Apéndice C: Análisis de Fourier y función δ¶
Resumen de lo anterior:
En Apéndice B organizamos los fundamentos del álgebra lineal y los espacios de Hilbert, y vimos que conceptos como vectores, producto interno, bases y sistemas completos pueden extenderse de dimensión finita a dimensión infinita. En este capítulo, organizaremos el "análisis de Fourier" y la "función δ", que desempeñan un papel central en esa extensión a dimensión infinita, limitándonos al alcance que se usa en física.
Objetivos de este capítulo
- Comprender las series de Fourier, que expresan funciones arbitrarias como superposición de funciones trigonométricas (exponenciales complejas), y derivar la transformada de Fourier que se obtiene al llevar el período al infinito
- Con esto, obtener la base matemática que conecta la representación de posición y la representación de momento en mecánica cuántica
- Además, derivar propiedades poderosas de la transformada de Fourier como la igualdad de Parseval y el teorema de convolución, y organizar la definición, propiedades y relación con sistemas completos de la función δ de Dirac
- Todo esto constituirá herramientas esenciales para manejar funciones de onda a partir de Cap. 7 en adelante
C.1 Series de Fourier — Ortogonalidad de funciones trigonométricas y determinación de coeficientes¶
🟡 Lina: En Apéndice B aprendiste la "expansión en bases". Los vectores de dimensión finita se podían expandir en bases ortonormales. Hoy extenderemos esa idea a funciones.
🔵 Kai: ¿Qué significa "expandir" una función?
🟡 Lina: Por ejemplo, representar una función periódica de período \(L\) \(f(x)\) (es decir, una función que satisface \(f(x + L) = f(x)\)) como "suma" de funciones más simples. Concretamente, se usan \(\sin\) y \(\cos\). Esto es la serie de Fourier. Basta considerar un intervalo de un período, por ejemplo \([0, L]\).
🔵 Kai: ¿Cualquier función por compleja que sea?
🟡 Lina: Prácticamente todas las funciones "bien comportadas" que aparecen en física. Históricamente, Fourier hizo esta afirmación en 1807 en un "problema de conducción de calor", y sorprendió a los matemáticos de la época.
Ortogonalidad de las funciones trigonométricas¶
🟡 Lina: La clave es la ortogonalidad de las funciones trigonométricas. En Apéndice B llamábamos "ortogonales" a los vectores cuyo producto interno era cero, ¿verdad? Con funciones se puede aplicar la misma idea. Definimos el "producto interno" de las funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) de la siguiente manera:
Aquí \(f(x)^*\) es el conjugado complejo. Como aprendiste en Apéndice B, en el producto interno de vectores complejos se pone el conjugado complejo a uno de los factores: \(\langle \mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle = \sum_i a_i^* b_i\). Esto es necesario para que "el producto interno consigo mismo \(\langle f, f\rangle\) sea siempre un número real positivo (el cuadrado de la norma)". Para funciones reales, \(f^* = f\), así que simplemente se integra el producto \(f(x) \cdot g(x)\).
⚪ Mei: El producto interno de vectores \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_i a_i b_i\) tiene la "suma" reemplazada por una "integral". Es la extensión natural de lo discreto a lo continuo.
🟡 Lina: Exacto. Usando este producto interno, las funciones trigonométricas satisfacen las siguientes relaciones de ortogonalidad. Para \(m, n\) enteros positivos (\(m, n = 1, 2, 3, \ldots\)):
Aquí \(\delta_{mn}\) es la delta de Kronecker — un símbolo que vale \(1\) si \(m = n\) y \(0\) si \(m \neq n\).
🔵 Kai: ¿Por qué la integral es cero cuando \(m \neq n\)?
