Apéndice B Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Producto tensorial \(S \otimes T\) básico
- B-2. No conmutatividad del producto tensorial
- B-3. Combinaciones lineales de tensores
- B-4. Dimensiones de los espacios tensoriales
- B-5. Expansión de la suma de Einstein
- B-6. Violaciones del convenio de Einstein
- B-7. Reconstruir un tensor a partir de sus componentes
- B-8. Producto tensorial de tensores de rango 1 y rango 2
Intermedio
- M-1. Condición para tensores descomponibles
- M-2. Representación en componentes de una aplicación bilineal
- M-3. Adición de rango mediante el producto tensorial
- M-4. \(T^0(V)\) y los escalares
- M-5. Desarrollo simple de \(S \otimes T\)
- M-6. Dimensión del espacio tensorial en 3 dimensiones
- M-7. No descomponibilidad de un tensor antisimétrico
- M-8. Evaluación de la forma bilineal identidad
Avanzado
Básico¶
B-1. Producto tensorial \(S \otimes T\) básico¶
Sea \(V\) un espacio lineal de dimensión 2 con base \(e_1, e_2\). Dados \(S = 3e_1 - e_2\) y \(T = e_1 + 4e_2\), desarrolla el producto tensorial \(S \otimes T\) en la base \(\{e_i \otimes e_j\}\) de \(T^2(V)\).
Pista
Usa la ley distributiva \((a e_1 + b e_2) \otimes (c e_1 + d e_2) = ac\,e_1 \otimes e_1 + ad\,e_1 \otimes e_2 + bc\,e_2 \otimes e_1 + bd\,e_2 \otimes e_2\).
B-2. No conmutatividad del producto tensorial¶
Sea \(V\) un espacio lineal de dimensión 2 con base \(e_1, e_2\). Dados \(S = 3e_1 - e_2\) y \(T = e_1 + 4e_2\), expande \(T \otimes S\) en la base de \(T^2(V)\) y confirma que \(S \otimes T\) y \(T \otimes S\) son diferentes.
Pista
El producto tensorial en general no es conmutativo: \(S \otimes T \neq T \otimes S\). Compara los coeficientes de \(e_1 \otimes e_2\) y \(e_2 \otimes e_1\).
B-3. Combinaciones lineales de tensores¶
Dados los elementos \(P = 2\,e_1 \otimes e_1 - 3\,e_1 \otimes e_2 + e_2 \otimes e_1 + 5\,e_2 \otimes e_2\) y \(Q = -e_1 \otimes e_1 + 4\,e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1 + 2\,e_2 \otimes e_2\) de \(T^2(V)\) (donde \(V\) es de dimensión 2), calcula \(P + Q\) y \(2P - Q\) respectivamente.
Pista
Suma o resta los coeficientes correspondientes a la misma base \(e_i \otimes e_j\). Es la misma operación que una combinación lineal de vectores ordinarios.
B-4. Dimensiones de los espacios tensoriales¶
Cuando \(V\) es de dimensión 4, determina la dimensión de \(T^2(V)\) y la dimensión de \(T^3(V)\) respectivamente.
Pista
Cuando \(V\) es de dimensión \(n\), la dimensión de \(T^r(V)\) es \(n^r\).
B-5. Expansión de la suma de Einstein¶
En la expresión \(S = S^{ij}\,e_i \otimes e_j\) escrita con la notación de contracción de Einstein, cuando \(V\) es de dimensión 3 (\(i, j = 1, 2, 3\)), escribe esta expresión en forma de doble suma explícita usando el símbolo \(\Sigma\). Además, indica cuántos términos aparecen al expandirla.
Pista
Escribe \(S = \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} S^{ij}\,e_i \otimes e_j\) y cuenta todas las combinaciones de \(i\) y \(j\).
B-6. Violaciones del convenio de Einstein¶
Selecciona los que violan las reglas del convenio de suma de Einstein.
- (a) \(A^i B^j\,e_i \otimes e_j\)
- (b) \(A^i B^i C^i\)
- (c) \(S^{ij}\,T_{jk}\)
- (d) \(A^i B_j\)
- (e) \(S^{ij}\,e_i \otimes e_i\)
Pista
Reglas del convenio: (1) cuando un mismo índice aparece una vez arriba y una vez abajo, se realiza la suma; (2) un mismo índice no puede aparecer tres o más veces en un solo término; (3) los índices libres (que no se suman) deben coincidir en cada término.
B-7. Reconstruir un tensor a partir de sus componentes¶
Dado que las componentes de un elemento \(S\) de \(T^2(V)\) (\(V\) es bidimensional) son \(S^{11} = 2,\; S^{12} = -1,\; S^{21} = 0,\; S^{22} = 3\), escribe \(S\) explícitamente utilizando la base \(e_i \otimes e_j\).
Pista
Expande la contracción \(S = S^{ij}\,e_i \otimes e_j\) y sustituye los valores de las componentes.
