Capítulo 7 La función de onda y la ecuación de Schrödinger¶
Resumen de los capítulos anteriores:
En la Parte II (capítulos 4–6), utilizamos un sistema de 2 estados en dimensión finita como escenario para aprender las reglas de las amplitudes de probabilidad, los rudimentos del espacio de Hilbert, y la evolución temporal con oscilaciones cuánticas. Confirmamos que el hamiltoniano \(H\) del sistema de 2 estados (la matriz que representa la energía) gobierna la evolución temporal del vector de estado, que los estados propios de energía son estados estacionarios, y que la diferencia de fase entre componentes con distintas energías genera oscilaciones físicas. Sin embargo, aún no podemos responder a la pregunta: "¿dónde se encuentra la partícula en el espacio?"
Objetivos de este capítulo
- Transicionar del sistema discreto de 2 estados al espacio continuo de posiciones, e introducir la función de onda \(\Psi(x,t) = \langle x|\phi(t)\rangle\) como "la amplitud de probabilidad de encontrar la partícula en la posición"
- Derivar la ecuación de Schrödinger para una partícula libre con motivación física a partir de la relación entre la onda de de Broglie y la energía clásica, y extenderla a la forma general con potencial
- Derivar los estados estacionarios y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, demostrar la conservación de la densidad de probabilidad \(|\Psi|^2\) (ecuación de continuidad), y establecer la condición de normalización y los requisitos físicos de la función de onda
- Con esto, obtener la ecuación fundamental de la mecánica cuántica en una forma "utilizable", quedando preparados para resolver problemas concretos en los capítulos siguientes
7.1 De estados discretos al espacio continuo¶
🟡 Lina: En los capítulos 4–6, describimos los sistemas usando un número finito de estados básicos, como "arriba" y "abajo" del espín o las dos configuraciones de la molécula de amoníaco. Pero cuando un electrón vuela por el espacio, para describir "dónde está"...
🔵 Kai: Se necesitan infinitos estados básicos, ¿verdad? ¿Cada punto del espacio es un estado básico?
🟡 Lina: Exacto. Usando la notación de Dirac que introdujimos en el Cap. 5, el estado "la partícula está en la posición \(x\)" se escribe como \(|x\rangle\). Como \(x\) toma valores continuos, el conjunto de estados básicos es infinito — y además, un infinito continuo.
⚪ Mei: En el Cap. 5 usamos la relación de completitud para un número finito de estados básicos \(|i\rangle\): \(\sum_i |i\rangle\langle i| = \hat{1}\).
🟡 Lina: Así es. Y en el caso continuo, ¿qué ocurre? El caso discreto:
se reemplaza, para posiciones continuas, por:
Este es el punto de partida de la representación de posición.
🔵 Kai: ¿Y la ortogonalidad entre los \(|x\rangle\)? En el caso discreto era \(\langle i|j\rangle = \delta_{ij}\).
🟡 Lina: En el caso continuo, en lugar de la delta de Kronecker \(\delta_{ij}\), se usa la función delta de Dirac \(\delta(x - x')\):
Las propiedades detalladas de la función delta se tratan en el Apéndice C, pero por ahora capta solo la imagen intuitiva. Imagina un rectángulo centrado en \(x'\) con ancho \(\epsilon\) y altura \(1/\epsilon\) — el área es siempre \(\epsilon \times (1/\epsilon) = 1\). Cuando \(\epsilon \to 0\), el ancho se encoge a cero y la altura se extiende a infinito, pero el área (valor de la integral) permanece en 1. Esta es la imagen de la función delta \(\delta(x - x')\) — vale cero lejos de \(x'\) (fuera del ancho), tiene un pico agudo solo cerca de \(x = x'\), y al integrarla en todo su dominio da 1.
🔵 Kai: Ancho cero y altura infinita pero área 1... es curioso.
🟡 Lina: Y hay otra propiedad importante — para cualquier función \(f(x)\) se cumple \(\int f(x)\,\delta(x - x')\,dx = f(x')\). Intuitivamente, como \(\delta(x - x')\) es cero para \(x \neq x'\), dentro de la integral "selecciona" solo el valor de \(f(x)\) en \(x = x'\) — como un tamiz que extrae únicamente \(f(x')\). Recordando estas tres propiedades — "vale cero para \(x \neq x'\)", "integra a 1", y "selecciona el valor de la función" — es suficiente.
🔵 Kai: ¿Qué significa físicamente? ¿Que \(\langle x|x'\rangle = 0\) (para \(x \neq x'\))?
🟡 Lina: Lo mismo que \(\langle i|j\rangle = 0\) (\(i \neq j\)) en el caso discreto. "El estado de estar en la posición \(x\)" y "el estado de estar en la posición \(x'\)" son perfectamente distinguibles — es decir, son mutuamente excluyentes. Si la partícula está en \(x'\), la probabilidad de encontrarla en \(x \neq x'\) es cero. Suena obvio, pero matemáticamente se expresa mediante \(\delta(x - x')\).
⚪ Mei: Es decir, al pasar de discreto a continuo, simplemente reemplazamos "suma → integral" y "\(\delta_{ij}\) → \(\delta(x-x')\)", pero la estructura es la misma.
🟡 Lina: Así es. Resumamos esta correspondencia.
Tabla 7.1: Correspondencia entre sistemas discretos y continuos
| Sistema discreto (capítulos 5–6) | Sistema continuo (representación de posición) |
|---|---|
| Estados básicos $ | i\rangle$ (número finito) |
| Ortogonalidad $\langle i | j\rangle = \delta_{ij}$ |
| Completitud $\sum_i | i\rangle\langle i |
| Amplitud de probabilidad $C_i = \langle i | \phi\rangle$ (número complejo) |
| Probabilidad $P_i = | C_i |
| Normalización $\sum_i | C_i |
He representado visualmente esta transición en la Fig. 7.1「Transición de estados discretos al espacio continuo」. A la izquierda está el sistema de 2 estados de los capítulos 5–6, y a la derecha la función de onda en el espacio continuo con el espaciado de red llevado a 0. El modelo de red en el centro es el puente discreto → continuo que Feynman concibió, y lo trataremos en detalle en la segunda mitad de este capítulo (7.8「La perspectiva de Feynman — De la red al espacio continuo」); por ahora basta con captar que "existe un puente del discreto (izquierda) al continuo (derecha)".
Fig. 7.1: Transición de estados discretos al espacio continuo. Izquierda: sistema de 2 estados (capítulos 5–6). Centro: \(N\) estados sobre una red (§8 del capítulo 7, modelo de Feynman). Derecha: cuando el espaciado de red \(b \to 0\), aparece la función de onda \(\Psi(x,t)\) en el espacio continuo.
🟡 Lina: Y cuando expandimos un estado arbitrario \(|\phi\rangle\) en los estados básicos de posición:
Esta es la versión continua del caso discreto \(|\phi\rangle = \sum_i |i\rangle\langle i|\phi\rangle\) (donde multiplicamos cada estado básico por "la magnitud de su componente \(\langle i|\phi\rangle\)" y sumamos). Solo cambia la suma por una integral. Y este coeficiente de expansión \(\langle x|\phi\rangle\) es precisamente la función de onda que será nuestra protagonista de ahora en adelante.
✅ Verificación de comprensión: ¿Por qué expresión se reemplaza la relación de completitud de estados básicos discretos \(\sum_i |i\rangle\langle i| = \hat{1}\) en el caso de estados básicos de posición continuos? ¿Y cómo cambia la condición de ortogonalidad?
Respuesta
La relación de completitud se reemplaza por \(\int_{-\infty}^{+\infty} |x\rangle\langle x|\,dx = \hat{1}\), y la ortogonalidad pasa de la delta de Kronecker \(\delta_{ij}\) a la función delta de Dirac \(\langle x|x'\rangle = \delta(x - x')\). En la transición discreto → continuo existe la correspondencia "suma → integral" y "\(\delta_{ij}\) → \(\delta(x-x')\)".
7.2 Superposición de ondas de de Broglie y la función de onda¶
🟡 Lina: En el Cap. 2 aprendimos que a una partícula con momento \(p\) le corresponde una longitud de onda de de Broglie \(\lambda = h/p\). Aquí definimos el número de onda \(k\) como \(k = 2\pi/\lambda\). Esta cantidad representa "cuántos radianes de fase avanza la onda por metro". (En la dirección temporal existe una cantidad análoga — la frecuencia angular \(\omega\) — pero la introduciremos en la siguiente 7.3「Ecuación de Schrödinger para la partícula libre — Derivación con motivación física」.) Ahora bien, ¿cómo representamos matemáticamente una onda de longitud de onda \(\lambda\)? Resulta que se puede expresar con la función exponencial compleja \(e^{ikx}\). "¿Un número imaginario en el exponente y es una onda?" — podrías pensar. Usando la fórmula de Euler se descompone en \(\cos\) y \(\sin\), así que sí es una onda. Lo explicaré en detalle enseguida.
🔵 Kai: \(e^{ikx}\) es un número complejo, ¿verdad? ¿Qué significa que un número complejo sea una "onda"?
🟡 Lina: Buena pregunta. Recuerda la fórmula de Euler que presentamos en el Cap. 4:
Esta es la fórmula que dice "poner un imaginario \(i\theta\) en el exponente de \(e\) da una combinación de \(\cos\) y \(\sin\)". Intuitivamente, en el plano complejo (eje horizontal = parte real, eje vertical = parte imaginaria) designa un punto sobre la circunferencia de radio 1 centrada en el origen con el ángulo \(\theta\) — si \(\theta = 0\) entonces \(e^{i\cdot 0} = 1\) (punto en el eje real), si \(\theta = \pi/2\) entonces \(e^{i\pi/2} = i\) (punto en el eje imaginario). La demostración rigurosa la dejamos para el Apéndice B, pero por ahora acéptalo como "una forma conveniente de empaquetar \(\cos\) y \(\sin\) en una sola función exponencial". Usando esto, \(e^{ikx} = \cos(kx) + i\sin(kx)\). Es decir, la parte real es \(\cos(kx)\) y la parte imaginaria es \(\sin(kx)\) — ambas son ondas de longitud de onda \(\lambda\). \(\cos(kx)\) completa un período cada vez que \(kx\) aumenta en \(2\pi\) — es decir, cuando \(x\) avanza \(2\pi/k\). Por la definición \(k = 2\pi/\lambda\), tenemos \(2\pi/k = \lambda\), así que efectivamente representa una onda de longitud de onda \(\lambda\). Sustituyendo \(\lambda = h/p\) obtenemos \(k = 2\pi/(h/p) = 2\pi p/h = p/\hbar\) (donde \(\hbar = h/(2\pi)\) es la constante de Planck reducida que introdujimos en el Cap. 2). Es decir, \(e^{ikx} = e^{ipx/\hbar}\) es "la onda de de Broglie correspondiente a una partícula con momento \(p\), expresada empaquetando \(\cos\) y \(\sin\) en una sola exponencial compleja". Ahora, con la misma idea con la que en 7.1「De estados discretos al espacio continuo」 definimos \(|x\rangle\) como "el estado de estar en la posición \(x\)", definimos \(|p\rangle\) como el ket que representa "el estado con un valor definido de momento \(p\)". Y \(\langle x|p\rangle\) es "la amplitud de probabilidad de encontrar en la posición \(x\) a una partícula en el estado de momento \(p\)" — esto resulta ser una onda plana. Es decir, la "amplitud de probabilidad respecto a la posición" de una partícula con momento definido \(p\) es:
una onda plana. En cuanto a la constante de proporcionalidad (normalización), como la onda plana tiene \(|e^{ikx}|^2 = 1\) en todo el espacio, la integral diverge y no se puede normalizar en el sentido usual — discutiremos esto nuevamente en 「Condición de normalización」.
