Cap. 4 Soluciones¶
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Índice
Básico
- B-1. Conversión al sistema de unidades naturales y restauración de \(c\)
- B-2. Tiempo y longitud en unidades naturales
- B-3. Cálculo del producto interno de Minkowski
- B-4. Componentes del vector covariante
- B-5. Expansión en 16 términos del intervalo espaciotemporal
- B-6. Reetiquetado de índices mudos
- B-7. Verificación de la condición de normalización de la 4-velocidad
- B-8. Límite de baja velocidad de la energía relativista
Intermedio
Avanzado
Básico¶
B-1. Conversión al sistema de unidades naturales y restauración de \(c\)¶
Estrategia de resolución: Usar análisis dimensional, insertando o eliminando \(c\) para que las dimensiones de ambos lados de la ecuación coincidan.
(a) \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\) en unidades naturales¶
En unidades naturales se establece \(c = 1\), por lo que se reemplazan \(c^2\) y \(c^4\) por 1:
En esta expresión, \(E\), \(p\) y \(m\) se tratan con las mismas dimensiones (por ejemplo, kg o eV).
(b) \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}\) en el sistema SI¶
En unidades SI, la velocidad \(v\) tiene dimensiones de m/s. \(v^2\) tiene dimensiones de velocidad al cuadrado (\(\text{m}^2/\text{s}^2\)), y para poder restarla de \(1\) es necesario adimensionalizarla. Por eso se reemplaza \(v\) por \(v/c\):
(c) Valor en SI de \(E = 5\) en unidades naturales¶
En unidades naturales, la energía y la masa se miden con las mismas unidades. Para convertir al SI se usa la relación \(E_{\text{SI}} = E_{\text{natural}} \cdot c^2\). Sin embargo, el resultado depende de cuál sea la unidad de "\(E = 5\)" (kg o eV).
Si la energía en unidades naturales es \(E = 5\) kg:
Si la energía en unidades naturales es \(E = 5\) eV:
Como ya está en unidades de energía, solo hay que convertir a julios del SI:
(d) Energía en reposo del electrón¶
En unidades SI (julios):
Convertido a electronvoltios: \(\approx 511\;\text{keV} = 0.511\;\text{MeV}\).
En unidades naturales (kg):
En unidades naturales \(E = m\), por lo tanto:
Verificación¶
(a) Al convertir \(E^2 = p^2 + m^2\) de unidades naturales al SI, para igualar las dimensiones de \(p^2\) con las de \(E^2\) hay que multiplicar por \(c^2\) (\([p^2] = (\text{kg}\cdot\text{m/s})^2\), \([E^2/c^2] = (\text{kg}\cdot\text{m/s})^2\)). Para igualar las dimensiones de \(m^2\) con las de \(E^2\) hay que multiplicar por \(c^4\). El resultado \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\) coincide. ✓
(c) Para el electrón, en unidades naturales \(E = m_e = 9.11 \times 10^{-31}\) kg. Al convertir al SI: \(E = m_e c^2 \approx 8.2 \times 10^{-14}\) J. Esto coincide con la conocida energía en reposo del electrón de \(0.511\) MeV. ✓
B-2. Tiempo y longitud en unidades naturales¶
Estrategia de resolución: En el sistema de unidades naturales \(c = 1\), por lo que el tiempo y la longitud se miden en las mismas unidades. Se usa \(c = 3 \times 10^8\) m/s como factor de conversión.
(a) 1 segundo en unidades de longitud¶
La distancia que la luz recorre en 1 segundo es \(c \times 1\;\text{s} = 3 \times 10^8\) m. En unidades naturales, esta es la expresión en longitud de "1 segundo":
(b) 1 metro en unidades de tiempo¶
El tiempo que la luz tarda en recorrer 1 metro es \(1\;\text{m}/c = 1/(3 \times 10^8)\;\text{s}\):
(c) Distancia Tierra-Sol en unidades de tiempo¶
Significado físico: Este es el tiempo que tarda la luz en llegar del Sol a la Tierra. En unidades naturales, la distancia se expresa como "el tiempo que tarda la luz en llegar", por lo que se puede decir que "el Sol está a 500 segundos de la Tierra". El Sol que vemos es su imagen de hace 500 segundos.
(d) Velocidad de una persona caminando en unidades naturales¶
En unidades naturales, la velocidad es adimensional (es una razón tomando la velocidad de la luz como 1). La velocidad de una persona caminando es aproximadamente una tres mil millonésima parte de la velocidad de la luz.