🟡 Lina: Se puede demostrar usando las fórmulas de producto a suma. De los teoremas de adición \(\cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\) y \(\cos(A - B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B\), sumando ambas ecuaciones obtenemos \(\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A\cos B\), y dividiendo entre 2: \(\cos A\cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]\). Por ejemplo, para la ecuación (C.2), con \(A = \frac{2\pi m}{L}x\), \(B = \frac{2\pi n}{L}x\):
Si \(m \neq n\), tanto \((m+n)\) como \((m-n)\) son enteros no nulos, así que integrar \(\cos\) a lo largo de un número entero de períodos da cero. Comprobándolo concretamente, para un entero \(p \neq 0\): \(\int_0^L \cos\!\left(\frac{2\pi p}{L}x\right)dx = \left[\frac{L}{2\pi p}\sin\!\left(\frac{2\pi p}{L}x\right)\right]_0^L = \frac{L}{2\pi p}[\sin(2\pi p) - \sin(0)] = 0\) (porque \(\sin\) es cero en múltiplos enteros de \(2\pi\)). Intuitivamente, las crestas positivas y los valles negativos del gráfico de \(\cos\) son simétricos, y el área se cancela al integrar un número entero de períodos.
🔵 Kai: Ah, entiendo. Integrar \(\cos\) a lo largo de un período da cero porque las crestas y los valles se cancelan, y lo mismo ocurre con un número entero de períodos. ¿Pero qué pasa cuando \(m = n\)? Si multiplicamos la misma función por sí misma obtenemos \(\cos^2\), que siempre es positivo, así que no se cancelaría, ¿verdad?
🟡 Lina: Buena intuición. Cuando \(m = n\), tenemos \(\cos\!\left(\frac{2\pi(m-n)}{L}x\right) = \cos(0) = 1\) (constante), así que el integrando es:
El primer término \(\cos\!\left(\frac{4\pi n}{L}x\right)\) tiene período \(L/(2n)\), así que la integral en \([0, L]\) abarca \(2n\) períodos — la integral de \(\cos\) a lo largo de un número entero de períodos es cero. La integral del segundo término, la constante \(1\), es \(L\). Por tanto, el total es \(\frac{1}{2}[0 + L] = L/2\).
⚪ Mei: Es decir, los \(\cos\) de diferentes frecuencias son "ortogonales" entre sí, y el producto interno es no nulo solo cuando tienen la misma frecuencia. Exactamente la misma estructura que una base ortonormal de vectores.
Determinación de los coeficientes de Fourier¶
🟡 Lina: Usando esta ortogonalidad, podemos expandir la función \(f(x)\) de la siguiente forma. Esta es la serie de Fourier (Fourier series):
Por cierto, la función constante \(1\) también es ortogonal a \(\cos\) y \(\sin\). Para \(n \geq 1\), \(\int_0^L 1 \cdot \cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)dx = 0\) y \(\int_0^L 1 \cdot \sin\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)dx = 0\) — esto se deduce del hecho de que integrar \(\cos\) o \(\sin\) a lo largo de un período completo da cero. Por tanto, \(a_0/2\) (el término constante) también se puede extraer independientemente de los demás términos.
🟡 Lina: Mira la Fig. C.1「Reconstrucción de una onda cuadrada mediante series de Fourier y fenómeno de Gibbs」. Es la aproximación mediante series de Fourier de una onda cuadrada de período \(2\pi\) — una función que vale \(+1\) para \(0 < x < \pi\) y \(-1\) para \(-\pi < x < 0\). Si miramos solo un período, tiene la misma forma que la función signo \(\mathrm{sgn}(x)\) que devuelve \(+1\) para \(x > 0\) y \(-1\) para \(x < 0\). Al aumentar el número de términos \(N\) se aproxima más a la onda cuadrada, pero cerca de los puntos de discontinuidad queda un ligero sobreimpulso. Esto se conoce como el fenómeno de Gibbs, y se sabe que incluso cuando \(N \to \infty\) persiste un sobreimpulso de aproximadamente 9%.
Fig. C.1: Reconstrucción de una onda cuadrada mediante series de Fourier y fenómeno de Gibbs. Aproximación de la onda cuadrada \(f(x) = \mathrm{sgn}(x)\) mediante series de Fourier. A medida que aumenta el orden \(N\), se aproxima más a la onda cuadrada. En los puntos de discontinuidad queda un ligero sobreimpulso llamado "fenómeno de Gibbs" (limitación de las sumas parciales de la serie).
