Saltar a contenido

Apéndice A Ejercicios

← Volver al capítulo　|　Ver soluciones

Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo del valor de un funcional

Sustituye \(f(x) = 2x\) en el funcional \(H[f] = \int_0^3 [f(x)]^2\,dx\) y calcula el valor de \(H[f]\).

Pista

Solo tienes que sustituir \([f(x)]^2 = (2x)^2 = 4x^2\) y evaluar la integral definida.

→ Ver solución

B-2. Cálculo básico de derivadas funcionales

Obtén la derivada funcional \(\frac{\delta F}{\delta f(x_0)}\) (\(0 \leq x_0 \leq 1\)) del funcional \(F[f] = \int_0^1 [f(x)]^4\,dx\).

Pista

Corresponde al caso del ejemplo de cálculo 2 del texto con \(p = 4\) y \(\varphi(y) = 1\). Se utiliza el mismo patrón que la derivada de una potencia: «se reduce la potencia \(p\) a \((p-1)\) y se saca el coeficiente \(p\) como factor».

→ Ver solución

B-3. Derivada funcional con peso

Determina la derivada funcional \(\frac{\delta G}{\delta f(x)}\) del funcional \(G[f] = \int_{-\infty}^{\infty} [f(y)]^2\,e^{-y^2}\,dy\).

Pista

Usa la fórmula del ejemplo de cálculo 2 con \(p = 2\) y \(\varphi(y) = e^{-y^2}\). Utiliza la propiedad de "selección" de la función delta al final.

→ Ver solución

B-4. Derivada funcional usando la función delta

Escribe el funcional \(F[f] = f(a)\) (el valor de la función en un punto fijo \(a\)) en su representación integral \(F[f] = \int f(y)\,\delta(y - a)\,dy\), y calcula \(\frac{\delta F}{\delta f(x)}\) siguiendo la definición.

Pista

Sustituye \(f(y) \to f(y) + \epsilon\,\delta(y - x)\) y extrae los términos de primer orden en \(\epsilon\). El resultado final se expresa mediante una función delta.

→ Ver solución

B-5. Aplicación de la ecuación de Euler-Lagrange (oscilador armónico unidimensional)

Para el lagrangiano \(L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}k x^2\), calcula lo siguiente en orden.

  1. \(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\)
  2. \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)\)
  3. \(\frac{\partial L}{\partial x}\)
  4. Escribe la ecuación de Euler-Lagrange y verifica la ecuación de movimiento obtenida.
Pista

Ejecuta las derivadas parciales una por una con cuidado, como por ejemplo \(\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\right) = m\dot{x}\). Al final deberías obtener \(m\ddot{x} = -kx\).

→ Ver solución

B-6. Cálculo del momento canónico

Para cada uno de los siguientes Lagrangianos, obtén el momento canónico \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\).

(a) \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - mg q\) (caída libre en un campo gravitatorio uniforme)

(b) \(L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r)\) (coordenadas polares en 2 dimensiones): obtén \(p_r\) y \(p_\theta\) respectivamente.

Pista

En (a) simplemente se deriva parcialmente respecto a \(\dot{q}\). En (b) se deriva respecto a \(\dot{r}\) para obtener \(p_r\), y respecto a \(\dot{\theta}\) para obtener \(p_\theta\). \(p_\theta = mr^2\dot{\theta}\) corresponde al momento angular.

→ Ver solución

B-7. Construcción del Hamiltoniano

Para el Lagrangiano del oscilador armónico unidimensional \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\):

  1. Obtén el momento canónico \(p\).
  2. Expresa \(\dot{q}\) en términos de \(p\) y \(m\).
  3. Escribe el Hamiltoniano \(H = p\dot{q} - L\) como función de \(q\) y \(p\).
Pista

De \(p = m\dot{q}\) se obtiene \(\dot{q} = p/m\). Sustituyendo esto en \(H = p\dot{q} - L\) se elimina \(\dot{q}\). El resultado debería ser \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\).

→ Ver solución

B-8. Aplicación de la ecuación de Euler-Lagrange para campos

Para la densidad lagrangiana \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) (sin término de masa), aplica la ecuación de Euler-Lagrange para campos y deriva la ecuación de movimiento.

Pista

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0\) (no hay términos que contengan \(\phi\) por sí mismo), \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi\). ¿Cómo se llama la ecuación \(\partial_\mu(\partial^\mu\phi) = 0\)?

→ Ver solución

B-9. Ecuación de movimiento de la teoría \(\phi^3\)

Para la densidad lagrangiana \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{m^2}{2}\phi^2 - \frac{g}{3!}\phi^3\), aplica la ecuación de Euler-Lagrange para campos y deriva la ecuación de movimiento.

Pista

\(\frac{\partial}{\partial\phi}\left(\frac{g}{3!}\phi^3\right) = \frac{g}{3!}\times 3\phi^2 = \frac{g}{2}\phi^2\). El resto sigue el mismo procedimiento que el ejemplo de la teoría \(\phi^4\) en el texto principal.

