Apéndice B Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Fundamentos del producto tensorial \(S \otimes T\)
- B-2. No conmutatividad del producto tensorial
- B-3. Combinaciones lineales de tensores
- B-4. Dimensión del espacio tensorial
- B-5. Expansión de la suma de Einstein
- B-6. Violaciones del convenio de Einstein
- B-7. Reconstruir un tensor a partir de sus componentes
- B-8. Producto tensorial de tensores de rango 1 y rango 2
Intermedio
- M-1. Condición para tensores descomponibles
- M-2. Representación en componentes de una aplicación bilineal
- M-3. Adición de rangos mediante el producto tensorial
- M-4. \(T^0(V)\) y los escalares
- M-5. Expansión simple de \(S \otimes T\)
- M-6. Dimensión del espacio tensorial en un espacio tridimensional
- M-7. No descomponibilidad de tensores antisimétricos
- M-8. Evaluación de la forma bilineal identidad
Avanzado
Básico¶
B-1. Fundamentos del producto tensorial \(S \otimes T\)¶
Pista
Usa la ley distributiva \((a e_1 + b e_2) \otimes (c e_1 + d e_2) = ac\,e_1 \otimes e_1 + ad\,e_1 \otimes e_2 + bc\,e_2 \otimes e_1 + bd\,e_2 \otimes e_2\).
B-2. No conmutatividad del producto tensorial¶
Pista
El producto tensorial en general no es conmutativo: \(S \otimes T \neq T \otimes S\). Compara los coeficientes de \(e_1 \otimes e_2\) y \(e_2 \otimes e_1\).
B-3. Combinaciones lineales de tensores¶
Pista
Se suman y restan los coeficientes de la misma base \(e_i \otimes e_j\). Es la misma operación que la combinación lineal de vectores ordinarios.
B-4. Dimensión del espacio tensorial¶
Pista
Cuando \(V\) es de dimensión \(n\), la dimensión de \(T^r(V)\) es \(n^r\).
B-5. Expansión de la suma de Einstein¶
Pista
Escribe \(S = \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} S^{ij}\,e_i \otimes e_j\) y cuenta todas las combinaciones de \(i\) y \(j\).
B-6. Violaciones del convenio de Einstein¶
- (a) \(A^i B^j\,e_i \otimes e_j\)
- (b) \(A^i B^i C^i\)
- (c) \(S^{ij}\,T_{jk}\)
- (d) \(A^i B_j\)
- (e) \(S^{ij}\,e_i \otimes e_i\)
Pista
Reglas del convenio: (1) cuando el mismo índice aparece una vez arriba y una vez abajo, se suma sobre él; (2) el mismo índice no puede aparecer tres o más veces en un solo término; (3) los índices que no se suman (índices libres) deben coincidir en todos los términos.
B-7. Reconstruir un tensor a partir de sus componentes¶
Pista
Desarrolla la contracción de \(S = S^{ij}\,e_i \otimes e_j\) y sustituye los valores de las componentes.
B-8. Producto tensorial de tensores de rango 1 y rango 2¶
Pista
\(A \otimes S\) es el producto tensorial de un elemento de \(T^1(V)\) y un elemento de \(T^2(V)\), por lo que es un elemento de \(T^{1+2}(V) = T^3(V)\). Desarróllalo usando la propiedad distributiva.
Intermedio¶
M-1. Condición para tensores descomponibles¶
Pista
Sea \(S = \alpha e_1 + \beta e_2\), \(T = \gamma e_1 + \delta e_2\). Expande \(S \otimes T\) y, a partir de \(a = \alpha\gamma,\; b = \alpha\delta,\; c = \beta\gamma,\; d = \beta\delta\), compara \(ad\) con \(bc\). Demuestra también la dirección inversa (si \(ad = bc\), entonces es descomponible).
M-2. Representación en componentes de una aplicación bilineal¶
(a) Para vectores generales \(\vec{A} = A^1 e_1 + A^2 e_2\) y \(\vec{B} = B^1 e_1 + B^2 e_2\), expresa \(f(\vec{A}, \vec{B})\) en términos de las componentes \(A^i, B^j, f_{ij}\) utilizando la multilinealidad.
(b) Cuando \(\vec{A} = e_1 - 2e_2\) y \(\vec{B} = 3e_1 + e_2\), calcula el valor de \(f(\vec{A}, \vec{B})\).
(c) Verifica mediante las componentes que para esta \(f\) se cumple \(f(\vec{A}, \vec{B}) = f(\vec{B}, \vec{A})\) para cualesquiera \(\vec{A}, \vec{B}\).
Pista
En (a), deduce \(f(\vec{A}, \vec{B}) = A^i B^j f_{ij}\) de manera análoga a la ecuación (B.7). En (c), confirma que \(f_{ij} = f_{ji}\).
M-3. Adición de rangos mediante el producto tensorial¶
Pista
Usa la distributividad del producto tensorial y la extracción de escalares (B.1)–(B.3) para expandir \(S \otimes T\), y verifica que la base toma la forma \(e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_r} \otimes e_{j_1} \otimes \cdots \otimes e_{j_m}\).