Verificación¶
(a)(b) \(c \times 1\;\text{s} = 3 \times 10^8\) m, \(1\;\text{m}/c = 1/(3\times 10^8)\) s, y en unidades naturales ambos representan la misma cantidad. Es precisamente el sistema de unidades en el que \(c = 1\). ✓
(c) Coincide con el tiempo real que tarda la luz en llegar del Sol a la Tierra (aproximadamente 8 minutos). La expresión cotidiana "el Sol está a 8 minutos luz" es precisamente una expresión en unidades naturales. ✓
(d) Que la velocidad cotidiana de una persona sea del orden de \(10^{-9}\) de la velocidad de la luz muestra por qué los efectos de la relatividad especial (\(\gamma \approx 1 + v^2/2\)) son difíciles de observar en la vida diaria. Si \(v = 3.3 \times 10^{-9}\), entonces \(\gamma - 1 \sim 10^{-17}\), lo cual es difícil de detectar incluso con relojes atómicos. ✓
B-3. Cálculo del producto interno de Minkowski¶
Estrategia de resolución: Como \(\eta_{\mu\nu}\) es la matriz diagonal \(\mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\), solo contribuyen los términos con \(\mu = \nu\).
Cálculo:
Por la convención de suma de Einstein,
Como \(\eta_{\mu\nu} = 0\) (para \(\mu \neq \nu\)),
Respuesta final:
Verificación: Escribiéndolo de otra forma, \(-A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -10 + 3 = -7\). ✓
B-4. Componentes del vector covariante¶
Estrategia de resolución: Calcular \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\) para cada \(\mu\).
Cálculo:
Respuesta final:
Es decir, \(A_\mu = (-E,\, p_x,\, p_y,\, p_z)\).
Verificación: \(A_\mu A^\mu = -E^2 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2\). Esto coincide con \(\eta_{\mu\nu}A^\mu A^\nu\). ✓
B-5. Expansión en 16 términos del intervalo espaciotemporal¶
Estrategia de resolución: Escribir explícitamente \(ds^2 = \eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu\) para los 16 términos con \(\mu, \nu = 0, 1, 2, 3\).
Cálculo:
Escribiendo explícitamente los 16 términos (\(x^0 = t,\, x^1 = x,\, x^2 = y,\, x^3 = z\)):
| \(\mu \backslash \nu\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | \(\eta_{00}\,dt\,dt\) | \(\eta_{01}\,dt\,dx\) | \(\eta_{02}\,dt\,dy\) | \(\eta_{03}\,dt\,dz\) |
| 1 | \(\eta_{10}\,dx\,dt\) | \(\eta_{11}\,dx\,dx\) | \(\eta_{12}\,dx\,dy\) | \(\eta_{13}\,dx\,dz\) |
| 2 | \(\eta_{20}\,dy\,dt\) | \(\eta_{21}\,dy\,dx\) | \(\eta_{22}\,dy\,dy\) | \(\eta_{23}\,dy\,dz\) |
| 3 | \(\eta_{30}\,dz\,dt\) | \(\eta_{31}\,dz\,dx\) | \(\eta_{32}\,dz\,dy\) | \(\eta_{33}\,dz\,dz\) |
Como \(\eta_{\mu\nu}\) es una matriz diagonal, los 12 términos con \(\mu \neq \nu\) son todos cero. Los 4 términos restantes son:
Sustituyendo \(\eta_{00} = -1\), \(\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = +1\):
Verificación: Para la luz se cumple \(dx^2 + dy^2 + dz^2 = dt^2\), por lo que \(ds^2 = 0\). Esto es consistente con la invariancia de la velocidad de la luz. ✓
B-6. Reetiquetado de índices mudos¶
Estrategia de resolución: Escribir ambos lados como sumas explícitas y verificar que son la misma expresión.
Cálculo:
Escribiendo el lado izquierdo explícitamente:
Escribiendo el lado derecho explícitamente:
Ambos lados suman sobre todas las combinaciones desde \(0\) hasta \(3\). Simplemente se ha cambiado el nombre de las variables de suma (índices mudos) de \((\mu, \nu)\) a \((\alpha, \beta)\), y el valor de cada término es idéntico. Por lo tanto,
Verificación: Esto tiene la misma estructura que \(\sum_{i=1}^{N} a_i = \sum_{j=1}^{N} a_j\). Los índices de suma simplemente "recorren" los valores, por lo que su nombre no tiene significado. ✓
B-7. Verificación de la condición de normalización de la 4-velocidad¶
Estrategia de resolución: Calcular directamente \(\eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu\).