🔵 Kai: Pero \(|e^{ikx}|^2 = 1\) es uniforme en todas partes. No se sabe en absoluto dónde está la partícula.
🟡 Lina: Así es. Si el momento está definido, la posición queda completamente indeterminada — esto es una manifestación del principio de incertidumbre que trataremos en el Cap. 8. Una partícula real "está en algún rango de posiciones", por lo que es necesario superponer ondas planas de distintos momentos para formar un paquete de ondas.
🔵 Kai: ¿Un paquete de ondas es como sumar ondas de distintas longitudes de onda para crear una "montaña"?
🟡 Lina: Exacto. Es lo mismo que superponer sonidos de distintas frecuencias para crear un pulso corto. Esto es la versión continua de la "superposición de amplitudes de probabilidad" que aprendimos en el Cap. 4. Si sumamos ondas planas con un número finito de números de onda \(k_1, k_2, \ldots, k_N\), se escribe \(\Psi(x) = c_1 e^{ik_1 x} + c_2 e^{ik_2 x} + \cdots = \sum_{n=1}^{N} c_n e^{ik_n x}\). Cada \(c_n\) es un peso que indica "cuánto de la componente con número de onda \(k_n\) está incluida". Usando la correspondencia "suma → integral" que aprendimos en 7.1「De estados discretos al espacio continuo」, la superposición de números de onda distribuidos continuamente se escribe \(\Psi(x) = \int \phi(k)\,e^{ikx}\,dk\). \(\phi(k)\) es la función de peso que indica "cuánto de la componente con número de onda \(k\) está incluida". Cuanto más amplio sea el rango de \(k\) que \(\phi(k)\) abarca, más localizado estará el paquete de ondas — intuitivamente, cuantas más ondas de distintas longitudes de onda se superponen, más aguda se vuelve la "montaña", pero con pocas longitudes de onda solo se puede crear una onda extendida. Esta estructura matemática (transformada de Fourier) se tratará en detalle en el Cap. 8; por ahora quédate con la imagen de que "superponiendo ondas de distintos \(k\) se puede crear un paquete de ondas localizado". Y el estado creado por esta superposición, expresado como "amplitud de probabilidad en cada posición \(x\)", es la función de onda. Para un estado general \(|\phi\rangle\):
Esta es "la amplitud de probabilidad de encontrar en la posición \(x\) a una partícula que en el instante \(t\) está en el estado \(|\phi(t)\rangle\)".
🔵 Kai: Como es una amplitud de probabilidad, es un número complejo.
🟡 Lina: Así es. \(\Psi(x,t)\) es en general una función de valor complejo. Y aplicando la regla del Cap. 4 — "la probabilidad es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud" — al caso continuo:
A \(|\Psi(x,t)|^2\) lo llamamos densidad de probabilidad.
🔵 Kai: No es \(\Psi\) directamente, sino \(|\Psi|^2\) lo que da la probabilidad. Como \(\Psi\) es complejo, no puede ser directamente una probabilidad.
🟡 Lina: Para ser precisa, \(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\). Aquí \(\Psi^*\) es el conjugado complejo de \(\Psi\) — se invierte el signo de la parte imaginaria. Por ejemplo, si \(z = a + bi\) entonces \(z^* = a - bi\), y \(|z|^2 = z^*z = (a-bi)(a+bi) = a^2 + b^2\). En el caso de \(e^{i\theta}\), \((e^{i\theta})^* = e^{-i\theta}\), y \(|e^{i\theta}|^2 = e^{-i\theta}e^{i\theta} = e^0 = 1\).
🔵 Kai: Claro, por eso \(|e^{ikx}|^2 = 1\).
🟡 Lina: Así es. Comprueba visualmente la diferencia entre onda plana y paquete de ondas en la Fig. 7.2「Comparación entre onda plana y paquete de ondas. Arriba: onda plana \(\Psi\propto e^{ikx}\) con momento definido. \(|\Psi|^2\) es constante en todo el espacio y la posición está completamente indeterminada. Abajo: paquete de ondas formado por superposición de ondas planas con distintos momentos. La posición se localiza hasta cierto punto, pero a cambio el momento también adquiere una dispersión」.
Fig. 7.2: Comparación entre onda plana y paquete de ondas. Arriba: onda plana \(\Psi\propto e^{ikx}\) con momento definido. \(|\Psi|^2\) es constante en todo el espacio y la posición está completamente indeterminada. Abajo: paquete de ondas formado por superposición de ondas planas con distintos momentos. La posición se localiza hasta cierto punto, pero a cambio el momento también adquiere una dispersión — este es el estado de una partícula real.
✅ Verificación de comprensión: Para la función de onda de una partícula con momento \(p\) definido, \(\Psi(x) \propto e^{ipx/\hbar}\), ¿cómo es la densidad de probabilidad \(|\Psi|^2\)? ¿Qué significa esto físicamente?
Respuesta
\(|\Psi|^2 = |e^{ipx/\hbar}|^2 = 1\) (constante). Tiene una densidad de probabilidad igual en todas partes, lo que significa que la posición está completamente indeterminada. Que el momento esté definido implique que la posición quede indeterminada es una manifestación del principio de incertidumbre.
7.3 Ecuación de Schrödinger para la partícula libre — Derivación con motivación física¶
🟡 Lina: Ahora queremos encontrar la ecuación que determina cómo evoluciona en el tiempo la función de onda \(\Psi(x,t)\). En el Cap. 6 aprendimos que la evolución temporal del sistema de 2 estados se describe por:
Vamos a traducir esto a la representación de posición.
🔵 Kai: \(\hat{H}\) era el hamiltoniano — el operador que representa la energía del sistema.
🟡 Lina: Así es. Comencemos con el caso más simple — una partícula libre que no experimenta fuerzas. La energía de una partícula libre es solo energía cinética:
Consideremos la función de onda de una partícula con momento \(p\) y energía \(E\) definidos. Usaremos la relación de de Broglie \(p = \hbar k\) y la relación de Planck-Einstein \(E = h\nu\) que aprendimos en el Cap. 2. Aquí \(\nu\) (nu) es el número de oscilaciones por segundo (frecuencia). Del mismo modo que para el número de onda \(k\) absorbimos el \(2\pi\) escribiendo \(p = \hbar k\) (\(\hbar = h/2\pi\)), es conveniente introducir una cantidad análoga para la frecuencia \(\nu\) que también absorba el \(2\pi\). La escribimos como \(\omega\) (omega) y la llamamos frecuencia angular: \(\omega = 2\pi\nu\). Su significado es "fase avanzada por segundo (en radianes)" — la frecuencia \(\nu\) multiplicada por \(2\pi\) para convertirla en ángulo. Con esto, \(E = h\nu = (2\pi\hbar)\cdot(\omega/2\pi) = \hbar\omega\) se escribe de forma elegante. Es decir, con exactamente la misma estructura con la que la relación entre \(k\) y \(\hbar\) es \(p = \hbar k\), la relación entre \(\omega\) y \(\hbar\) es \(E = \hbar\omega\). Como \(h\) y \(2\pi\) siempre aparecen juntos, es más natural usar desde el principio \(\hbar\) y \(\omega\). Entonces:
Aquí \(A\) es una constante (en general compleja) que determina la magnitud global de la función de onda, y no depende ni de \(x\) ni de \(t\), así que al derivar se saca \(A\) y solo se deriva el resto. En el caso de la onda plana, como \(|e^{ikx}|^2 = 1\) la integral en todo el espacio diverge y no se puede normalizar en el sentido usual — este punto se discutirá nuevamente en 「Condición de normalización」. Por ahora no te preocupes por el valor de \(A\) y concéntrate en el cálculo de las derivadas.
🔵 Kai: La parte espacial \(e^{ikx}\) es la onda de de Broglie. ¿De dónde viene la parte temporal \(e^{-i\omega t}\)? ¿Y por qué es \(e^{-i\omega t}\) con signo menos y no \(e^{+i\omega t}\)?
🟡 Lina: En el Cap. 6 aprendimos que un estado propio de energía \(E\) adquiere con el tiempo solo un factor de fase \(e^{-iEt/\hbar}\). En aquel momento el factor \(e^{-iE_n t/\hbar}\) multiplicaba los coeficientes \(C_i(t)\) del sistema de 2 estados, pero en la representación de posición ocurre exactamente lo mismo — la dependencia temporal de la función de onda \(\Psi(x,t)\) también tiene la forma \(e^{-iEt/\hbar}\) si es un estado propio de energía. El signo menos proviene del hecho de que el lado izquierdo de la ecuación de Schrödinger es \(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\) — es decir, lleva un \(+i\). Al derivar \(e^{-iEt/\hbar}\) respecto a \(t\) sale \(-iE/\hbar\), y al multiplicar por el \(i\hbar\) del lado izquierdo se obtiene \(i\hbar \cdot (-iE/\hbar) = E\). Si fuera \(e^{+iEt/\hbar}\), saldría \(-E\) en vez de \(E\). Es decir, el signo menos está determinado por la estructura de la ecuación. Como \(E = \hbar\omega\), tenemos \(e^{-iEt/\hbar} = e^{-i\omega t}\). Una partícula con momento \(p\) definido también tiene energía \(E = p^2/(2m)\) definida, así que la función de onda completa es la parte espacial \(e^{ikx}\) multiplicada por el factor de fase temporal \(e^{-i\omega t}\). Intuitivamente, \(e^{ikx}\) representa "dónde oscila espacialmente" y \(e^{-i\omega t}\) representa "a qué velocidad oscila temporalmente"; al multiplicar ambos, \(e^{i(kx - \omega t)}\) representa "una onda que se propaga en el espacio-tiempo". Es decir, la forma de la ecuación (7.8).
⚪ Mei: Espacialmente oscila como \(e^{ikx}\) y temporalmente como \(e^{-i\omega t}\) — combinados dan la forma de la ecuación (7.8).
