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Cap. 6 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo del factor de fase de un estado estacionario

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Estrategia de resolución: Se sustituye \(t = \pi\hbar/(E_0 - A)\) en \(C_1(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{II}t/\hbar}\).

Cálculo:

\[C_1(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{II}t/\hbar} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i(E_0 - A)t/\hbar}\]

Sustituyendo \(t = \pi\hbar/(E_0 - A)\), el exponente es:

\[-\frac{i(E_0 - A)}{\hbar} \cdot \frac{\pi\hbar}{E_0 - A} = -i\pi\]

Por lo tanto:

\[C_1(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\pi} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (-1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\]

Respuesta final:

\[\boxed{C_1(t) = -\frac{1}{\sqrt{2}}}\]

Verificación: \(|C_1(t)|^2 = 1/2\), lo cual es consistente con el hecho de que en un estado estacionario la probabilidad no varía con el tiempo. Además, se confirma que \(e^{-i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1\).

B-2. Cálculo de la energía de desdoblamiento por efecto túnel

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Estrategia de resolución: A partir de \(2A = hf\), se calcula \(A = hf/2\) y se convierte a eV.

Cálculo:

\[f = 24{,}000\;\text{MHz} = 2.4 \times 10^{10}\;\text{Hz}\]
\[A = \frac{hf}{2} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 2.4 \times 10^{10}}{2}\;\text{J}\]
\[A = \frac{15.9024 \times 10^{-24}}{2}\;\text{J} = 7.951 \times 10^{-24}\;\text{J}\]

Conversión a eV:

\[A = \frac{7.951 \times 10^{-24}}{1.602 \times 10^{-19}}\;\text{eV} = 4.96 \times 10^{-5}\;\text{eV}\]

Respuesta final:

\[\boxed{A \approx 4.96 \times 10^{-5}\;\text{eV} \approx 5.0 \times 10^{-5}\;\text{eV}}\]

Verificación: En el texto se menciona que "la energía asociada al movimiento de inversión del nitrógeno es del orden de \(10^{-4}\) eV". Dado que \(2A \approx 10^{-4}\) eV, el resultado es consistente.

B-3. Desarrollo del determinante de la ecuación de valores propios

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Estrategia de resolución: Desarrollar \(\det(H - EI) = 0\).

Cálculo:

\[\det(H - EI) = \det\begin{pmatrix} \alpha - E & \beta \\ \beta^* & \gamma - E \end{pmatrix}\]

Usando la fórmula del determinante de una matriz \(2 \times 2\):

\[(\alpha - E)(\gamma - E) - \beta \cdot \beta^* = 0\]

Expandiendo:

\[\alpha\gamma - \alpha E - \gamma E + E^2 - |\beta|^2 = 0\]

Reordenando:

\[\boxed{E^2 - (\alpha + \gamma)E + (\alpha\gamma - |\beta|^2) = 0}\]

Verificación: Cuando \(\beta = 0\), se obtiene \(E^2 - (\alpha + \gamma)E + \alpha\gamma = (E - \alpha)(E - \gamma) = 0\), por lo que los valores propios son \(E = \alpha, \gamma\) (valores propios de una matriz diagonal), lo cual es correcto.

B-4. Verificación de la ortogonalidad de los vectores propios

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Cálculo:

\(\langle I|I\rangle\):

\[\langle I|I\rangle = \frac{1}{2}(\langle 1| - \langle 2|)(|1\rangle - |2\rangle) = \frac{1}{2}(\langle 1|1\rangle - \langle 1|2\rangle - \langle 2|1\rangle + \langle 2|2\rangle)\]
\[= \frac{1}{2}(1 - 0 - 0 + 1) = 1\]

\(\langle II|II\rangle\):

\[\langle II|II\rangle = \frac{1}{2}(\langle 1| + \langle 2|)(|1\rangle + |2\rangle) = \frac{1}{2}(\langle 1|1\rangle + \langle 1|2\rangle + \langle 2|1\rangle + \langle 2|2\rangle)\]
\[= \frac{1}{2}(1 + 0 + 0 + 1) = 1\]

\(\langle I|II\rangle\):

\[\langle I|II\rangle = \frac{1}{2}(\langle 1| - \langle 2|)(|1\rangle + |2\rangle) = \frac{1}{2}(\langle 1|1\rangle + \langle 1|2\rangle - \langle 2|1\rangle - \langle 2|2\rangle)\]
\[= \frac{1}{2}(1 + 0 - 0 - 1) = 0\]

Respuesta final:

\[\boxed{\langle I|I\rangle = 1, \quad \langle II|II\rangle = 1, \quad \langle I|II\rangle = 0}\]

\(|I\rangle\) y \(|II\rangle\) forman un sistema ortonormal.

