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Apéndice C Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo de la integral gaussiana básica

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Estrategia de resolución: Comparar con la ecuación (C.1) \(\int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-\frac{a}{2}q^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}\).

Cálculo:

\[ e^{-3q^2} = e^{-\frac{a}{2}q^2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{a}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad a = 6 \]

Sustituyendo en la ecuación (C.1),

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-3q^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{6}} = \sqrt{\frac{\pi}{3}} \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-3q^2} = \sqrt{\frac{\pi}{3}}} \]

Verificación: Como análisis dimensional, \(a = 6\) es un número real positivo, por lo que satisface la condición de convergencia \(\mathrm{Re}(a) > 0\). Además, si \(a = 2\) se obtiene \(\sqrt{\pi}\), lo cual coincide con el resultado conocido \(\int e^{-q^2} dq = \sqrt{\pi}\).

B-2. Completar el cuadrado en integrales gaussianas con fuente

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Estrategia de resolución: Reorganizar el exponente en la forma \(-\frac{a}{2}q^2 + bq\) y aplicar la versión modificada de la ecuación (C.3).

Cálculo:

Reorganizamos el exponente:

\[ -2q^2 + 6q = -\frac{a}{2}q^2 + bq \]

Comparando, \(\frac{a}{2} = 2\) implica \(a = 4\), y \(b = 6\).

Del resultado de la verificación de comprensión C.1 (ecuación (C.3) con \(J \to -b\)):

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-\frac{a}{2}q^2 + bq} = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \; e^{\frac{b^2}{2a}} \]

Sustituyendo:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-2q^2 + 6q} = \sqrt{\frac{2\pi}{4}} \; e^{\frac{36}{8}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; e^{9/2} \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-2q^2 + 6q} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; e^{9/2}} \]

Verificación: Comprobamos directamente completando el cuadrado. \(-2q^2 + 6q = -2(q^2 - 3q) = -2\left(q - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2}\). Haciendo el cambio de variable \(z = q - 3/2\):

\[ e^{9/2} \int_{-\infty}^{\infty} dz \; e^{-2z^2} = e^{9/2} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \]

Coincide.

B-3. Integral gaussiana con \(q^n\) (aplicación de la relación de recurrencia)

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Estrategia de resolución: Se aplica repetidamente la relación de recurrencia (C.7) \(I_n(a) = \frac{n-1}{a} I_{n-2}(a)\) con \(a = 1\).

Cálculo:

\[ I_6(1) = \frac{5}{1} \cdot I_4(1) = 5 \cdot I_4(1) \]
\[ I_4(1) = \frac{3}{1} \cdot I_2(1) = 3 \cdot I_2(1) \]
\[ I_2(1) = \frac{1}{1} \cdot I_0(1) = I_0(1) = \sqrt{2\pi} \]

Por lo tanto:

\[ I_6(1) = 5 \cdot 3 \cdot \sqrt{2\pi} = 15\sqrt{2\pi} \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int_{-\infty}^{\infty} dq \; q^6 \, e^{-\frac{1}{2}q^2} = 15\sqrt{2\pi}} \]

Verificación: Según la ecuación (C.6), para \(n = 6 = 2m\) con \(m = 3\), se tiene \(I_6(1) = \sqrt{2\pi} \cdot (2 \cdot 3 - 1)!! / 1^3 = \sqrt{2\pi} \cdot 5!! = \sqrt{2\pi} \cdot 15\). Coincide.

B-4. Verificación de que las integrales gaussianas de orden impar son cero

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Estrategia de resolución: Realizar el cambio de variable \(q \to -q\) y examinar la simetría del integrando.

Cálculo:

Sea \(f(q) = q^3 \, e^{-\frac{a}{2}q^2}\). Al realizar la transformación \(q \to -q\):

\[ f(-q) = (-q)^3 \, e^{-\frac{a}{2}(-q)^2} = -q^3 \, e^{-\frac{a}{2}q^2} = -f(q) \]

Por lo tanto, \(f(q)\) es una función impar. La integral de una función impar sobre un intervalo simétrico \((-\infty, +\infty)\) es igual a cero:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; f(q) = \int_{-\infty}^{0} f(q)\,dq + \int_{0}^{\infty} f(q)\,dq = -\int_{0}^{\infty} f(q)\,dq + \int_{0}^{\infty} f(q)\,dq = 0 \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int_{-\infty}^{\infty} dq \; q^3 \, e^{-\frac{a}{2}q^2} = 0} \]

Verificación: En general, \(q^n e^{-aq^2/2}\) es una función impar cuando \(n\) es impar y una función par cuando \(n\) es par. Esto es consistente con el resultado de la ecuación (C.6).

B-5. Integral gaussiana de 2 variables

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Estrategia de resolución: Se sustituye \(n = 2\) en la ecuación (C.8) \(\int d^n q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q}} = \frac{(2\pi)^{n/2}}{(\det A)^{1/2}}\).

Cálculo:

Calculamos el determinante:

\[ \det A = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5 \]

Los autovalores de \(A\) son positivos (dado que \(\mathrm{tr}\,A = 5 > 0\) y \(\det A = 5 > 0\), ambos autovalores son positivos), por lo que se satisface la condición de ser definida positiva.

Sustituyendo en la ecuación (C.8):

\[ \int d^2 q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q}} = \frac{(2\pi)^{2/2}}{(\det A)^{1/2}} = \frac{2\pi}{\sqrt{5}} \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int d^2 q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q}} = \frac{2\pi}{\sqrt{5}}} \]

Verificación: Si \(A\) fuera la matriz diagonal \(\mathrm{diag}(2, 3)\), tendríamos \(\det A = 6\) y el resultado sería \(2\pi/\sqrt{6}\). Integrando cada variable de forma independiente se obtiene \(\sqrt{2\pi/2} \cdot \sqrt{2\pi/3} = \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{2\pi/3} = 2\pi/\sqrt{6}\). Los resultados son consistentes.

B-6. Desarrollo de relaciones de anticonmutación de números de Grassmann

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Estrategia de resolución: Expandir usando la propiedad distributiva y aplicar \(\eta_i^2 = 0\) y \(\eta_i \eta_j = -\eta_j \eta_i\).

Cálculo:

\[ (\eta_1 + \eta_2)(\eta_2 + \eta_3) = \eta_1\eta_2 + \eta_1\eta_3 + \eta_2\eta_2 + \eta_2\eta_3 \]

Como \(\eta_2^2 = 0\), el tercer término se anula:

\[ = \eta_1\eta_2 + \eta_1\eta_3 + \eta_2\eta_3 \]

Respuesta final:

\[ \boxed{(\eta_1 + \eta_2)(\eta_2 + \eta_3) = \eta_1\eta_2 + \eta_1\eta_3 + \eta_2\eta_3} \]

Verificación: También se puede escribir en otro orden usando las relaciones de anticonmutación. Por ejemplo, como \(\eta_1\eta_2 = -\eta_2\eta_1\), se puede escribir como \(-\eta_2\eta_1 + \eta_1\eta_3 + \eta_2\eta_3\). Si en la expresión original se sustituye \(\eta_1 = \eta_2\), se obtiene \(2\eta_1(\eta_1 + \eta_3) = 2\eta_1\eta_3\) (usando \(\eta_1^2 = 0\)). Por otro lado, sustituyendo en el resultado se obtiene \(\eta_1^2 + \eta_1\eta_3 + \eta_1\eta_3 = 0 + 2\eta_1\eta_3\). Coinciden.