🟡 Lina: Por cierto, \(e^{i(kx - \omega t)}\) representa "una onda que se propaga hacia la derecha". Si seguimos un punto de fase constante (\(kx - \omega t = \text{const}\)), obtenemos \(x = \omega t/k + \text{const}\), que se mueve a la derecha con velocidad \(v = \omega/k\).
🟡 Lina: Ahora bien, para conectar esta onda plana con la ecuación de Schrödinger, necesitamos derivar \(\Psi(x,t)\) respecto a \(t\) y \(x\). Repasemos aquí las derivadas parciales. Una derivada parcial es "derivar respecto a una sola variable manteniendo las demás fijas" cuando la función depende de dos o más variables. Como \(\Psi(x,t)\) depende tanto de \(x\) como de \(t\), en vez del \(\frac{d}{dt}\) ordinario usamos \(\frac{\partial}{\partial t}\) (el símbolo \(\partial\) se lee "parcial" o "round") para indicar "derivar respecto a \(t\) manteniendo \(x\) fijo". Igualmente, \(\frac{\partial}{\partial x}\) significa "derivar respecto a \(x\) manteniendo \(t\) fijo". El método de cálculo es exactamente el mismo que una derivada ordinaria — solo que "se trata a las otras variables como constantes y se ignoran". Por ejemplo, si \(f(x,t) = x^2 t\), entonces \(\frac{\partial f}{\partial t} = x^2\) (tratando \(x^2\) como constante), \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2xt\) (tratando \(t\) como constante). ¿Sencillo, verdad?
🔵 Kai: Ah, solo hay que pensar que la otra variable es una constante. El mismo cálculo que una derivada normal.
🟡 Lina: Así es. Ahora avancemos. En matemáticas del bachillerato aprendiste que la derivada de \(e^x\) es \(e^x\) (\(e^x\) es la única función que "al derivar vuelve a sí misma"). Usando la regla de la cadena (derivada de una función compuesta) — "derivar la función exterior y multiplicar por la derivada del interior" — la derivada de \(e^{\alpha t}\) respecto a \(t\) es \(\alpha e^{\alpha t}\). De hecho, esta fórmula se mantiene válida incluso cuando \(\alpha\) es complejo — recordando la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), se puede verificar a partir de las fórmulas de derivación de \(\cos\) y \(\sin\) (detalles en Apéndice B). Verifiquémoslo brevemente: derivando \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) respecto a \(\theta\) obtenemos \(-\sin\theta + i\cos\theta = i(\cos\theta + i\sin\theta) = ie^{i\theta}\) — efectivamente se cumple la misma regla que en el caso real de que "el coeficiente del exponente baja". Por ahora aceptemos que "la función exponencial compleja sigue las mismas fórmulas de derivación que la real" y avancemos.
🔵 Kai: Es decir, al derivar \(e^{i\theta}\) respecto a \(\theta\), da \(ie^{i\theta}\), igual que en el caso real.
🟡 Lina: Exacto. Aquí se trata de la derivada parcial de \(\Psi = Ae^{i(px - Et)/\hbar}\) respecto a \(t\), así que derivamos solo respecto a \(t\) manteniendo \(x\) fijo. Mantener \(x\) fijo significa que la parte \(e^{ipx/\hbar}\) se trata como constante. Expandiendo el exponente: \(\frac{i(px - Et)}{\hbar} = \frac{ipx}{\hbar} - \frac{iEt}{\hbar}\), y el coeficiente que multiplica a \(t\) es \(-\frac{iE}{\hbar}\). Como la derivada de \(e^{\alpha t}\) respecto a \(t\) es \(\alpha e^{\alpha t}\), con \(\alpha = -iE/\hbar\):
Ahora la derivada espacial. Derivando una vez respecto a \(x\): \(\frac{\partial\Psi}{\partial x} = \frac{ip}{\hbar}\Psi\). Derivando una vez más:
🔵 Kai: ¡Ah, de la ecuación (7.10) sale \(p^2\Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\)!
⚪ Mei: Como cada vez que se deriva "baja el coeficiente del exponente", al derivar dos veces sale el cuadrado del coeficiente.
🟡 Lina: ¡Exacto! Sustituye esto en la relación de energía (7.7). Como \(E = p^2/(2m)\):
Sustituyendo en el lado izquierdo \(E\Psi = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\) de la ecuación (7.9), y en el lado derecho \(p^2\Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\) de la ecuación (7.10):
🔵 Kai: ¡Ooh! ¿Esa es la ecuación de Schrödinger para la partícula libre? Pero la derivamos a partir de una onda plana específica, ¿verdad? ¿También vale para otras funciones de onda?
🟡 Lina: Buena pregunta. De hecho, la ecuación (7.11) es una ecuación diferencial parcial lineal. "Lineal" significa que \(\Psi\) y sus derivadas aparecen en primer grado (no multiplicadas entre sí). No hay términos como \(\Psi^2\) o \(\Psi \cdot \frac{\partial\Psi}{\partial x}\). En ese caso, si \(\Psi_1\) y \(\Psi_2\) son cada una soluciones, al sustituir \(c_1\Psi_1 + c_2\Psi_2\) cada término se separa y sigue siendo solución. Este es el principio de superposición.
🔵 Kai: Ah, por eso no hay problema en derivarla a partir de una onda plana específica. Cualquier paquete de ondas es una suma de ondas planas, así que si cada componente satisface la ecuación, el conjunto también la satisface.
⚪ Mei: Es decir, por muchas ondas planas de distintos momentos que sumemos, el conjunto sigue satisfaciendo la ecuación (7.11).
🔵 Kai: Pero al revés, si la ecuación fuera no lineal — por ejemplo con un término como \(\Psi^2\) — ¿la superposición dejaría de cumplirse?
🟡 Lina: Exacto. En el caso no lineal, \((\Psi_1 + \Psi_2)^2 \neq \Psi_1^2 + \Psi_2^2\), así que sumar soluciones individuales no da una solución. Que la ecuación de Schrödinger sea lineal está directamente conectado con el principio de superposición de la mecánica cuántica. Por eso, cualquier paquete de ondas — superposición de ondas planas con distintos momentos — también satisface la ecuación (7.11). No es solo para una onda plana específica, sino la ecuación que obedece toda función de onda de una partícula libre.
🔵 Kai: Un momento. En la ecuación (7.9), de la derivada temporal de primer orden sale \(E\), y en la ecuación (7.10), de la derivada espacial de segundo orden sale \(p^2\). ¿Por qué la asimetría entre primer y segundo orden?
🟡 Lina: Pregunta aguda. Esto refleja la relación clásica entre energía y momento \(E = p^2/(2m)\) — \(E\) es una función cuadrática de \(p\). Si la relación entre \(E\) y \(p\) fuera de primer grado (como \(E = cp\)), también la derivada espacial sería de primer orden. De hecho, para el fotón es así y aparece una ecuación diferente. La ecuación de Schrödinger es la ecuación para partículas no relativistas (lentas comparadas con la velocidad de la luz).
✅ Verificación de comprensión: En la derivación de la ecuación de Schrödinger para la partícula libre (7.11), explica con tus propias palabras cómo se usaron las tres relaciones "\(E = p^2/(2m)\)", "\(E = \hbar\omega\)" y "\(p = \hbar k\)".
Respuesta
Mediante \(p = \hbar k\) y \(E = \hbar\omega\), de la segunda derivada espacial de la onda plana \(e^{i(kx-\omega t)}\) se extrae \(p^2\), y de la primera derivada temporal se extrae \(E\). Conectándolos con la relación clásica \(E = p^2/(2m)\), se obtiene una ecuación diferencial parcial que contiene una primera derivada temporal y una segunda derivada espacial.
📝 Ejercicios:
- Verifica por sustitución directa que la onda plana \(\Psi = Ae^{i(kx - \omega t)}\) satisface la ecuación (7.11), y obtén la relación de dispersión entre \(\omega\) y \(k\) → Problema B-1. Onda plana en la ecuación de Schrödinger para una partícula libre
7.4 Introducción del potencial y la ecuación de Schrödinger general¶
🟡 Lina: Las partículas reales experimentan fuerzas. La energía de una partícula sometida a fuerzas es:
Aquí \(V(x)\) es la energía potencial. El mismo concepto que la energía potencial gravitatoria \(mgh\) o la energía elástica del resorte \(\frac{1}{2}kx^2\) que aprendiste en física del bachillerato.
🔵 Kai: Solo se añade el potencial a la energía cinética.
🟡 Lina: Así es. En la derivación para la partícula libre reescribimos ambos lados de \(E\Psi = \frac{p^2}{2m}\Psi\) con operadores diferenciales. Con potencial, como \(E = \frac{p^2}{2m} + V(x)\), tenemos \(E\Psi = \frac{p^2}{2m}\Psi + V(x)\Psi\). El lado izquierdo sigue siendo \(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\), y \(\frac{p^2}{2m}\Psi\) del lado derecho se reemplaza por \(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\). \(V(x)\Psi\) queda tal cual — \(V(x)\) es una función de \(x\), no un operador diferencial, así que simplemente se multiplica. El resultado es:
Esta es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en una dimensión — la ecuación fundamental de la mecánica cuántica.
⚪ Mei: El lado izquierdo es la evolución temporal, el lado derecho es la acción del operador de energía — la misma estructura que la ecuación del Cap. 6.
🟡 Lina: Exactamente. Esto es lo que obtenemos al escribir explícitamente en la representación de posición la ecuación \(i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle\) del Cap. 6. El operador hamiltoniano en la representación de posición es:
El primer término es el operador de energía cinética \(\hat{T} = \hat{p}^2/(2m)\), y el segundo es la energía potencial. Aquí el operador de momento es:
🔵 Kai: ¿Por qué el momento se convierte en un operador diferencial?
🟡 Lina: Recuerda la ecuación (7.10). Si aplicamos \(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) a la onda plana \(e^{ipx/\hbar}\):
Es decir, \(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) "al actuar sobre una onda plana de momento \(p\), devuelve \(p\) veces ella misma" — tiene la forma de una ecuación de valores propios \(\hat{p}\,\psi_p = p\,\psi_p\). \(\psi_p = e^{ipx/\hbar}\) es la función propia y \(p\) es el valor propio.
⚪ Mei: La misma estructura que la ecuación de valores propios que aprendimos en el Cap. 5. Al actuar el operador, se devuelve un múltiplo constante de la función original.
🟡 Lina: Así es. Y como \(\hat{p}^2 = (-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})^2 = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\), el operador de energía cinética es \(\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\).
✅ Verificación de comprensión: Al añadir un potencial \(V(x)\) a la ecuación de Schrödinger de la partícula libre, ¿qué término se añade al lado derecho de la ecuación? ¿Por qué ese término no es un operador diferencial sino una simple multiplicación?
