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Cap. 7 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Relación de conmutación de los operadores escalera

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Problema:

Operadores escalera

\(\hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right), \qquad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} - \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right)\)

Usando únicamente la relación de conmutación canónica \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\), expande los productos \(\hat{a}\hat{a}^\dagger\) y \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\), y verifica mediante cálculo directo que

\([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1, \qquad \hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right)\)

Preparación:

Definiendo \(\alpha \equiv \sqrt{m\omega/(2\hbar)}\), se tiene \(\hat{a} = \alpha(\hat{x} + i\hat{p}/(m\omega))\), \(\hat{a}^\dagger = \alpha(\hat{x} - i\hat{p}/(m\omega))\).

Cálculo de \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger]\):

\(\hat{a}\hat{a}^\dagger = \alpha^2\left(\hat{x} + \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right)\left(\hat{x} - \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right)\)

Expandiendo los paréntesis

\(= \alpha^2\left(\hat{x}^2 - \frac{i\hat{x}\hat{p}}{m\omega} + \frac{i\hat{p}\hat{x}}{m\omega} + \frac{\hat{p}^2}{m^2\omega^2}\right) = \alpha^2\left(\hat{x}^2 + \frac{\hat{p}^2}{m^2\omega^2} + \frac{i}{m\omega}[\hat{p}, \hat{x}]\right)\)

Usando \([\hat{p}, \hat{x}] = -[\hat{x}, \hat{p}] = -i\hbar\)

\(\hat{a}\hat{a}^\dagger = \alpha^2\left(\hat{x}^2 + \frac{\hat{p}^2}{m^2\omega^2} + \frac{\hbar}{m\omega}\right) \tag{1}\)

De manera similar, al calcular \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\), se utiliza el signo de \([\hat{x}, \hat{p}] = +i\hbar\), por lo que

\(\hat{a}^\dagger\hat{a} = \alpha^2\left(\hat{x}^2 + \frac{\hat{p}^2}{m^2\omega^2} - \frac{\hbar}{m\omega}\right) \tag{2}\)

Tomando (1) - (2)

\([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = \hat{a}\hat{a}^\dagger - \hat{a}^\dagger\hat{a} = \alpha^2 \cdot \frac{2\hbar}{m\omega} = \frac{m\omega}{2\hbar} \cdot \frac{2\hbar}{m\omega} = 1 \quad\blacksquare\)

Reescritura del hamiltoniano:

Reescribimos el lado derecho de (2) en términos de \(\hat{H}\). Como \(\hat{H} = \hat{p}^2/(2m) + (1/2)m\omega^2\hat{x}^2\)

\(\frac{m\omega}{2\hbar}\left(\hat{x}^2 + \frac{\hat{p}^2}{m^2\omega^2}\right) = \frac{1}{\hbar\omega}\left(\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2 + \frac{\hat{p}^2}{2m}\right) = \frac{\hat{H}}{\hbar\omega}\)

Por lo tanto, (2) queda

\(\hat{a}^\dagger\hat{a} = \frac{\hat{H}}{\hbar\omega} - \frac{1}{2} \implies \hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right) \quad\blacksquare\)

Intermedio

M-1. Relaciones de conmutación del hamiltoniano con los operadores de escalera

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Problema:

Usando la identidad de conmutadores \([\hat{A}\hat{B}, \hat{C}] = \hat{A}[\hat{B}, \hat{C}] + [\hat{A}, \hat{C}]\hat{B}\) y el resultado del problema 7.1 \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\), demuestra que:

\([\hat{H}, \hat{a}^\dagger] = +\hbar\omega\,\hat{a}^\dagger, \qquad [\hat{H}, \hat{a}] = -\hbar\omega\,\hat{a}\)

A partir de esto, muestra que si \(\hat{H}|n\rangle = E_n|n\rangle\), entonces \(\hat{a}^\dagger|n\rangle\) es un estado propio con energía \(E_n + \hbar\omega\), y \(\hat{a}|n\rangle\) es un estado propio con energía \(E_n - \hbar\omega\).