B-7. Cálculo básico de la integral de Berezin

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Estrategia de resolución: Se aplica la definición de la integral de Berezin (C.16) \(\int d\eta\;\eta = 1\), \(\int d\eta\;1 = 0\) a cada término.

Cálculo:

\[ \int d\eta \; (3 + 5\eta) = 3\int d\eta \; 1 + 5\int d\eta \; \eta = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1 = 5 \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int d\eta \; (3 + 5\eta) = 5} \]

Verificación: Comprobamos que la integral de Grassmann es la misma operación que la derivación. \(\frac{\partial}{\partial\eta}(3 + 5\eta) = 5\). Coincide.

B-8. Integral gaussiana de Grassmann en una variable

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Estrategia de resolución: Usar \(\bar{\eta}^2 = \eta^2 = 0\) para expandir la función exponencial en un número finito de términos y realizar la integral de Berezin.

Cálculo:

Como \(\bar{\eta}\eta\) es un producto de números de Grassmann, \((\bar{\eta}\eta)^2 = \bar{\eta}\eta\bar{\eta}\eta = -\bar{\eta}\bar{\eta}\eta\eta = -\bar{\eta}^2\eta^2 = 0\). Por lo tanto:

\[ e^{-5\bar{\eta}\eta} = 1 + (-5\bar{\eta}\eta) + \frac{1}{2!}(-5\bar{\eta}\eta)^2 + \cdots = 1 - 5\bar{\eta}\eta \]

Realizamos la integral de Berezin. El orden de integración es \(\int d\bar{\eta}\,d\eta\), integrando primero sobre \(\eta\) (interior) y luego sobre \(\bar{\eta}\) (exterior):

\[ \int d\bar{\eta}\,d\eta \; (1 - 5\bar{\eta}\eta) \]

Primero integramos respecto a \(\eta\):

\[ \int d\eta \; (1 - 5\bar{\eta}\eta) = \int d\eta \; 1 - 5\int d\eta \; \bar{\eta}\eta = 0 - 5\int d\eta\;\bar{\eta}\eta \]

Espera, verifiquemos el signo. Al calcular \(\int d\eta\;(\bar{\eta}\eta)\) en el término \(-5\bar{\eta}\eta\), dado que \(\bar{\eta}\) es una constante de Grassmann respecto a \(\eta\):

\[ \int d\eta \; \bar{\eta}\eta = \bar{\eta} \int d\eta \; \eta = \bar{\eta} \cdot 1 = \bar{\eta} \]

(Al sacar \(\bar{\eta}\) fuera del signo de integración, ¿aparece un signo por el intercambio de \(d\eta\) y \(\bar{\eta}\)? En la convención de la integral de Berezin, \(\int d\eta\) actúa como una derivada por la izquierda, así que en \(\int d\eta\;(\bar{\eta}\eta)\) necesitamos pasar \(\bar{\eta}\) a la izquierda de \(\eta\). Como \(\bar{\eta}\eta = -\eta\bar{\eta}\), entonces \(\int d\eta\;(-\eta\bar{\eta}) = -\bar{\eta}\)...)

Aquí verificamos la convención cuidadosamente. En la convención estándar:

\[ \int d\eta \; \bar{\eta}\eta \]

Calculamos \(\frac{\partial}{\partial\eta}(\bar{\eta}\eta)\). Con la convención de derivada por la izquierda, llevamos \(\eta\) al extremo izquierdo: \(\bar{\eta}\eta = -\eta\bar{\eta}\), por lo que

\[ \frac{\partial}{\partial\eta}(\bar{\eta}\eta) = \frac{\partial}{\partial\eta}(-\eta\bar{\eta}) = -\bar{\eta} \]

Por lo tanto, \(\int d\eta\;\bar{\eta}\eta = -\bar{\eta}\).

Recalculamos:

\[ \int d\eta \; (1 - 5\bar{\eta}\eta) = 0 - 5\int d\eta\;\bar{\eta}\eta = -5 \cdot (-\bar{\eta}) = 5\bar{\eta} \]

Luego:

\[ \int d\bar{\eta} \; 5\bar{\eta} = 5 \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int d\bar{\eta}\,d\eta \; e^{-5\bar{\eta}\eta} = 5} \]

Verificación: Según la ecuación (C.18), \(\int d\bar{\eta}\,d\eta \; e^{-a\bar{\eta}\eta} = a\). Sustituyendo \(a = 5\) se obtiene \(5\). Coincide. Esto también es consistente con \(\det A = 5\) para la matriz \(1 \times 1\) \(A = (5)\).

B-9. Signo de la derivada de Grassmann

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Estrategia de resolución: Primero reorganizamos \(\theta\phi\theta\) usando las relaciones de anticonmutación, y luego derivamos respecto a \(\phi\).

Cálculo:

\[ \theta\,\phi\,\theta = -\theta\,\theta\,\phi = -\theta^2\,\phi = 0 \]

(Al intercambiar \(\phi\) y \(\theta\) cambia el signo, y como \(\theta^2 = 0\), el resultado total es cero.)

Por lo tanto:

\[ \frac{\partial}{\partial\phi}(\theta\,\phi\,\theta) = \frac{\partial}{\partial\phi}(0) = 0 \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\frac{\partial}{\partial\phi}(\theta\,\phi\,\theta) = 0} \]

Verificación: Confirmamos por otro método. Según la convención de derivada por la izquierda, para aplicar \(\frac{\partial}{\partial\phi}\) debemos llevar \(\phi\) al extremo izquierdo. \(\theta\phi\theta = -\phi\theta\theta = -\phi\theta^2 = 0\). Como la expresión ya es cero antes de derivar, el resultado también es cero.

B-10. Integral gaussiana multivariable con fuente

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Estrategia de resolución: Aplicar la ecuación (C.9).

Cálculo:

Datos proporcionados:

\[ A = \begin{pmatrix}4 & 0\\0 & 4\end{pmatrix}, \quad \mathbf{J} = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} \]

Calculamos las cantidades necesarias:

\[ \det A = 4 \times 4 - 0 = 16 \]
\[ A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J} = (2, 0)\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} = (2, 0)\begin{pmatrix}1/2\\0\end{pmatrix} = 1 \]

Sustituyendo en la ecuación (C.9) (con \(n = 2\)):

\[ \int d^2 q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} - \mathbf{J}^T\mathbf{q}} = \frac{(2\pi)^{2/2}}{(\det A)^{1/2}} \; e^{\frac{1}{2}\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J}} = \frac{2\pi}{\sqrt{16}} \; e^{1/2} = \frac{2\pi}{4} \; e^{1/2} = \frac{\pi}{2}\,e^{1/2} \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int d^2 q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} - \mathbf{J}^T\mathbf{q}} = \frac{\pi}{2}\,e^{1/2}} \]

Verificación: Como \(A\) es diagonal, podemos integrar cada variable de forma independiente. Integral en \(q_1\): \(\int dq_1\;e^{-2q_1^2 - 2q_1} = \sqrt{\pi/2}\,e^{1/2}\) (con \(a = 4\), \(J = 2\) en la ecuación (C.3)). Integral en \(q_2\): \(\int dq_2\;e^{-2q_2^2} = \sqrt{\pi/2}\). El producto es \((\pi/2)\,e^{1/2}\). Coincide.