Cálculo:
Sustituyendo \(\gamma^2 = 1/(1 - v^2)\) (con \(c = 1\)),
Respuesta final:
Verificación: Para \(v = 0\) se tiene \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\) y \(\eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = -1\). ✓
B-8. Límite de baja velocidad de la energía relativista¶
(a) Recuperación de la energía cinética de Newton en el límite de baja velocidad¶
Estrategia de resolución: Se realiza una expansión de Taylor de \(\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\). Se aplica la fórmula de aproximación \((1 + x)^n \approx 1 + nx\) con \(x = -v^2/c^2\), \(n = -1/2\).
Cálculo:
Sustituyendo en \(E = \gamma mc^2\):
El primer término es la energía en reposo y el segundo es la energía cinética de Newton.
(b) Evaluación a velocidades del orden del tren bala¶
Estrategia de resolución: Se sustituyen \(v = 100\) m/s, \(c \approx 3 \times 10^8\) m/s y se calcula la razón.
Cálculo:
La razón entre la energía cinética y la energía en reposo es, según (a):
Significado físico: A velocidades cotidianas, la energía cinética es solo del orden de \(10^{-13}\) respecto a la energía en reposo. En la época de Newton, bastaba con describir el movimiento mediante cambios en \(\frac{1}{2}mv^2\), y la \(mc^2\) subyacente (aproximadamente \(9 \times 10^{16}\) J, más de mil veces la bomba de Hiroshima) permanecía completamente oculta. Solo con las reacciones nucleares se liberó una pequeña fracción (\(\sim 10^{-3}\)) de \(mc^2\), permitiendo la observación directa de la existencia de la energía relativista.
(c) Partículas de masa cero¶
Estrategia de resolución: Se evalúan tanto \(E^2 = |\vec{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\) como \(E = \gamma mc^2\) para \(m = 0\).
Cálculo:
Sustituyendo \(m = 0\) en \(E^2 = |\vec{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\):
Incluso con masa cero, si existe momento \(|\vec{p}|\), la partícula puede tener energía finita.
Por otro lado, si en \(E = \gamma mc^2\) se intenta que \(m = 0\) y \(E \neq 0\) sean compatibles:
lo cual es una contradicción. Para evitarla se necesita \(\gamma \to \infty\), y \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} \to \infty\) implica \(v \to c\). Por lo tanto, una partícula de masa cero con energía finita se mueve necesariamente a la velocidad de la luz.
El fotón satisface \(E = |\vec{p}|c\), y el gravitón que aparece en Cap. 25 satisface la misma relación.
Verificación:
- (a) Para \(v \to 0\) se obtiene \(E \to mc^2\). Se reduce a la energía en reposo. ✓
- (a) Para \(v \to c\) la aproximación deja de ser válida (\(\gamma \to \infty\)). La expansión hasta segundo orden solo es válida para \(v \ll c\). ✓
- (c) La relación energía-momento del fotón \(E = pc\) se obtiene también de forma independiente desde la electrodinámica, y coincide. ✓
Intermedio¶
M-1. Contracción de tensores y clasificación de índices¶
Estrategia de resolución: Basándose en la definición de contracción, identificar los índices libres y los índices mudos.
Cálculo¶
Si escribimos \(T^{\mu\nu}A_\nu\) explícitamente:
En esta expresión:
-
Índice mudo (índice de contracción): \(\nu\) — aparece tanto como superíndice como subíndice, y se suma desde \(0\) hasta \(3\). Al ser una variable de sumación, su nombre puede cambiarse sin alterar el valor (por ejemplo, escribir \(T^{\mu\alpha}A_\alpha\) da el mismo resultado).
-
Índice libre: \(\mu\) — aparece solo una vez como superíndice y no se suma. Da un valor diferente para cada valor de \(\mu\) (\(0, 1, 2, 3\)).
Rango del tensor¶
\(T^{\mu\nu}\) es un tensor contravariante de rango 2 (dos índices libres), y \(A_\nu\) es un tensor covariante de rango 1 (un índice libre). En la contracción \(T^{\mu\nu}A_\nu\), el índice \(\nu\) desaparece, por lo que el único índice libre que queda es \(\mu\).