Cálculo de \([\hat{H}, \hat{a}^\dagger]\):

Para \(\hat{H} = \hbar\omega(\hat{a}^\dagger\hat{a} + 1/2)\), dado que \(1/2\) es una constante, no contribuye al conmutador:

\([\hat{H}, \hat{a}^\dagger] = \hbar\omega\,[\hat{a}^\dagger\hat{a}, \hat{a}^\dagger]\)

Usando la identidad \([\hat{A}\hat{B}, \hat{C}] = \hat{A}[\hat{B}, \hat{C}] + [\hat{A}, \hat{C}]\hat{B}\) con \(\hat{A} = \hat{a}^\dagger\), \(\hat{B} = \hat{a}\), \(\hat{C} = \hat{a}^\dagger\):

\([\hat{a}^\dagger\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = \hat{a}^\dagger[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] + [\hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger]\hat{a} = \hat{a}^\dagger \cdot 1 + 0 \cdot \hat{a} = \hat{a}^\dagger\)

Por lo tanto

\([\hat{H}, \hat{a}^\dagger] = +\hbar\omega\,\hat{a}^\dagger \quad\blacksquare\)

Cálculo de \([\hat{H}, \hat{a}]\):

De manera análoga, \([\hat{a}^\dagger\hat{a}, \hat{a}] = \hat{a}^\dagger[\hat{a}, \hat{a}] + [\hat{a}^\dagger, \hat{a}]\hat{a} = 0 + (-1)\hat{a} = -\hat{a}\), por lo que

\([\hat{H}, \hat{a}] = -\hbar\omega\,\hat{a} \quad\blacksquare\)

Subida y bajada de energía:

Sea \(\hat{H}|n\rangle = E_n|n\rangle\). Aplicando \(\hat{H}\) sobre \(\hat{a}^\dagger|n\rangle\):

\(\hat{H}(\hat{a}^\dagger|n\rangle) = (\hat{a}^\dagger\hat{H} + [\hat{H}, \hat{a}^\dagger])|n\rangle = \hat{a}^\dagger E_n|n\rangle + \hbar\omega\,\hat{a}^\dagger|n\rangle = (E_n + \hbar\omega)(\hat{a}^\dagger|n\rangle)\)

Por lo tanto, \(\hat{a}^\dagger|n\rangle\) es un estado propio con valor propio \(E_n + \hbar\omega\). De manera análoga:

\(\hat{H}(\hat{a}|n\rangle) = (E_n - \hbar\omega)(\hat{a}|n\rangle) \quad\blacksquare\)

Interpretación física:

\(\hat{a}^\dagger\) es el operador que "sube la energía un nivel" (= crea un cuanto), y \(\hat{a}\) es el operador que "baja la energía un nivel" (= aniquila un cuanto).

M-2. Acción normalizada de los operadores escalera

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Problema:

Partiendo únicamente de \(\hat{a}|0\rangle = 0\) y \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\), deriva la siguiente acción normalizada de los operadores escalera:

\(\hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle, \qquad \hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle\)

Además, partiendo del estado fundamental \(|0\rangle\), confirma que la normalización de

\(|n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle\)

es correcta.

Normalización de \(\hat{a}^\dagger|n\rangle\):

Sea \(|n\rangle\) un estado propio normalizado de \(\hat{N} = \hat{a}^\dagger\hat{a}\) (\(\hat{N}|n\rangle = n|n\rangle\), \(\langle n|n\rangle = 1\)). Como \(\hat{H} = \hbar\omega(\hat{N} + 1/2)\) implica \(\hat{H}|n\rangle = \hbar\omega(n + 1/2)|n\rangle\), los estados propios de \(\hat{N}\) y del hamiltoniano son los mismos. Por el problema 7.2, \(\hat{a}^\dagger|n\rangle\) es un estado propio con energía \(\hbar\omega(n + 1 + 1/2)\), es decir, un estado propio de \(\hat{N}\) con autovalor \(n + 1\), por lo que \(\hat{a}^\dagger|n\rangle \propto |n+1\rangle\). Para determinar el coeficiente de proporcionalidad mediante la normalización, calculamos el cuadrado de la norma:

