Cap. 7 Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Dimensión de masa del término de interacción
- B-2. Derivada temporal de los operadores en la representación de interacción
- B-3. Cálculo explícito del producto ordenado temporalmente
- B-4. Estructura de operadores de \(\hat{\phi}^4\)
- B-5. Término de primer orden de la serie de Dyson
- B-6. Simetría del producto ordenado temporalmente
- B-7. Descomposición de \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\)
- B-8. Transformación de imagen del Hamiltoniano de interacción
Intermedio
- M-1. Derivación de la ecuación de movimiento de los estados en la imagen de interacción
- M-2. Término de segundo orden de la serie de Dyson y producto ordenado temporalmente
- M-3. Amplitud de dispersión 2→2 en la teoría \(\phi^4\) (orden más bajo)
- M-4. Orden normal y teorema de Wick (caso de dos campos)
- M-5. Unitariedad de la matriz S y conservación de la probabilidad
Avanzado
Básico¶
B-1. Dimensión de masa del término de interacción¶
En un espacio-tiempo de \(d\) dimensiones (para el caso \(d = 4\)), en unidades naturales \(\hbar = c = 1\), se tiene \([\mathcal{L}] = d = 4\) y \([\phi] = 1\). Determina la dimensión de masa de la constante de acoplamiento para cada uno de los siguientes términos de interacción.
(a) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -g\,\phi^3\)
(b) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\,\phi^4\)
(c) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\kappa}{5!}\,\phi^5\)
(d) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\eta}{6!}\,\phi^6\)
Pista
A partir de \([\mathcal{L}_{\text{int}}] = 4\), se utiliza \([\text{constante de acoplamiento}] + n[\phi] = 4\). Como \([\phi] = 1\), se obtiene \([\text{constante de acoplamiento}] = 4 - n\). Las teorías cuya constante de acoplamiento tiene dimensión de masa negativa se denominan no renormalizables (non-renormalizable).
B-2. Derivada temporal de los operadores en la representación de interacción¶
Dado que el operador de campo en la representación de interacción se define como \(\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = e^{i\hat{H}_0 t}\,\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\,e^{-i\hat{H}_0 t}\), demuestra mediante el cálculo directo de la ecuación (7.3) que
se cumple. Escribe el cálculo de la derivada sin omitir pasos intermedios.
Pista
Utiliza \(\frac{d}{dt}(e^{i\hat{H}_0 t}) = i\hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t}\) y \(\frac{d}{dt}(e^{-i\hat{H}_0 t}) = -i\hat{H}_0\,e^{-i\hat{H}_0 t}\), y aplica la regla del producto para la derivada. Al final, reorganiza utilizando la definición \(\hat{O}_I = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{O}_S e^{-i\hat{H}_0 t}\).
B-3. Cálculo explícito del producto ordenado temporalmente¶
Para el campo escalar \(\hat{\phi}_I(x)\), calcula lo siguiente utilizando la definición del producto ordenado temporalmente (7.14) (asumiendo \(x^0 > y^0\)).
(a) Escribe \(T[\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)]\) en términos del producto ordinario.
(b) ¿Qué ocurre en el caso \(x^0 < y^0\)?
(c) Para confirmar que el valor esperado en el vacío del producto ordenado temporalmente de dos puntos \(\langle 0|T[\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)]|0\rangle\) es igual al propagador de Feynman
sustituye la expansión en modos de \(\hat{\phi}_I\) (7.4) y, utilizando \(\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger|0\rangle = (2\pi)^3\delta^3(\mathbf{p} - \mathbf{q})\), escribe la expresión para el caso \(x^0 > y^0\).
Pista
(a)(b) solo hay que reordenar según la definición. En (c), descompón \(\hat{\phi}_I = \hat{\phi}^{(+)} + \hat{\phi}^{(-)}\) (parte de aniquilación y parte de creación) y usa \(\hat{a}|0\rangle = 0\) para el vacío \(|0\rangle\). Cuando \(x^0 > y^0\), la única contribución no nula es \(\langle 0|\hat{\phi}^{(+)}(x)\hat{\phi}^{(-)}(y)|0\rangle\).
B-4. Estructura de operadores de \(\hat{\phi}^4\)¶
Cuando escribimos esquemáticamente \(\hat{\phi}_I \sim \hat{a} + \hat{a}^\dagger\), al expandir \(\hat{\phi}_I^4\) aparecen combinaciones de operadores de creación y aniquilación. Responde «en cuánto cambia el número de partículas» cada uno de los siguientes términos.
(a) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\)
(b) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\)
(c) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\,\hat{a}\)
(d) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\)
(e) \(\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\)
Pista
\(\hat{a}^\dagger\) aumenta el número de partículas en \(+1\) y \(\hat{a}\) lo disminuye en \(-1\). La diferencia entre el número de \(\hat{a}^\dagger\) y el número de \(\hat{a}\) contenidos en cada término es el cambio en el número de partículas.