Respuesta
Se añade \(V(x)\Psi\) al lado derecho. \(V(x)\) es una función de la posición \(x\) y no contiene operaciones de derivación sobre la función de onda, por lo que es simplemente una multiplicación de \(\Psi\) por \(V(x)\). Esto contrasta con el término de energía cinética que sí es un operador diferencial.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué se obtiene al aplicar el operador de momento \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) a la función de onda \(\Psi(x) = Ae^{ip_0 x/\hbar}\) (con \(p_0 = 3\,\text{kg}\cdot\text{m/s}\))?
Respuesta
\(\hat{p}\Psi = -i\hbar \cdot \frac{ip_0}{\hbar}Ae^{ip_0 x/\hbar} = p_0\,Ae^{ip_0 x/\hbar} = p_0\Psi\). Se extrae el valor propio del momento \(p_0 = 3\,\text{kg}\cdot\text{m/s}\). Se confirma que cuando \(\hat{p}\) actúa sobre una función propia del momento, devuelve como coeficiente el valor propio (el valor del momento).
📝 Ejercicios:
- Escribe el operador hamiltoniano para el potencial \(V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\) (oscilador armónico) y escribe explícitamente la ecuación de Schrödinger → Problema B-2. Aplica el operador de momento a cada una de las siguientes funciones de onda y obtén el resultado. Si es función propia, indica el valor propio
7.5 Estados estacionarios y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo¶
🟡 Lina: En el Cap. 6 aprendimos que los estados propios de energía solo adquieren un factor de fase \(e^{-iE_n t/\hbar}\) con el tiempo y son "estados estacionarios" que físicamente no cambian. En la representación de posición ocurre lo mismo.
🔵 Kai: ¿Qué forma tiene la función de onda de un estado estacionario?
🟡 Lina: En el Cap. 6, un estado propio de energía \(E\) solo adquiría el factor temporal \(e^{-iEt/\hbar}\). Esperando lo mismo en la representación de posición, escribamos la función de onda como producto de una "parte espacial" y una "parte temporal" — esto se llama separación de variables:
Aquí \(\psi(x)\) es una función solo de la parte espacial. Comprobemos si esta forma realmente satisface la ecuación de Schrödinger sustituyéndola. El lado izquierdo es:
El lado derecho es:
Dividiendo ambos lados por \(e^{-iEt/\hbar}\):
⚪ Mei: ¡El tiempo ha desaparecido completamente! Como \(\psi\) es función solo de \(x\), se puede escribir con la derivada ordinaria \(d\) en vez de la derivada parcial \(\partial\). Es una ecuación diferencial ordinaria solo en \(x\).
🟡 Lina: Esta es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (time-independent Schrödinger equation). Es la ecuación para encontrar los valores propios de energía \(E\) y las funciones propias \(\psi(x)\). En lenguaje de operadores:
Es la ecuación de valores propios del hamiltoniano propiamente dicha.
🔵 Kai: ¿Resolviéndola se pueden encontrar los valores permitidos de energía?
🟡 Lina: Así es. En general, las soluciones que satisfacen las condiciones de contorno (condiciones para que la función de onda tenga significado físico) solo existen para valores específicos de energía \(E_1, E_2, E_3, \ldots\). Esta es la cuantización de la energía — la respuesta al misterio de la estabilidad atómica que vimos en el Cap. 1.
🔵 Kai: ¡Ooh, por fin se ve el origen de la cuantización dentro de la ecuación...!
Fig. 7.3: Función de onda del estado estacionario. El estado propio de energía \(\psi_n(x)\) solo adquiere un factor de fase \(e^{-iE_n t/\hbar}\) con el tiempo, de modo que la densidad de probabilidad \(|\Psi|^2 = |\psi_n|^2\) no cambia con el tiempo — este es el significado de "estacionario".
🟡 Lina: Escribiendo la función propia correspondiente a cada \(E_n\) como \(\psi_n(x)\), la función de onda general se puede escribir como superposición de estas:
Esta es la generalización del sistema de 2 estados del Cap. 6.
⚪ Mei: Lo que eran un número finito de \(c_1, c_2\) se convierte en infinitos \(c_n\) — la estructura es la misma.
🟡 Lina: Exacto. Cada componente de energía rota su fase con su propia frecuencia \(\omega_n = E_n/\hbar\). Que la diferencia de fase entre componentes de distinta energía cambie con el tiempo es la fuente de la dinámica de los sistemas cuánticos.
🔵 Kai: Los estados estacionarios "no cambian", pero los estados superpuestos "se mueven". Pero es curioso — cada componente tiene \(|e^{-iE_n t/\hbar}|^2 = 1\) y no debería afectar la densidad de probabilidad, así que ¿por qué al sumarlos se mueve?
🟡 Lina: Buena pregunta. Veámoslo concretamente. Calculemos la densidad de probabilidad de la superposición de dos estados propios de energía \(\Psi = c_1\psi_1 e^{-iE_1 t/\hbar} + c_2\psi_2 e^{-iE_2 t/\hbar}\). Como \(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\), primero construimos \(\Psi^* = c_1^*\psi_1^* e^{iE_1 t/\hbar} + c_2^*\psi_2^* e^{iE_2 t/\hbar}\) y lo multiplicamos por \(\Psi\) expandiendo.
🔵 Kai: Como \((A + B)(C + D)\), salen 4 términos.
🟡 Lina: Así es. Concretamente:
- \(c_1^*c_1\,\psi_1^*\psi_1 = |c_1|^2|\psi_1|^2\) (el factor temporal \(e^{i(E_1-E_1)t/\hbar} = 1\) se cancela)
- \(c_2^*c_2\,\psi_2^*\psi_2 = |c_2|^2|\psi_2|^2\) (igualmente el factor temporal se cancela)
- \(c_1^*c_2\,\psi_1^*\psi_2\,e^{i(E_1-E_2)t/\hbar}\) (término cruzado 1)
- \(c_2^*c_1\,\psi_2^*\psi_1\,e^{i(E_2-E_1)t/\hbar}\) (término cruzado 2)
🔵 Kai: Los dos primeros no dependen del tiempo, pero los términos cruzados sí conservan la dependencia temporal — ¿eso es lo que causa la oscilación?
🟡 Lina: ¡Exacto! El término cruzado 2 es el conjugado complejo del término cruzado 1 (porque \(e^{i(E_2-E_1)t/\hbar} = (e^{i(E_1-E_2)t/\hbar})^*\)). Aquí usamos una fórmula útil — para un número complejo \(z = a + bi\), \(z + z^* = (a+bi) + (a-bi) = 2a = 2\,\text{Re}(z)\). Es decir, "sumar un número complejo con su conjugado da el doble de la parte real". Usando esto con el término cruzado 1 como \(z\) para combinar los dos: \(2\,\text{Re}[c_1^*c_2\,\psi_1^*\psi_2\,e^{i(E_1-E_2)t/\hbar}]\). Aquí \((E_1 - E_2) = -(E_2 - E_1)\) así que \(e^{i(E_1-E_2)t/\hbar} = e^{-i(E_2-E_1)t/\hbar}\). Si numeramos con \(E_2 > E_1\), podemos definir la frecuencia \(\omega_{21} \equiv (E_2-E_1)/\hbar > 0\):
⚪ Mei: El último término es uno que solo aparece cuando las dos componentes "se mezclan". Oscila con frecuencia \((E_2 - E_1)/\hbar\).
🟡 Lina: Exacto. A esto lo llamamos término de interferencia. Tiene la misma estructura que la interferencia de ondas en la física del bachillerato — cuando dos ondas se superponen, además de la suma de las intensidades individuales aparece un "término mixto". Es la expresión en el espacio de posiciones de las oscilaciones cuánticas que vimos en el máser de amoníaco del Cap. 6. La condición de frecuencia de Bohr \(\nu = (E_2 - E_1)/h\) corresponde precisamente a la frecuencia de este término de interferencia. En la Fig. 7.4「Evolución temporal de la densidad de probabilidad de un estado superpuesto」 observa cómo cambia con el tiempo la densidad de probabilidad de la superposición de dos estados propios.
Fig. 7.4: Evolución temporal de la densidad de probabilidad de un estado superpuesto. Cambio temporal de \(|\Psi(x,t)|^2\) en la superposición equitativa de dos estados estacionarios \(\Psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1 e^{-iE_1 t/\hbar} + \psi_2 e^{-iE_2 t/\hbar})\). La línea discontinua indica la posición del "centro de masa" de la distribución de probabilidad, que oscila con período \(T = 2\pi\hbar/(E_2 - E_1)\).
🔵 Kai: ¡La montaña de probabilidad está oscilando! ¿Es el mismo mecanismo que las oscilaciones de Rabi del Cap. 6? Así es como se ve en el espacio de posiciones.
🟡 Lina: Exacto. En el Cap. 6 la probabilidad oscilaba entre 2 estados, pero ahora oscila "dónde se puede encontrar" la partícula en el espacio de posiciones — el mecanismo es exactamente el mismo.
🔵 Kai: Entonces, si se superponen tres o más estados propios de energía, ¿la oscilación se vuelve más compleja?
🟡 Lina: Así es. Con tres o más componentes, se superponen términos de interferencia con distintas frecuencias \(\omega_{21}, \omega_{31}, \omega_{32}, \ldots\), así que ya no es un simple vaivén. Pero el mecanismo básico es el mismo — las diferencias de fase entre componentes de distinta energía generan el cambio temporal. Si hay \(N\) componentes, los términos de interferencia son tantos como "el número de combinaciones de 2 componentes" — \(_NC_2 = N(N-1)/2\).
⚪ Mei: Con 2 componentes hay 1 término y es una oscilación simple; con 3 componentes hay 3 y la oscilación es compleja — cuantas más componentes, más rápidamente se multiplican los términos de interferencia.
🟡 Lina: Así es. Y en todos los términos de interferencia, la frecuencia está determinada por "la diferencia de energía entre dos componentes" — la misma estructura. La \(\omega_{21} = (E_2 - E_1)/\hbar\) de la ecuación (7.20) simplemente se convierte en \(\omega_{nm} = (E_n - E_m)/\hbar\) para cualquier par \((n, m)\).
🔵 Kai: Pero una cosa me inquieta — si la montaña de probabilidad está oscilando, ¿la partícula realmente se mueve de un lado a otro? ¿O solo "cambia la probabilidad de dónde se la encontraría si se midiera"?
🟡 Lina: Pregunta aguda. Estrictamente es lo segundo. La partícula no se mueve describiendo una trayectoria clásica. "Si midiéramos ahora, la probabilidad de encontrarla aquí es alta" — esa distribución es lo que cambia con el tiempo. Hasta que se mide, la partícula no tiene una posición definida — esta es la diferencia fundamental con la mecánica clásica.