Verificación¶
Regla general para el rango de un tensor: al contraer \(k\) índices entre un tensor de rango \(n\) y un tensor de rango \(m\), el resultado es un tensor de rango \((n + m - 2k)\). En este problema, \(n = 2\), \(m = 1\), \(k = 1\), por lo que \(2 + 1 - 2 = 1\) (rango 1). ✓
Comprobación con un ejemplo concreto: la contracción del tensor energía-momento \(T^{\mu\nu}\) con la cuadrivelocidad \(U_\nu\), es decir \(T^{\mu\nu}U_\nu\), representa el flujo de energía-momento y es un cuadrivector, lo cual tiene sentido físico como tensor de rango 1. ✓
Avanzado¶
A-1. 4-velocidad y 4-aceleración¶
(a) Ortogonalidad de la 4-velocidad y la 4-aceleración¶
Estrategia de resolución: Derivar \(\eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = -1\) respecto a \(\tau\).
Cálculo:
Derivamos el lado izquierdo. Como \(\eta_{\mu\nu}\) es constante,
Sustituyendo \(a^\mu \equiv dU^\mu/d\tau\):
En el primer término intercambiamos los índices mudos \(\mu \leftrightarrow \nu\) y usamos \(\eta_{\mu\nu} = \eta_{\nu\mu}\) (simetría):
Por lo tanto,
La 4-velocidad y la 4-aceleración son siempre ortogonales en el sentido del producto interno de Minkowski.
(b) 4-aceleración en el sistema de reposo instantáneo¶
Estrategia de resolución: Sustituir \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\) en el resultado de (a) en el sistema de reposo instantáneo.
Cálculo:
En el sistema de reposo instantáneo, \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\). Del resultado de (a),
Por lo tanto, en el sistema de reposo instantáneo \(a^\mu = (0, a^1, a^2, a^3)\). Su norma de Minkowski es
La igualdad se da solo cuando \(a^\mu = 0\) (sin aceleración). Para una partícula acelerada,
Es decir, la 4-aceleración es un vector puramente espacial.
(c) Línea de mundo del movimiento uniformemente acelerado¶
Estrategia de resolución: Obtener \(U^\mu\) como función de \(\tau\) e integrar para encontrar la línea de mundo.
Cálculo:
Para movimiento unidimensional (solo en la dirección \(x\)), \(U^\mu = (U^0, U^1, 0, 0)\).
Condición de normalización:
Esto se puede parametrizar como \(U^0 = \cosh f(\tau)\), \(U^1 = \sinh f(\tau)\) (se satisface automáticamente gracias a la identidad \(\cosh^2 - \sinh^2 = 1\)).
4-aceleración:
donde \(\dot{f} = df/d\tau\).
Condición de aceleración propia constante:
Por lo tanto \(\dot{f} = g\) (elegimos \(g > 0\)). Integrando,
Condición inicial: en \(\tau = 0\), \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\):
De aquí \(f(0) = 0\), por lo tanto la constante \(= 0\).
Integración de la línea de mundo:
Aquí usamos la condición inicial \(x(0) = 1/g\).
Verificación de la hipérbola:
Esto es una hipérbola en el plano \(x\)-\(t\), y se denomina movimiento hiperbólico (hyperbolic motion).
Verificación:
- En \(\tau = 0\): \(t = 0\), \(x = 1/g\). Coincide con la condición inicial. ✓
- Verificación directa de \(\eta_{\mu\nu}a^\mu a^\nu = g^2\): como \(a^\mu = (g\sinh(g\tau),\, g\cosh(g\tau),\, 0,\, 0)\), entonces \(\eta_{\mu\nu}a^\mu a^\nu = -g^2\sinh^2(g\tau) + g^2\cosh^2(g\tau) = g^2(\cosh^2(g\tau) - \sinh^2(g\tau)) = g^2\). ✓
- En el límite no relativista \(g\tau \ll 1\): \(t \approx \tau\), \(x \approx 1/g + \frac{1}{2}g\tau^2\). Entonces \(x - 1/g \approx \frac{1}{2}gt^2\), lo cual se reduce al movimiento uniformemente acelerado de Newton. ✓
A-2. Boost de Lorentz en una dirección general¶
(a) Verificación de la invariancia del intervalo espacio-temporal¶
Estrategia de solución: Calcular \(ds'^2 = -dt'^2 + d\mathbf{x}' \cdot d\mathbf{x}'\) y mostrar que coincide con \(ds^2 = -dt^2 + d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x}\).
Cálculo:
Transformaciones dadas (\(c = 1\)):
Forma diferencial:
Cálculo de \(dt'^2\):
Cálculo de \(d\mathbf{x}' \cdot d\mathbf{x}'\):
Descomponemos \(d\mathbf{x}\) en componentes paralela y perpendicular a \(\mathbf{v}\). Abreviamos \(\mathbf{v} \cdot d\mathbf{x} \equiv \alpha\) y definimos \(\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{v}/v\).