Verificación: Esto es consistente con el teorema general que establece que los eigenvectores pertenecientes a eigenvalores distintos de una matriz hermítica son ortogonales entre sí.

B-5. Cálculo de la dependencia temporal de la probabilidad

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Estrategia de resolución: Expandir el estado inicial \(|\psi(0)\rangle = |1\rangle\) en autoestados de energía, aplicar la evolución temporal y luego calcular \(\langle 2|\psi(t)\rangle\).

Cálculo:

De la ecuación (6.17a), \(|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|I\rangle + |II\rangle)\), por lo que:

\[|\psi(0)\rangle = |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|I\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|II\rangle\]

Evolución temporal:

\[|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_I t/\hbar}|I\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{II} t/\hbar}|II\rangle\]

$\langle 2|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\langle 2|1\rangle - \langle 2|2\rangle) \cdot \frac{1}{1} $...

Recalculando con precisión. De \(|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |2\rangle)\) se obtiene \(\langle 2|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(0 - 1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\).

De \(|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)\) se obtiene \(\langle 2|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(0 + 1) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Por lo tanto:

\[C_2(t) = \langle 2|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_I t/\hbar}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{II} t/\hbar}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[= \frac{1}{2}\left(-e^{-iE_I t/\hbar} + e^{-iE_{II} t/\hbar}\right)\]

Sustituyendo \(E_I = E_0 + A\), \(E_{II} = E_0 - A\):

\[C_2(t) = \frac{1}{2}e^{-iE_0 t/\hbar}\left(-e^{-iAt/\hbar} + e^{iAt/\hbar}\right)\]
\[= \frac{1}{2}e^{-iE_0 t/\hbar} \cdot 2i\sin\left(\frac{At}{\hbar}\right) = i\,e^{-iE_0 t/\hbar}\sin\left(\frac{At}{\hbar}\right)\]

Probabilidad:

\[P_2(t) = |C_2(t)|^2 = |i|^2 \cdot |e^{-iE_0 t/\hbar}|^2 \cdot \sin^2\left(\frac{At}{\hbar}\right)\]
\[\boxed{P_2(t) = \sin^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right)}\]

Verificación: Para \(t = 0\), \(P_2(0) = \sin^2(0) = 0\) (el estado inicial es \(|1\rangle\), así que la probabilidad de estar en \(|2\rangle\) es cero). Para \(t = \pi\hbar/(2A)\), \(P_2 = 1\) (transición completa a \(|2\rangle\)). Esto es consistente con el resultado de S2.

B-6. Solución de \(i\hbar\,dC/dt = EC\)

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Estrategia de resolución: Resolver mediante separación de variables.

Cálculo:

\[i\hbar\frac{dC}{dt} = EC\]
\[\frac{dC}{C} = \frac{E}{i\hbar}dt = -\frac{iE}{\hbar}dt\]

Integrando ambos miembros:

\[\ln C = -\frac{iE}{\hbar}t + \text{const}\]
\[C(t) = C(0)\,e^{-iEt/\hbar}\]

A partir de la condición inicial \(C(0) = C_0\):

\[\boxed{C(t) = C_0\,e^{-iEt/\hbar}}\]

Respecto a \(|C(t)|^2\):

\[|C(t)|^2 = |C_0|^2 \cdot |e^{-iEt/\hbar}|^2 = |C_0|^2 \cdot 1 = |C_0|^2\]

Dado que \(E\) es real, \(|e^{-iEt/\hbar}| = 1\), por lo que \(|C(t)|^2\) no depende del tiempo.

Verificación: Comprobamos sustituyendo en la ecuación diferencial. \(i\hbar \cdot C_0 \cdot (-iE/\hbar)e^{-iEt/\hbar} = E \cdot C_0 e^{-iEt/\hbar}\). Como \(i \cdot (-i) = 1\), el lado izquierdo \(= EC_0 e^{-iEt/\hbar}\) = lado derecho. ✓

B-7. Transformación inversa del cambio de base

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Estrategia de resolución: Resolver las ecuaciones (6.17a) y (6.17b) como un sistema de ecuaciones simultáneas.

Cálculo:

Ecuaciones dadas: - (6.17a): \(|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|I\rangle + |II\rangle)\) - (6.17b): \(|2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-|I\rangle + |II\rangle)\)

(6.17a) \(-\) (6.17b):

\[|1\rangle - |2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|I\rangle + |II\rangle) - \frac{1}{\sqrt{2}}(-|I\rangle + |II\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(2|I\rangle) = \sqrt{2}\,|I\rangle\]
\[|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |2\rangle)\]

(6.17a) \(+\) (6.17b):

\[|1\rangle + |2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|I\rangle + |II\rangle) + \frac{1}{\sqrt{2}}(-|I\rangle + |II\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(2|II\rangle) = \sqrt{2}\,|II\rangle\]
\[|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)\]

Respuesta final:

\[\boxed{|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |2\rangle), \quad |II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)}\]

Esto coincide con las ecuaciones (6.15a) y (6.15b). ✓

B-8. Verificación de hermiticidad

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Cálculo:

Verificamos que para cada componente de la matriz \(M\) se cumple \(M_{ij}^* = M_{ji}\).

