Cap. 2 Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. En la dispersión Compton, suponiendo que la longitud de onda de los rayos X incidentes es nm. Ángulo de dispersión (retro
- B-2. En la ecuación de dispersión Compton (2.1), determina el cambio de longitud de onda para un ángulo de dispersión
- B-3. Un protón de masa kg se mueve a una velocidad de m/s. Calcula la longitud de onda de de Broglie
- B-4. Longitud de onda de de Broglie de un electrón acelerado con un voltaje V, mediante la fórmula simplificada
- B-5. Electrón (masa kg) acelerado por un voltaje de aceleración V, velocidad del electrón mediante la ecuación (2.9)
- B-6. Condición de Bragg: longitud de onda de la onda difractada cuando la distancia interplanar es Å, el ángulo de incidencia y el orden son dados
- B-7. Obtener la longitud de onda de de Broglie de un neutrón (masa en kg) con energía cinética en eV. Donde J
- B-8. Expresión de las relaciones de de Broglie usando la frecuencia angular y el número de onda
Intermedio
- M-1. Derivación de la relación entre voltaje de aceleración y longitud de onda de de Broglie
- M-2. Cálculo de reproducción del experimento de Davisson-Germer
- M-3. Análisis estructural de la fórmula de la dispersión Compton
- M-4. Análisis de la difracción de electrones mediante la condición de Bragg
Avanzado
Básico¶
B-1. En la dispersión Compton, suponiendo que la longitud de onda de los rayos X incidentes es nm. Ángulo de dispersión (retro¶
En la dispersión de Compton, supón que la longitud de onda de los rayos X incidentes es \(\lambda = 0.0711\) nm. Determina la longitud de onda \(\lambda'\) de los rayos X dispersados cuando el ángulo de dispersión es \(\theta = 180°\) (retrodispersión). Puedes utilizar la longitud de onda de Compton \(h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\) m.
Pista
Sustituye \(\theta = 180°\) en la ecuación (2.1) \(\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\). Ten en cuenta que \(\cos 180° = -1\).
B-2. En la ecuación de dispersión Compton (2.1), determina el cambio de longitud de onda para un ángulo de dispersión¶
En la ecuación de dispersión Compton (2.1), determina el cambio de longitud de onda \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\) cuando el ángulo de dispersión es \(\theta = 60°\).
Pista
Sustituye \(\cos 60° = 0.5\) y calcula \(\Delta\lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos 60°)\).
B-3. Un protón de masa kg se mueve a una velocidad de m/s. Calcula la longitud de onda de de Broglie¶
Un protón de masa \(m = 1.67 \times 10^{-27}\) kg se mueve a una velocidad \(v = 3.0 \times 10^{4}\) m/s. Calcula la longitud de onda de de Broglie \(\lambda = h/(mv)\).
Pista
Sustituye \(h = 6.626 \times 10^{-34}\) J·s en el numerador y \(mv\) en el denominador, y realiza el cálculo. Verifica que las unidades resulten en m.
B-4. Longitud de onda de de Broglie de un electrón acelerado con un voltaje V, mediante la fórmula simplificada¶
Calcula la longitud de onda de de Broglie de un electrón acelerado con un voltaje de aceleración \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) V, utilizando la fórmula simplificada
Además, convierte el resultado a unidades de Å (ångström).
Pista
Calcula \(\sqrt{200}\) y luego divide \(1.226\) entre ese valor. Utiliza la relación 1 nm = 10 Å.
B-5. Electrón (masa kg) acelerado por un voltaje de aceleración V, velocidad del electrón mediante la ecuación (2.9)¶
Un electrón (masa \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\) kg) es acelerado por un voltaje de aceleración \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V. Determina la velocidad \(v\) del electrón a partir de la ecuación (2.9)
donde \(e = 1.602 \times 10^{-19}\) C.
Pista
Calcula \(v = \sqrt{2eV_{\mathrm{acc}}/m_e}\). Primero obtén numéricamente el numerador \(2eV_{\mathrm{acc}}\) y el denominador \(m_e\) por separado, realiza la división y luego extrae la raíz cuadrada.
B-6. Condición de Bragg: longitud de onda de la onda difractada cuando la distancia interplanar es Å, el ángulo de incidencia y el orden son dados¶
En la condición de Bragg \(2d\sin\theta = n\lambda\), cuando la distancia interplanar es \(d = 0.91\) Å, el ángulo de incidencia es \(\theta = 65°\) y el orden es \(n = 1\), calcula la longitud de onda \(\lambda\) de la onda difractada en unidades de Å.
Pista
Sustituye los valores numéricos en \(\lambda = 2d\sin\theta / n\). Utiliza \(\sin 65° \approx 0.906\).
B-7. Obtener la longitud de onda de de Broglie de un neutrón (masa en kg) con energía cinética en eV. Donde J¶
Obtén la longitud de onda de de Broglie de un neutrón (masa \(m_n = 1.675 \times 10^{-27}\) kg) con energía cinética \(K = 1.0\) eV. Donde \(1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\) J.