\(\|\hat{a}^\dagger|n\rangle\|^2 = \langle n|\hat{a}\hat{a}^\dagger|n\rangle\)

Por el problema 7.1, \(\hat{a}\hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger\hat{a} + 1 = \hat{N} + 1\), así que

\(\|\hat{a}^\dagger|n\rangle\|^2 = \langle n|(\hat{N} + 1)|n\rangle = n + 1\)

Por lo tanto

\(\hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle \quad\blacksquare\)

Normalización de \(\hat{a}|n\rangle\):

De manera análoga

\(\|\hat{a}|n\rangle\|^2 = \langle n|\hat{a}^\dagger\hat{a}|n\rangle = \langle n|\hat{N}|n\rangle = n\)

Por lo tanto

\(\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle \quad\blacksquare\)

Cuando \(n = 0\), el lado derecho es \(0\), lo cual es consistente con la condición de que no se puede descender por debajo del estado fundamental: \(\hat{a}|0\rangle = 0\).

Construcción de \(|n\rangle\):

\(\hat{a}^\dagger|0\rangle = \sqrt{1}\,|1\rangle = |1\rangle\), \(\hat{a}^\dagger|1\rangle = \sqrt{2}\,|2\rangle\), \(\hat{a}^\dagger|2\rangle = \sqrt{3}\,|3\rangle\), ...

Por lo tanto

\(|n\rangle = \frac{1}{\sqrt{n}}\hat{a}^\dagger|n-1\rangle = \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n-1}}(\hat{a}^\dagger)^2|n-2\rangle = \cdots = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle \quad\blacksquare\)

Lema (fórmula de conmutación): Se demuestra por inducción matemática:

\([\hat{a}, (\hat{a}^\dagger)^n] = n\,(\hat{a}^\dagger)^{n-1}\)

(\(n = 1\): \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\) se cumple. Suponiendo que se cumple para \(n\), \([\hat{a}, (\hat{a}^\dagger)^{n+1}] = [\hat{a}, \hat{a}^\dagger]\,(\hat{a}^\dagger)^n + \hat{a}^\dagger[\hat{a}, (\hat{a}^\dagger)^n] = (\hat{a}^\dagger)^n + \hat{a}^\dagger\cdot n(\hat{a}^\dagger)^{n-1} = (n+1)(\hat{a}^\dagger)^n\).)

De aquí se deduce que \(\hat{a}(\hat{a}^\dagger)^n = (\hat{a}^\dagger)^n\hat{a} + n(\hat{a}^\dagger)^{n-1}\).

Verificación de la normalización: \(\langle n|n\rangle = \frac{1}{n!}\langle 0|\hat{a}^n(\hat{a}^\dagger)^n|0\rangle\). Usando el lema anterior para simplificar repetidamente \(\hat{a}^n(\hat{a}^\dagger)^n|0\rangle\), los términos donde el \(\hat{a}\) más a la derecha aniquila \(|0\rangle\) van desapareciendo sucesivamente, y finalmente queda \(n!|0\rangle\). Por lo tanto \(\langle n|n\rangle = \frac{n!}{n!}\langle 0|0\rangle = 1\), confirmando que la normalización es correcta.

M-3. Razón por la que la ecuación de Schrödinger no es covariante de Lorentz

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Problema:

(a) Verifica que la ecuación de Schrödinger para una partícula libre \(i\hbar\,\partial_t \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\partial_x^2\, \psi\) contiene una derivada de primer orden en el tiempo en el lado izquierdo y una derivada de segundo orden en el espacio en el lado derecho.

(b) Explica que, bajo la métrica de Minkowski \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\), el operador diferencial que resulta ser un escalar de Lorentz es \(\partial^\mu\partial_\mu = -c^{-2}\partial_t^2 + \nabla^2\) (d'Alembertiano), y que es necesario que los órdenes de las derivadas temporal y espacial coincidan.