Intermedio

M-1. Generación de funciones de correlación mediante integrales gaussianas con fuente

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Estrategia de resolución: Derivar \(Z(J) = \sqrt{2\pi/a}\;e^{J^2/(2a)}\) con respecto a \(J\) y evaluar en \(J = 0\).

(a) \(\langle q^2 \rangle = 1/a\)

Cálculo:

\[ Z(J) = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \; e^{J^2/(2a)} \]
\[ \frac{\partial Z}{\partial J} = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \; \frac{J}{a} \; e^{J^2/(2a)} \]
\[ \frac{\partial^2 Z}{\partial J^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \; e^{J^2/(2a)} \left[\frac{1}{a} + \frac{J^2}{a^2}\right] \]

Evaluando en \(J = 0\):

\[ \left.\frac{\partial^2 Z}{\partial J^2}\right|_{J=0} = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \cdot \frac{1}{a} \]

Como \(Z(0) = \sqrt{2\pi/a}\):

\[ \langle q^2 \rangle = \frac{1}{Z(0)}\left.\frac{\partial^2 Z}{\partial J^2}\right|_{J=0} = \frac{1}{a} \]
\[ \boxed{\langle q^2 \rangle = \frac{1}{a}} \]

(b) \(\langle q^4 \rangle = 3/a^2\)

Cálculo:

Expandiendo \(e^{J^2/(2a)}\) en serie de potencias:

\[ e^{J^2/(2a)} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\left(\frac{J^2}{2a}\right)^k = 1 + \frac{J^2}{2a} + \frac{J^4}{8a^2} + \cdots \]

Al aplicar \(\frac{\partial^4}{\partial J^4}\), solo el término en \(J^4\) contribuye en \(J = 0\):

\[ \frac{\partial^4}{\partial J^4}\left(\frac{J^4}{8a^2}\right) = \frac{4!}{8a^2} = \frac{24}{8a^2} = \frac{3}{a^2} \]

Por lo tanto:

\[ \left.\frac{\partial^4 Z}{\partial J^4}\right|_{J=0} = Z(0) \cdot \frac{3}{a^2} \]
\[ \langle q^4 \rangle = \frac{1}{Z(0)}\left.\frac{\partial^4 Z}{\partial J^4}\right|_{J=0} = \frac{3}{a^2} \]
\[ \boxed{\langle q^4 \rangle = \frac{3}{a^2}} \]

(c) Correspondencia con el teorema de Wick

Cálculo:

\[ \langle q^4 \rangle = \frac{3}{a^2} = 3 \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^2 = 3\langle q^2 \rangle^2 \]

Según el teorema de Wick, \(\langle q^4 \rangle\) viene dado por la suma sobre todas las formas de agrupar las 4 variables \(q\) en pares (contracciones). Etiquetando las cuatro \(q\) como \(q_1, q_2, q_3, q_4\), las combinaciones en pares son:

  1. \((q_1 q_2)(q_3 q_4)\)
  2. \((q_1 q_3)(q_2 q_4)\)
  3. \((q_1 q_4)(q_2 q_3)\)

es decir, 3 formas. Cada par da \(\langle q^2 \rangle = 1/a\), por lo que:

\[ \langle q^4 \rangle = 3 \times \langle q^2 \rangle^2 = \frac{3}{a^2} \]

El número de combinaciones viene dado en general por \(\frac{(2m)!}{2^m \cdot m!}\), y para \(m = 2\) se obtiene \(\frac{4!}{2^2 \cdot 2!} = \frac{24}{4 \cdot 2} = 3\).

Verificación: A partir de la relación de recurrencia (C.7) se puede confirmar directamente que \(I_4(a) = 3/a^2 \cdot I_0(a)\), lo cual es consistente con \(\langle q^4 \rangle = I_4/I_0 = 3/a^2\).

M-2. Derivación de la integral gaussiana de Grassmann multivariable

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Estrategia de resolución: Expandir la función exponencial en variables de Grassmann y extraer los términos no nulos mediante la integral de Berezin.

Cálculo:

Sea \(A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\), expandimos el exponente:

\[ \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A \boldsymbol{\eta} = a\bar{\eta}_1\eta_1 + b\bar{\eta}_1\eta_2 + c\bar{\eta}_2\eta_1 + d\bar{\eta}_2\eta_2 \]

Denotamos esto como \(X\). Expandimos \(e^{-X}\):

\[ e^{-X} = 1 - X + \frac{1}{2}X^2 - \cdots \]

Para que la integral de Berezin \(\int d\bar{\eta}_1\,d\eta_1\,d\bar{\eta}_2\,d\eta_2\) sea no nula, el integrando debe contener las 4 variables de Grassmann \(\bar{\eta}_1, \eta_1, \bar{\eta}_2, \eta_2\) exactamente una vez cada una.

  • Término 1: No contiene variables de Grassmann, por lo que la integral es cero.
  • Término \(-X\): Cada término contiene solo 2 variables de Grassmann, por lo que da cero.
  • Término \(\frac{1}{2}X^2\): Sobreviven los términos que contienen las 4 variables de Grassmann.

Calculamos \(X^2\):

\[ X^2 = (a\bar{\eta}_1\eta_1 + b\bar{\eta}_1\eta_2 + c\bar{\eta}_2\eta_1 + d\bar{\eta}_2\eta_2)^2 \]

Las combinaciones en las que aparecen todas las 4 variables son:

  • \((a\bar{\eta}_1\eta_1)(d\bar{\eta}_2\eta_2) = ad\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\)
  • \((d\bar{\eta}_2\eta_2)(a\bar{\eta}_1\eta_1) = ad\,\bar{\eta}_2\eta_2\bar{\eta}_1\eta_1\)
  • \((b\bar{\eta}_1\eta_2)(c\bar{\eta}_2\eta_1) = bc\,\bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1\)
  • \((c\bar{\eta}_2\eta_1)(b\bar{\eta}_1\eta_2) = bc\,\bar{\eta}_2\eta_1\bar{\eta}_1\eta_2\)

Reordenamos. Tomamos como referencia \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

Primer término: \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\) (ya está en orden).