  • \(M_{11} = 3\): \(M_{11}^* = 3 = M_{11}\) ✓ (real)
  • \(M_{22} = 5\): \(M_{22}^* = 5 = M_{22}\) ✓ (real)
  • \(M_{12} = 2 - i\): \(M_{12}^* = 2 + i = M_{21}\) ✓
  • \(M_{21} = 2 + i\): \(M_{21}^* = 2 - i = M_{12}\) ✓

Respuesta final: Dado que \(M_{ij}^* = M_{ji}\) se cumple para todas las componentes, \(M\) es una matriz hermítica. \(\square\)

Verificación: Los valores propios de una matriz hermítica deben ser reales. \(\text{tr}(M) = 8\), \(\det(M) = 15 - 5 = 10\). Los valores propios se obtienen de \(E^2 - 8E + 10 = 0\), lo que da \(E = 4 \pm \sqrt{6}\). Efectivamente son reales. ✓

Intermedio

M-1. Derivación de la hermiticidad a partir de la conservación de la probabilidad

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Estrategia de resolución: Calcular \(dP/dt = d(|C_1|^2 + |C_2|^2)/dt\) y encontrar las condiciones para que sea idénticamente cero.

Cálculo:

\[\frac{d|C_1|^2}{dt} = C_1^*\frac{dC_1}{dt} + C_1\frac{dC_1^*}{dt}\]

De la ecuación (6.2a):

\[\frac{dC_1}{dt} = \frac{1}{i\hbar}(H_{11}C_1 + H_{12}C_2) = -\frac{i}{\hbar}(H_{11}C_1 + H_{12}C_2)\]

Su conjugado complejo:

\[\frac{dC_1^*}{dt} = \frac{i}{\hbar}(H_{11}^*C_1^* + H_{12}^*C_2^*)\]

Por lo tanto:

\[\frac{d|C_1|^2}{dt} = C_1^*\left[-\frac{i}{\hbar}(H_{11}C_1 + H_{12}C_2)\right] + C_1\left[\frac{i}{\hbar}(H_{11}^*C_1^* + H_{12}^*C_2^*)\right]\]
\[= \frac{i}{\hbar}\left[-(H_{11}|C_1|^2 + H_{12}C_1^*C_2) + (H_{11}^*|C_1|^2 + H_{12}^*C_1 C_2^*)\right]\]
\[= \frac{i}{\hbar}\left[(H_{11}^* - H_{11})|C_1|^2 + H_{12}^*C_1 C_2^* - H_{12}C_1^*C_2\right]\]

De manera análoga para \(|C_2|^2\):

\[\frac{d|C_2|^2}{dt} = \frac{i}{\hbar}\left[(H_{22}^* - H_{22})|C_2|^2 + H_{21}^*C_2 C_1^* - H_{21}C_2^*C_1\right]\]

Sumando:

\[\frac{dP}{dt} = \frac{i}{\hbar}\Big[(H_{11}^* - H_{11})|C_1|^2 + (H_{22}^* - H_{22})|C_2|^2 + (H_{12}^* - H_{21})C_1 C_2^* + (H_{21}^* - H_{12})C_1^* C_2\Big]\]

Para que \(dP/dt = 0\) se cumpla para cualquier \(C_1, C_2\), cada coeficiente debe anularse independientemente.

Coeficiente de \(|C_1|^2\): \(H_{11}^* - H_{11} = 0\) → \(H_{11}^* = H_{11}\) → \(H_{11}\) es real

Coeficiente de \(|C_2|^2\): \(H_{22}^* - H_{22} = 0\) → \(H_{22}^* = H_{22}\) → \(H_{22}\) es real

Coeficiente de \(C_1 C_2^*\): \(H_{12}^* - H_{21} = 0\) → \(H_{12}^* = H_{21}\)

Coeficiente de \(C_1^* C_2\): \(H_{21}^* - H_{12} = 0\) → \(H_{21}^* = H_{12}\) (equivalente a la condición anterior)

Respuesta final:

\[\boxed{H_{11}, H_{22} \in \mathbb{R}, \quad H_{12}^* = H_{21}}\]

Esta es precisamente la condición de hermiticidad de la matriz hamiltoniana \(H^\dagger = H\). \(\square\)

Verificación: En el caso de una matriz hermítica, confirmamos que cada término de la expresión de \(dP/dt\) se anula. Por \(H_{11}^* = H_{11}\) el primer término desaparece, por \(H_{22}^* = H_{22}\) el segundo término desaparece, y por \(H_{12}^* = H_{21}\) el tercer y cuarto término dan \((H_{21} - H_{21})C_1C_2^* + (H_{12} - H_{12})C_1^*C_2 = 0\). ✓

M-2. Derivación de las oscilaciones de Rabi

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Estrategia de resolución: Expandir el estado inicial en autoestados de energía, aplicar la evolución temporal y luego calcular la proyección sobre cada estado base.