B-5. Término de primer orden de la serie de Dyson¶
En la teoría \(\phi^4\), sea \(\hat{H}_I(t) = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(t, \mathbf{x})\). Escribe explícitamente el término de primer orden de la serie de Dyson (7.16). Es decir, reescribe
en forma de integral tetradimensional \(\int d^4x\) y exprésalo como una expresión invariante de Lorentz.
Pista
Se agrupa como \(\int dt_1\,\hat{H}_I(t_1) = \frac{\lambda}{4!}\int dt_1\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(x) = \frac{\lambda}{4!}\int d^4x\,\hat{\phi}_I^4(x)\). Presta atención a los signos: dado que \(\hat{H}_I = -\int d^3x\,\mathcal{L}_{\text{int}}\) con \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\phi^4\), se tiene \(\hat{H}_I = +\frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\phi^4\).
B-6. Simetría del producto ordenado temporalmente¶
Considera el producto ordenado temporalmente \(T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3)]\) para tres tiempos \(t_1, t_2, t_3\).
(a) Cuando \(t_1 > t_2 > t_3\), escribe \(T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3)]\) como un producto ordinario.
(b) Cuando \(t_3 > t_1 > t_2\), escríbelo de manera similar.
(c) ¿Cuántas permutaciones de las tres variables temporales existen? Verifica que esto es el origen del factor \(1/3!\) en el tercer orden de la serie de Dyson.
Pista
El producto ordenado temporalmente sigue la regla de "colocar el operador con el tiempo más tardío más a la izquierda". En el caso bosónico, no aparece signo al intercambiar. Las permutaciones de 3 variables son \(3! = 6\).
B-7. Descomposición de \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\)¶
Cuando se escribe el operador S como \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\), demuestra lo siguiente.
(a) A partir de la unitariedad de la matriz S, \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = \mathbb{1}\), deriva la condición que debe satisfacer \(\hat{T}\) (punto de partida del teorema óptico).
(b) En el caso en que el estado inicial y el estado final son iguales \(|i\rangle = |f\rangle\), indica el valor de \(\langle i|\hat{S}|i\rangle\) en el orden más bajo (\(\lambda^0\)).
Pista
(a) Expande \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = (\mathbb{1} - i\hat{T}^\dagger)(\mathbb{1} + i\hat{T}) = \mathbb{1}\). (b) Como \(\hat{S} = \mathbb{1} + O(\lambda)\), la contribución en el orden más bajo es la de \(\mathbb{1}\).
B-8. Transformación de imagen del Hamiltoniano de interacción¶
Dado que el Hamiltoniano de interacción en la imagen de Schrödinger es \(\hat{H}' = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_S^4(\mathbf{x})\), demuestra que \(\hat{H}_I(t)\) en la imagen de interacción (ecuación (7.7)) resulta ser
utilizando la definición \(\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}\).
Pista
Inserta tres veces el operador identidad \(e^{-i\hat{H}_0 t}e^{i\hat{H}_0 t} = \mathbb{1}\) entre cada par de \(\hat{\phi}_S\) en \(e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S^4(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}\).
Intermedio¶
M-1. Derivación de la ecuación de movimiento de los estados en la imagen de interacción¶
Partiendo de la definición de la ecuación (7.5), \(|\psi_I(t)\rangle = e^{i\hat{H}_0 t}|\psi(t)\rangle_S\), deriva cuidadosamente la ecuación (7.6) siguiendo los pasos indicados a continuación.
(a) Diferencia \(|\psi_I(t)\rangle\) respecto a \(t\) y sustituye la ecuación de Schrödinger \(i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle_S = (\hat{H}_0 + \hat{H}')|\psi(t)\rangle_S\).
(b) Verifica que los términos con \(\hat{H}_0\) se cancelan y muestra que de los términos restantes surge naturalmente \(\hat{H}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}'e^{-i\hat{H}_0 t}\).
(c) Si se cumple \([\hat{H}_0, \hat{H}'] = 0\), ¿qué ocurre con \(\hat{H}_I(t)\)? Explica físicamente por qué en este caso la teoría de perturbaciones resulta innecesaria.
Pista
(c) Si \([\hat{H}_0, \hat{H}'] = 0\), entonces \(\hat{H}_I(t) = \hat{H}'\) (no depende del tiempo). Además, como \(\hat{H}_0\) y \(\hat{H}'\) pueden diagonalizarse simultáneamente, se puede obtener la solución exacta. Sin embargo, en teoría cuántica de campos normalmente \([\hat{H}_0, \hat{H}'] \neq 0\).