Segundo término: \(\bar{\eta}_2\eta_2\bar{\eta}_1\eta_1\). Movemos \(\bar{\eta}_2\eta_2\) de la izquierda a la derecha de \(\bar{\eta}_1\eta_1\). Como \(\bar{\eta}_2\eta_2\) es un producto de un número par de variables de Grassmann, conmuta con otras variables de Grassmann sin cambio de signo. Por lo tanto \(\bar{\eta}_2\eta_2\bar{\eta}_1\eta_1 = \bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

Tercer término: \(\bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1\). Lo reordenamos a la forma \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\):

\[ \bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1 = \bar{\eta}_1(-\bar{\eta}_2\eta_2)\eta_1 = -\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_2\eta_1 = -\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2(-\eta_1\eta_2) = \bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2 \]

Además, \(\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2\): intercambiando \(\bar{\eta}_2\) y \(\eta_1\) obtenemos \(\bar{\eta}_1(-\eta_1\bar{\eta}_2)\eta_2 = -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

Por lo tanto, el tercer término \(= -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

Cuarto término: \(\bar{\eta}_2\eta_1\bar{\eta}_1\eta_2\). Reordenamos de manera similar:

\[ \bar{\eta}_2\eta_1\bar{\eta}_1\eta_2 \]

Intercambiamos \(\eta_1\) y \(\bar{\eta}_1\): \(\bar{\eta}_2(-\bar{\eta}_1\eta_1)\eta_2 = -\bar{\eta}_2\bar{\eta}_1\eta_1\eta_2\).

Intercambiamos \(\bar{\eta}_2\) y \(\bar{\eta}_1\): \(-(-\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2)\eta_1\eta_2 = \bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2\).

Intercambiamos \(\bar{\eta}_2\) y \(\eta_1\): \(\bar{\eta}_1(-\eta_1\bar{\eta}_2)\eta_2 = -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

Por lo tanto, el cuarto término \(= -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

Resumiendo:

\[ X^2 \big|_{\text{4 variables}} = (ad + ad - bc - bc)\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 = 2(ad - bc)\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \]

Por lo tanto:

\[ \frac{1}{2}X^2\big|_{\text{4 variables}} = (ad - bc)\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \]

Realizamos la integral de Berezin. Con el orden de integración \(\int d\bar{\eta}_1\,d\eta_1\,d\bar{\eta}_2\,d\eta_2\):

\[ \int d\bar{\eta}_1\,d\eta_1\,d\bar{\eta}_2\,d\eta_2 \; \bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \]

Procedemos desde la derecha, por orden:

\[ \int d\eta_2 \; \eta_2 = 1 \]
\[ \int d\bar{\eta}_2 \; \bar{\eta}_2 = 1 \]
\[ \int d\eta_1 \; \eta_1 = 1 \]
\[ \int d\bar{\eta}_1 \; \bar{\eta}_1 = 1 \]

Sin embargo, hay que prestar atención a los signos. Para \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\), al integrar secuencialmente desde la derecha:

\[ \int d\eta_2\;(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2) \]

Llevamos \(\eta_2\) al extremo izquierdo: \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 = (-1)^3 \eta_2\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2 = -\eta_2\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\)...

Reorganicemos con un enfoque diferente. Como convención estándar:

\[ \int d\bar{\eta}_1\,d\eta_1\,d\bar{\eta}_2\,d\eta_2 \; \bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \]

hacemos actuar desde el más a la derecha \(d\eta_2\) secuencialmente. \(\int d\eta_2\;\eta_2 = 1\) y queda \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\). Luego \(\int d\bar{\eta}_2\;\bar{\eta}_2 = 1\) y queda \(\bar{\eta}_1\eta_1\). Luego \(\int d\eta_1\;\eta_1 = 1\) y queda \(\bar{\eta}_1\). Finalmente \(\int d\bar{\eta}_1\;\bar{\eta}_1 = 1\).

Sin embargo, es necesario considerar los signos al llevar cada variable al extremo izquierdo en cada paso.

De forma más sistemática: con la convención \(\int \prod_i d\bar{\eta}_i d\eta_i\), el resultado está definido de modo que dé \(\det A\). Aquí lo verificamos directamente.

Método alternativo: calculamos directamente el término de 4 variables en la expansión de \(e^{-X}\).

\[ e^{-X} = 1 - X + \frac{1}{2!}X^2 \]

\(X = a\bar{\eta}_1\eta_1 + b\bar{\eta}_1\eta_2 + c\bar{\eta}_2\eta_1 + d\bar{\eta}_2\eta_2\)

En lugar de calcular directamente la parte de 4 variables de \(\frac{1}{2}X^2\), tomamos un enfoque más directo.

Expandimos \(e^{-X}\) y recogemos los términos proporcionales a \(\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2\) (que es el único monomio independiente de grado 4 no nulo).

Denotamos cada término de \(X\) como \(X_1 = a\bar{\eta}_1\eta_1\), \(X_2 = b\bar{\eta}_1\eta_2\), \(X_3 = c\bar{\eta}_2\eta_1\), \(X_4 = d\bar{\eta}_2\eta_2\).

Las combinaciones en \(\frac{1}{2}X^2\) que dan 4 variables: \(X_1 X_4\), \(X_4 X_1\), \(X_2 X_3\), \(X_3 X_2\).

\[ X_1 X_4 = a\bar{\eta}_1\eta_1 \cdot d\bar{\eta}_2\eta_2 = ad\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \]
\[ X_4 X_1 = d\bar{\eta}_2\eta_2 \cdot a\bar{\eta}_1\eta_1 = ad\,\bar{\eta}_2\eta_2\bar{\eta}_1\eta_1 \]

Llevamos \(\bar{\eta}_2\eta_2\bar{\eta}_1\eta_1\) al orden estándar: como el producto \(\bar{\eta}_2\eta_2\) es de grado par, \(\bar{\eta}_2\eta_2\bar{\eta}_1\eta_1 = \bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\) (un producto de un número par de variables de Grassmann conmuta con otras variables de Grassmann).

Por lo tanto \(X_4 X_1 = ad\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

\[ X_2 X_3 = b\bar{\eta}_1\eta_2 \cdot c\bar{\eta}_2\eta_1 = bc\,\bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1 \]

Reordenamos \(\bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1\): usando \(\eta_2\bar{\eta}_2 = -\bar{\eta}_2\eta_2\)

\[ \bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1 = -\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_2\eta_1 = -\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2(-\eta_1\eta_2) = \bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2 \]

Además, usando \(\bar{\eta}_2\eta_1 = -\eta_1\bar{\eta}_2\):

\[ \bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2 = -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \]

(intercambiando \(\bar{\eta}_2\) y \(\eta_1\): \(\bar{\eta}_1(\bar{\eta}_2\eta_1)\eta_2 = \bar{\eta}_1(-\eta_1\bar{\eta}_2)\eta_2 = -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\))

Por lo tanto \(X_2 X_3 = -bc\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

\[ X_3 X_2 = c\bar{\eta}_2\eta_1 \cdot b\bar{\eta}_1\eta_2 = bc\,\bar{\eta}_2\eta_1\bar{\eta}_1\eta_2 \]

Reordenamos \(\bar{\eta}_2\eta_1\bar{\eta}_1\eta_2\): usando \(\eta_1\bar{\eta}_1 = -\bar{\eta}_1\eta_1\)

\[ \bar{\eta}_2\eta_1\bar{\eta}_1\eta_2 = -\bar{\eta}_2\bar{\eta}_1\eta_1\eta_2 = \bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2 = -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \]

(usando \(\bar{\eta}_2\bar{\eta}_1 = -\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\), y después igual que antes)

Por lo tanto \(X_3 X_2 = -bc\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

En resumen:

\[ \frac{1}{2}X^2\big|_{\text{4 variables}} = \frac{1}{2}(ad + ad - bc - bc)\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 = (ad - bc)\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \]

Por lo tanto:

\[ e^{-X}\big|_{\text{4 variables}} = (ad - bc)\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \]

Realizamos la integral de Berezin. Con la convención \(\int d\bar{\eta}_1\,d\eta_1\,d\bar{\eta}_2\,d\eta_2\):

\[ \int d\bar{\eta}_1\,d\eta_1\,d\bar{\eta}_2\,d\eta_2 \; \bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \]

Evaluamos haciendo coincidir con el orden de la medida de integración. Cada integral de Berezin actúa como derivada por la izquierda.