Cálculo:

Estado inicial \(|\psi(0)\rangle = |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|I\rangle + |II\rangle)\)

Evolución temporal:

\[|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_I t/\hbar}|I\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{II} t/\hbar}|II\rangle\]

Cálculo de \(C_1(t) = \langle 1|\psi(t)\rangle\):

A partir de \(\langle 1|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\langle 1|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\):

\[C_1(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_I t/\hbar} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{II} t/\hbar}\]
\[= \frac{1}{2}\left(e^{-i(E_0+A)t/\hbar} + e^{-i(E_0-A)t/\hbar}\right)\]
\[= \frac{1}{2}e^{-iE_0 t/\hbar}\left(e^{-iAt/\hbar} + e^{iAt/\hbar}\right) = e^{-iE_0 t/\hbar}\cos\!\left(\frac{At}{\hbar}\right)\]
\[P_1(t) = |C_1(t)|^2 = \cos^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right)\]

Cálculo de \(C_2(t) = \langle 2|\psi(t)\rangle\):

A partir de \(\langle 2|I\rangle = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\langle 2|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\):

\[C_2(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)e^{-iE_I t/\hbar} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{II} t/\hbar}\]
\[= \frac{1}{2}e^{-iE_0 t/\hbar}\left(-e^{-iAt/\hbar} + e^{iAt/\hbar}\right) = i\,e^{-iE_0 t/\hbar}\sin\!\left(\frac{At}{\hbar}\right)\]
\[P_2(t) = |C_2(t)|^2 = \sin^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right)\]

Verificación de la conservación de la probabilidad:

\[P_1(t) + P_2(t) = \cos^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right) + \sin^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right) = 1 \quad \checkmark\]

Período de oscilación:

\(P_2(t) = 1\) (transición completa) ocurre cuando \(At/\hbar = \pi/2\), es decir, \(t = \pi\hbar/(2A)\). El período para que el sistema complete un ciclo \(|1\rangle \to |2\rangle \to |1\rangle\) es:

\[\boxed{T = \frac{\pi\hbar}{A}}\]

Respuesta final:

\[\boxed{P_1(t) = \cos^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right), \quad P_2(t) = \sin^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right), \quad T = \frac{\pi\hbar}{A}}\]

Verificación: Si la frecuencia angular es \(\omega_R = 2A/\hbar\), entonces el período es \(T = 2\pi/\omega_R = \pi\hbar/A\). Además, con \(2A = hf\) se obtiene \(T = 1/(2f)\)... no, la frecuencia angular de oscilación de \(P_2\) es \(2A/\hbar\) (el argumento dentro de \(\sin^2\) es \(At/\hbar\), y como el período de \(\sin^2\theta\) es \(\pi\), un período completo corresponde a \(At/\hbar = \pi\), es decir, \(t = \pi\hbar/A\)). ✓

M-3. Niveles de energía de la molécula de amoníaco en un campo eléctrico

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Estrategia de resolución: Resolver la ecuación de valores propios \(\det(H - EI) = 0\).

Cálculo:

\[\det\begin{pmatrix} E_0 + \mu\mathcal{E} - E & -A \\ -A & E_0 - \mu\mathcal{E} - E \end{pmatrix} = 0\]

Haciendo la sustitución \(\lambda = E - E_0\):

\[(\mu\mathcal{E} - \lambda)(-\mu\mathcal{E} - \lambda) - A^2 = 0\]
\[-(\mu\mathcal{E})^2 + \lambda^2 - A^2 = 0\]
\[\lambda^2 = A^2 + (\mu\mathcal{E})^2\]
\[\lambda = \pm\sqrt{A^2 + (\mu\mathcal{E})^2}\]

Por lo tanto:

\[\boxed{E_{\pm} = E_0 \pm \sqrt{A^2 + (\mu\mathcal{E})^2}}\]

Discusión de los casos límite:

Caso \(\mu\mathcal{E} \ll A\) (límite de campo eléctrico débil):

\[\sqrt{A^2 + (\mu\mathcal{E})^2} = A\sqrt{1 + \left(\frac{\mu\mathcal{E}}{A}\right)^2} \approx A\left(1 + \frac{(\mu\mathcal{E})^2}{2A^2}\right)\]
\[E_{\pm} \approx E_0 \pm A \pm \frac{(\mu\mathcal{E})^2}{2A}\]

Se obtiene un desplazamiento cuadrático respecto a los niveles \(E_0 \pm A\) en ausencia de campo (efecto Stark de segundo orden). Los niveles de energía varían ligeramente en proporción al cuadrado del campo eléctrico.