Reescribiendo la ecuación (ii):
Como \(d\mathbf{x}_\perp\) y \(\mathbf{v}\) son ortogonales:
Donde \(|d\mathbf{x}_\perp|^2 = |d\mathbf{x}|^2 - \alpha^2/v^2\).
Expandiendo el tercer término:
Por lo tanto:
Cálculo de \(ds'^2\):
Los términos \(2\gamma^2\alpha\,dt\) se cancelan. Reorganizando:
Coeficiente de \(dt^2\): \(\gamma^2(v^2 - 1) = \gamma^2 \cdot (-1/\gamma^2) = -1\).
Coeficiente de \(\alpha^2\):
Por lo tanto:
El intervalo espacio-temporal se mantiene invariante. ✓
(b) Caso \(\mathbf{v} = (v, 0, 0)\)¶
Cuando \(\mathbf{v} = (v, 0, 0)\), se tiene \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{x} = vx\), \(v^2 = v^2\).
Componente temporal:
Componentes espaciales:
Se reduce al boost estándar en la dirección \(x\).
(c) Rotación de Thomas¶
Estrategia de solución: Mostrar que la matriz de un boost puro es simétrica y que la composición de dos boosts en direcciones diferentes generalmente no es simétrica, lo que implica la existencia de una componente de rotación.
Simetría de un boost puro:
Escribimos las componentes matriciales del boost general \(\Lambda(\mathbf{v})\). Con \(\beta^i = v^i\), \(\beta = |\mathbf{v}|\) (y \(c = 1\)):
Aquí \(\Lambda^{0}{}_{i} = \Lambda^{i}{}_{0}\), y \(\Lambda^{i}{}_{j}\) es simétrica en \(i, j\) (ya que \(\beta^i\beta^j = \beta^j\beta^i\)). Por lo tanto, la matriz \(4 \times 4\) de un boost puro es una matriz simétrica:
No simetría de la composición:
Sean \(\mathbf{v}_1\) y \(\mathbf{v}_2\) ambos en el plano \(x\)-\(y\), con \(\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 \neq \mathbf{0}\). \(\Lambda_1 = \Lambda(\mathbf{v}_1)\) y \(\Lambda_2 = \Lambda(\mathbf{v}_2)\) son ambas matrices simétricas.
Consideremos la transpuesta de la transformación compuesta \(\Lambda_{21} = \Lambda_2 \Lambda_1\):
Si \(\Lambda_{21}\) fuera simétrica, entonces \(\Lambda_{21} = \Lambda_{21}^T\), es decir, \(\Lambda_2\Lambda_1 = \Lambda_1\Lambda_2\). Sin embargo, boosts en direcciones diferentes generalmente no conmutan (\(\Lambda_2\Lambda_1 \neq \Lambda_1\Lambda_2\)), por lo que:
Es decir, la transformación compuesta \(\Lambda_{21}\) no es una matriz simétrica.
Identificación de la componente de rotación:
Toda transformación de Lorentz propia puede descomponerse de manera única en el producto de un boost puro \(B\) (matriz simétrica) y una rotación espacial \(R\) (matriz ortogonal) mediante la descomposición polar:
Que \(\Lambda_{21}\) no sea simétrica significa que \(R \neq I\) (no es la identidad), es decir, contiene una rotación espacial no trivial.
Esta rotación se denomina rotación de Thomas (o rotación de Wigner). Cuando \(\mathbf{v}_1\) y \(\mathbf{v}_2\) están en el plano \(x\)-\(y\), el eje de rotación es el eje \(z\), y el ángulo de rotación \(\Omega\) depende de \(v_1\), \(v_2\) y del ángulo entre ambos.
Significado físico: La rotación de Thomas es el origen del factor de Thomas \(1/2\) en la interacción espín-órbita en física atómica, y es esencial para el cálculo preciso de la estructura fina del átomo de hidrógeno. Cuando un electrón se mueve en una trayectoria curva alrededor del núcleo, la dirección instantánea del boost cambia continuamente, y su composición genera una rotación.
Verificación:
- Caso de boosts en la misma dirección (\(\mathbf{v}_1 \parallel \mathbf{v}_2\)): \(\Lambda_1\) y \(\Lambda_2\) conmutan, y la composición es una matriz simétrica (boost puro). La rotación de Thomas es cero. ✓
- En el límite \(v_1, v_2 \ll 1\), el ángulo de rotación de Thomas es del orden \(\Omega \approx \frac{1}{2}(\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2)\), una cantidad de segundo orden. Se anula en el límite no relativista. ✓
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