🔵 Kai: ¿Ni sumando infinitos términos coincide completamente?
🟡 Lina: Coincide en todos los puntos "excepto" en los de discontinuidad. En los puntos de discontinuidad mismos, la serie de Fourier converge al promedio de los valores a izquierda y derecha. Como las funciones que tratamos en física suelen ser suaves, en la práctica esto raramente es un problema.
Los coeficientes se pueden "extraer" aprovechando la ortogonalidad:
🔵 Kai: ¿Por qué al multiplicar por \(\cos\) e integrar se obtiene \(a_n\)?
🟡 Lina: Recuerda el caso de vectores. Para extraer la componente respecto a la base \(\mathbf{e}_n\) calculabas el producto interno \(\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{v}\), ¿no? Es lo mismo. Si multiplicas ambos lados de la ecuación (C.5) por \(\cos\!\left(\frac{2\pi m}{L}x\right)\) e integras de \(0\) a \(L\), gracias a la ortogonalidad (C.2), (C.4) solo sobrevive el término \(\cos\) con \(n = m\) — la contribución del término constante \(a_0/2\) es \(\frac{a_0}{2}\int_0^L \cos\!\left(\frac{2\pi m}{L}x\right)dx = 0\) (para \(m \geq 1\), integrar \(\cos\) a lo largo de un número entero de períodos da cero), los términos de \(\sin\) son cero por la ecuación (C.4), y los términos \(\cos\) con \(n \neq m\) son cero por la ecuación (C.2). Al final:
Despejando \(a_m\) se obtiene la ecuación (C.6).
⚪ Mei: La notación \(a_0/2\) se entiende así: si sustituimos \(n = 0\) en la fórmula de \(a_n\), como \(\cos(0) = 1\), obtenemos \(a_0 = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\,dx\), que es el doble del valor medio de la función. Por tanto \(a_0/2\) es el valor medio en sí.
🟡 Lina: Organización perfecta.
✅ Verificación de comprensión: ¿A qué magnitud de la función original \(f(x)\) corresponde el coeficiente \(a_0/2\) de la serie de Fourier?
Respuesta
\(a_0/2\) corresponde al valor medio de la función \(f(x)\) en un período. Como \(a_0 = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\,dx\), tenemos \(a_0/2 = \frac{1}{L}\int_0^L f(x)\,dx\), que es exactamente el valor medio de \(f(x)\) en el intervalo \([0, L]\).
✅ Verificación de comprensión: En la ecuación (C.5), ¿por qué función hay que multiplicar ambos lados e integrar para obtener \(b_n\)?
Respuesta
Se multiplica por \(\sin\!\left(\frac{2\pi m}{L}x\right)\) y se integra de \(0\) a \(L\). Por la ortogonalidad (C.3), (C.4) solo sobrevive el término \(\sin\) con \(n = m\), obteniéndose \(b_m \cdot L/2\).
📝 Ejercicios:
- Calcula los coeficientes de Fourier \(a_n, b_n\) de \(f(x) = x\) en el intervalo \([0, L]\) → Problema M-1. Determinar los coeficientes de Fourier y de una función definida en el intervalo y escribir la serie de Fourier (ecuación (C.5
C.2 Serie de Fourier compleja — Representación unificada mediante la fórmula de Euler¶
🟡 Lina: La ecuación (C.5) mezcla dos tipos de funciones, \(\sin\) y \(\cos\), y es un poco incómoda de manejar. Usando la fórmula de Euler que aprendimos en Apéndice A, se puede reescribir en una forma mucho más limpia.
De aquí:
(Estas son las fórmulas que derivamos en Apéndice A. Al sumar \(e^{i\theta}\) y \(e^{-i\theta}\) se cancela \(\sin\) y queda \(\cos\); al restarlas se cancela \(\cos\) y queda \(\sin\) — eso es todo.)