Caso \(\mu\mathcal{E} \gg A\) (límite de campo eléctrico fuerte):

\[\sqrt{A^2 + (\mu\mathcal{E})^2} \approx \mu\mathcal{E}\sqrt{1 + \left(\frac{A}{\mu\mathcal{E}}\right)^2} \approx \mu\mathcal{E}\left(1 + \frac{A^2}{2(\mu\mathcal{E})^2}\right)\]
\[E_{\pm} \approx E_0 \pm \mu\mathcal{E}\]

El efecto túnel se vuelve despreciable y nos aproximamos a la descripción clásica en la que el átomo de nitrógeno está localizado "arriba" o "abajo". El desdoblamiento de energía es linealmente proporcional al campo (efecto Stark de primer orden).

Verificación: Cuando \(\mathcal{E} = 0\), se obtiene \(E_{\pm} = E_0 \pm A\), lo cual coincide con el resultado (6.13) del texto. ✓

M-4. Diagonalización del Hamiltoniano y transformación de la representación matricial

→ Volver al problema

Estrategia de resolución: Calcular directamente \(U^\dagger H U\).

Cálculo:

\[U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix} E_0 & -A \\ -A & E_0 \end{pmatrix}\]

Como \(U\) es una matriz real, \(U^\dagger = U^T\):

\[U^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]

Paso 1: Calcular \(U^\dagger H\):

\[U^\dagger H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_0 & -A \\ -A & E_0 \end{pmatrix}\]
\[= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} E_0 - (-A) & -A - E_0 \\ E_0 + (-A) & -A + E_0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} E_0 + A & -A - E_0 \\ E_0 - A & E_0 - A \end{pmatrix}\]

Rehaciendo el cálculo con cuidado:

Componente \((1,1)\): \(1 \cdot E_0 + (-1)(-A) = E_0 + A\)

Componente \((1,2)\): \(1 \cdot (-A) + (-1) \cdot E_0 = -A - E_0\)

Componente \((2,1)\): \(1 \cdot E_0 + 1 \cdot (-A) = E_0 - A\)

Componente \((2,2)\): \(1 \cdot (-A) + 1 \cdot E_0 = E_0 - A\)

\[U^\dagger H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} E_0 + A & -(E_0 + A) \\ E_0 - A & E_0 - A \end{pmatrix}\]

Paso 2: Calcular \((U^\dagger H)U\):

\[U^\dagger H U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} E_0 + A & -(E_0 + A) \\ E_0 - A & E_0 - A \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\]
\[= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} (E_0+A)\cdot 1 + (-(E_0+A))\cdot(-1) & (E_0+A)\cdot 1 + (-(E_0+A))\cdot 1 \\ (E_0-A)\cdot 1 + (E_0-A)\cdot(-1) & (E_0-A)\cdot 1 + (E_0-A)\cdot 1 \end{pmatrix}\]
\[= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} (E_0+A) + (E_0+A) & (E_0+A) - (E_0+A) \\ (E_0-A) - (E_0-A) & (E_0-A) + (E_0-A) \end{pmatrix}\]
\[= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2(E_0+A) & 0 \\ 0 & 2(E_0-A) \end{pmatrix}\]
\[\boxed{U^\dagger H U = \begin{pmatrix} E_0 + A & 0 \\ 0 & E_0 - A \end{pmatrix}}\]

Relación entre los vectores columna de \(U\) y los vectores propios:

La primera columna de \(U\) es \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Esto corresponde a la representación en componentes de \(|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |2\rangle)\) en la base \(\{|1\rangle, |2\rangle\}\). La componente \((1,1)\) de la matriz diagonalizada es \(E_I = E_0 + A\).

La segunda columna de \(U\) es \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Esto corresponde a la representación en componentes de \(|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)\). La componente \((2,2)\) de la matriz diagonalizada es \(E_{II} = E_0 - A\).

Es decir, cada vector columna de \(U\) es un vector propio del Hamiltoniano, y los elementos diagonales de la matriz diagonalizada son los valores propios correspondientes.

