Apéndice B Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Cálculo de la norma de un vector en \(\mathbb{C}^2\)
- B-2. Cálculo del producto interno en \(\mathbb{C}^2\)
- B-3. Normalización de un vector en 2 dimensiones
- B-4. Determinación de ortogonalidad
- B-5. Cálculo de elementos de matriz
- B-6. Cálculo del conjugado hermítico
- B-7. Cálculo de conmutadores
- B-8. Determinación de independencia lineal
- B-9. Cálculo de los coeficientes de expansión
- B-10. Verificación de la relación de completitud
Intermedio
- M-1. Método de ortogonalización de Gram–Schmidt
- M-2. Demostración de que los valores propios de una matriz hermítica son reales
- M-3. Los eigenvectores pertenecientes a eigenvalores distintos de una matriz hermítica son ortogonales
- M-4. Derivación de la identidad del conmutador
- M-5. Demostración de la desigualdad de Schwarz
Avanzado
Básico¶
B-1. Cálculo de la norma de un vector en \(\mathbb{C}^2\)¶
Calcula la norma \(\||\psi\rangle\|\) del vector \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix} 2i \\ 1 - i \end{pmatrix}\).
Pista
La norma es \(\||\psi\rangle\| = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}\), donde \(\langle\psi|\psi\rangle = \sum_k |z_k|^2\). Calcula el cuadrado del valor absoluto de cada componente y súmalos. \(|2i|^2 = 4\), \(|1-i|^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 2\).
B-2. Cálculo del producto interno en \(\mathbb{C}^2\)¶
Calcula el producto interno \(\langle\phi|\psi\rangle\) de los siguientes dos vectores.
Pista
\(\langle\phi|\psi\rangle = \sum_k \phi_k^* \psi_k\). Ten en cuenta que se aplica el conjugado complejo a las componentes del primer argumento (lado bra). \(\langle\phi| = (3^*,\; i^*) = (3,\; -i)\).
B-3. Normalización de un vector en 2 dimensiones¶
Normaliza el vector \(|v\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}\). Es decir, encuentra el vector \(|u\rangle = \frac{|v\rangle}{\||v\rangle\|}\) que satisface \(\langle u|u\rangle = 1\).
Pista
Primero calcula \(\langle v|v\rangle = |1|^2 + |1|^2 + |i|^2\) para obtener la norma, y luego divide cada componente por dicha norma.
B-4. Determinación de ortogonalidad¶
Determina si los siguientes dos vectores son ortogonales.
Pista
Calcula el producto interno \(\langle a|b\rangle\) y verifica si es igual a 0. Se tiene que \(\langle a| = (1^*,\; i^*) = (1,\; -i)\).
B-5. Cálculo de elementos de matriz¶
Dada la base ortonormal \(|e_1\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(|e_2\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\), cuando el operador \(\hat{A}\) actúa como
encuentra la representación matricial \((A_{jk}) = \langle e_j|\hat{A}|e_k\rangle\) de \(\hat{A}\).
Pista
Como \(A_{jk} = \langle e_j|\hat{A}|e_k\rangle\), \(A_{11} = \langle e_1|\hat{A}|e_1\rangle\) es la primera componente de \(\hat{A}|e_1\rangle\), y \(A_{21} = \langle e_2|\hat{A}|e_1\rangle\) es la segunda componente de \(\hat{A}|e_1\rangle\).
B-6. Cálculo del conjugado hermítico¶
Calcula el conjugado hermítico (Hermitian conjugate) \(A^\dagger\) de la matriz
Pista
El conjugado hermítico es la operación de "transponer y tomar el complejo conjugado de cada componente". Se utiliza \((A^\dagger)_{jk} = A_{kj}^*\).
B-7. Cálculo de conmutadores¶
Calcula el conmutador \([A, B] = AB - BA\) de las siguientes matrices \(2 \times 2\), \(A\) y \(B\).
Pista
Primero calcula los productos matriciales \(AB\) y \(BA\) por separado, y luego toma la diferencia. Utiliza la fórmula del producto de matrices \(2 \times 2\): \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}\).
B-8. Determinación de independencia lineal¶
Determina si los siguientes dos vectores de \(\mathbb{C}^2\) son linealmente independientes.
Pista
Plantea \(c_1|v_1\rangle + c_2|v_2\rangle = \mathbf{0}\) y verifica si la única solución es \(c_1 = c_2 = 0\). Alternativamente, comprueba si uno es múltiplo escalar del otro. ¿Existe un \(\alpha\) tal que \(|v_2\rangle = \alpha |v_1\rangle\)?
B-9. Cálculo de los coeficientes de expansión¶
Para la base ortonormal \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), encuentra los coeficientes de expansión \(c_+ = \langle +|\psi\rangle\) y \(c_- = \langle -|\psi\rangle\) del vector \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix} 3 \\ i \end{pmatrix}\).