→ Ver solución

B-10. Regla de la cadena de la derivada funcional

Calcula la derivada funcional \(\frac{\delta S}{\delta q(t')}\) (\(t_1 < t' < t_2\)) del funcional \(S[q] = \int_{t_1}^{t_2}\frac{1}{2}m[\dot{q}(t)]^2\,dt\). Puedes utilizar las condiciones de contorno \(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\).

Pista

Al sustituir \(q(t) \to q(t) + \epsilon\,\delta(t - t')\), se tiene \(\dot{q}(t) \to \dot{q}(t) + \epsilon\,\frac{d}{dt}\delta(t - t')\). Extrae los términos de primer orden en \(\epsilon\) y, mediante integración por partes, determina el coeficiente que multiplica a \(\delta(t - t')\). El resultado es \(-m\ddot{q}(t')\).

→ Ver solución

Intermedio

M-1. Derivación de la ecuación de movimiento gravitacional de Newton a partir del principio de acción

Una partícula de masa \(m\) se mueve en dirección vertical en un campo gravitatorio uniforme. El lagrangiano es

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{z}^2 - mgz \]

Demuestra lo siguiente:

  1. Calcula la variación \(\delta S\) de la acción \(S[z] = \int_{t_1}^{t_2} L\,dt\) y organízala en forma de una integral que contenga \(\delta z(t)\) (mostrando explícitamente la integración por partes).
  2. A partir de \(\delta S = 0\), deriva la ecuación de Euler-Lagrange y obtén \(m\ddot{z} = -mg\).
  3. Verifica que la ecuación obtenida coincide con la ecuación de movimiento de Newton \(F = ma\).
Pista

El procedimiento es exactamente el mismo que la derivación de la sección A.4.3 del texto. Usa \(\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = m\dot{z}\), \(\frac{\partial L}{\partial z} = -mg\). Demuestra a partir de las condiciones de contorno que el término de frontera se anula en la integración por partes.

→ Ver solución

M-2. Momento canónico del campo y densidad Hamiltoniana

Dada la densidad Lagrangiana del campo de Klein-Gordon

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{m^2}{2}\phi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2 \]

realiza lo siguiente:

  1. Obtén la densidad de momento canónico \(\pi(x) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\).
  2. Escribe la densidad Hamiltoniana \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\) en términos de \(\phi\), \(\pi\) y \(\nabla\phi\).
  3. Verifica que la \(\mathcal{H}\) obtenida es una densidad de energía (definida positiva).
Pista

\(\pi = \dot{\phi}\). Sustituye \(\dot{\phi} = \pi\) en \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\) y simplifica. El resultado es \(\mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{m^2}{2}\phi^2\), y dado que todos los términos tienen forma de cuadrados, es definida positiva.

→ Ver solución

M-3. Paréntesis de Poisson y ecuaciones de movimiento de Hamilton

Considera una partícula unidimensional cuyo hamiltoniano está dado por \(H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + V(q)\). El paréntesis de Poisson se define como

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q} \]

Demuestra lo siguiente.

  1. Verifica que \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}} = 1\).
  2. Calcula las ecuaciones de movimiento de Hamilton \(\dot{q} = \{q, H\}_{\mathrm{PB}}\), \(\dot{p} = \{p, H\}_{\mathrm{PB}}\) y obtén respectivamente \(\dot{q} = p/m\), \(\dot{p} = -\frac{dV}{dq}\).
  3. Utilizando la prescripción de cuantización canónica «\(\{A, B\}_{\mathrm{PB}} \to \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]\)», verifica que se obtiene \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\).
Pista

Sustituye \(A = q\), \(B = p\) en la definición del paréntesis de Poisson. Usa \(\frac{\partial q}{\partial q} = 1\), \(\frac{\partial p}{\partial p} = 1\), etc. Para las ecuaciones de movimiento de Hamilton, calcula \(\{q, H\}_{\mathrm{PB}} = \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial q}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}\).

→ Ver solución

M-4. Transformada de Legendre para sistemas con múltiples grados de libertad

Para un sistema con \(N\) coordenadas generalizadas \(q_1, \ldots, q_N\) y Lagrangiano \(L(q_i, \dot{q}_i)\):

  1. Define los momentos canónicos \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) y construye el Hamiltoniano como
\[ H = \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i - L \]

Demuestra que \(H\) no contiene \(\dot{q}_i\) y es función únicamente de \((q_i, p_i)\), calculando la diferencial total \(dH\).

  1. A partir de la expresión de \(dH\), deriva las ecuaciones canónicas de Hamilton
\[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]
Pista

Calcula \(dH = \sum_i(\dot{q}_i\,dp_i + p_i\,d\dot{q}_i) - \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\). Usando la definición \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) y la ecuación de Euler-Lagrange \(\dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}\), los términos en \(d\dot{q}_i\) se cancelan.