Verificación: Confirmamos que \(U\) es unitaria. \(U^\dagger U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = I\). ✓

Avanzado

A-1. Campo eléctrico oscilante como perturbación dependiente del tiempo y probabilidad de transición

→ Volver al problema

(a) Derivación de las ecuaciones diferenciales para \(b_I(t)\), \(b_{II}(t)\)

Estrategia de resolución: Sustituir \(C_I(t) = b_I(t)e^{-iE_I t/\hbar}\), \(C_{II}(t) = b_{II}(t)e^{-iE_{II}t/\hbar}\) en la ecuación (6.3).

Cálculo:

Ecuaciones de evolución temporal en la base de energía \(\{|I\rangle, |II\rangle\}\):

\[i\hbar\frac{dC_I}{dt} = E_I C_I + \mu\mathcal{E}_0\cos\omega t \cdot C_{II}\]
\[i\hbar\frac{dC_{II}}{dt} = \mu\mathcal{E}_0\cos\omega t \cdot C_I + E_{II} C_{II}\]

Sustituyendo \(C_I = b_I e^{-iE_I t/\hbar}\). Lado izquierdo:

\[i\hbar\left(\dot{b}_I e^{-iE_I t/\hbar} + b_I \cdot \left(-\frac{iE_I}{\hbar}\right)e^{-iE_I t/\hbar}\right) = i\hbar\dot{b}_I e^{-iE_I t/\hbar} + E_I b_I e^{-iE_I t/\hbar}\]

Lado derecho:

\[E_I b_I e^{-iE_I t/\hbar} + \mu\mathcal{E}_0\cos\omega t \cdot b_{II} e^{-iE_{II}t/\hbar}\]

\(E_I b_I e^{-iE_I t/\hbar}\) se cancela en ambos lados:

\[i\hbar\dot{b}_I = \mu\mathcal{E}_0\cos\omega t \cdot b_{II}\, e^{-i(E_{II}-E_I)t/\hbar}\]

Definiendo \(\omega_0 \equiv (E_I - E_{II})/\hbar = 2A/\hbar\), se tiene \(E_{II} - E_I = -\hbar\omega_0\), por lo que:

\[\boxed{i\hbar\dot{b}_I = \mu\mathcal{E}_0\cos\omega t \cdot b_{II}\, e^{i\omega_0 t}}\]

De manera análoga:

\[\boxed{i\hbar\dot{b}_{II} = \mu\mathcal{E}_0\cos\omega t \cdot b_I\, e^{-i\omega_0 t}}\]

(b) Aproximación de onda rotante (RWA)

Sustituyendo \(\cos\omega t = \frac{1}{2}(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t})\):

\[i\hbar\dot{b}_I = \frac{\mu\mathcal{E}_0}{2}\,b_{II}\left(e^{i(\omega + \omega_0)t} + e^{-i(\omega - \omega_0)t}\right)\]
\[i\hbar\dot{b}_{II} = \frac{\mu\mathcal{E}_0}{2}\,b_I\left(e^{i(\omega - \omega_0)t} + e^{-i(\omega + \omega_0)t}\right)\]

En condiciones de resonancia \(\omega \approx \omega_0\): - \(e^{\pm i(\omega - \omega_0)t}\) varía lentamente (\(\omega - \omega_0 \approx 0\)) - \(e^{\pm i(\omega + \omega_0)t}\) oscila rápidamente (\(\omega + \omega_0 \approx 2\omega_0\))

Los términos de oscilación rápida se anulan al promediar en el tiempo, por lo que se desprecian (aproximación de onda rotante):

\[\boxed{i\hbar\dot{b}_I = \frac{\mu\mathcal{E}_0}{2}\,b_{II}\,e^{-i(\omega - \omega_0)t}}\]
\[\boxed{i\hbar\dot{b}_{II} = \frac{\mu\mathcal{E}_0}{2}\,b_I\,e^{i(\omega - \omega_0)t}}\]

(c) Solución en condiciones de resonancia

Cuando \(\omega = \omega_0\), todos los factores exponenciales se reducen a 1:

\[i\hbar\dot{b}_I = \frac{\mu\mathcal{E}_0}{2}\,b_{II}\]
\[i\hbar\dot{b}_{II} = \frac{\mu\mathcal{E}_0}{2}\,b_I\]

Definiendo \(\Omega_R \equiv \mu\mathcal{E}_0/(2\hbar)\) (frecuencia de Rabi):

\[\dot{b}_I = -i\Omega_R\, b_{II}, \quad \dot{b}_{II} = -i\Omega_R\, b_I\]

Derivamos una ecuación diferencial de segundo orden para \(b_I\). Diferenciando la primera ecuación:

\[\ddot{b}_I = -i\Omega_R\,\dot{b}_{II} = -i\Omega_R \cdot (-i\Omega_R\, b_I) = -\Omega_R^2\, b_I\]

Esta es la ecuación de un oscilador armónico simple, cuya solución general es:

\[b_I(t) = \alpha\cos(\Omega_R t) + \beta\sin(\Omega_R t)\]

Condiciones iniciales: \(b_I(0) = 0\) (el estado inicial es \(|II\rangle\), por lo que \(C_I(0) = 0\)), \(b_{II}(0) = 1\).

