), indicando explícitamente cuáles de las cuatro propiedades son esenciales para ello.
Pista
En (a), utiliza el valor \(F_{\text{grav}}/F_{\text{em}} \sim 10^{-36}\) mencionado en el texto. En (b), contrasta la razón por la que la fuerza electromagnética se neutraliza a gran escala con la razón por la que la gravedad no se neutraliza.
M-2. Etapas de la transición de Newton a la RG¶
Para los objetos celestes enumerados en la tabla del texto (Tierra, Sol, enana blanca, estrella de neutrones, agujero negro), discute cómo se manifiestan las desviaciones del modelo de Newton a medida que aumenta el valor de \(GM/(Rc^2)\), relacionándolas con fenómenos observacionales concretos (la precesión del perihelio de Mercurio, la corrección temporal del GPS, la formación del horizonte de eventos, etc.) (aproximadamente 5–8 oraciones).
Pista
Organiza las etapas según la magnitud de \(GM/(Rc^2)\): "Newton es suficiente" → "se requieren correcciones pequeñas" → "Newton falla completamente".
M-3. Relación entre geodésicas y el principio de equivalencia¶
En la teoría de la relatividad general de Einstein, se interpreta que "la gravedad no es una fuerza, sino la curvatura del espacio-tiempo". Explica en 3 a 5 oraciones, desde la perspectiva de que "todos los cuerpos se mueven a lo largo de geodésicas en un espacio-tiempo curvo", por qué la equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria (\(m_i = m_g\)) deja de ser "una coincidencia inexplicable" dentro de esta interpretación.
Pista
Observa que las geodésicas están determinadas únicamente por la geometría del espacio-tiempo y no dependen de la masa ni de la composición del cuerpo en movimiento.
Avanzado¶
A-1. Desfase temporal gravitatorio de los satélites GPS¶
Los satélites GPS orbitan en órbitas circulares a una altitud aproximada de \(h \approx 2.0 \times 10^{4}\) km. La masa de la Tierra es \(M_\oplus \approx 6.0 \times 10^{24}\) kg y el radio de la Tierra es \(R_\oplus \approx 6.4 \times 10^{3}\) km.
(a) Calcula la diferencia de potencial gravitatorio entre la superficie terrestre y la órbita del satélite: \(\Delta\Phi = \Phi(R_\oplus + h) - \Phi(R_\oplus)\).
(b) Según la relatividad general, entre dos puntos con una diferencia de potencial gravitatorio \(\Delta\Phi\), se produce un desfase relativo en el transcurso del tiempo. La proporción viene dada aproximadamente por
(si \(\Delta\tau/\tau > 0\), el reloj del satélite adelanta). Utilizando esta expresión, estima cuántos microsegundos (\(\mu\)s) por día adelanta el reloj del satélite respecto al reloj en la superficie terrestre.
(c) Usando el resultado de (b), estima la magnitud del error de posición que se acumularía en un día si no se corrigiera este desfase temporal.
Pista
(a) Usa \(\Phi(r) = -GM_\oplus/r\) y calcula la diferencia entre los dos puntos. (b) Multiplica por 1 día \(= 86400\) segundos. (c) El producto de la velocidad de la luz \(c\) por el desfase temporal da una estimación del error en distancia. Nota: en este problema se ignora el efecto relativista especial (dilatación temporal debida al movimiento del satélite).
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