Pista
En una base ortonormal, los coeficientes de expansión se obtienen mediante \(c_k = \langle e_k|\psi\rangle\) (ecuación (B.19)). Ten en cuenta que \(\langle +| = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,\; 1)\) (como esta base tiene componentes reales, no es necesario tomar el conjugado complejo).
B-10. Verificación de la relación de completitud¶
Usando la base \(|+\rangle\), \(|-\rangle\) de D9, calcula \(|+\rangle\langle +| + |-\rangle\langle -|\) como una matriz \(2 \times 2\) y verifica que resulta ser la matriz identidad \(\hat{1}\).
Pista
\(|+\rangle\langle +|\) es el producto del ket \(|+\rangle\) (vector columna) por el bra \(\langle +|\) (vector fila), lo que da una matriz \(2\times 2\). Se tiene \(|+\rangle\langle +| = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}(1,\;1) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\). Calcula \(|-\rangle\langle -|\) de la misma manera y suma ambos resultados.
Intermedio¶
M-1. Método de ortogonalización de Gram–Schmidt¶
En \(\mathbb{C}^2\) se dan los siguientes dos vectores linealmente independientes:
Aplica el método de ortogonalización de Gram–Schmidt (ecuaciones (B.22)–(B.24)) para construir una base ortonormal \(\{|e_1\rangle, |e_2\rangle\}\). Además, verifica que los \(|e_1\rangle\) y \(|e_2\rangle\) obtenidos son efectivamente ortonormales (\(\langle e_1|e_2\rangle = 0\), \(\langle e_1|e_1\rangle = \langle e_2|e_2\rangle = 1\)).
Pista
Paso 1: Calcula \(|e_1\rangle = |v_1\rangle / \||v_1\rangle\|\). Se tiene \(\||v_1\rangle\| = \sqrt{|1|^2 + |i|^2} = \sqrt{2}\).
Paso 2: Calcula \(|w_2\rangle = |v_2\rangle - \langle e_1|v_2\rangle |e_1\rangle\) y normaliza. Calcula \(\langle e_1|v_2\rangle\) con cuidado (recuerda que las componentes del primer argumento llevan conjugado complejo).
M-2. Demostración de que los valores propios de una matriz hermítica son reales¶
Sea \(\hat{A}\) una matriz hermítica (de Hermite) (\(\hat{A}^\dagger = \hat{A}\)). En la ecuación de valores propios de \(\hat{A}\)
demuestra que el valor propio \(\lambda\) es necesariamente un número real.
Pista
Multiplica ambos lados de la ecuación de valores propios por la izquierda con \(\langle\lambda|\) para obtener \(\langle\lambda|\hat{A}|\lambda\rangle = \lambda\langle\lambda|\lambda\rangle\). A continuación, utiliza \(\hat{A}^\dagger = \hat{A}\) y la propiedad hermítica del producto interno \(\langle\lambda|\hat{A}|\lambda\rangle = \langle\hat{A}^\dagger\lambda|\lambda\rangle = \langle\hat{A}\lambda|\lambda\rangle\) para demostrar que \(\langle\lambda|\hat{A}|\lambda\rangle\) es un número real.
M-3. Los eigenvectores pertenecientes a eigenvalores distintos de una matriz hermítica son ortogonales¶
Sea \(\hat{A}\) una matriz hermítica y sean \(|\lambda_1\rangle\), \(|\lambda_2\rangle\) los eigenvectores pertenecientes a dos eigenvalores \(\lambda_1 \neq \lambda_2\), respectivamente. Demuestra que \(\langle\lambda_1|\lambda_2\rangle = 0\).
Pista
Compara la expresión obtenida al multiplicar por la izquierda por \(\langle\lambda_1|\) ambos lados de \(\hat{A}|\lambda_2\rangle = \lambda_2|\lambda_2\rangle\), con la expresión obtenida al tomar el conjugado hermítico de \(\hat{A}|\lambda_1\rangle = \lambda_1|\lambda_1\rangle\) y multiplicar por la derecha por \(|\lambda_2\rangle\). Utiliza el hecho de que \(\lambda_1, \lambda_2\) son reales (resultado de S2).
M-4. Derivación de la identidad del conmutador¶
Para operadores lineales arbitrarios \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\), demuestra la siguiente identidad (identidad de Jacobi):
Pista
Utiliza la definición del conmutador \([\hat{X}, \hat{Y}] = \hat{X}\hat{Y} - \hat{Y}\hat{X}\) para expandir cada término del lado izquierdo. Como \([\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]] = \hat{A}\hat{B}\hat{C} - \hat{A}\hat{C}\hat{B} - \hat{B}\hat{C}\hat{A} + \hat{C}\hat{B}\hat{A}\), cada término produce 4 términos, así que escribe los 12 términos en total y verifica que se cancelan.