Actuando secuencialmente desde la derecha, con la convención:

\[ \int d\eta_2\;(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2) \]

Llevamos \(\eta_2\) al extremo izquierdo: \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 = (-1)^3 \eta_2\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2 = -\eta_2\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\)

Por lo tanto \(\frac{\partial}{\partial\eta_2}(-\eta_2\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2) = -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\).

Luego \(\int d\bar{\eta}_2\): \(\frac{\partial}{\partial\bar{\eta}_2}(-\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2)\). Llevamos \(\bar{\eta}_2\) al extremo izquierdo:

\[ -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2 = -(-1)^2\bar{\eta}_2\bar{\eta}_1\eta_1 = -\bar{\eta}_2\bar{\eta}_1\eta_1 \]

\(\frac{\partial}{\partial\bar{\eta}_2}(-\bar{\eta}_2\bar{\eta}_1\eta_1) = -\bar{\eta}_1\eta_1\).

Luego \(\int d\eta_1\): \(\frac{\partial}{\partial\eta_1}(-\bar{\eta}_1\eta_1)\). Llevamos \(\eta_1\) al extremo izquierdo:

\[ -\bar{\eta}_1\eta_1 = -(-1)^1\eta_1\bar{\eta}_1 = \eta_1\bar{\eta}_1 \]

\(\frac{\partial}{\partial\eta_1}(\eta_1\bar{\eta}_1) = \bar{\eta}_1\).

Finalmente \(\int d\bar{\eta}_1\): \(\frac{\partial}{\partial\bar{\eta}_1}(\bar{\eta}_1) = 1\).

Por lo tanto:

\[ \int d\bar{\eta}_1\,d\eta_1\,d\bar{\eta}_2\,d\eta_2 \; \bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 = 1 \]

En consecuencia:

\[ \int d\bar{\eta}_1\,d\eta_1\,d\bar{\eta}_2\,d\eta_2 \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta}} = ad - bc = \det A \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int \prod_{i=1}^{2} d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta}} = ad - bc = \det A} \]

Verificación: Para \(A = \mathbf{1}\) (matriz identidad), \(\det A = 1\). Con \(X = \bar{\eta}_1\eta_1 + \bar{\eta}_2\eta_2\), tenemos \(\frac{1}{2}X^2 = \bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\). Al integrar se obtiene 1. Coincide. En el caso bosónico aparece \((\det A)^{-1/2}\) en el denominador, mientras que en el caso fermiónico \(\det A\) aparece en el numerador — esta es la característica esencial de la integral de Grassmann.

M-3. Término fuente e inversa de la matriz en la integral gaussiana de Grassmann

→ Volver al problema

Estrategia de resolución: Realizar la completación de cuadrados con variables de Grassmann y, tras el cambio de variables, reducir el problema a una integral sin fuentes.

Cálculo:

Organizamos el exponente:

\[ -\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi} \]

Realizamos la completación de cuadrados. Definimos nuevas variables:

\[ \boldsymbol{\eta}' = \boldsymbol{\eta} - A^{-1}\boldsymbol{\xi}, \qquad \bar{\boldsymbol{\eta}}' = \bar{\boldsymbol{\eta}} - \bar{\boldsymbol{\xi}}(A^{-1})^T = \bar{\boldsymbol{\eta}} - \bar{\boldsymbol{\xi}}(A^T)^{-1} \]

(Aquí hay que prestar atención a la posición de la transposición: a partir de la forma \(\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta}\), se tiene \(\bar{\boldsymbol{\eta}}'^T = \bar{\boldsymbol{\eta}}^T - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\))

Verificamos la identidad de completación de cuadrados:

\[ \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi} = (\bar{\boldsymbol{\eta}}^T - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1})\,A\,(\boldsymbol{\eta} - A^{-1}\boldsymbol{\xi}) - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi} \]

Expandimos el lado derecho para verificar:

\[ (\bar{\boldsymbol{\eta}}^T - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1})\,A\,(\boldsymbol{\eta} - A^{-1}\boldsymbol{\xi}) \]
\[ = \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A \cdot A^{-1}\boldsymbol{\xi} - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1} A\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1} A \cdot A^{-1}\boldsymbol{\xi} \]
\[ = \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi} - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi} \]

Sumando \(-\bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}\):

\[ = \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi} - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} \]

Esto coincide efectivamente con la expresión original. ✓

Realizamos el cambio de variables \(\boldsymbol{\eta}' = \boldsymbol{\eta} - A^{-1}\boldsymbol{\xi}\), \(\bar{\boldsymbol{\eta}}' = \bar{\boldsymbol{\eta}} - (A^{-1})^T\bar{\boldsymbol{\xi}}\).

Verificación del jacobiano: Para una transformación lineal de variables de Grassmann \(\eta_i' = \eta_i + c_i\) (donde \(c_i\) son constantes de Grassmann), la medida de la integral de Berezin es invariante:

\[ d\eta_i' = d\eta_i \]

Esto se deduce de la invariancia bajo traslaciones de la integral de Berezin. En \(\int d\eta'\;f(\eta') = \int d\eta\;f(\eta + c)\), con \(f(\eta + c) = f_0 + f_1(\eta + c) = (f_0 + f_1 c) + f_1\eta\), el coeficiente de \(\eta\) sigue siendo \(f_1\) sin cambios.

Más generalmente, para una transformación \(\eta_i' = M_{ij}\eta_j + c_i\) se tiene \(\prod_i d\eta_i' = (\det M)^{-1}\prod_i d\eta_i\) (¡inverso al caso bosónico!). En nuestro caso \(M = \mathbf{1}\) (matriz identidad), por lo que el jacobiano es 1.

De manera análoga, el jacobiano para \(\bar{\boldsymbol{\eta}}'\) también es 1.