De \(b_I(0) = 0\) se obtiene \(\alpha = 0\).

De \(\dot{b}_I(0) = -i\Omega_R\, b_{II}(0) = -i\Omega_R\) se obtiene \(\beta\Omega_R = -i\Omega_R\), es decir, \(\beta = -i\).

\[b_I(t) = -i\sin(\Omega_R t)\]

Probabilidad de transición:

\[P_{II \to I}(t) = |b_I(t)|^2 = |-i\sin(\Omega_R t)|^2 = \sin^2(\Omega_R t)\]
\[\boxed{P_{II \to I}(t) = \sin^2\!\left(\frac{\mu\mathcal{E}_0\,t}{2\hbar}\right)}\]

Relación con el máser de amoníaco:

En el máser de amoníaco, un selector de estados introduce en la cavidad resonante únicamente las moléculas en el estado de alta energía \(|I\rangle\). Cuando la frecuencia del campo electromagnético en la cavidad satisface la condición de resonancia \(\omega = 2A/\hbar\), las moléculas realizan una transición de \(|I\rangle\) a \(|II\rangle\), emitiendo un fotón de microondas correspondiente a la diferencia de energía \(2A\). Este es el fenómeno de emisión estimulada. El resultado anterior muestra que para un tiempo de interacción apropiado \(t = \pi\hbar/(\mu\mathcal{E}_0)\) se produce una transición completa (\(P = 1\)), lo cual constituye la base del funcionamiento eficiente del máser.

Verificación: - En \(t = 0\): \(P_{II \to I} = 0\) (el estado inicial es \(|II\rangle\)) ✓ - Comprobación de \(b_{II}(t) = \cos(\Omega_R t)\): \(\dot{b}_{II} = -\Omega_R\sin(\Omega_R t) = -i\Omega_R \cdot (-i\sin(\Omega_R t)) = -i\Omega_R b_I\) ✓ - Conservación de la probabilidad: \(|b_I|^2 + |b_{II}|^2 = \sin^2(\Omega_R t) + \cos^2(\Omega_R t) = 1\) ✓

A-2. Extensión a un sistema de 3 estados: oscilaciones cuánticas generalizadas

→ Volver al problema

(a) Cálculo de los valores propios

Estrategia de resolución: Reescribir \(H\) en términos de \(J\) (matriz con todas las componentes iguales a 1) e \(I\) (matriz identidad).

Cálculo:

Sea \(J\) la matriz \(3\times 3\) con todas las componentes iguales a 1:

\[J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

Reescribimos \(H\):

\[H = \begin{pmatrix} E_0 & -A & -A \\ -A & E_0 & -A \\ -A & -A & E_0 \end{pmatrix} = E_0 I + (-A)(J - I) = (E_0 + A)I - AJ\]

Encontramos los valores propios de \(J\). \(J\) es una matriz de rango 1: - Valor propio \(3\): vector propio \(\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)^T\) (no degenerado) - Valor propio \(0\): cualquier vector ortogonal a \((1, 1, 1)^T\) (degeneración doble)

Como \(H = (E_0 + A)I - AJ\), el valor propio de \(H\) correspondiente al valor propio \(j\) de \(J\) es:

\[E = (E_0 + A) - Aj\]
  • Para \(j = 3\): \(E = E_0 + A - 3A = E_0 - 2A\)
  • Para \(j = 0\): \(E = E_0 + A - 0 = E_0 + A\) (degeneración doble)

Respuesta final:

\[\boxed{E_1 = E_0 - 2A \quad (\text{no degenerado}), \quad E_2 = E_0 + A \quad (\text{doblemente degenerado})}\]

(b) Vectores propios

Vector propio correspondiente a \(E = E_0 - 2A\):

Vector correspondiente al valor propio 3 de \(J\):

\[|s\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Vectores propios correspondientes a \(E = E_0 + A\) (degeneración doble):

Como base ortonormal del espacio bidimensional ortogonal a \((1, 1, 1)^T\), por ejemplo:

\[|d_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |d_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\]

Verificación: \(\langle d_1|d_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{12}}(1 \cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 0 \cdot (-2)) = 0\) ✓

\(\langle s|d_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}(1 - 1 + 0) = 0\) ✓

Cálculo directo de \(H|s\rangle\):

\[H|s\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} E_0 - A - A \\ -A + E_0 - A \\ -A - A + E_0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} E_0 - 2A \\ E_0 - 2A \\ E_0 - 2A \end{pmatrix} = (E_0 - 2A)|s\rangle \quad \checkmark\]

(c) Cálculo de la probabilidad \(P_1(t)\)

Estrategia de resolución: Expandir \(|1\rangle\) en los estados propios de energía y aplicar la evolución temporal.