M-5. Demostración de la desigualdad de Schwarz¶
Para vectores arbitrarios \(|\psi\rangle\), \(|\phi\rangle\) en un espacio con producto interno, demuestra la desigualdad de Schwarz:
Además, indica la condición para que se cumpla la igualdad.
Pista
Para un número complejo arbitrario \(t\), define \(|w\rangle = |\psi\rangle - t|\phi\rangle\) y utiliza \(\langle w|w\rangle \geq 0\). Eligiendo \(t = \langle\phi|\psi\rangle / \langle\phi|\phi\rangle\) se obtiene la desigualdad (el caso \(|\phi\rangle = \mathbf{0}\) es trivial).
Avanzado¶
A-1. Cambio de base mediante matrices unitarias y reglas de transformación de representaciones matriciales¶
En un espacio con producto interno de dimensión \(N\), se dan dos bases ortonormales \(\{|e_k\rangle\}_{k=1}^N\) y \(\{|f_k\rangle\}_{k=1}^N\). Se define la matriz de cambio de base \(U\) como \(U_{jk} = \langle e_j|f_k\rangle\).
(a) Demuestra que \(U\) es una matriz unitaria (\(U^\dagger U = UU^\dagger = \hat{1}\)) utilizando la relación de completitud.
(b) Sea \(A^{(e)}\) la representación matricial del operador \(\hat{A}\) en la base \(\{|e_k\rangle\}\) y \(A^{(f)}\) su representación matricial en la base \(\{|f_k\rangle\}\). Demuestra que se cumple:
(c) Utilizando este resultado, demuestra que "la traza de un operador \(\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_k A_{kk}\) es independiente de la elección de base".
Pista
(a) Calcula \((U^\dagger U)_{jk} = \sum_l U_{lj}^* U_{lk} = \sum_l \langle f_j|e_l\rangle\langle e_l|f_k\rangle\) e inserta la relación de completitud respecto a \(\{|e_l\rangle\}\).
(b) En \(A^{(e)}_{jk} = \langle e_j|\hat{A}|e_k\rangle\), inserta \(\hat{1} = \sum_l |f_l\rangle\langle f_l|\) a la izquierda y a la derecha de \(\hat{A}\).
(c) Usa la propiedad cíclica de la traza \(\mathrm{Tr}(XYZ) = \mathrm{Tr}(ZXY)\), o bien calcula directamente \(\sum_k (UAU^\dagger)_{kk}\).
A-2. Espacio producto tensorial y construcción de la base de Bell¶
Consideremos el producto tensorial \(\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2\) de dos espacios \(\mathbb{C}^2\). Sea \(\{|0\rangle, |1\rangle\}\) la base canónica de cada espacio, y \(\{|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\}\) (donde \(|jk\rangle \equiv |j\rangle \otimes |k\rangle\)) la base canónica del espacio producto tensorial.
(a) Demuestra que los siguientes 4 vectores (base de Bell) forman una base ortonormal de \(\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2\).
(b) Demuestra que \(|\Phi^+\rangle\) es "no separable (entrelazado)". Es decir, demuestra por reducción al absurdo que no existen \(|a\rangle \in \mathbb{C}^2\), \(|b\rangle \in \mathbb{C}^2\) tales que \(|\Phi^+\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle\).
(c) Expande en la base de Bell un estado arbitrario escrito en la base canónica \(|\psi\rangle = \alpha|00\rangle + \beta|01\rangle + \gamma|10\rangle + \delta|11\rangle\) (\(|\alpha|^2 + |\beta|^2 + |\gamma|^2 + |\delta|^2 = 1\)). Es decir, expresa los coeficientes de la expansión en términos de \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\).
Pista
(a) El producto interno en el espacio producto tensorial es \(\langle jk|lm\rangle = \delta_{jl}\delta_{km}\). Calcula todas las 6 combinaciones de productos internos \(\langle\Phi^+|\Phi^-\rangle\), \(\langle\Phi^+|\Psi^+\rangle\), ... y verifica que son todas 0, y que la norma de cada vector es 1. En un espacio de dimensión 4, si hay 4 vectores ortonormales, entonces forman una base.
(b) Sea \(|a\rangle = a_0|0\rangle + a_1|1\rangle\), \(|b\rangle = b_0|0\rangle + b_1|1\rangle\), expande \(|a\rangle\otimes|b\rangle\) y compara con los coeficientes de \(|\Phi^+\rangle\). De \(a_0 b_0 = 1/\sqrt{2}\), \(a_0 b_1 = 0\), \(a_1 b_0 = 0\), \(a_1 b_1 = 1/\sqrt{2}\) deriva una contradicción.
(c) Usa la relación de completitud \(\hat{1} = |\Phi^+\rangle\langle\Phi^+| + |\Phi^-\rangle\langle\Phi^-| + |\Psi^+\rangle\langle\Psi^+| + |\Psi^-\rangle\langle\Psi^-|\) y obtén cada coeficiente de la expansión mediante productos internos.
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