B-8. Producto tensorial de tensores de rango 1 y rango 2¶
Sea \(V\) un espacio lineal de dimensión 2. Desarrolla el producto tensorial \(A \otimes S\) en la base de \(T^3(V)\), donde \(A = 2e_1 + e_2 \in T^1(V)\) y \(S = e_1 \otimes e_2 - 3\,e_2 \otimes e_1 \in T^2(V)\).
Pista
\(A \otimes S\) es el producto tensorial de un elemento de \(T^1(V)\) y un elemento de \(T^2(V)\), por lo que pertenece a \(T^{1+2}(V) = T^3(V)\). Desarróllalo utilizando la propiedad distributiva.
Intermedio¶
M-1. Condición para tensores descomponibles¶
Sea \(V\) un espacio lineal de dimensión 2, con base \(e_1, e_2\). Demuestra que la condición necesaria y suficiente para que un elemento \(W = a\,e_1 \otimes e_1 + b\,e_1 \otimes e_2 + c\,e_2 \otimes e_1 + d\,e_2 \otimes e_2\) de \(T^2(V)\) sea un tensor descomponible (es decir, \(W = S \otimes T\), con \(S, T \in V\)) es \(ad - bc = 0\).
Pista
Escribe \(S = \alpha e_1 + \beta e_2\), \(T = \gamma e_1 + \delta e_2\) y desarrolla \(S \otimes T\). A partir de \(a = \alpha\gamma,\; b = \alpha\delta,\; c = \beta\gamma,\; d = \beta\delta\), compara \(ad\) y \(bc\). Demuestra también la dirección inversa (si \(ad = bc\), entonces es descomponible).
M-2. Representación en componentes de una aplicación bilineal¶
Sea \(V\) un espacio lineal de dimensión 2, con base \(e_1, e_2\). Si las componentes del tensor \(\binom{0}{2}\) \(f\) son \(f_{11}=2, f_{12}=1, f_{21}=1, f_{22}=3\), responde a lo siguiente.
(a) Para vectores generales \(\vec{A} = A^1 e_1 + A^2 e_2\) y \(\vec{B} = B^1 e_1 + B^2 e_2\), expresa \(f(\vec{A}, \vec{B})\) en términos de las componentes \(A^i, B^j, f_{ij}\) utilizando la multilinealidad.
(b) Cuando \(\vec{A} = e_1 - 2e_2\) y \(\vec{B} = 3e_1 + e_2\), calcula el valor de \(f(\vec{A}, \vec{B})\).
(c) Para este \(f\), verifica mediante las componentes que \(f(\vec{A}, \vec{B}) = f(\vec{B}, \vec{A})\) se cumple para cualesquiera \(\vec{A}, \vec{B}\).
Pista
En (a), de manera análoga a la ecuación (B.7), deduce \(f(\vec{A}, \vec{B}) = A^i B^j f_{ij}\). En (c), verifica que \(f_{ij} = f_{ji}\).
M-3. Adición de rango mediante el producto tensorial¶
Demuestra, utilizando la representación en componentes, que el producto tensorial de un elemento de \(T^r(V)\) con un elemento de \(T^m(V)\) es un elemento de \(T^{r+m}(V)\). Es decir, dados \(S = S^{i_1 \cdots i_r}\,e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_r} \in T^r(V)\) y \(T = T^{j_1 \cdots j_m}\,e_{j_1} \otimes \cdots \otimes e_{j_m} \in T^m(V)\), muestra que \(S \otimes T\) se expresa mediante componentes que poseen \(r + m\) índices superiores.
Pista
Utiliza la propiedad distributiva del producto tensorial y la extracción de escalares (B.1)–(B.3) para expandir \(S \otimes T\), y verifica que la base toma la forma \(e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_r} \otimes e_{j_1} \otimes \cdots \otimes e_{j_m}\).
M-4. \(T^0(V)\) y los escalares¶
Sea \(V\) un espacio lineal de dimensión \(n\). Cuando se define \(T^0(V)\) como el "espacio de tensores contravariantes de orden 0", la dimensión de \(T^0(V)\) es \(n^0 = 1\). Explica que los elementos de \(T^0(V)\) corresponden a escalares (números reales), y demuestra que el producto tensorial \(\lambda \otimes S\) de un escalar \(\lambda \in T^0(V)\) con cualquier elemento \(S\) de \(T^r(V)\) coincide con un elemento de \(T^r(V)\) (el múltiplo escalar \(\lambda S\)), utilizando la regla del producto tensorial (B.1).
Pista
\(T^0(V)\) es un espacio unidimensional cuya única base es el "producto tensorial vacío", y puede identificarse con el cuerpo de los reales \(\mathbb{R}\). Aplica (B.1) a \(\lambda \otimes S\).
M-5. Desarrollo simple de \(S \otimes T\)¶
Sea \(V\) un espacio lineal de dimensión 2 con base \(e_1, e_2\). Dado \(S = e_1 + 2e_2\) y \(T = 3e_1 - e_2\), desarrolla \(S \otimes T\) en la base de \(T^2(V)\).
Pista
Usa la propiedad distributiva para desarrollar \((e_1 + 2e_2) \otimes (3e_1 - e_2)\).