M-2. Término de segundo orden de la serie de Dyson y producto ordenado temporalmente¶
El término de segundo orden de la serie de Dyson
Demuestra lo siguiente.
(a) Intercambia las variables de integración \(t_1 \leftrightarrow t_2\) y verifica que en la región \(t_0 \le t_1 \le t_2 \le t\) aparece \(\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_1)\).
(b) Muestra que al sumar las dos contribuciones anteriores se obtiene
(c) Generaliza este resultado al orden \(n\) para obtener la forma de la serie de Dyson (7.16). Describe la lógica de la generalización (no es necesaria una demostración rigurosa).
Pista
(a) La región de integración original corresponde al triángulo \(t_0 \le t_2 \le t_1 \le t\) en el plano \((t_1, t_2)\). Al intercambiar \(t_1 \leftrightarrow t_2\) se pasa al otro triángulo \(t_0 \le t_1 \le t_2 \le t\). (b) Al unir los dos triángulos se obtiene el cuadrado completo \([t_0, t]^2\). El producto ordenado temporalmente garantiza el orden correcto en ambos triángulos.
M-3. Amplitud de dispersión 2→2 en la teoría \(\phi^4\) (orden más bajo)¶
En la teoría \(\phi^4\), con el estado inicial \(|i\rangle = |\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}_1}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p}_2}^\dagger|0\rangle\) y el estado final \(|f\rangle = |\mathbf{p}_3, \mathbf{p}_4\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}_3}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p}_4}^\dagger|0\rangle\), calcula la contribución de orden más bajo (primer orden en \(\lambda\)) a la matriz S
siguiendo los pasos indicados a continuación.
(a) Sustituye la expansión en modos (7.4) de \(\hat{\phi}_I(x)\) y extrae de \(\hat{\phi}_I^4(x)\) los términos que contienen "2 aniquilaciones y 2 creaciones".
(b) Usando las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación, demuestra que el resultado es proporcional a
(forma que incluye los factores de líneas externas). Indica explícitamente cómo se cancela el factor \(4!\).
(c) A partir de este resultado, identifica que la amplitud de dispersión invariante \(\mathcal{M}\) es, al orden más bajo, \(\mathcal{M} = -\lambda\).
Pista
(a) Al expandir \(\hat{\phi}_I^4\), de los 4 campos, 2 actúan como operadores de aniquilación que destruyen las partículas del estado inicial, y los 2 restantes actúan como operadores de creación que producen las partículas del estado final. (b) Las combinaciones de cuál de los 4 campos aniquila \(\mathbf{p}_1\), cuál aniquila \(\mathbf{p}_2\), etc., dan \(4!/(2!\cdot 2!) \times 2! \times 2! = 4!\) posibilidades, que se cancelan con el factor \(1/4!\). (c) En la convención de la fórmula de reducción LSZ, la parte que resulta de eliminar los factores de líneas externas \(1/\sqrt{2\omega}\) es \(i\mathcal{M}\).
M-4. Orden normal y teorema de Wick (caso de dos campos)¶
Descomponemos el campo escalar libre \(\hat{\phi}_I(x)\) en su parte de frecuencia positiva \(\hat{\phi}^{(+)}(x)\) (que contiene operadores de aniquilación) y su parte de frecuencia negativa \(\hat{\phi}^{(-)}(x)\) (que contiene operadores de creación), escribiendo \(\hat{\phi}_I = \hat{\phi}^{(+)} + \hat{\phi}^{(-)}\).
(a) Enuncia la definición del orden normal (normal ordering) \(:\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y):\) y escríbelo explícitamente en términos de \(\hat{\phi}^{(\pm)}\).
(b) Definiendo la contracción (contraction) como
demuestra que es un c-número (un número, no un operador) y verifica que es igual al propagador de Feynman \(D_F(x-y)\).
(c) A partir de lo anterior, deriva el teorema de Wick para dos campos:
Pista
(a) El orden normal es la operación de colocar los operadores de creación a la izquierda y los de aniquilación a la derecha. (b) Separa \(T[\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)]\) en los casos \(x^0 > y^0\) y \(y^0 > x^0\), y utiliza el hecho de que el conmutador \([\hat{\phi}^{(+)}(x), \hat{\phi}^{(-)}(y)]\) es un c-número.
M-5. Unitariedad de la matriz S y conservación de la probabilidad¶
Confirma que el operador S es unitario \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = \hat{S}\hat{S}^\dagger = \mathbb{1}\) siguiendo los pasos indicados a continuación.
(a) A partir de la definición (7.9) de \(\hat{U}_I(t, t_0)\), demuestra que se cumple \(\hat{U}_I^\dagger(t, t_0) = \hat{U}_I(t_0, t)\) (evolución temporal en dirección inversa).