Pista
El momento se obtiene como \(p = \sqrt{2m_n K}\). Convierte \(K\) a unidades de J y luego calcula \(\lambda = h/p\).
B-8. Expresión de las relaciones de de Broglie usando la frecuencia angular y el número de onda¶
Usando las relaciones de de Broglie expresadas en términos de la frecuencia angular \(\omega\) y el número de onda \(k\), es decir, \(E = \hbar\omega\) y \(p = \hbar k\), determina el número de onda \(k\) en unidades SI (m\(^{-1}\)) correspondiente a un electrón con longitud de onda \(\lambda = 2.0\) Å.
Pista
Usa la relación \(k = 2\pi/\lambda\). Convierte \(\lambda\) a unidades de m antes de sustituir (\(1\ \mathrm{Å} = 10^{-10}\) m).
Intermedio¶
M-1. Derivación de la relación entre voltaje de aceleración y longitud de onda de de Broglie¶
Derivación de la relación entre voltaje de aceleración y longitud de onda de de Broglie
Cuando un electrón (masa \(m_e\), carga \(e\)) es acelerado desde el reposo mediante un voltaje \(V_{\mathrm{acc}}\), siguiendo los pasos indicados a continuación, demuestra que la longitud de onda de de Broglie se expresa como
(a) A partir de la conservación de la energía, expresa el momento \(p\) del electrón en términos de \(m_e\), \(e\) y \(V_{\mathrm{acc}}\).
(b) Sustituye en la relación de de Broglie \(\lambda = h/p\) para obtener la expresión anterior.
(c) Sustituye los valores numéricos de las constantes y verifica que se obtiene \(\lambda \approx 1.226/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) nm.
Pista
(a) A partir de \(\frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\), obtén \(v\) y utiliza \(p = m_e v\). Alternativamente, puedes obtener \(p\) directamente a partir de \(p^2/(2m_e) = eV_{\mathrm{acc}}\). (c) Sustituye los valores numéricos de \(h\), \(m_e\) y \(e\) en unidades del SI.
M-2. Cálculo de reproducción del experimento de Davisson-Germer¶
Cálculo de reproducción del experimento de Davisson-Germer
En el experimento de Davisson-Germer, se hicieron incidir electrones acelerados con un voltaje de aceleración \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V sobre un monocristal de níquel (espaciado interatómico en la superficie \(d = 2.15\) Å), observándose un pico de difracción intenso en el ángulo de dispersión \(\phi = 50°\).
(a) Utilizando la ecuación (2.12), calcula la longitud de onda de de Broglie \(\lambda_{\mathrm{dB}}\) de un electrón acelerado a 54 V.
(b) Sustituyendo \(n = 1\) y \(\phi = 50°\) en la condición de difracción \(d\sin\phi = n\lambda\), obtén la longitud de onda \(\lambda_{\mathrm{exp}}\) determinada a partir del experimento.
(c) Compara \(\lambda_{\mathrm{dB}}\) y \(\lambda_{\mathrm{exp}}\), y discute la validez de la hipótesis de de Broglie.
Pista
(a) Calcula \(\lambda \approx 1.226/\sqrt{54}\) nm. (b) Utiliza \(\sin 50° \approx 0.766\). (c) Es conveniente evaluar en porcentaje cuán grande es la diferencia entre ambos valores.
M-3. Análisis estructural de la fórmula de la dispersión Compton¶
Análisis estructural de la fórmula de la dispersión Compton
Sobre la fórmula de la dispersión Compton
responde a las siguientes preguntas.
(a) Determina el rango de valores que puede tomar \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\) como función de \(\theta\) (para \(0 \le \theta \le 180°\)).
(b) Calcula la longitud de onda de Compton \(h/(m_p c)\) en el caso de que la partícula con la que se produce la dispersión sea un protón (masa \(m_p = 1.673 \times 10^{-27}\) kg) en lugar de un electrón, y compárala con el caso del electrón.
(c) A partir del resultado de (b), explica por qué "el cambio de longitud de onda en la dispersión Compton es mayor cuanto más ligera es la partícula".
Pista
(a) Considera los valores mínimo y máximo de \(1 - \cos\theta\). (b) Calcula la razón con respecto a la longitud de onda de Compton del electrón \(2.43 \times 10^{-12}\) m. (c) Observa que la longitud de onda de Compton es inversamente proporcional a la masa.
M-4. Análisis de la difracción de electrones mediante la condición de Bragg¶
Análisis de la difracción de electrones mediante la condición de Bragg
Consideremos una situación que reproduce el experimento de G. P. Thomson. Se hacen incidir electrones acelerados con un voltaje de aceleración \(V_{\mathrm{acc}} = 10{,}000\) V sobre un cristal de aluminio con espaciado interplanar \(d = 2.34\) Å.
(a) Determina la longitud de onda de de Broglie del electrón.
(b) Utilizando la condición de Bragg \(2d\sin\theta = n\lambda\), encuentra el ángulo de incidencia \(\theta\) para el cual ocurre la difracción con \(n = 1\).