🔵 Kai: Así que \(\sin\) y \(\cos\) se unifican con una sola función exponencial.
🟡 Lina: Sí. Escribamos el número de onda como \(k_n \equiv \frac{2\pi n}{L}\). Al final usaremos \(n\) como cualquier entero (positivo, negativo o cero). Por qué se necesitan \(n\) negativos se verá de forma natural al reescribir la ecuación (C.5). Primero, para cada término con \(n > 0\), sustituyamos \(\cos\) y \(\sin\) usando la ecuación (C.9):
Escribiéndolo paso a paso: de \(\cos(k_n x) = \frac{e^{ik_n x} + e^{-ik_n x}}{2}\), el coeficiente de \(e^{ik_n x}\) es \(\frac{a_n}{2}\) y el de \(e^{-ik_n x}\) también es \(\frac{a_n}{2}\). De \(\sin(k_n x) = \frac{e^{ik_n x} - e^{-ik_n x}}{2i}\), el coeficiente de \(e^{ik_n x}\) es \(\frac{b_n}{2i}\) y el de \(e^{-ik_n x}\) es \(-\frac{b_n}{2i}\). Sumando, el coeficiente de \(e^{ik_n x}\) es \(\frac{a_n}{2} + \frac{b_n}{2i}\) y el de \(e^{-ik_n x}\) es \(\frac{a_n}{2} - \frac{b_n}{2i}\). Para calcular \(\frac{1}{i}\) queremos racionalizar el denominador, así que multiplicamos numerador y denominador por \(i\): \(\frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i\). Por tanto \(\frac{b_n}{2i} = \frac{b_n}{2}\cdot(-i) = -\frac{ib_n}{2}\). Sustituyendo:
🔵 Kai: Ya veo, se agrupó en \(e^{ik_n x}\) y \(e^{-ik_n x}\).
🟡 Lina: En esta expresión, el coeficiente de \(e^{ik_n x}\) es \(\frac{a_n - ib_n}{2}\) y el de \(e^{-ik_n x}\) es \(\frac{a_n + ib_n}{2}\). Entonces definimos:
- \(c_n \equiv \dfrac{a_n - ib_n}{2}\) (para \(n > 0\))
- \(c_{-n} \equiv \dfrac{a_n + ib_n}{2}\) (para \(n > 0\))
- \(c_0 \equiv \dfrac{a_0}{2}\)
Verifiquemos: sustituyendo en \(c_n\,e^{ik_n x} + c_{-n}\,e^{-ik_n x}\) obtenemos \(\frac{a_n - ib_n}{2}e^{ik_n x} + \frac{a_n + ib_n}{2}e^{-ik_n x}\). Esto es exactamente el lado derecho que calculamos arriba, así que coincide con la forma original \(a_n\cos(k_n x) + b_n\sin(k_n x)\). El término \(n = 0\) es \(c_0\,e^{i \cdot 0 \cdot x} = c_0 = a_0/2\), el término constante.
Ahora explico "por qué le pusimos el nombre \(c_{-n}\)". En la definición \(k_n = \frac{2\pi n}{L}\), si ponemos un entero negativo: \(k_{-n} = \frac{2\pi(-n)}{L} = -\frac{2\pi n}{L} = -k_n\). Es decir, \(e^{-ik_n x} = e^{ik_{-n} x}\) — \(-k_n\) y \(k_{-n}\) son lo mismo. Por tanto \(c_{-n}\,e^{-ik_n x}\) se reescribe como \(c_{-n}\,e^{ik_{-n} x}\). Esto es exactamente el "término con índice \(-n\)".
⚪ Mei: Es decir, al reinterpretar los términos \(e^{-ik_n x}\) como "términos con índice negativo", podemos juntar los \(n\) positivos y negativos en una sola suma.