(c) Como candidato natural para hacer la ecuación de Schrödinger covariante de Lorentz, escribe la ecuación de Klein-Gordon, obtenida al promover a operadores la relación \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\):

\(\left(-\frac{1}{c^2}\partial_t^2 + \nabla^2 - \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi = 0\)

Verifica que esta ecuación contiene una derivada de segundo orden en el tiempo. Explica cualitativamente por qué el hecho de ser de "segundo orden" conduce directamente a la aparición de soluciones de energía negativa.

(a) Orden de las derivadas:

La ecuación de Schrödinger para una partícula libre

\(i\hbar\,\partial_t \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\partial_x^2\, \psi\)

El lado izquierdo contiene \(\partial_t\) (derivada de primer orden en el tiempo), mientras que el lado derecho contiene \(\partial_x^2\) (derivada de segundo orden en el espacio). Los órdenes no coinciden.

(b) Operador diferencial escalar de Lorentz:

Bajo la métrica de Minkowski \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\), combinando las 4-derivadas \(\partial_\mu = (\partial_t/c, \nabla)\) para obtener un escalar de Lorentz se obtiene el d'Alembertiano

\(\Box \equiv \partial^\mu\partial_\mu = -\frac{1}{c^2}\partial_t^2 + \nabla^2\)

Lo esencial es que la derivada temporal de segundo orden y la derivada espacial de segundo orden tienen el mismo orden.

Bajo una transformación de Lorentz \(x^\mu \to \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu\), las derivadas se transforman como \(\partial_\mu \to \Lambda_\mu{}^\nu \partial_\nu\), por lo que las derivadas temporales y espaciales se mezclan. La derivada temporal de primer orden \(\partial_t\), tras la transformación, contendrá derivadas espaciales de primer orden \(\partial_x\), pero como la ecuación original no tiene términos con \(\partial_x\) de primer orden, aparecen términos nuevos en el sistema transformado. Por lo tanto, la forma de la ecuación no se preserva bajo transformaciones de Lorentz.

(c) Ecuación de Klein-Gordon y soluciones de energía negativa:

Promoviendo a operadores la relación relativista energía-momento \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\) mediante \(E \to i\hbar\,\partial_t\), \(\vec{p} \to -i\hbar\nabla\), se obtiene

\((i\hbar\,\partial_t)^2\phi = \left[(-i\hbar\nabla)^2c^2 + m^2c^4\right]\phi\)

Reorganizando

\(\left(-\frac{1}{c^2}\partial_t^2 + \nabla^2 - \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi = 0 \quad\blacksquare\)

El lado izquierdo es \(\Box\phi - (m^2c^2/\hbar^2)\phi\), contiene una derivada temporal de segundo orden y es covariante de Lorentz.

Razón por la que aparecen soluciones de energía negativa:

Sustituyendo una onda plana \(\phi = e^{-iEt/\hbar + ipx/\hbar}\), la ecuación se reduce a

\(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\)

Esta es una ecuación cuadrática en \(E\), por lo que las soluciones son

\(E = \pm\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}\)

Aparecen tanto la rama positiva (partículas ordinarias) como la rama negativa. La ecuación de Schrödinger es de primer orden en \(E\) (ya que \(i\hbar\,\partial_t\) se reemplaza por \(E\)), por lo que solo producía soluciones positivas. En cuanto se relativiza, aparece la "derivada temporal de segundo orden", que genera una ecuación cuadrática en \(E\) y produce soluciones de energía negativa — este fue el punto de partida para el descubrimiento de las antipartículas por Dirac (los detalles se encuentran en Mecánica Cuántica Cap. 27).

Resumen: Estructura de las soluciones de este capítulo que conecta directamente con la teoría de cuerdas:

Problema Reaparición en teoría de cuerdas
Problemas 7.1–7.3 (álgebra de operadores de creación y aniquilación) Cap. 14 Expansión en modos y cuantización de la cuerda
Problema 7.4 (suma infinita de la energía del punto cero) Cap. 14 Dimensión crítica de la cuerda bosónica \(D = 26\)
Problema 7.5 (no covarianza de la ecuación de Schrödinger) Cap. 8 Teoría cuántica de campos, Cap. 13 La acción de la cuerda es relativista desde el inicio

El álgebra del oscilador armónico que hemos obtenido en este capítulo se convierte directamente en la herramienta para la cuantización de la cuerda. A partir del siguiente capítulo, seguiremos la teoría cuántica de campos que resuelve el conflicto entre relatividad y mecánica cuántica, y más adelante aparecerá la teoría de cuerdas.