🔵 Kai: Hmm, "no se está moviendo" sino que "la probabilidad de dónde se la encontraría está cambiando"... Lo entiendo intelectualmente, pero intuitivamente todavía me resulta incómodo. Si la montaña de probabilidad oscila de un lado a otro, dan ganas de decir "la partícula se está moviendo". Entonces, antes de medir, ¿qué está "haciendo" la partícula?
🟡 Lina: Esa pregunta toca la parte más profunda de la mecánica cuántica. Siendo honesta en esta etapa — la mecánica cuántica no dice nada sobre "qué está haciendo la partícula antes de medir". Lo único que puede decir es "si se midiera, con tal probabilidad se encontraría aquí". Esta incomodidad es una reacción normal — Einstein sintió lo mismo. Por ahora avancemos con la actitud de "es incómodo, pero los cálculos funcionan". En 7.9「Resumen general — Estructura de la ecuación de Schrödinger」 organizaremos, en contraste con la mecánica de Newton, "qué es determinista y qué es probabilístico".
🔵 Kai: ...Sinceramente todavía no estoy convencido, pero "los cálculos funcionan" es un argumento fuerte. Entonces por ahora lo dejo pendiente y me concentro en aprender a usar la ecuación. ¡Pero después seguro que vuelvo a preguntar!
✅ Verificación de comprensión: ¿La densidad de probabilidad \(|\Psi(x,t)|^2\) de un estado estacionario \(\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}\) depende del tiempo? Responde con la justificación.
Respuesta
No depende del tiempo. \(|\Psi|^2 = |\psi(x)|^2|e^{-iEt/\hbar}|^2 = |\psi(x)|^2 \cdot 1 = |\psi(x)|^2\). Como el valor absoluto del factor de fase es siempre 1, la densidad de probabilidad no depende del tiempo. Por eso se llama "estado estacionario".
📝 Ejercicios:
- Sustituye la separación de variables \(\Psi(x,t) = \psi(x)T(t)\) en la ecuación de Schrödinger (7.13) y realiza por ti mismo el proceso de separar en una ecuación solo en \(x\) y otra solo en \(t\) → Problema M-1. Derivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo mediante separación de variables
7.6 Densidad de probabilidad y corriente de probabilidad — Conservación de la probabilidad¶
🟡 Lina: El requisito físico más importante de la función de onda es la "conservación de la probabilidad". Las partículas no desaparecen ni se crean de la nada. Por lo tanto, la probabilidad total de encontrar la partícula en todo el espacio debe ser siempre 1:
🔵 Kai: Pero \(\Psi\) cambia con el tiempo, ¿verdad? ¿Esa integral realmente se mantiene en 1 todo el tiempo?
🟡 Lina: Buena pregunta. Demostrémoslo. Calculamos la derivada temporal de la integral. Intuitivamente, "la tasa de cambio de la probabilidad total" es "la suma de las tasas de cambio de la densidad de probabilidad en cada punto" — si el total cambia, es porque alguna parte está cambiando. Aquí confirmemos un punto técnico. "Derivar respecto a \(t\) y luego integrar respecto a \(x\)" y "integrar respecto a \(x\) y luego derivar respecto a \(t\)" no siempre se pueden intercambiar. Pero cuando la función de onda se aproxima a 0 suficientemente rápido cuando \(x \to \pm\infty\) — esta es una condición que requeriremos formalmente en 7.7「Normalización de la función de onda y requisitos físicos」 — truncar el intervalo de integración a un intervalo finito suficientemente grande \([-L, L]\) apenas cambia el resultado. Para integrales sobre intervalos finitos, mientras el integrando sea suave, se puede intercambiar libremente el orden de derivación e integración — intuitivamente, la integral es "una suma infinitamente fina", así que "derivar cada sumando y luego sumar" es lo mismo que "sumar y luego derivar". Además, el \(\frac{d}{dt}\) del lado izquierdo es la derivada ordinaria de una "función solo de \(t\) que queda después de integrar en \(x\)", mientras que el \(\frac{\partial}{\partial t}\) del lado derecho es la derivada parcial de una "función que depende tanto de \(x\) como de \(t\)". Es decir:
Primero calculemos \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2\). Como \(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\):
⚪ Mei: La regla del producto para derivadas.
🟡 Lina: De la ecuación de Schrödinger (7.13) queremos extraer \(\frac{\partial\Psi}{\partial t}\). Basta dividir ambos lados por \(i\hbar\) — dividir por \(i\hbar\) es lo mismo que multiplicar por \(\frac{1}{i\hbar} = \frac{-i}{\hbar}\). ¿Por qué? Porque multiplicando numerador y denominador de \(\frac{1}{i}\) por \(-i\): \(\frac{1}{i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i\). El lado izquierdo queda \(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} \cdot \frac{1}{i\hbar} = \frac{\partial\Psi}{\partial t}\). El lado derecho:
🔵 Kai: Al multiplicar por \(-\frac{i}{\hbar}\) se elimina el \(i\hbar\). \(-\frac{i}{\hbar} \cdot (-\frac{\hbar^2}{2m})\): menos por menos da más, los \(\hbar\) se simplifican y queda \(\frac{i\hbar}{2m}\). Efectivamente sale la ecuación.
🟡 Lina: Así es. Ahora tomamos el conjugado complejo de esta ecuación. Como \(V\) es real, \(V^* = V\), y \(i^* = -i\):
🔵 Kai: El signo de \(i\) se invierte en todos los términos.
🟡 Lina: Sustituyendo estos en la ecuación (7.23):
Los términos que contienen \(V\) se cancelan mutuamente:
🔵 Kai: ¡Vaya, los términos con el potencial \(V\) se cancelaron!
🟡 Lina: Así es. Como \(V\) es real, los términos con \(V\) en la ecuación de \(\Psi^*\) y la de \(\Psi\) se cancelan exactamente. Este es un punto importante — la conservación de la probabilidad depende de que \(V\) sea real. Si \(V\) fuera complejo, la cancelación se rompería y la probabilidad no se conservaría.
⚪ Mei: Es decir, la condición de conservación de la probabilidad está directamente ligada a la propiedad del potencial (ser real).
🟡 Lina: Exacto. Ahora observa bien el lado derecho de la ecuación (7.26). Hay dos términos: \(\Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\) y \(\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}\Psi\). Intentemos ver si se pueden reescribir en forma de "derivada respecto a \(x\)". Expandamos \(\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)\) usando la regla del producto:
Igualmente:
Al restar las dos, los términos \(\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\) se cancelan:
Que es exactamente lo que queda en el lado derecho de la ecuación (7.26). Agrupando el lado izquierdo: \(\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\), así que:
🔵 Kai: Ya veo, se intentó "¿se puede escribir en forma de derivada respecto a \(x\)?" y funcionó.
🟡 Lina: Así es. La razón por la que buscamos esta forma es que si podemos escribir \(\frac{\partial\rho}{\partial t} = \frac{\partial(\text{algo})}{\partial x}\), al integrar en todo el espacio el lado derecho queda solo como un valor de frontera, y así se demuestra la conservación de la probabilidad. La motivación física viene primero.
⚪ Mei: "Qué forma queremos obtener" se calcula hacia atrás desde el objetivo.
🟡 Lina: Mirando el lado derecho de la ecuación (7.27), tiene la forma de la derivada respecto a \(x\) de \(\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\). Es decir, \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = \frac{\partial}{\partial x}(\text{algo})\). Esto tiene la misma forma que la conservación de masa en mecánica de fluidos — "cambio temporal de la densidad = cambio espacial del flujo". En mecánica de fluidos se escribe \(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\) y a \(j\) se le llama "corriente". Para ajustarlo a esta forma, queremos escribir el lado derecho como \(-\frac{\partial j}{\partial x}\). La ecuación (7.27) dice \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{i\hbar}{2m}(\cdots)\right]\), así que para obtener \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = -\frac{\partial j}{\partial x}\) hay que definir \(j = -\frac{i\hbar}{2m}(\cdots)\). \(-\frac{i\hbar}{2m}\) es lo mismo que \(\frac{\hbar}{2mi}\). Comprobemos: \(\frac{1}{i} = \frac{1}{i}\cdot\frac{-i}{-i} = \frac{-i}{1} = -i\), así que \(\frac{\hbar}{2mi} = \frac{\hbar}{2m}\cdot\frac{1}{i} = \frac{\hbar}{2m}\cdot(-i) = -\frac{i\hbar}{2m}\). Como distintos libros usan distintas notaciones, aquí adoptamos la forma \(\frac{\hbar}{2mi}\) y definimos la densidad de corriente de probabilidad (probability current density) \(j(x,t)\):
Con esta definición, la ecuación (7.27) toma la forma limpia \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = -\frac{\partial j}{\partial x}\). Verifícalo — el lado derecho de la ecuación (7.27) es \(\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{i\hbar}{2m}(\cdots)\right]\), y \(j = -\frac{i\hbar}{2m}(\cdots)\), así que el lado derecho \(= \frac{\partial}{\partial x}\left[-j\right] = -\frac{\partial j}{\partial x}\).
🔵 Kai: Ya veo, como \(\frac{i\hbar}{2m}\) y \(j\) tienen signos opuestos, al derivar respecto a \(x\) se obtiene \(-\frac{\partial j}{\partial x}\).
🟡 Lina: Exacto. El significado físico del signo menos es "donde la densidad de probabilidad aumenta, la corriente de probabilidad está fluyendo hacia dentro" — se define para que la entrada y el aumento de densidad tengan el mismo signo.
🔵 Kai: La fórmula de definición de la corriente de probabilidad \(j\) (7.28), ¿tiene alguna imagen física? Mirando solo la fórmula parece complicada...
🟡 Lina: Buena pregunta. Físicamente, como \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\), tenemos \(\frac{\hat{p}}{m} = \frac{-i\hbar}{m}\frac{\partial}{\partial x}\), que es la versión cuántica de "velocidad = momento/masa" de la mecánica clásica. De otra forma, \(j = \text{Re}\left[\Psi^*\frac{-i\hbar}{m}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right]\). Ten en cuenta que \(\frac{\partial}{\partial x}\) "deriva la función que está a su derecha", y \(\Psi^*\) ya está a la izquierda de la derivada así que no se deriva — es decir, primero se calcula el producto \(\Psi^* \times \frac{-i\hbar}{m}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\) y luego se toma la parte real. Verificando, si ponemos \(z = \Psi^*\frac{-i\hbar}{m}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\) y usamos \(\text{Re}(z) = \frac{z + z^*}{2}\), entonces \(z^* = \Psi\frac{i\hbar}{m}\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\) (el signo de \(i\) se invierte y \(\Psi\) y \(\Psi^*\) se intercambian), por lo que \(\frac{z + z^*}{2} = \frac{-i\hbar}{2m}\!\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right) = \frac{\hbar}{2mi}\!\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\), que coincide con la ecuación (7.28) — verifica esto con tu propia mano en el ejercicio Problema M-3. Cálculo de la densidad de corriente de probabilidad. Es decir, esto es "la parte real de intercalar el operador velocidad \(\hat{v} = \hat{p}/m\) entre \(\Psi^*\) y \(\Psi\)", y se interpreta como la versión cuántica de "densidad × velocidad = corriente" clásica.