🟡 Lina: Exacto. La ecuación (C.5) se puede escribir como "término con \(n = 0\)" + "suma de términos con \(n > 0\)", pero gracias a haber llamado \(c_{-n}\) al coeficiente de \(e^{-ik_n x}\), al reinterpretarlo como "términos con \(n\) negativo", el todo se agrupa en una sola suma de \(n = -\infty\) a \(+\infty\):
Donde los coeficientes complejos de Fourier \(c_n\) son:
(Como la función es periódica, el intervalo de integración puede tomarse como \([-L/2, L/2]\) en lugar de \([0, L]\) u otro período cualquiera, dando el mismo valor. En la sección C.3 usaremos \([-L/2, L/2]\) para facilitar el límite \(L \to \infty\).)
⚪ Mei: El rango de la suma se extendió de \(n = -\infty\) a \(+\infty\) porque al descomponer \(\cos\) y \(\sin\) en \(e^{+ik_n x}\) y \(e^{-ik_n x}\), se hicieron necesarios los \(n\) negativos. 🟡 Lina: Así es. Y verifiquemos la derivación de la ecuación (C.11). Veamos la ortogonalidad de las exponenciales complejas. Con la definición del producto interno (C.1), tomando \(f = e^{ik_n x}\), \(g = e^{ik_m x}\): \(\langle e^{ik_n x}, e^{ik_m x}\rangle = \int_0^L (e^{ik_n x})^* e^{ik_m x}\,dx = \int_0^L e^{-ik_n x} e^{ik_m x}\,dx\) (el conjugado complejo de \(e^{ik_n x}\) es \(e^{-ik_n x}\)). Agrupando los exponentes:
Cuando \(m \neq n\), la integral es \(\left[\frac{L}{i \cdot 2\pi(m-n)}e^{i \frac{2\pi(m-n)}{L} x}\right]_0^L = \frac{L}{i \cdot 2\pi(m-n)}\left[e^{i 2\pi(m-n)} - e^{0}\right]\), pero como \((m-n)\) es entero, \(e^{i2\pi(m-n)} = \cos(2\pi(m-n)) + i\sin(2\pi(m-n)) = 1\) (porque \(\cos\) y \(\sin\) vuelven a sus valores en múltiplos enteros de \(2\pi\)), y \(e^0 = 1\), así que \([1 - 1] = 0\). Cuando \(m = n\), el integrando es \(e^0 = 1\) y la integral es \(L\).
🔵 Kai: Es la misma lógica que con las funciones trigonométricas. "Extraer" mediante ortogonalidad.
🟡 Lina: Multiplicamos ambos lados de la ecuación (C.10) por \(e^{-ik_m x}\) e integramos de \(0\) a \(L\). ¿Por qué elegimos \(e^{-ik_m x}\)? Porque queremos usar la ortogonalidad (C.12) — al multiplicar \(e^{ik_n x}\) por \(e^{-ik_m x}\) obtenemos \(e^{i(k_n - k_m)x}\), y solo cuando \(n = m\) la integral da \(L\). Es decir, \(e^{-ik_m x}\) actúa como un "filtro que selecciona el término \(n = m\)":
Por tanto \(c_m = \frac{1}{L}\int_0^L f(x)\,e^{-ik_m x}\,dx\). Esto es exactamente la ecuación (C.11).
✅ Verificación de comprensión: Para una función real \(f(x)\), ¿qué relación existe entre \(c_n\) y \(c_{-n}\)?
Respuesta
Si \(f(x)\) es real, entonces \(f(x)^* = f(x)\), por lo que \(c_n^* = \frac{1}{L}\int_0^L f(x)\,e^{+ik_n x}\,dx = c_{-n}\). Es decir, \(c_{-n} = c_n^*\) (relación de conjugado complejo).
C.3 Transformada de Fourier — El límite de llevar el período al infinito¶
🟡 Lina: Las series de Fourier eran una herramienta para tratar "funciones que se repiten con período \(L\)". Pero en mecánica cuántica queremos tratar funciones de onda que se extienden por todo el espacio \((-\infty, +\infty)\). Para eliminar la restricción del período, basta tomar el límite \(L \to \infty\).
🔵 Kai: ¿Llevar el período al infinito? ¿Qué cambia con eso?