M-6. Dimensión del espacio tensorial en 3 dimensiones¶
¿Cuál es la dimensión de \(T^2(V)\) (donde \(V\) es de dimensión 3)? Además, ¿cuál es la dimensión de \(T^3(V)\)?
Pista
Cuando \(V\) es de dimensión \(n\), la dimensión de \(T^r(V)\) es \(n^r\). Sustituye \(n = 3\).
M-7. No descomponibilidad de un tensor antisimétrico¶
Demuestra que \(e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1\) no puede escribirse como un tensor descomponible (de la forma \(S \otimes T\)).
Pista
Tomando \(a = 0, b = 1, c = -1, d = 0\), se tiene \(ad - bc = 0 - (-1) = 1 \neq 0\). Utiliza el resultado del problema B.9.
M-8. Evaluación de la forma bilineal identidad¶
Dado un tensor \(\binom{0}{2}\) \(f\) que satisface \(f(e_1, e_1) = 1\), \(f(e_1, e_2) = 0\), \(f(e_2, e_1) = 0\), \(f(e_2, e_2) = 1\), calcula \(f(\vec{A}, \vec{B})\) para \(\vec{A} = 3e_1 + 2e_2\), \(\vec{B} = -e_1 + 4e_2\).
Pista
Sustituye las componentes en \(f(\vec{A}, \vec{B}) = A^i B^j f_{ij}\). Observa que \(f_{ij} = \delta_{ij}\) (matriz identidad).
Avanzado¶
A-1. Descomposición simétrica y antisimétrica¶
\(W^{(S)} := \frac{1}{2}(W^{ij} + W^{ji})\,e_i \otimes e_j, \qquad W^{(A)} := \frac{1}{2}(W^{ij} - W^{ji})\,e_i \otimes e_j\)
se definen de esta manera.
(a) Demuestra que cualquier \(W \in T^2(V)\) se descompone de forma única como \(W = W^{(S)} + W^{(A)}\).
(b) Demuestra que el conjunto de todos los tensores simétricos \(\mathrm{Sym}^2(V) = \{W \in T^2(V) \mid W^{ij} = W^{ji}\}\) y el conjunto de todos los tensores antisimétricos \(\mathrm{Alt}^2(V) = \{W \in T^2(V) \mid W^{ij} = -W^{ji}\}\) son subespacios de \(T^2(V)\), y determina la dimensión de \(\mathrm{Sym}^2(V)\) y \(\mathrm{Alt}^2(V)\) cuando \(V\) es de dimensión \(n\).
(c) Teniendo en cuenta que el tensor métrico \(g_{\mu\nu}\) es un tensor simétrico (\(g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}\)) y que el tensor del campo electromagnético (tensor de Faraday) \(F_{\mu\nu}\) es un tensor antisimétrico (\(F_{\mu\nu} = -F_{\nu\mu}\)), determina el número de componentes independientes de \(g_{\mu\nu}\) y de \(F_{\mu\nu}\) respectivamente en un espacio-tiempo de 4 dimensiones (\(n = 4\)). Verifica que la suma de ambos coincide con \(n^2\).
Pista
(b) La dimensión de \(\mathrm{Sym}^2(V)\) es \(\frac{n(n+1)}{2}\) y la dimensión de \(\mathrm{Alt}^2(V)\) es \(\frac{n(n-1)}{2}\). (c) Sustituye \(n = 4\).
A-2. Representación tensorial mediante el espacio dual¶
(a) Escribe la base y la dimensión del espacio producto tensorial \(V^* \otimes V^*\) de \(V^*\) con \(V^*\).
(b) Demuestra que un tensor \(\binom{0}{2}\) \(f\) (una aplicación bilineal que recibe 2 vectores y devuelve un número real) puede expresarse como un elemento de \(V^* \otimes V^*\) mediante sus componentes \(f_{ij} = f(e_i, e_j)\):
\(f = f_{ij}\,e^i \otimes e^j\)
verificando que para vectores arbitrarios \(\vec{A} = A^k e_k\), \(\vec{B} = B^l e_l\) se reproduce \(f(\vec{A}, \vec{B}) = A^k B^l f_{kl}\). Aquí se define \((e^i \otimes e^j)(\vec{A}, \vec{B}) := e^i(\vec{A})\,e^j(\vec{B})\).
(c) A la luz de este resultado, argumenta que el espacio de tensores \(\binom{0}{2}\) es isomorfo a \(V^* \otimes V^*\), y que el espacio de tensores \(\binom{0}{N}\) es isomorfo a \(\underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{N}\). Explica cómo se generaliza la "conexión entre los dos enfoques" de la sección B.11 del texto principal.
Pista
(b) Sustituye \((\vec{A}, \vec{B})\) en \(f_{ij}\,e^i \otimes e^j\) y usa \(e^i(\vec{A}) = A^i\) (definición de la base dual). (c) Desarrolla el argumento de construir el espacio de tensores covariantes \(T_N(V) = V^* \otimes \cdots \otimes V^*\) en contraste con el espacio de tensores contravariantes \(T^r(V) = V \otimes \cdots \otimes V\).
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