🔵 Kai: La "corriente = densidad × velocidad" clásica se convierte en una forma con operadores en mecánica cuántica.
🟡 Lina: Así es. Por lo tanto, la ecuación (7.27) se puede escribir como \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = -\frac{\partial j}{\partial x}\). Reordenando:
🟡 Lina: Una ecuación de esta forma se llama ecuación de continuidad (continuity equation). Tiene exactamente la misma estructura que la ecuación en mecánica de fluidos que expresa que "la masa no se crea ni se destruye". La densidad de probabilidad \(\rho = |\Psi|^2\) representa "la densidad de probabilidad", y \(j\) representa "el flujo de probabilidad". Que la probabilidad no se cree ni se destruya — es decir, que la probabilidad se conserva localmente — es lo que significa. En la Fig. 7.5「Corriente de probabilidad y conservación de la probabilidad」 observa la imagen de un paquete de ondas que se mueve manteniendo la probabilidad total. Además, en general el paquete de ondas se extiende (dispersa) con el tiempo mientras se mueve, pero la probabilidad total \(\int|\Psi|^2 dx = 1\) se mantiene siempre — ese es el significado de la ecuación de continuidad.
⚪ Mei: La conservación de probabilidad se expresa con la misma forma que la conservación de masa en fluidos. La forma puede cambiar pero la "cantidad total" no cambia.
Fig. 7.5: Corriente de probabilidad y conservación de la probabilidad. Un paquete de ondas que se mueve con el tiempo (diagrama esquemático que aquí ignora la dispersión). La forma del paquete en general se extiende con el tiempo, pero la integral en todo el espacio \(\int|\Psi|^2 dx = 1\) se mantiene siempre. La corriente de probabilidad \(j(x,t)\) representa "el flujo de probabilidad".
🔵 Kai: ¿Y que la integral en todo el espacio sea constante?
🟡 Lina: Al integrar ambos lados de la ecuación de continuidad (7.29) respecto a \(x\) desde \(-\infty\) hasta \(+\infty\), el lado izquierdo es \(\frac{d}{dt}\int|\Psi|^2 dx\), y el lado derecho es \(-\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial j}{\partial x}\,dx\). Usamos el teorema fundamental del cálculo que aprendiste en el bachillerato: \(\int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a)\). Aquí tenemos \(\int_{-\infty}^{+\infty}\left(-\frac{\partial j}{\partial x}\right)dx\), así que considerando \(-j\) como "la función antes de derivar respecto a \(x\)":
Aquí \(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial j}{\partial x}dx = [j]_{-\infty}^{+\infty} = j(+\infty) - j(-\infty)\) es el teorema fundamental del cálculo directamente. Como todo está multiplicado por un signo menos, \(-(j(+\infty) - j(-\infty)) = j(-\infty) - j(+\infty)\) con el signo invertido.
Las funciones de onda físicamente significativas se aproximan a 0 suficientemente rápido cuando \(x \to \pm\infty\), así que \(j(\pm\infty, t) = 0\) y el lado derecho es 0:
🔵 Kai: ¡Increíble! Una vez normalizada, permanece normalizada para siempre.
🟡 Lina: Este es un resultado importante que muestra la consistencia interna de la ecuación de Schrödinger. Si esta propiedad no existiera, la interpretación probabilística misma se derrumbaría.
⚪ Mei: Es decir, la conservación de la probabilidad surge de la estructura matemática de la ecuación. No es una condición añadida a posteriori.
🟡 Lina: Así es. Más aún, en el Cap. 6 verificamos la conservación de probabilidad (\(|C_1|^2 + |C_2|^2 = 1\) no depende del tiempo). Esto es su expresión en la representación de posición. La "longitud" del vector de estado — en la representación de posición \(\int|\Psi|^2\,dx\) — se conserva bajo la evolución temporal. Esta propiedad se llama unitariedad.
✅ Verificación de comprensión: En la demostración de la conservación de la probabilidad (ecuación 7.26), ¿por qué se cancelan los términos que contienen el potencial \(V(x)\)? ¿Qué pasaría si \(V(x)\) fuera complejo?
Respuesta
Como \(V(x)\) es real, \(\Psi^*(-\frac{i}{\hbar}V\Psi)\) y \((\frac{i}{\hbar}V\Psi^*)\Psi\) se cancelan exactamente. Si \(V(x)\) fuera complejo, la cancelación sería incompleta y la probabilidad no se conservaría. Es decir, que el potencial sea real es una condición necesaria para la conservación de la probabilidad.
✅ Verificación de comprensión: Explica el significado físico de la ecuación de continuidad (7.29) en términos de la relación entre "el aumento o disminución de probabilidad dentro de una región" y "la corriente de probabilidad".
Respuesta
La tasa de cambio temporal de la probabilidad dentro del intervalo \([a, b]\), \(P_{ab} = \int_a^b |\Psi|^2 dx\), es \(\frac{dP_{ab}}{dt} = j(a,t) - j(b,t)\). Es decir, la probabilidad dentro del intervalo aumenta solo cuando la corriente de probabilidad que entra por el extremo izquierdo es mayor que la que sale por el extremo derecho. La probabilidad nunca "surge de la nada" sino que siempre fluye desde regiones adyacentes.
📝 Ejercicios:
- Calcula la densidad de corriente de probabilidad \(j\) para la onda plana \(\Psi = Ae^{i(kx - \omega t)}\) y compárala con la "corriente de partículas" clásica \(\rho v\) (\(\rho\) es la densidad de probabilidad, \(v\) es la velocidad) → Problema M-3. Cálculo de la densidad de corriente de probabilidad
7.7 Normalización de la función de onda y requisitos físicos¶
🟡 Lina: A partir de la discusión sobre la conservación de la probabilidad, resumamos las condiciones físicas que la función de onda debe satisfacer.
Condición de normalización¶
🟡 Lina: Primero, la condición más fundamental:
Esta es la expresión matemática de "la partícula está en algún lugar con certeza".
🔵 Kai: ¿Y si al resolver la ecuación de Schrödinger la integral de \(\Psi\) no da 1?
🟡 Lina: Como es una ecuación lineal, multiplicar la solución por una constante sigue dando una solución. Si la integral da un valor finito \(N\), reemplazando por \(\Psi/\sqrt{N}\) se normaliza. Sin embargo, si la integral diverge (se hace infinita), no se puede normalizar — tal función no representa un estado físico.
⚪ Mei: La onda plana \(e^{ikx}\) es exactamente ese caso. \(\int_{-\infty}^{+\infty}|e^{ikx}|^2 dx = \int_{-\infty}^{+\infty}1\,dx = \infty\).
🟡 Lina: Así es. La onda plana es una idealización de "estado con momento definido" y físicamente necesita usarse como superposición en forma de paquete de ondas. Matemáticamente es una herramienta útil, pero por sí sola no se puede normalizar.
Continuidad y suavidad¶
🟡 Lina: A continuación, las condiciones de suavidad que debe satisfacer la función de onda:
- \(\Psi(x,t)\) debe ser continua
- \(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\) también debe ser continua (cuando el potencial es finito)
🔵 Kai: ¿Por qué tiene que ser suave?
🟡 Lina: Hay dos razones. Primera, la corriente de probabilidad \(j\) (ecuación 7.28) contiene \(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\), así que si esta es discontinua, la corriente de probabilidad no se puede definir. Segunda, como el lado derecho de la ecuación de Schrödinger contiene \(\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\), si \(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\) es discontinua, la segunda derivada no se puede definir.
⚪ Mei: Es decir, para que la ecuación de Schrödinger tenga sentido, la función de onda debe ser al menos dos veces diferenciable.
🟡 Lina: Sin embargo, hay una excepción. En puntos donde el potencial salta a infinito (pared infinitamente alta), no se exige la continuidad de \(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\). Esto lo veremos concretamente en el Cap. 9.
Resumen de condiciones de contorno¶
🟡 Lina: Resumamos las condiciones para funciones de onda físicamente admisibles:
Tabla 7.2: Lista de condiciones de contorno de la función de onda
| Condición | Expresión matemática | Razón física |
|---|---|---|
| Normalizable | $\int | \Psi |
| Continua | \(\Psi\) sin puntos de discontinuidad | La densidad de probabilidad está unívocamente determinada |
| Empalme suave | \(\partial\Psi/\partial x\) continua | La corriente de probabilidad se conserva |
| Cero en el infinito | \(\Psi \to 0\) (\(x \to \pm\infty\)) | La partícula no está en el infinito |
🔵 Kai: Estas condiciones son las que generan la cuantización de la energía, ¿verdad? No es que "para cualquier \(E\) exista solución", sino que solo están permitidos los \(E\) que satisfacen estas condiciones.
🟡 Lina: ¡Exacto! Esa es la esencia de la mecánica cuántica. Cuando resolvamos concretamente el pozo de potencial y el oscilador armónico en el Cap. 9, veremos cómo las condiciones de contorno seleccionan las energías.
✅ Verificación de comprensión: De los cuatro requisitos físicos sobre la función de onda (normalizable, continua, empalme suave, cero en el infinito), ¿cuáles son los responsables de generar la cuantización de la energía?
Respuesta
Todas estas condiciones se combinan para generar la cuantización de la energía. En particular, las soluciones que satisfacen simultáneamente la normalizabilidad (\(\Psi \to 0\) cuando \(x \to \pm\infty\)) y las condiciones de continuidad y suavidad no existen para cualquier energía \(E\), sino solo para valores discretos específicos \(E_n\). Las condiciones de contorno restringen la existencia de soluciones, seleccionando así las energías permitidas.
✅ Verificación de comprensión: ¿Es normalizable la función de onda \(\Psi(x) = A\) (constante)? Justifica tu respuesta.
Respuesta
No es normalizable. \(\int_{-\infty}^{+\infty}|A|^2 dx = |A|^2 \cdot \infty = \infty\), que diverge.
7.8 La perspectiva de Feynman — De la red al espacio continuo¶
🟡 Lina: Aquí presentaré otra perspectiva sobre de dónde viene la ecuación de Schrödinger. Es el hermoso enfoque que Feynman mostró en las Lectures on Physics.
🔵 Kai: ¿Es diferente de la derivación anterior?
🟡 Lina: Antes el enfoque fue "leer la ecuación a partir de las propiedades de la onda de de Broglie". El enfoque de Feynman es "derivar la ecuación de Schrödinger como límite cuando el espaciado de red se lleva a 0, partiendo de la ecuación del electrón en una red cristalina".