M-4. \(T^0(V)\) y los escalares¶
Pista
\(T^0(V)\) es un espacio unidimensional cuya única base es el "producto tensorial vacío", y puede identificarse con el cuerpo de los números reales \(\mathbb{R}\). Aplica (B.1) a \(\lambda \otimes S\).
M-5. Expansión simple de \(S \otimes T\)¶
Pista
Usa la propiedad distributiva para expandir \((e_1 + 2e_2) \otimes (3e_1 - e_2)\).
M-6. Dimensión del espacio tensorial en un espacio tridimensional¶
Pista
Cuando \(V\) es de dimensión \(n\), la dimensión de \(T^r(V)\) es \(n^r\). Sustituye \(n = 3\).
M-7. No descomponibilidad de tensores antisimétricos¶
Pista
Tomando \(a = 0, b = 1, c = -1, d = 0\) se tiene \(ad - bc = 0 - (-1) = 1 \neq 0\). Utiliza el resultado del problema B.9.
M-8. Evaluación de la forma bilineal identidad¶
Pista
Sustituye las componentes en \(f(\vec{A}, \vec{B}) = A^i B^j f_{ij}\). Observa que \(f_{ij} = \delta_{ij}\) (matriz identidad).
Avanzado¶
A-1. Descomposición simétrica y antisimétrica¶
\(W^{(S)} := \frac{1}{2}(W^{ij} + W^{ji})\,e_i \otimes e_j, \qquad W^{(A)} := \frac{1}{2}(W^{ij} - W^{ji})\,e_i \otimes e_j\)
se definen de esta manera.
(a) Demuestra que cualquier \(W \in T^2(V)\) se descompone de forma única como \(W = W^{(S)} + W^{(A)}\).
(b) Demuestra que el conjunto de todos los tensores simétricos \(\mathrm{Sym}^2(V) = \{W \in T^2(V) \mid W^{ij} = W^{ji}\}\) y el conjunto de todos los tensores antisimétricos \(\mathrm{Alt}^2(V) = \{W \in T^2(V) \mid W^{ij} = -W^{ji}\}\) son subespacios de \(T^2(V)\), y determina la dimensión de \(\mathrm{Sym}^2(V)\) y \(\mathrm{Alt}^2(V)\) cuando \(V\) es de dimensión \(n\).
(c) Teniendo en cuenta que el tensor métrico \(g_{\mu\nu}\) es un tensor simétrico (\(g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}\)) y que el tensor del campo electromagnético (tensor de Faraday) \(F_{\mu\nu}\) es un tensor antisimétrico (\(F_{\mu\nu} = -F_{\nu\mu}\)), determina el número de componentes independientes de \(g_{\mu\nu}\) y de \(F_{\mu\nu}\) respectivamente en un espacio-tiempo de 4 dimensiones (\(n = 4\)). Verifica que la suma de ambos coincide con \(n^2\).
Pista
(b) La dimensión de \(\mathrm{Sym}^2(V)\) es \(\frac{n(n+1)}{2}\) y la dimensión de \(\mathrm{Alt}^2(V)\) es \(\frac{n(n-1)}{2}\). (c) Sustituye \(n = 4\).
A-2. Representación tensorial mediante el espacio dual¶
(a) Escribe la base y la dimensión del espacio producto tensorial \(V^* \otimes V^*\) de \(V^*\) con \(V^*\).
(b) Demuestra que un tensor \(\binom{0}{2}\) \(f\) (una aplicación bilineal que recibe 2 vectores y devuelve un número real) puede expresarse como un elemento de \(V^* \otimes V^*\) mediante sus componentes \(f_{ij} = f(e_i, e_j)\):
\(f = f_{ij}\,e^i \otimes e^j\)
verificando que para vectores arbitrarios \(\vec{A} = A^k e_k\), \(\vec{B} = B^l e_l\) se reproduce \(f(\vec{A}, \vec{B}) = A^k B^l f_{kl}\). Aquí se define \((e^i \otimes e^j)(\vec{A}, \vec{B}) := e^i(\vec{A})\,e^j(\vec{B})\).
(c) A la luz de este resultado, argumenta que el espacio de tensores \(\binom{0}{2}\) es isomorfo a \(V^* \otimes V^*\), y que el espacio de tensores \(\binom{0}{N}\) es isomorfo a \(\underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{N}\). Explica cómo se generaliza la "conexión entre los dos enfoques" de la sección B.11 del texto principal.
Pista
(b) Sustituye \((\vec{A}, \vec{B})\) en \(f_{ij}\,e^i \otimes e^j\) y usa \(e^i(\vec{A}) = A^i\) (definición de la base dual). (c) Desarrolla el argumento de construir el espacio de tensores covariantes \(T_N(V) = V^* \otimes \cdots \otimes V^*\) en contraste con el espacio de tensores contravariantes \(T^r(V) = V \otimes \cdots \otimes V\).
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