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Cap. 7 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Relación de conmutación de los operadores escalera

Operadores escalera

\(\hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right), \qquad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} - \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right)\)

Usando únicamente la relación de conmutación canónica \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\), expande los productos \(\hat{a}\hat{a}^\dagger\) y \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\), y verifica mediante cálculo directo que

\([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1, \qquad \hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right)\)

Pista

Expande cuidadosamente \(\hat{a}\hat{a}^\dagger = \frac{m\omega}{2\hbar}(\hat{x}^2 + \hat{p}^2/(m\omega)^2 - i[\hat{x},\hat{p}]/(m\omega))\) y sustituye \([\hat{x},\hat{p}] = i\hbar\). Comprueba tanto que la diferencia con \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\) es igual a 1, como que la suma adopta la forma del hamiltoniano.

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Intermedio

M-1. Relaciones de conmutación del hamiltoniano con los operadores de escalera

Usando la identidad de conmutadores \([\hat{A}\hat{B}, \hat{C}] = \hat{A}[\hat{B}, \hat{C}] + [\hat{A}, \hat{C}]\hat{B}\) y el resultado del problema 7.1 \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\), demuestra que:

\([\hat{H}, \hat{a}^\dagger] = +\hbar\omega\,\hat{a}^\dagger, \qquad [\hat{H}, \hat{a}] = -\hbar\omega\,\hat{a}\)

A partir de esto, muestra que si \(\hat{H}|n\rangle = E_n|n\rangle\), entonces \(\hat{a}^\dagger|n\rangle\) es un estado propio con energía \(E_n + \hbar\omega\), y \(\hat{a}|n\rangle\) es un estado propio con energía \(E_n - \hbar\omega\).

Pista

Para \(\hat{H} = \hbar\omega(\hat{a}^\dagger\hat{a} + 1/2)\), usa \([\hat{a}^\dagger\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = \hat{a}^\dagger[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] + [\hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger]\hat{a} = \hat{a}^\dagger\). Luego, desarrolla \(\hat{H}(\hat{a}^\dagger|n\rangle) = (\hat{a}^\dagger\hat{H} + [\hat{H}, \hat{a}^\dagger])|n\rangle\).

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M-2. Acción normalizada de los operadores escalera

Partiendo únicamente de \(\hat{a}|0\rangle = 0\) y \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\), deriva la siguiente acción normalizada de los operadores escalera:

\(\hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle, \qquad \hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle\)

Además, partiendo del estado fundamental \(|0\rangle\), confirma que la normalización de

\(|n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle\)

es correcta.

Pista

Para calcular \(\|\hat{a}^\dagger|n\rangle\|^2 = \langle n|\hat{a}\hat{a}^\dagger|n\rangle\), utiliza \(\hat{a}\hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger\hat{a} + 1 = \hat{N} + 1\). Como \(\hat{N}|n\rangle = n|n\rangle\), se obtiene \(\|\hat{a}^\dagger|n\rangle\|^2 = n + 1\). Esto proporciona la constante de normalización de \(\hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle\). El caso de \(\hat{a}|n\rangle\) se trata de manera análoga.

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M-3. Razón por la que la ecuación de Schrödinger no es covariante de Lorentz

(a) Verifica que la ecuación de Schrödinger para una partícula libre \(i\hbar\,\partial_t \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\partial_x^2\, \psi\) contiene una derivada de primer orden en el tiempo en el lado izquierdo y una derivada de segundo orden en el espacio en el lado derecho.

(b) Explica que, bajo la métrica de Minkowski \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\), el operador diferencial que resulta ser un escalar de Lorentz es \(\partial^\mu\partial_\mu = -c^{-2}\partial_t^2 + \nabla^2\) (d'Alembertiano), y que es necesario que los órdenes de las derivadas temporal y espacial coincidan.

(c) Como candidato natural para hacer la ecuación de Schrödinger covariante de Lorentz, escribe la ecuación de Klein-Gordon, obtenida al promover a operadores la relación \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\):

\(\left(-\frac{1}{c^2}\partial_t^2 + \nabla^2 - \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi = 0\)

Verifica que esta ecuación contiene una derivada de segundo orden en el tiempo. Explica cualitativamente por qué el hecho de ser de "segundo orden" conduce directamente a la aparición de soluciones de energía negativa.