🟡 Lina: Consideremos una fila de átomos alineados con separación \(b\). Escribimos la posición del \(n\)-ésimo átomo como \(x_n = nb\). La amplitud de probabilidad de que el electrón esté en el \(n\)-ésimo átomo en el instante \(t\) la escribimos como \(C(x_n)\) — es lo mismo que los \(C_1, C_2\) del Cap. 6, pero como hay infinitos átomos, es más conveniente designar por posición \(x_n\) en vez de por número \(n\), para cuando tomemos el límite continuo después (realmente también depende de \(t\), pero lo escribiré de forma breve). En el Cap. 6, la molécula de amoníaco iba y venía entre dos configuraciones con amplitud \(A\). Con la misma idea, sea \(A\) (\(A > 0\)) la amplitud de probabilidad de que el electrón "salte" al átomo vecino. Entonces, la evolución temporal de la amplitud de estar en el \(n\)-ésimo átomo tiene la misma estructura que \(i\hbar\frac{dC_i}{dt} = \sum_j H_{ij}C_j\) del Cap. 6:
- Elemento diagonal \(H_{nn} = E_0\) (energía de quedarse en el \(n\)-ésimo átomo sin saltar): \(E_0 C(x_n)\)
- Acoplamiento con el vecino derecho \((n+1)\) (elemento no diagonal \(H_{n,n+1} = -A\), misma estructura que \(H_{12} = -A\) del Cap. 6): \(-A C(x_n + b)\)
- Acoplamiento con el vecino izquierdo \((n-1)\) (elemento no diagonal \(H_{n,n-1} = -A\)): \(-A C(x_n - b)\)
Combinándolos:
🔵 Kai: ¡Es la generalización del máser de amoníaco del Cap. 6! En vez de 2 estados hay infinitos átomos.
🟡 Lina: Comprueba esta estructura en la Fig. 7.6「Modelo de red de Feynman」.
Fig. 7.6: Modelo de red de Feynman. Electrón sobre átomos separados por distancia \(b\). La amplitud de estar en el \(n\)-ésimo átomo evoluciona temporalmente a través de su propia energía \(E_0\) y el acoplamiento \(-A\) con los átomos vecinos a izquierda y derecha. En el límite de espaciado de red \(b \to 0\) aparece la ecuación de Schrödinger en el espacio continuo.
🔵 Kai: Si "salta desde el vecino", ¿por qué el signo es negativo?
🟡 Lina: Recuerda la ecuación de la molécula de amoníaco del Cap. 6. Entonces \(i\hbar\frac{dC_1}{dt} = H_{11}C_1 + H_{12}C_2\) con \(H_{12} = -A\) (\(A > 0\)). El resultado fue que los valores propios se desdoblan en \(E_0 + A\) y \(E_0 - A\), y la energía más baja es \(E_0 - A\) — es decir, el acoplamiento baja la energía. El punto es que "el menos de \(-A\) es solo una convención". Si fijamos \(A > 0\) y escribimos el elemento no diagonal como \(-A\), la energía baja respecto a \(E_0\) como resultado del acoplamiento (\(E_0 - A < E_0\)). Si escribiéramos \(+A\), la energía subiría, lo cual no coincide con la física de que "poder saltar al vecino estabiliza". En química del bachillerato aprendiste que "formar un enlace covalente estabiliza (baja la energía)", ¿verdad? Es lo mismo: un electrón que puede saltar al átomo vecino tiene menor energía que uno confinado en un solo átomo. Por eso se escribe \(-A\).
⚪ Mei: La convención del signo refleja la física de que "acoplarse baja la energía".
🟡 Lina: Así es. Reorganicemos el lado derecho. El objetivo es llevar "la diferencia con los vecinos" a la forma de una segunda derivada. La segunda derivada \(\frac{d^2f}{dx^2}\) representa "la curvatura de la función", pero en una red discreta se aproxima por "la desviación entre el valor central y el promedio de los vecinos". Concretamente, \(f''(x) \approx \frac{f(x+b) - 2f(x) + f(x-b)}{b^2}\) — fíjate en el numerador: "sumar los valores de ambos vecinos y restar el doble del central". Invirtiendo el signo: \(2f(x) - f(x+b) - f(x-b) \approx -b^2 f''(x)\). Queremos crear esta forma en el lado derecho de la ecuación (7.33), así que añadimos \(+2AC(x_n) - 2AC(x_n) = 0\):
Separamos estos 5 términos en 2 grupos. Agrupamos \(E_0 C(x_n)\) con \(-2AC(x_n)\) para obtener \((E_0 - 2A)C(x_n)\). De los restantes \(+2AC(x_n) - AC(x_n+b) - AC(x_n-b)\) sacamos factor \(A\): \(A[2C(x_n) - C(x_n+b) - C(x_n-b)]\). Combinando:
🔵 Kai: Ah, se agrupó \(E_0 C - 2AC\) en \((E_0 - 2A)C\) y el resto se puso entre corchetes. El contenido de los corchetes es "el doble del valor central menos los dos vecinos" — ¿esto se transforma en la segunda derivada?
🟡 Lina: ¡Exacto! Ese es precisamente el punto. Pero antes resolvamos algo. \((E_0 - 2A)\) es simplemente un desplazamiento constante de energía — igual que en la física del bachillerato podías elegir libremente el punto de referencia de la energía potencial, dónde colocas el "cero" de la energía no afecta la física.
🔵 Kai: Eh, pero \(E_0\) es la energía de quedarse en el átomo y \(A\) es la fuerza del acoplamiento para saltar al vecino, ¿verdad? ¿Está bien eliminarlos?
🟡 Lina: Buena verificación. Lo importante aquí son solo las "diferencias de energía". Sumar o restar una constante al conjunto solo añade un factor de fase común \(e^{-i(E_0-2A)t/\hbar}\) en la ecuación de evolución temporal, que no afecta a la densidad de probabilidad \(|\Psi|^2\) — la misma lógica de "la fase global no afecta la física" que aprendimos en el Cap. 6. Así que elegimos el origen de energía de modo que \(E_0 - 2A = 0\) y lo eliminamos. Entonces solo queda el contenido de los corchetes. Ahora respondamos a la pregunta de Kai. 🟡 Lina: Si \(C(x)\) es una función suave, se puede aproximar mediante un desarrollo de Taylor. El desarrollo de Taylor es un método para expresar el valor de una función en puntos cercanos usando "los coeficientes de sus derivadas en ese punto". Intuitivamente, \(f(x+b)\) como serie de potencias en \(b\) se escribe \(f(x+b) = f(x) + bf'(x) + \frac{b^2}{2}f''(x) + \cdots\) (\(f'\) es la notación abreviada de la primera derivada, \(f''\) de la segunda). El primer término es "el valor original", el segundo es "pendiente × desplazamiento" como corrección de primer orden, el tercero es "corrección de segundo orden por la curvatura". Cuanto más pequeño sea \(b\), más rápidamente se hacen pequeños los términos de orden superior, mejorando la precisión.
🔵 Kai: ¿Concretamente qué significa?
🟡 Lina: Prueba con \(f(x) = x^2\) por ejemplo. \(f(x+b) = (x+b)^2 = x^2 + 2xb + b^2\). Por otro lado, aplicando la fórmula del desarrollo de Taylor: \(f(x) + bf'(x) + \frac{b^2}{2}f''(x) = x^2 + b(2x) + \frac{b^2}{2}(2) = x^2 + 2xb + b^2\). Coinciden perfectamente. Puede que te preguntes de dónde viene el \(\frac{1}{2}\) en \(\frac{b^2}{2}\): mirando el ejemplo de \(x^2\), al expandir \((x+b)^2\) el coeficiente del término \(b^2\) es \(1\). Por otro lado \(f''(x) = 2\), así que multiplicando \(f''\) por \(\frac{b^2}{2}\): \(\frac{b^2}{2} \times 2 = b^2\), que reproduce correctamente el resultado. Es decir, el \(\frac{1}{2}\) es el coeficiente que "cancela el 2 extra que aparece al derivar dos veces". En general, el coeficiente del término de orden \(n\) es \(\frac{1}{n!}\) (factorial de \(n\): \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)). Consulta los detalles en Apéndice B. Para funciones generales es una aproximación, pero si \(b\) es pequeño es una muy buena aproximación.
🔵 Kai: Ya veo, para \(x^2\) coincide exactamente, pero para funciones generales es una aproximación que mejora cuanto menor sea \(b\).
🟡 Lina: Usando esto:
Sumando ambas, los términos de primer orden (\(+b\frac{\partial C}{\partial x}\) y \(-b\frac{\partial C}{\partial x}\)) se cancelan:
⚪ Mei: Al sumar \(+b\) y \(-b\), los términos de primer orden (\(\pm b\frac{\partial C}{\partial x}\)) se cancelan y solo queda el término de segunda derivada.
🔵 Kai: ¿Se va a sustituir \(Ab^2\) por algo?
🔵 Kai: Pero, ¿por qué solo salta al "átomo vecino"? ¿No podría saltar directamente dos átomos más allá?
🟡 Lina: Buena pregunta. En principio el salto a dos átomos de distancia también es posible, pero su amplitud es mucho menor que la amplitud \(A\) hacia el vecino. El efecto túnel cuántico se debilita exponencialmente con la distancia, así que considerar solo el vecino más cercano es una buena aproximación. A esto se le llama "aproximación de vecinos más próximos".
🟡 Lina: Ahora sustituyamos la ecuación (7.35) en la ecuación (7.34) (después de poner \(E_0 - 2A = 0\)):
Para que esto coincida con la ecuación de Schrödinger de la partícula libre (7.11), debe cumplirse \(Ab^2 = \hbar^2/(2m)\). Dicho de otra forma, a partir de los parámetros del modelo de red \(A\) y \(b\) se determina la masa efectiva de la partícula como \(m = \hbar^2/(2Ab^2)\). Así:
🔵 Kai: ¡Es la ecuación de Schrödinger para la partícula libre! Sale como límite continuo de la ecuación discreta de la red. Pero si \(Ab^2 = \hbar^2/(2m)\), ¿entonces cuando \(b \to 0\), \(A\) se hace cada vez más grande?
⚪ Mei: Como \(A = \hbar^2/(2mb^2)\), si \(b\) se reduce a la mitad entonces \(A\) se cuadruplica — efectivamente \(A \to \infty\) cuando \(b \to 0\).
🟡 Lina: Así es. Cuanto más pequeño sea el espaciado de red \(b\), mayor es la amplitud \(A\) de saltar al vecino — si piensas que cuanto más cerca está el vecino más fácil es saltar, es natural. Haciendo que \(A \propto 1/b^2\) aumente mientras \(b \to 0\), se reproduce el movimiento en espacio continuo de una partícula con masa finita \(m\). ¿Y con potencial?