🟡 Lina: El número de onda \(k_n = \frac{2\pi n}{L}\) toma valores para cada entero \(n\), así que la separación entre números de onda consecutivos es \(\Delta k = k_{n+1} - k_n = \frac{2\pi(n+1)}{L} - \frac{2\pi n}{L} = \frac{2\pi}{L}\). Al hacer \(L \to \infty\), \(\Delta k \to 0\) y la suma discreta \(\sum_n\) se convierte en una integral continua \(\int dk\). Veámoslo concretamente.
Derivación¶
🟡 Lina: Reescribamos la ecuación (C.10):
Sustituyamos aquí los \(c_n\) de la ecuación (C.11). El intervalo de integración en (C.11) era \([0, L]\), pero para facilitar el límite \(L \to \infty\) lo cambiamos a \([-L/2, L/2]\) (como la función es periódica, un período tomado desde cualquier punto da lo mismo — lo explico enseguida):
🔵 Kai: Oye, el intervalo de integración cambió de \([0, L]\) a \([-L/2, L/2]\), ¿está bien eso?
🟡 Lina: Buena pregunta. Una función de período \(L\) satisface \(f(x + L) = f(x)\), así que da igual desde dónde tomes un período, el valor de la integral es el mismo. Intuitivamente, se trata de un patrón que se repite periódicamente, y recortes donde recortes, si tomas exactamente la longitud de un patrón, obtienes lo mismo. Piensa en el diseño de un papel tapiz — da igual por dónde cortes con las tijeras, si cortas la longitud de un patrón obtienes el mismo diseño. El valor de la integral es igual. Como ejemplo concreto, \(1 + \cos x\) tiene período \(2\pi\), y tanto \(\int_0^{2\pi}(1+\cos x)\,dx = 2\pi\) como \(\int_{-\pi}^{\pi}(1+\cos x)\,dx = 2\pi\) dan el mismo valor — ambos contienen exactamente una cresta. Por la misma razón, \([0, L]\) y \([-L/2, L/2]\) son equivalentes. Al tomar el límite \(L \to \infty\), la forma \([-L/2, L/2]\) es más cómoda por ser simétrica respecto al origen. Por cierto, podrías pensar "¿si \(L \to \infty\) ya no es una función periódica?", y tienes razón. Las ecuaciones finales (C.14), (C.15) se aplican a funciones generales sin suponer periodicidad. El período \(L\) es solo un "andamiaje" que usamos en la derivación y que retiramos en el límite \(L \to \infty\).
⚪ Mei: El "andamiaje" del período \(L\) se retira con \(L \to \infty\) para poder tratar funciones generales sin periodicidad.
🟡 Lina: A continuación, para facilitar el límite \(L \to \infty\), reescribimos \(\frac{1}{L}\) en términos de la separación de números de onda \(\Delta k = \frac{2\pi}{L}\). Como \(\frac{1}{L} = \frac{\Delta k}{2\pi}\):
⚪ Mei: Con \(L \to \infty\) y \(\Delta k \to 0\), la suma \(\sum_n \Delta k\) se convierte en \(\int dk\).
🟡 Lina: Exacto. Recuerda las sumas de Riemann que aprendiste en el instituto — al dividir un intervalo en trozos finos y sumar las áreas de los rectángulos \(f(k_n)\,\Delta k\), en el límite de división infinitamente fina se obtiene la integral definida \(\int f(k)\,dk\). Aquí ocurre exactamente lo mismo. \(\Delta k = 2\pi/L\) es el "ancho del rectángulo", y con \(L \to \infty\) el ancho tiende a cero y la suma discreta pasa a ser una integral continua. En el límite \(L \to \infty\):
Llamemos \(\tilde{f}(k)\) a lo que está dentro de los corchetes. Esta es la transformada de Fourier (Fourier transform):
Y la fórmula que recupera la función original es la transformada inversa de Fourier (inverse Fourier transform):
🔵 Kai: Vaya, ¡tienen una forma simétrica! Aunque me llama la atención que el factor \(2\pi\) solo aparezca en una de ellas.