Pista

(b) La transformación de Lorentz mezcla el tiempo y el espacio, de modo que una derivada temporal de orden \(n\) se intercambia con una derivada espacial de orden \(m\). Si los órdenes no coinciden, la forma de la ecuación cambia tras la transformación. (c) Al sustituir una onda plana \(e^{-iEt/\hbar + ipx/\hbar}\) se obtiene \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\). Como es una ecuación de segundo grado en \(E\), existen dos soluciones \(E = \pm\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}\). La rama negativa corresponde a la solución de energía negativa.

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Avanzado

A-1. Infinitos osciladores armónicos y energía del punto cero de la cuerda

En la teoría de cuerdas, cada modo de vibración de la cuerda (número de modo \(n = 1, 2, 3, \ldots\)) se comporta como un oscilador armónico independiente, y la frecuencia angular de cada modo es un múltiplo entero \(\omega_n = n\,\omega_1\) (\(\omega_1\) es la frecuencia angular de la vibración fundamental).

(a) Explica, a partir de los resultados de la sección 7.4, que la energía del punto cero de cada modo es \(\hbar\omega_n/2 = n\hbar\omega_1/2\).

(b) Muestra que la energía total del punto cero es formalmente

\(E_{\text{zero}} = \frac{\hbar\omega_1}{2}\sum_{n = 1}^{\infty} n\)

y confirma que esta suma diverge.

(c) En la regularización por función zeta se reemplaza \(\sum_{n = 1}^{\infty} n\) por \(\zeta(-1) = -\frac{1}{12}\). Evalúa \(E_{\text{zero}}\) bajo esta prescripción y muestra que el resultado es negativo. Señala como nota que esto constituye uno de los orígenes de la dimensión crítica \(D = 26\) de la cuerda bosónica, tratada en Cap. 14.

Pista

(a) Basta con sustituir \(\omega \to \omega_n = n\omega_1\) en el resultado \(E_0 = \hbar\omega/2\) obtenido en la sección 7.4. (b) Escribe la suma explícitamente. (c) La regularización por función zeta es una prescripción que «asigna un valor finito a una suma divergente mediante continuación analítica». El rigor matemático se delega al Apéndice (o a la renormalización en Teoría Cuántica de Campos Teoría Cuántica de Campos Cap. 6), pero aquí basta con aceptar la prescripción y sustituir. \(E_{\text{zero}} = -\hbar\omega_1/24\).

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A-2. Suma divergente de la energía del punto cero y dimensión crítica D = 26

Cada modo de vibración transversal de la cuerda bosónica (\(D - 2\) grados de libertad transversales, número de modo \(n = 1, 2, 3, \ldots\)) se comporta como un oscilador armónico independiente. La energía total del punto cero se escribe formalmente como

\[E_{\text{zero}} = (D - 2) \cdot \frac{\hbar\omega_1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} n\]

(donde \(\omega_1\) es la frecuencia angular del modo fundamental).

(a) Después de confirmar que esta suma diverge, aplica la regularización con función zeta \(\sum_{n=1}^{\infty} n \to \zeta(-1) = -\frac{1}{12}\) y expresa \(E_{\text{zero}}\) como un valor finito.

(b) Demuestra que, en la cuantización en el cono de luz, a partir de la condición de capa de masa (vínculo de Virasoro \(L_0 = 1\)), la masa del estado fundamental se obtiene como

\[\alpha' m^2 = \frac{D - 2}{24} - 1\]

(donde la energía del punto cero regularizada aparece como \(a = (D-2)/24\)).

(c) Después de confirmar que el estado fundamental es un taquión (\(m^2 < 0\)), admite que para que el primer estado excitado sea una partícula vectorial sin masa, la invariancia de Lorentz exige \(m^2 = 0\) (es decir, \(a = 1\)), y deduce \(D = 26\).

Pista

(b) En la cuantización en el cono de luz, las direcciones físicas transversales son \(D - 2\). Cada modo \(n\) en cada dirección posee una energía del punto cero \(\hbar\omega_n/2\). La constante de ordenamiento después de la regularización es \(a = -\frac{D-2}{2}\zeta(-1) = -\frac{D-2}{2}\cdot(-\frac{1}{12}) = (D-2)/24\). (c) Imponiendo \(a = 1\), resuelve \((D-2)/24 = 1\).