Por lo tanto:

\[ \prod_i d\bar{\eta}_i'\,d\eta_i' = \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \]

Ejecutamos la integral:

\[ \int \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi}} \]
\[ = \int \prod_i d\bar{\eta}_i'\,d\eta_i' \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}'^T A\boldsymbol{\eta}' + \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}} \]
\[ = e^{\bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}} \int \prod_i d\bar{\eta}_i'\,d\eta_i' \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}'^T A\boldsymbol{\eta}'} \]
\[ = e^{\bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}} \cdot \det A \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi}} = \det A \; e^{\bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}}} \]

Verificación: Si hacemos \(\boldsymbol{\xi} = \bar{\boldsymbol{\xi}} = 0\), recuperamos \(\det A\). ✓ Además, comparando con la expresión (C.9) del caso bosónico, donde se tenía \((\det A)^{-1/2} e^{\frac{1}{2}\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J}}\), en el caso fermiónico se obtiene \(\det A \cdot e^{\bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}}\). El determinante pasa del denominador al numerador, y la ausencia del factor \(1/2\) en el exponente corresponde al hecho de que \(\bar{\eta}\) y \(\eta\) son variables independientes.

M-4. Integral gaussiana como integral de Fresnel

→ Volver al problema

Estrategia de resolución: Aplicar la ecuación (C.2) para \(a = -i\alpha\).

Cálculo:

La integral que buscamos es:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{\frac{i\alpha}{2}q^2} \]

Comparando con la forma de la ecuación (C.1) \(\int dq\;e^{-\frac{a}{2}q^2}\):

\[ -\frac{a}{2} = \frac{i\alpha}{2} \quad \Longrightarrow \quad a = -i\alpha \]

Escribimos \(a\) en forma polar:

\[ a = -i\alpha = \alpha \cdot e^{-i\pi/2} \]

donde \(|a| = \alpha\), \(\theta = -\pi/2\). Como \(\mathrm{Re}(a) = 0\), nos encontramos estrictamente en la frontera de la condición de convergencia \(\mathrm{Re}(a) > 0\). Esto se entiende como una continuación analítica desde la región \(\mathrm{Re}(a) > 0\).

Aplicando la ecuación (C.2):

\[ I = \sqrt{\frac{2\pi}{|a|}} \; e^{-i\theta/2} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}} \; e^{-i(-\pi/2)/2} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}} \; e^{i\pi/4} \]

Respuesta final:

\[ \boxed{\int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{\frac{i\alpha}{2}q^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}\;e^{i\pi/4}} \]

Relación con la integral de camino en el espacio de Minkowski:

En la integral de camino en el espacio de Minkowski, el peso toma la forma \(e^{iS}\). La acción del campo escalar libre es

\[ S = \int d^4x \; \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]

En el espacio de momentos, \(S \sim \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{2}\phi(-k)(k^2 - m^2)\phi(k)\), y la integral de camino adopta la forma

\[ \int \mathcal{D}\phi \; e^{iS} \sim \prod_k \int d\phi_k \; e^{\frac{i}{2}(k^2 - m^2)\phi_k^2} \]

La integral de cada modo es precisamente del tipo Fresnel \(\int dq\;e^{i\alpha q^2/2}\).

Esta integral no converge estrictamente cuando \(\mathrm{Re}(a) = 0\). Las prescripciones prácticas son:

  1. Prescripción \(i\epsilon\): Al hacer \(m^2 \to m^2 - i\epsilon\), se otorga a \(a\) una pequeña parte real positiva que garantiza la convergencia. Este es el origen del \(i\epsilon\) en el propagador de Feynman.

  2. Rotación de Wick: Al realizar \(t \to -i\tau\) y pasar al espacio euclídeo, \(e^{iS} \to e^{-S_E}\), y la integral gaussiana adquiere la forma convergente habitual. Tras el cálculo, se regresa al espacio de Minkowski mediante continuación analítica.

La fase \(e^{i\pi/4}\) de la integral de Fresnel corresponde a la mitad del ángulo de rotación \(\pi/2\) de la rotación de Wick, y determina el factor de fase global de la integral de camino (que se absorbe en la normalización).

Verificación: Como \(e^{i\pi/4} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}\), tenemos \(I = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}} \cdot \frac{1+i}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}(1+i)\). Entonces \(|I|^2 = \frac{\pi}{\alpha} \cdot 2 = \frac{2\pi}{\alpha}\). Por otro lado, \(|I|^2 = |\int dq\;e^{i\alpha q^2/2}|^2 = \int dq_1\int dq_2\;e^{i\alpha(q_1^2 - q_2^2)/2}\). Con el cambio de variables \(u = q_1 + q_2\), \(v = q_1 - q_2\), obtenemos \(\frac{1}{2}\int du\int dv\;e^{i\alpha uv/2}\). Esto da \(\frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{2}{\alpha} = \frac{2\pi}{\alpha}\) (usando la representación de la función delta). Los resultados coinciden.

Avanzado

A-1. Cociente de determinantes bosónico/fermiónico y supersimetría

→ Volver al problema

(a) Cálculo de \(Z\)

Estrategia de resolución: Como las partes bosónica y fermiónica son independientes, podemos integrar cada una por separado.

Cálculo:

Parte bosónica: De la ecuación (C.8)

\[ \int d^n q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q}} = \frac{(2\pi)^{n/2}}{(\det A)^{1/2}} \]

Parte fermiónica: De la ecuación (C.19)

\[ \int \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta}} = \det A \]

Por lo tanto:

\[ \boxed{Z = \frac{(2\pi)^{n/2}}{(\det A)^{1/2}} \cdot \det A = (2\pi)^{n/2} \cdot (\det A)^{1/2}} \]

(b) Caso \(A = m^2 \mathbf{1}\)

Cálculo:

\[ \det A = \det(m^2 \mathbf{1}) = (m^2)^n = m^{2n} \]
\[ (\det A)^{1/2} = m^n \]
\[ Z = (2\pi)^{n/2} \cdot m^n \]

...esto depende de \(m\). Revisemos el enunciado del problema.

En realidad, de la integral de la parte bosónica sale \((\det A)^{-1/2}\), y de la parte fermiónica sale \(\det A\), así que:

\[ Z = \frac{(2\pi)^{n/2}}{(\det A)^{1/2}} \cdot \det A = (2\pi)^{n/2} (\det A)^{1/2} \]

Cuando \(A = m^2\mathbf{1}\), tenemos \(Z = (2\pi)^{n/2} m^n\). Esto depende de \(m\).

Reconsideremos la intención del problema. En el contexto de supersimetría, cuando los grados de libertad bosónicos y fermiónicos son iguales, la función de partición (o la parte del determinante de la acción efectiva) se vuelve independiente de la masa. Sin embargo, aquí los bosones son \(n\) escalares reales (grados de libertad \(n\)), mientras que los fermiones son \(n\) pares de variables de Grassmann complejas (grados de libertad \(2n\)), por lo que los grados de libertad no coinciden.

Para que la supersimetría se cumpla exactamente, es necesario que los determinantes bosónico y fermiónico se cancelen completamente. Es decir, se necesita una situación donde \((\det A)^{-1/2}\) y \((\det A)^{1/2}\) se cancelen, no \((\det A)^{-1/2}\) y \(\det A\).

Mirando la pista del problema, dice "(b) sustituir \((\det A)^{1/2} = m^n\)", y no dice explícitamente que \(Z\) sea independiente de \(m\)...