(c) Cuando el voltaje de aceleración se duplica (\(20{,}000\) V), ¿cómo cambia el ángulo de difracción \(\theta\) para \(n = 1\)? Explica cualitativamente y luego calcula el valor concreto.
Pista
(a) Usa la ecuación (2.12). \(V_{\mathrm{acc}} = 10{,}000\) V. (b) Obtén \(\theta\) a partir de \(\sin\theta = \lambda/(2d)\). Examina si se puede utilizar la aproximación \(\sin\theta \approx \theta\) (en radianes) cuando el ángulo es pequeño. (c) Utiliza el hecho de que \(\lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\).
Avanzado¶
A-1. Derivación de la fórmula de la dispersión Compton¶
Derivación de la fórmula de la dispersión Compton
Considera el caso en que un fotón de rayos X con longitud de onda \(\lambda\) colisiona con un electrón en reposo (masa \(m_e\)). Sean \(\lambda'\) la longitud de onda del fotón dispersado, \(\theta\) el ángulo de dispersión, \(p_e\) la magnitud del momento del electrón de retroceso y \(\varphi\) el ángulo de retroceso (ángulo entre la dirección de incidencia y la dirección de movimiento del electrón).
Siguiendo los pasos indicados a continuación, deriva la fórmula de la dispersión Compton:
La energía del fotón viene dada por \(E = pc\) (relación relativista para una partícula de masa cero), y la energía del electrón viene dada relativistamente por \(E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\).
(a) Escribe la ley de conservación de la energía. Expresa la energía del fotón incidente como \(h c/\lambda\), la energía del fotón dispersado como \(h c/\lambda'\) y la energía en reposo del electrón de retroceso como \(m_e c^2\).
(b) Escribe la ley de conservación del momento descompuesta en dos componentes: la dirección de incidencia (dirección \(x\)) y la dirección perpendicular (dirección \(y\)).
(c) A partir de las dos ecuaciones de (b), elimina el ángulo de retroceso \(\varphi\) y expresa \(p_e^2\) en función de \(\lambda\), \(\lambda'\) y \(\theta\).
(d) A partir de la conservación de la energía en (a), expresa \(p_e^2 c^2\) en función de \(\lambda\) y \(\lambda'\), e igualando con el resultado de (c), deriva la fórmula de la dispersión Compton.
Pista
(b) Componente \(x\): \(h/\lambda = (h/\lambda')\cos\theta + p_e \cos\varphi\); componente \(y\): \(0 = (h/\lambda')\sin\theta - p_e \sin\varphi\). (c) Despeja cada componente, eleva al cuadrado y usa \(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\). (d) Reescribe la ecuación de conservación de la energía en la forma \((E_e)^2 = (p_e c)^2 + (m_e c^2)^2\) para obtener \(p_e^2 c^2\). Aparecen los términos \(1/\lambda - 1/\lambda'\) y \(1/\lambda^2 + 1/\lambda'^2 - 2\cos\theta/(\lambda\lambda')\). Finalmente queda un término con el producto \(\lambda'\lambda\) y la expresión se reduce a la forma \(\lambda' - \lambda\).
A-2. Longitud de onda de de Broglie del electrón relativista y aplicación al microscopio electrónico¶
Longitud de onda de de Broglie del electrón relativista y aplicación al microscopio electrónico
La ecuación (2.11) de este capítulo se basa en la aproximación no relativista (\(v \ll c\)). Cuando el voltaje de aceleración es muy alto (por ejemplo, \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV como se usa en microscopios electrónicos), la energía cinética del electrón deja de ser despreciable en comparación con la energía en reposo \(m_e c^2 \approx 511\) keV, y se hace necesaria una corrección relativista.
(a) En la relación relativista entre energía y momento
utiliza el hecho de que la energía total es \(E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\) (energía en reposo + energía cinética) para expresar el momento \(p\) en términos de \(m_e\), \(c\), \(e\) y \(V_{\mathrm{acc}}\).
(b) Demuestra que la longitud de onda de de Broglie relativista puede escribirse como
(c) Para \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV, calcula numéricamente la longitud de onda según la fórmula no relativista (2.11) y la longitud de onda relativista del apartado (b), y evalúa la diferencia entre ambas en porcentaje.
(d) Supón que la resolución de un microscopio electrónico es aproximadamente del orden de la longitud de onda utilizada. Discute si un microscopio electrónico con \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV puede observar estructuras a nivel atómico (\(\sim 1\) Å).
Pista
(a) Sustituye \(E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\) en \(E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\) y resuelve para \(p\). Al desarrollar \((m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2\) se obtiene \(2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\). (b) Calcula \(\lambda = h/p\) a partir del resultado de (a) y extrae los factores comunes. (c) Usa \(eV_{\mathrm{acc}} = 200\) keV y \(m_e c^2 = 511\) keV para evaluar la magnitud del factor de corrección \(eV_{\mathrm{acc}}/(2m_e c^2)\).
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