→ Ver solución

M-5. Relación entre la derivada funcional y la ecuación de Euler-Lagrange

Calcula la derivada funcional \(\frac{\delta S}{\delta q(t')}\) para la acción

\[ S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot{q}(t))\,dt \]

y demuestra que el resultado es

\[ \frac{\delta S}{\delta q(t')} = \frac{\partial L}{\partial q}\bigg|_{t=t'} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\bigg|_{t=t'} \]

Con esto, confirma en el lenguaje de la derivada funcional que \(\delta S = 0\) es equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange.

Pista

Realiza la sustitución \(q(t) \to q(t) + \epsilon\,\delta(t - t')\) y expande \(L\) hasta primer orden en \(\epsilon\). Ten en cuenta que \(\dot{q}(t) \to \dot{q}(t) + \epsilon\,\frac{d}{dt}\delta(t - t')\), y procesa el término que contiene \(\frac{d}{dt}\delta(t - t')\) mediante integración por partes.

→ Ver solución

Avanzado

A-1. Partícula cargada en campo electromagnético y dependencia de gauge del momento canónico

El Lagrangiano de una partícula cargada (carga \(e\), masa \(m\)) en un campo electromagnético \((V, \mathbf{A})\) viene dado por

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 - eV(\mathbf{r}, t) + e\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) \]

Realiza lo siguiente.

  1. Obtén el momento canónico \(\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\) y muestra que difiere del momento mecánico \(m\dot{\mathbf{r}}\).
  2. Escribe el Hamiltoniano \(H = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{r}} - L\) en términos de \((\mathbf{r}, \mathbf{p})\).
  3. Muestra cómo se transforma el momento canónico bajo la transformación de gauge \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\chi\), \(V \to V - \frac{\partial\chi}{\partial t}\), y verifica que el Hamiltoniano (y por tanto las ecuaciones de movimiento) es invariante de gauge.
  4. Discute cómo este resultado constituye el origen clásico de la prescripción (acoplamiento mínimo) de «sustituir el momento canónico por \(\hat{\mathbf{p}} - e\hat{\mathbf{A}}\)» que aparece en Cap. 6 (cuantización de QED) del texto principal.
Pista

Se obtiene \(\mathbf{p} = m\dot{\mathbf{r}} + e\mathbf{A}\). Sustituye \(\dot{\mathbf{r}} = (\mathbf{p} - e\mathbf{A})/m\) para construir \(H\). Bajo la transformación de gauge \(\mathbf{p} \to \mathbf{p} + e\nabla\chi\), pero la combinación \((\mathbf{p} - e\mathbf{A})\) que aparece en \(H\) es invariante de gauge.

→ Ver solución

A-2. De los corchetes de Poisson del campo a la cuantización canónica

Para un campo escalar \(\phi(\mathbf{x}, t)\) y la densidad de momento canónico \(\pi(\mathbf{x}, t) = \dot{\phi}(\mathbf{x}, t)\), los corchetes de Poisson del campo se definen como

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} = \int d^3x\left(\frac{\delta A}{\delta\phi(\mathbf{x})}\frac{\delta B}{\delta\pi(\mathbf{x})} - \frac{\delta A}{\delta\pi(\mathbf{x})}\frac{\delta B}{\delta\phi(\mathbf{x})}\right) \]

Demuestra lo siguiente.

  1. Verifica que \(\{\phi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})\}_{\mathrm{PB}} = \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\).
  2. Verifica que \(\{\phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y})\}_{\mathrm{PB}} = 0\), \(\{\pi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})\}_{\mathrm{PB}} = 0\).
  3. Para el hamiltoniano \(H = \int d^3x\,\mathcal{H}\) (con \(\mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{m^2}{2}\phi^2\)), calcula la ecuación de movimiento de Hamilton \(\dot{\phi}(\mathbf{x}) = \{\phi(\mathbf{x}), H\}_{\mathrm{PB}}\) y obtén \(\dot{\phi} = \pi\).
  4. De manera análoga, calcula \(\dot{\pi}(\mathbf{x}) = \{\pi(\mathbf{x}), H\}_{\mathrm{PB}}\) y obtén \(\dot{\pi} = \nabla^2\phi - m^2\phi\). Combinando ambos resultados, verifica que se reproduce la ecuación de Klein-Gordon.
  5. Aplica la prescripción de cuantización canónica \(\{\cdot, \cdot\}_{\mathrm{PB}} \to \frac{1}{i\hbar}[\cdot, \cdot]\) y verifica que se obtiene la relación de conmutación a tiempos iguales \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\hbar\,\delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) del Cap. 4 del texto principal.
Pista

En 1, toma \(A = \phi(\mathbf{x})\), \(B = \pi(\mathbf{y})\) y calcula las derivadas funcionales. Usa \(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\phi(\mathbf{z})} = \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{z})\). En 4, al calcular \(\frac{\delta H}{\delta\phi(\mathbf{x})}\), presta atención al término \((\nabla\phi)^2\): al integrar por partes aparece \(-\nabla^2\phi\).

→ Ver solución