Releamos el problema: "Cuando \(A\) es un múltiplo escalar de la matriz identidad \(A = m^2 \mathbf{1}\), mostrar que \(Z\) no depende de \(m\)."

Para que esto se cumpla, las contribuciones bosónica y fermiónica deben cancelarse completamente. Con \(n\) variables reales bosónicas \((\det A)^{-1/2} = m^{-n}\), y con \(n\) pares fermiónicos \(\det A = m^{2n}\). El producto es \(m^{-n} \cdot m^{2n} = m^n\). Esto depende de \(m\).

Probablemente la intención del problema es considerar bosones como variables complejas (\(2n\) grados de libertad reales), o bien una configuración donde la parte fermiónica dé \((\det A)^{1/2}\).

Alternativamente, con \(n\) variables bosónicas complejas \(z_i = (q_{2i-1} + iq_{2i})/\sqrt{2}\):

\[ \int d^n z\,d^n\bar{z}\;e^{-\bar{\mathbf{z}}^T A\mathbf{z}} = \frac{\pi^n}{\det A} \]

En este caso, combinando con la contribución fermiónica \(\det A\), tenemos \(Z = \pi^n\). ¡Esto no depende de \(m\)!

Sin embargo, el enunciado dice "\(n\) variables bosónicas \(q_i\)", sugiriendo variables reales.

Interpretación más coherente: El problema en realidad contempla \(2n\) variables bosónicas reales (\(n\) bosones complejos), en cuyo caso:

\[ \int d^{2n}q\;e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T(A\otimes\mathbf{1}_2)\mathbf{q}} = \frac{(2\pi)^n}{(\det A)^1} \]

Combinando con la contribución fermiónica \(\det A\), se obtiene \(Z = (2\pi)^n\). Esto no depende de \(m\).

Aquí interpretamos el problema literalmente y presentamos la respuesta, discutiendo en (b) las condiciones para la "cancelación de determinantes".

Respuesta

(a)

Parte bosónica:

\[ Z_B = \int d^n q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q}} = \frac{(2\pi)^{n/2}}{(\det A)^{1/2}} \]

Parte fermiónica:

\[ Z_F = \int \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta}} = \det A \]

Total:

\[ \boxed{Z = Z_B \cdot Z_F = (2\pi)^{n/2} \cdot (\det A)^{1/2}} \]

(b)

Cuando \(A = m^2\mathbf{1}\):

\[ (\det A)^{1/2} = (m^{2n})^{1/2} = m^n \]
\[ Z = (2\pi)^{n/2} \cdot m^n \]

A primera vista parece depender de \(m\), pero la cantidad físicamente significativa es la dependencia en \(m\) de la parte del determinante en \(\ln Z\). Comparando la contribución bosónica \(-\frac{1}{2}\ln\det A = -n\ln m\) con la contribución fermiónica \(+\ln\det A = +2n\ln m\), la suma es \(+n\ln m\).

Sin embargo, para que la cancelación exacta de supersimetría ocurra, es necesario que los grados de libertad bosónicos y fermiónicos coincidan. Para \(n\) grados de libertad bosónicos reales, \(n\) pares de variables de Grassmann poseen \(2n\) grados de libertad de Grassmann.

En la configuración supersimétrica correcta, se emparejan \(n\) bosones complejos (\(2n\) grados de libertad reales) con \(n\) pares de variables de Grassmann. En este caso:

\[ Z_B = \frac{(2\pi)^n}{\det A}, \qquad Z_F = \det A \]
\[ Z = (2\pi)^n \]

Esto es completamente independiente de \(m\). \(\det A\) se cancela completamente entre bosones y fermiones.

En la configuración del enunciado (\(n\) bosones reales), la cancelación entre \((\det A)^{-1/2}\) y \((\det A)^{+1}\) es incompleta y queda \((\det A)^{1/2}\). Esto refleja la falta de coincidencia en los grados de libertad.

\[ \boxed{Z = (2\pi)^{n/2} m^n \quad \text{(caso de $n$ bosones reales)}} \]

Nota: En la configuración donde la supersimetría se cumple exactamente (\(n\) bosones complejos + \(n\) pares de Grassmann), \(Z = (2\pi)^n\) (independiente de \(m\)).

(c) Correspondencia con el potencial efectivo a un lazo

El potencial efectivo a un lazo, en teoría cuántica de campos, toma la siguiente forma (Cap. 14):

\[ V_{\text{1-loop}} = \frac{1}{2}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\left[\ln(k^2 + m_B^2) - 2\ln(k^2 + m_F^2)\right] \]

(Para 1 grado de libertad bosónico y un fermión de Dirac con 4 grados de libertad. Los coeficientes dependen de los grados de libertad.)

En general, utilizando la supertraza (supertrace):

\[ V_{\text{1-loop}} = \frac{1}{2}\mathrm{STr}\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\ln(k^2 + M^2) \]

donde \(\mathrm{STr}\) es la traza con signo \(+\) para bosones y \(-\) para fermiones:

\[ \mathrm{STr}\,f(M^2) = \sum_{\text{bosones}} f(m_B^2) - \sum_{\text{fermiones}} f(m_F^2) \]

Cuando la supersimetría se cumple, para cada bosón existe un compañero fermiónico con la misma masa, y los grados de libertad también coinciden. Por lo tanto:

\[ \mathrm{STr}\,M^0 = n_B - n_F = 0 \]
\[ \mathrm{STr}\,M^2 = \sum m_B^2 - \sum m_F^2 = 0 \]

Con esto, las divergencias ultravioletas de \(V_{\text{1-loop}}\) (los términos \(\Lambda^4\) y \(\Lambda^2\)) se cancelan automáticamente. Además, si se cumple \(\mathrm{STr}\,M^4\ln(M^2/\mu^2) = 0\), la divergencia logarítmica también desaparece.

En el resultado de este problema \(Z_B \cdot Z_F \propto (\det A)^{-1/2} \cdot \det A\), la cancelación completa \((\det A)^0\) ocurre cuando el determinante bosónico es \((\det A)^{-1}\) (bosones complejos), lo cual corresponde exactamente al caso donde los grados de libertad bosónicos y fermiónicos son iguales (se cumple la supersimetría).

\[ \boxed{\text{SUSY: } \frac{\det A_F}{(\det A_B)^{1}} = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad V_{\text{1-loop}} = 0} \]

Verificación: En el modelo supersimétrico de Wess–Zumino, un escalar complejo (2 grados de libertad reales) y un fermión de Weyl (2 grados de libertad reales) tienen la misma masa, y la energía de punto cero del potencial efectivo a un lazo se cancela. Esto corresponde al caso \(n = 1\) de este problema (en la configuración con bosones complejos).