Cálculo:

Expansión de \(|1\rangle\) en los estados propios:

\[\langle s|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \langle d_1|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \langle d_2|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}\]

Por lo tanto:

\[|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|s\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|d_1\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}}|d_2\rangle\]

Verificación: suma de los cuadrados de los coeficientes \(= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2+3+1}{6} = 1\) ✓

Evolución temporal:

\[|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}e^{-i(E_0-2A)t/\hbar}|s\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i(E_0+A)t/\hbar}|d_1\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}}e^{-i(E_0+A)t/\hbar}|d_2\rangle\]

Calculamos \(\langle 1|\psi(t)\rangle\):

\[C_1(t) = \frac{1}{3}e^{-i(E_0-2A)t/\hbar} + \frac{1}{2}e^{-i(E_0+A)t/\hbar} + \frac{1}{6}e^{-i(E_0+A)t/\hbar}\]
\[= \frac{1}{3}e^{-i(E_0-2A)t/\hbar} + \frac{2}{3}e^{-i(E_0+A)t/\hbar}\]

Extrayendo el factor común:

\[C_1(t) = e^{-iE_0 t/\hbar}\left(\frac{1}{3}e^{2iAt/\hbar} + \frac{2}{3}e^{-iAt/\hbar}\right)\]

Probabilidad:

\[P_1(t) = \left|\frac{1}{3}e^{2iAt/\hbar} + \frac{2}{3}e^{-iAt/\hbar}\right|^2\]

Definiendo \(\phi = At/\hbar\):

\[P_1(t) = \left|\frac{1}{3}e^{2i\phi} + \frac{2}{3}e^{-i\phi}\right|^2\]

Desarrollando:

\[= \frac{1}{9}|e^{2i\phi}|^2 + \frac{4}{9}|e^{-i\phi}|^2 + \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\text{Re}(e^{2i\phi}\cdot e^{i\phi})\]
\[= \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}\text{Re}(e^{3i\phi})\]
\[= \frac{5}{9} + \frac{4}{9}\cos(3\phi)\]
\[\boxed{P_1(t) = \frac{1}{9}\left(5 + 4\cos\frac{3At}{\hbar}\right)}\]

Comparación con el sistema de 2 estados:

Característica Sistema de 2 estados Sistema de 3 estados
Frecuencia \(A/\hbar\) (argumento del \(\cos^2\) en \(P_1\)) \(3A/\hbar\)
Probabilidad máxima de transición \(P_1 = 0\) (transición completa) \(P_1 = 1/9\) (valor mínimo)
Completitud de la oscilación Completa (\(P_1\): 1→0→1) Incompleta (\(P_1\): 1→1/9→1)

Discusión:

  1. Frecuencia: En el sistema de 3 estados, la frecuencia angular de oscilación es \(3A/\hbar\), diferente de \(2A/\hbar\) en el sistema de 2 estados (frecuencia angular de la oscilación de \(P_1 = \cos^2(At/\hbar)\)).

  2. Completitud de la amplitud: En el sistema de 2 estados, \(P_1(t)\) oscila completamente entre 0 y 1 (oscilación de Rabi completa). En cambio, en el sistema de 3 estados, el valor mínimo de \(P_1(t)\) es \(1/9\) (cuando \(\cos(3At/\hbar) = -1\)), y el sistema nunca abandona completamente el estado \(|1\rangle\). Esto se debe a que el estado inicial \(|1\rangle\) tiene un peso de \(2/3\) en el subespacio propio degenerado, cuya parte evoluciona temporalmente con la misma fase, y la interferencia con la parte no degenerada (peso \(1/3\)) solo se cancela parcialmente.

  3. Interpretación física: En el sistema de 3 estados, al haber dos "destinos" posibles, la interferencia cuántica se vuelve más compleja y no se produce una oscilación completa simple.

Verificación: - \(t = 0\): \(P_1(0) = \frac{1}{9}(5 + 4) = 1\) ✓ - Promedio temporal de \(P_1\): \(\overline{P_1} = 5/9\). Por otro lado, la suma de los cuadrados de las probabilidades de proyección sobre cada estado propio \(= (1/3)^2 + (2/3)^2 = 1/9 + 4/9 = 5/9\) ✓ (coincide con la fórmula general del promedio a tiempos largos) - Verificación de \(P_1(t) \geq 0\): valor mínimo \((5-4)/9 = 1/9 > 0\) ✓