(b) Demuestra que \(\hat{U}_I(t, t_0)\hat{U}_I(t_0, t) = \mathbb{1}\) y obtén \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = \mathbb{1}\) en el límite \(t \to +\infty\), \(t_0 \to -\infty\).
(c) ¿Qué significa físicamente la unitariedad? Insertando la relación de completitud \(\sum_f |f\rangle\langle f| = \mathbb{1}\), demuestra que la suma de las probabilidades es igual a 1.
Pista
(a) Si tomas el adjunto de la ecuación diferencial (7.9) que satisface \(\hat{U}_I(t,t_0)\), obtienes \(-i\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}_I^\dagger = \hat{U}_I^\dagger\hat{H}_I(t)\). Esta coincide con la ecuación que satisface \(\hat{U}_I(t_0, t)\) (usando \(\hat{H}_I = \hat{H}_I^\dagger\)).
Avanzado¶
A-1. Extensión a la teoría de Yukawa y aplicación del teorema de Wick¶
Consideremos la interacción de Yukawa entre un campo escalar \(\phi\) y un campo de Dirac \(\psi\):
donde \(g\) es la constante de acoplamiento de Yukawa.
(a) Determina la dimensión de masa de la constante de acoplamiento \(g\) (en espacio-tiempo de 4 dimensiones, \([\psi] = 3/2\), \([\phi] = 1\)).
(b) Escribe el término de primer orden \(\hat{S}^{(1)}\) de la matriz S de esta teoría.
(c) ¿A partir de qué orden de \(\hat{S}\) aparece la contribución de orden más bajo a la dispersión fermión-fermión \(\psi + \psi \to \psi + \psi\)? Explica la razón a partir de la estructura de operadores de \(\hat{S}^{(1)}\).
(d) Al aplicar el teorema de Wick a la contribución de segundo orden \(\hat{S}^{(2)}\), aparece la contracción del campo escalar \(D_F(x-y)\). Explica físicamente por qué esto corresponde a la fuerza debida al "intercambio de \(\phi\)", es decir, al origen en teoría cuántica de campos del potencial de Yukawa.
Pista
(a) Se obtiene a partir de \([g] + [\bar{\psi}] + [\psi] + [\phi] = 4\). (c) \(\hat{S}^{(1)} \propto \int d^4x\,\bar{\psi}\psi\phi\) aniquila 1 fermión y crea 1 fermión, y crea o aniquila 1 partícula \(\phi\). Para el proceso de 2 fermiones → 2 fermiones, \(\phi\) debe propagarse como línea interna, por lo que se necesita \(\hat{S}^{(2)}\). (d) Es útil recordar la relación entre el potencial en la aproximación de Born y la función de propagación en la teoría de perturbaciones de la mecánica cuántica Cap. 13.
A-2. Hipótesis adiabática y teorema de Gell-Mann–Low¶
En este capítulo hemos asumido implícitamente que la interacción "desaparece" cuando \(t \to \pm\infty\). Para formalizar esto de manera rigurosa, se introduce el conmutación adiabática (adiabatic switching)
(donde \(\epsilon > 0\) es un parámetro infinitesimal, y finalmente se toma \(\epsilon \to 0^+\)).
(a) Bajo esta prescripción, verifica que \(\hat{H}_I(t) \to 0\) cuando \(t \to \pm\infty\).
(b) El teorema de Gell-Mann–Low afirma que "el estado de vacío de la teoría con interacción \(|\Omega\rangle\) se genera adiabáticamente a partir del vacío de la teoría libre \(|0\rangle\)". Formalmente se puede escribir como
Discute esto bajo la hipótesis adiabática. Explica el papel del denominador (eliminación de la fase y normalización).
(c) Explica por qué este teorema proporciona la justificación para "ignorar la contribución de las burbujas de vacío (vacuum bubbles)" en el cálculo de amplitudes de dispersión. Muestra conceptualmente que las contribuciones de los diagramas de burbujas de vacío que aparecen en cada orden de la serie de Dyson se cancelan con el denominador \(\langle 0|\hat{S}|0\rangle\).
Pista
(b) En \(t = -\infty\) el estado es \(|0\rangle\) (vacío libre). Al evolucionar hasta el tiempo 0 con \(\hat{U}_I(0, -\infty)\), en el límite \(\epsilon \to 0\) se alcanza el vacío con interacción \(|\Omega\rangle\). El denominador corrige la fase y la magnitud del solapamiento entre \(|0\rangle\) y \(|\Omega\rangle\). (c) Utiliza el teorema del cluster conectado (linked-cluster theorem). Las burbujas de vacío que aparecen en el numerador de los elementos de la matriz S se factorizan exponencialmente y se cancelan con el denominador.
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