A-2. Representación del determinante de Faddeev–Popov mediante fantasmas usando integración de Grassmann

→ Volver al problema

(a) Representación de \(\det M\) como integral de Grassmann

Cálculo:

Se trata de la ecuación (C.19) misma. Para una matriz \(n \times n\), \(M\):

\[ \det M = \int \prod_{a=1}^n d\bar{c}^a\,dc^a \; e^{-\bar{c}^a M_{ab}\,c^b} \]

Verificación: Como se mostró en S2, la integral gaussiana de Grassmann da el determinante en el numerador. Esto contrasta con la integral gaussiana bosónica, que da \((\det A)^{-1/2}\) (en el denominador).

\[ \boxed{\det M = \int \prod_a d\bar{c}^a\,dc^a \; e^{-\bar{c}^a M_{ab}\,c^b}} \]

(b) Derivación del operador de Faddeev–Popov

Cálculo:

En la teoría de Yang–Mills con grupo \(SU(N)\), la transformación de gauge infinitesimal del campo de gauge \(A_\mu^a\) es:

\[ \delta A_\mu^a = \frac{1}{g}D_\mu^{ab}\alpha^b = \frac{1}{g}(\delta^{ab}\partial_\mu + g f^{acb}A_\mu^c)\alpha^b \]

donde \(D_\mu^{ab} = \delta^{ab}\partial_\mu + g f^{acb}A_\mu^c\) es la derivada covariante en la representación adjunta.

(Nota: según la convención, a veces se escribe \(\delta A_\mu^a = D_\mu^{ab}\alpha^b/g\) o \(\delta A_\mu^a = D_\mu^{ab}\alpha^b\). Aquí adoptamos la convención \(\delta A_\mu^a = D_\mu^{ab}\alpha^b\).)

Condición de gauge de Lorenz:

\[ G^a[A] = \partial^\mu A_\mu^a \]

Variación de la condición de gauge bajo la transformación de gauge:

\[ \delta G^a = \partial^\mu(\delta A_\mu^a) = \partial^\mu(D_\mu^{ab}\alpha^b) = \partial^\mu(\delta^{ab}\partial_\mu + g f^{acb}A_\mu^c)\alpha^b \]

El operador de Faddeev–Popov es:

\[ M^{ab}(x, y) = \frac{\delta G^a(x)}{\delta\alpha^b(y)} \]

De la forma \(\delta G^a(x) = \int d^4y\;M^{ab}(x,y)\alpha^b(y)\):

\[ \delta G^a(x) = \partial^\mu_x D_\mu^{ab}(x)\alpha^b(x) = \int d^4y\;\partial^\mu_x D_\mu^{ab}(x)\delta^4(x-y)\alpha^b(y) \]

Por lo tanto:

\[ \boxed{M^{ab}(x, y) = \partial^\mu D_\mu^{ab}\,\delta^4(x-y) = (\delta^{ab}\partial^2 + g f^{acb}\partial^\mu A_\mu^c + g f^{acb}A^{c\mu}\partial_\mu)\delta^4(x-y)} \]

O bien, en la convención que usa \(-M^{ab}\):

\[ M^{ab}(x,y) = -\partial_\mu D^{\mu\,ab}\,\delta^4(x-y) \]

donde \(D^{\mu\,ab} = \delta^{ab}\partial^\mu + gf^{acb}A^{c\mu}\).

(c) Reglas de Feynman para los campos fantasma (ghost)

Cálculo:

La acción de los fantasmas es:

\[ S_{\text{ghost}} = \int d^4x \; \bar{c}^a(-\partial_\mu D^{\mu\,ab})c^b \]

Expandiendo:

\[ S_{\text{ghost}} = \int d^4x \left[-\bar{c}^a\partial_\mu(\delta^{ab}\partial^\mu + gf^{acb}A^{c\mu})c^b\right] \]
\[ = \int d^4x \left[-\bar{c}^a\partial^2 c^a - g f^{abc}\bar{c}^a\partial_\mu(A^{b\mu}c^c)\right] \]

Utilizando integración por partes (descartando términos de superficie):

\[ = \int d^4x \left[-\bar{c}^a\partial^2 c^a - g f^{abc}(\partial^\mu\bar{c}^a)A_\mu^b c^c\right] \]

Propagador: De la parte libre \(-\bar{c}^a\partial^2 c^a\), se lee el propagador en el espacio de momentos:

\[ \langle c^a(k)\bar{c}^b(-k)\rangle = \frac{\delta^{ab}}{k^2} \]

Este tiene la misma forma que el propagador de un campo escalar sin masa.

Vértice: Del término de interacción \(-gf^{abc}(\partial^\mu\bar{c}^a)A_\mu^b c^c\), se lee el vértice fantasma-campo de gauge:

\[ V^{abc}_\mu = -gf^{abc}p^\mu \]

donde \(p^\mu\) es el momento del \(\bar{c}\) saliente (proviene de \(\partial^\mu\bar{c}\)).

Razón por la que los fantasmas obedecen estadística de Fermi:

  1. Por la naturaleza de la integral de Grassmann: Los campos fantasma \(c^a, \bar{c}^a\) se introducen como variables de Grassmann. La integral de Grassmann da el determinante en el numerador (ecuación (C.19)). Esto corresponde al signo \((-1)\) asociado a los bucles fermiónicos en la integral de camino.

  2. Signo de los bucles: En los diagramas de Feynman, los bucles cerrados de fantasmas surgen de la traza de variables de Grassmann y, por tanto, llevan un factor adicional de \((-1)\). Esta es precisamente la característica de la estadística de Fermi.

  3. Relación con el teorema espín-estadística: Los fantasmas tienen un propagador de campo escalar (espín 0) pero obedecen estadística de Fermi. Esto viola el teorema espín-estadística. Sin embargo, dado que los fantasmas no son partículas físicas (no aparecen en líneas externas) y surgen del procedimiento de fijación de gauge como campos auxiliares, esta violación es admisible. Los fantasmas son excluidos del espacio de estados físicos por la simetría BRST.

  4. Papel físico: Los bucles de fantasmas cancelan las contribuciones de las polarizaciones no físicas (longitudinal y escalar) del campo de gauge en la integral de camino. El hecho de que \(\det M\) aparezca en el numerador (propiedad de la integral de Grassmann) es lo que hace posible esta cancelación.

\[ \boxed{\text{Propagador fantasma: } \frac{\delta^{ab}}{k^2}, \quad \text{Vértice: } -gf^{abc}p^\mu, \quad \text{Factor de bucle: } (-1)} \]

Comprobaciones:

  • Invariancia de gauge: La acción de los fantasmas \(\bar{c}(-\partial_\mu D^\mu)c\) es invariante bajo transformaciones BRST, lo que garantiza la unitariedad de la teoría.
  • Análisis dimensional: \([c] = [\bar{c}] = 1\) (dimensión de masa), \([g] = 0\) (en 4 dimensiones), \([A_\mu] = 1\). La dimensión del vértice \(gf^{abc}\partial^\mu\bar{c}^a A_\mu^b c^c\) es \(0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4\). Coincide con la dimensión 4 de la densidad lagrangiana. ✓
  • Límite abeliano: Cuando \(f^{abc} = 0\) (QED), los fantasmas no se acoplan al campo de gauge y propagan como campos libres. En QED con gauge de Lorenz, los fantasmas no contribuyen a la física (ya que no hay vértices en los diagramas de bucles). Esto es consistente con el hecho conocido de que en QED se pueden ignorar los fantasmas. ✓