Avanzado

A-1. Infinitos osciladores armónicos y energía del punto cero de la cuerda

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Problema:

En la teoría de cuerdas, cada modo de vibración de la cuerda (número de modo \(n = 1, 2, 3, \ldots\)) se comporta como un oscilador armónico independiente, y la frecuencia angular de cada modo es un múltiplo entero \(\omega_n = n\,\omega_1\) (\(\omega_1\) es la frecuencia angular de la vibración fundamental).

(a) Explica, a partir de los resultados de la sección 7.4, que la energía del punto cero de cada modo es \(\hbar\omega_n/2 = n\hbar\omega_1/2\).

(b) Muestra que la energía total del punto cero es formalmente

\(E_{\text{zero}} = \frac{\hbar\omega_1}{2}\sum_{n = 1}^{\infty} n\)

y confirma que esta suma diverge.

(c) En la regularización por función zeta se reemplaza \(\sum_{n = 1}^{\infty} n\) por \(\zeta(-1) = -\frac{1}{12}\). Evalúa \(E_{\text{zero}}\) bajo esta prescripción y muestra que el resultado es negativo. Señala como nota que esto constituye uno de los orígenes de la dimensión crítica \(D = 26\) de la cuerda bosónica, tratada en Cap. 14.

(a) Energía del punto cero de cada modo:

En la sección 7.4 mostramos que la energía del estado fundamental de un oscilador armónico con frecuencia angular \(\omega\) es \(E_0 = \hbar\omega/2\). Si la frecuencia angular del modo número \(n\) es \(\omega_n = n\omega_1\), entonces la energía del punto cero de este modo es

\(\frac{1}{2}\hbar\omega_n = \frac{n\hbar\omega_1}{2} \quad\blacksquare\)

(b) Energía total del punto cero y divergencia:

Sumamos la energía del punto cero de todos los modos:

\(E_{\text{zero}} = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\hbar\omega_n}{2} = \frac{\hbar\omega_1}{2}\sum_{n = 1}^{\infty} n = \frac{\hbar\omega_1}{2}(1 + 2 + 3 + \cdots)\)

La suma \(1 + 2 + 3 + \cdots\) diverge claramente (es monótonamente creciente y sin cota superior). Por lo tanto, \(E_{\text{zero}}\) diverge a infinito.

(c) Regularización mediante la función zeta:

La función zeta de Riemann \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\) converge para \(\mathrm{Re}(s) > 1\) y puede continuarse analíticamente a otras regiones. El valor de dicha continuación analítica da

\(\zeta(-1) = -\frac{1}{12}\)

(la derivación se basa en teoremas de análisis complejo; en física se acepta como una prescripción). Si adoptamos la regularización que identifica \(\sum n = \zeta(-1)\), obtenemos

\(E_{\text{zero}} = \frac{\hbar\omega_1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{\hbar\omega_1}{24} \quad\blacksquare\)

El hecho de que el resultado sea negativo parece extraño desde un punto de vista ingenuo, pero físicamente significa que "si tomamos esta referencia para la energía del vacío, todo es consistente".

Nota: relación con la dimensión crítica de la cuerda:

Como se trata en Cap. 14, en la cuerda bosónica, si la dimensión del espacio-tiempo es \(D\), la energía del punto cero se multiplica por \((D-2)\) como suma sobre las direcciones transversales independientes de vibración (los grados de libertad físicos en la cuantización en el cono de luz). La exigencia de invariancia de Lorentz (la condición para que aparezca de forma consistente una partícula vectorial de masa \(0\) en el espectro) conduce a

\(\frac{D-2}{24} = 1 \implies D = 26\)

Este es el resultado conocido como la dimensión crítica de la cuerda bosónica. La energía del punto cero del oscilador armónico que obtuvimos en este capítulo está directamente conectada con un resultado profundo de la teoría de cuerdas que determina la dimensión del espacio-tiempo.