🟡 Lina: En el modelo de red, la energía \(E_0\) varía según la posición de cada átomo — es decir, reemplazando \(E_0 \to E_0 + V(x_n)\), en el límite continuo el término \(V(x)\Psi\) aparece naturalmente. Pero como el propio Feynman enfatiza, esto no es una "derivación" rigurosa sino una "pista" que da motivación física a la ecuación de Schrödinger. En última instancia, la ecuación de Schrödinger se acepta como una hipótesis que concuerda con los experimentos. Pero es una perspectiva hermosa que muestra cómo la mecánica cuántica de sistemas discretos (lo que aprendimos en los capítulos 4–6) y la mecánica cuántica del espacio continuo se conectan naturalmente.
⚪ Mei: Lo de dimensión finita de los capítulos 5–6 y lo del espacio continuo de este capítulo se conectan en una sola línea a través del modelo de red.
✅ Verificación de comprensión: En el modelo de red de Feynman, ¿por qué se mantiene \(Ab^2\) constante al tomar el límite \(b \to 0\)?
Respuesta
\(Ab^2 = \hbar^2/(2m)\) es la cantidad que determina la masa de la partícula. Si se fijara solo \(A\) al hacer \(b \to 0\), entonces \(Ab^2 \to 0\) y el término de energía cinética desaparecería. Para obtener un límite continuo con significado físico, es necesario que \(A\) crezca proporcionalmente a \(b^{-2}\) mientras \(b \to 0\).
7.9 Resumen general — Estructura de la ecuación de Schrödinger¶
🟡 Lina: Organicemos el marco que hemos introducido en este capítulo. Mei, ¿puedes resumirlo?
⚪ Mei: Lo intentaré.
Tabla 7.3: Organización de los conceptos fundamentales de la ecuación de Schrödinger
| Concepto | Expresión matemática | Significado físico |
|---|---|---|
| Función de onda | \(\Psi(x,t) = \langle x\vert\phi(t)\rangle\) | Amplitud de probabilidad de encontrar la partícula en la posición \(x\) |
| Densidad de probabilidad | \(\rho(x,t) = \lvert\Psi(x,t)\rvert^2\) | Probabilidad de hallazgo por unidad de longitud |
| Evolución temporal | \(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi\) | Ecuación de Schrödinger |
| Hamiltoniano | \(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\) | Operador de energía |
| Operador de momento | \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) | Operador que extrae el momento |
| Estado estacionario | \(\hat{H}\psi_n = E_n\psi_n\) | Estado propio de energía |
| Conservación de probabilidad | \(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\) | Ecuación de continuidad |
🔵 Kai: Poniéndolo así en orden siento que empiezo a ver la estructura. ¿Es la misma estructura que en la mecánica de Newton con \(F = ma\) de "resolver la ecuación para obtener algo"?
🟡 Lina: Buen punto de vista. Exactamente así, y hagamos una tabla de comparación. Un aspecto que quiero que notes es la diferencia en "el orden de la derivada". La ecuación de movimiento de Newton contiene la segunda derivada temporal (aceleración), así que se necesitan dos condiciones iniciales: posición y velocidad. En cambio, la ecuación de Schrödinger contiene la primera derivada temporal, así que basta con la condición inicial \(\Psi(x,0)\) — solo con eso queda determinado el futuro.
Tabla 7.4: Comparación estructural entre la mecánica de Newton y la mecánica cuántica
| Mecánica de Newton | Mecánica cuántica | |
|---|---|---|
| Ecuación fundamental | \(F = ma\) (ecuación de movimiento de Newton) | \(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi\) (ecuación de Schrödinger) |
| Lo que se busca | Posición \(x(t)\) | Función de onda \(\Psi(x,t)\) |
| Significado | Trayectoria definida de la partícula | Distribución de amplitudes de probabilidad |
| Condiciones iniciales | Posición \(x(0)\) y velocidad \(v(0)\) | Función de onda \(\Psi(x,0)\) |
| Resultado de la medición | Determinista (se obtiene una posición definida) | Probabilístico (\(\|\Psi\|^2\) da la densidad de probabilidad) |
| Evolución temporal | Determinista (de las condiciones iniciales se determina \(x(t)\) unívocamente) | Determinista (de las condiciones iniciales se determina \(\Psi(x,t)\) unívocamente) ※El resultado de la medición es probabilístico |
| Orden de la derivada | 2.º orden temporal | 1.er orden temporal |
🔵 Kai: Pero \(\Psi\) no nos dice "la posición misma de la partícula" como \(x(t)\), ¿verdad? Ya pregunté en 7.5「Estados estacionarios y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo」, pero quiero confirmarlo de nuevo dentro del panorama general.
🟡 Lina: Así es. En la mecánica de Newton, \(x(t)\) da "la posición definida" de la partícula. En cambio, \(\Psi(x,t)\) es una amplitud de probabilidad que da "la distribución de probabilidad de encontrar la partícula". No se puede predecir dónde se encontrará la partícula en una medición individual.
🔵 Kai: En la tabla dice "la evolución temporal es determinista", pero el resultado de la medición es probabilístico... entonces ¿la mecánica cuántica es determinista o probabilística? ¿Cuál de las dos?
🟡 Lina: Curiosamente, es determinista solo a medias. Si se da la condición inicial \(\Psi(x, 0)\), la ecuación de Schrödinger determina unívocamente \(\Psi(x,t)\) para todos los instantes futuros. En ese sentido, la evolución temporal de la función de onda es determinista. Pero "dónde estará la partícula en la próxima medición" solo se puede predecir probabilísticamente.
⚪ Mei: Es decir, lo determinista es la evolución temporal de \(\Psi\), no los resultados individuales de las mediciones.
🔵 Kai: Pero si la evolución temporal de \(\Psi\) es determinista pero al medir se vuelve probabilístico — ¿dónde está ese "límite"? ¿Qué está ocurriendo físicamente al medir?
🟡 Lina: Esa es una de las cuestiones más profundas de la mecánica cuántica, llamada "el problema de la medición". Está más allá del alcance de este libro, pero es una pregunta importante. En esta etapa, aceptemos que la ecuación de Schrödinger es la mejor hipótesis que concuerda con los experimentos — desde su propuesta en 1926, no ha sido refutada en ninguna escala: átomos, moléculas, sólidos, partículas elementales — y avancemos.
🔵 Kai: Es decir, la ecuación de Schrödinger es la ecuación que describe "la evolución temporal entre mediciones", y "la medición en sí" es otro asunto. Sinceramente todavía me resulta incómodo... Entonces, inversamente, ¿si no se mide, \(\Psi\) sigue evolucionando determinísticamente para siempre? ¿Mientras no se mida, no aparece la "probabilidad"?
🟡 Lina: Exacto. Mientras no se mida, la función de onda evoluciona de forma completamente determinista según la ecuación de Schrödinger. La "probabilidad" solo aparece en el instante de la medición. Esta extrañeza es precisamente el núcleo del problema de la mecánica cuántica. Por ahora dominemos la ecuación, experimentemos qué se puede predecir y qué no se puede predecir.
🔵 Kai: En la mecánica de Newton, si resuelves \(F = ma\) sabes "dónde estará en el siguiente instante", pero aunque resuelvas la ecuación de Schrödinger no sabes "dónde se encontrará en la siguiente medición" — el mismo acto de "resolver la ecuación fundamental" da resultados de naturaleza fundamentalmente distinta. Pero bueno, si no lo pruebo no lo sabré.
⚪ Mei: Resumiendo — la ecuación de Schrödinger describe la evolución temporal "entre mediciones", y eso es determinista. Pero en el instante de la medición el resultado sale probabilísticamente según \(|\Psi|^2\) — es esa estructura de dos etapas.
✅ Verificación de comprensión: ¿"La mecánica cuántica es determinista" y "la mecánica cuántica es probabilística" son contradictorios? Explica cómo se compatibilizan.
Respuesta
La evolución temporal de la función de onda (ecuación de Schrödinger) es determinista — de las condiciones iniciales se determina unívocamente la función de onda futura. Sin embargo, de la función de onda solo se obtiene la distribución de probabilidad de los resultados de medición, y los resultados individuales de cada medición solo se pueden predecir probabilísticamente. Se compatibilizan en la forma: "la evolución del estado es determinista, pero los resultados de las mediciones son probabilísticos".
📝 Ejercicios:
- Verifica que el paquete de ondas gaussiano \(\Psi(x, 0) = \left(\frac{2a}{\pi}\right)^{1/4}e^{-ax^2}\) satisface la condición de normalización \(\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi|^2 dx = 1\) (puedes usar la integral gaussiana \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\pi/\alpha}\)) → Problema A-1. Evolución temporal de un paquete de ondas gaussiano y ensanchamiento del paquete
Adelanto del próximo capítulo¶
🟡 Lina: En este capítulo hemos completado la "puesta en escena" de la ecuación de Schrödinger. Pero todavía nos falta una herramienta importante.
🔵 Kai: ¿Qué nos falta?
🟡 Lina: Cómo calcular el "valor esperado de la posición" y el "valor esperado del momento". Y la expresión cuantitativa de que la posición y el momento no pueden determinarse simultáneamente con exactitud — el principio de incertidumbre. En el Cap. 8 desarrollaremos el método de cálculo de valores esperados de operadores, y a partir de la "relación de conmutación" \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\) entre el operador de posición \(\hat{x}\) y el operador de momento \(\hat{p}\), derivaremos el principio de incertidumbre de Heisenberg \(\Delta x\,\Delta p \geq \hbar/2\).
⚪ Mei: El método para extraer "promedios" y "dispersiones" a partir de las amplitudes de probabilidad. Suena interesante.
🟡 Lina: Además, demostraremos el teorema de Ehrenfest — que los valores esperados obedecen las ecuaciones de movimiento de la mecánica clásica. Veremos cómo se establece el puente entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica.
Referencias¶
- D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press (2018), Ch.1: interpretación estadística de la función de onda, invariancia temporal de la normalización, introducción de operadores
- 広江克彦『趣味で量子力学』, Ch.5: métodos concretos de resolución de la ecuación de Schrödinger unidimensional, condiciones de contorno del pozo de potencial
- 清水明『新版 量子論の基礎』, Ch.5: evolución temporal de sistemas cerrados, evolución unitaria y conservación de la probabilidad, evolución temporal de estados propios de energía
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III, Ch.16: "The Dependence of Amplitudes on Position" — transición del modelo de red a la ecuación de Schrödinger en espacio continuo, interpretación de densidad de probabilidad de la función de onda
- J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press (2021), Ch.2: operador de evolución temporal, representaciones de Schrödinger y Heisenberg, expansión en kets propios de energía
Feedback on this page
Let us know if something was unclear, incorrect, or could be improved.