🟡 Lina: Buena observación. En realidad hay 3 convenciones para distribuir el \(2\pi\), que se usan según el campo de la física:
Tabla C.1: Convenciones para la distribución de 2π en la transformada de Fourier
| Convención | Transformada | Inversa | Campo principal de uso |
|---|---|---|---|
| (a) | \(\tilde{f}(k) = \int f(x)\,e^{-ikx}\,dx\) | \(f(x) = \frac{1}{2\pi}\int \tilde{f}(k)\,e^{ikx}\,dk\) | Teoría de campos, sistemas con \(\hbar = 1\) |
| (b) | \(\tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x)\,e^{-ikx}\,dx\) | \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{f}(k)\,e^{ikx}\,dk\) | Mecánica cuántica (convención simétrica) |
| (c) | \(\tilde{f}(\nu) = \int f(t)\,e^{-2\pi i \nu t}\,dt\) | \(f(t) = \int \tilde{f}(\nu)\,e^{2\pi i \nu t}\,d\nu\) | Ingeniería, procesamiento de señales |
En Mecánica Cuántica usaremos principalmente la convención (b). Es la forma más común en los libros de texto de mecánica cuántica, y la transformada y su inversa quedan completamente simétricas, lo que facilita recordarlas. Además, la igualdad de Parseval que mostraremos después queda en su forma más elegante. Las ecuaciones (C.14), (C.15) salieron naturalmente del límite \(L \to \infty\) (convención (a)), pero de ahora en adelante unificaremos con la convención (b). La diferencia es simple: la \(\tilde{f}(k)\) de la convención (b) es la de la convención (a) multiplicada por \(1/\sqrt{2\pi}\). Es decir, usamos el mismo símbolo \(\tilde{f}\) pero la definición difiere por un factor \(1/\sqrt{2\pi}\). De aquí en adelante, cuando escribamos \(\tilde{f}(k)\) en este capítulo, siempre nos referiremos a la definición de la convención (b):
⚪ Mei: La transformada y su inversa tienen la misma forma. Solo difiere el signo del exponente. Simétrica y fácil de recordar.
Significado físico¶
🟡 Lina: Físicamente hablando, \(f(x)\) es una función en el "espacio de posiciones" y \(\tilde{f}(k)\) es una función en el "espacio de números de onda". En mecánica cuántica, como \(p = \hbar k\) (la relación de de Broglie — que aprendimos en Cap. 2), \(\tilde{f}(k)\) está directamente relacionada con la representación en el "espacio de momentos". Lo veremos en detalle en Cap. 10, pero la transformada de Fourier es precisamente la herramienta que conecta "la función de onda escrita usando la posición \(x\)" con "la función de onda escrita usando el momento \(p\) (es decir, el número de onda \(k\))" — y de hecho, \(|\tilde{f}(k)|^2\) resulta dar la "densidad de probabilidad de tener momento \(\hbar k\)".
🔵 Kai: Un momento. ¿Que \(|\tilde{f}(k)|^2\) sea la "densidad de probabilidad del momento"? ¿Qué significa eso? No entiendo por qué el cuadrado del valor absoluto de la función en el espacio de números de onda se convierte en una probabilidad...
🟡 Lina: Buena pregunta. En esta etapa solo te adelanto que "tiene esa interpretación". En Cap. 10 lo demostraremos rigurosamente junto con la interpretación probabilística de la función de onda. Por ahora, quédate con la intuición de que "al hacer la transformada de Fourier, se puede ver cuánto de cada componente de número de onda está contenido" — y como por la relación de de Broglie \(p = \hbar k\), la componente de número de onda \(k\) corresponde a la componente de momento \(\hbar k\), se puede leer "qué momentos tiene esta partícula y en qué proporción". Por qué esa "proporción" toma la forma \(|\tilde{f}(k)|^2\) — es decir, por qué el cuadrado del valor absoluto es la densidad de probabilidad — se entenderá correctamente por primera vez en Cap. 10, junto con la interpretación probabilística de Born.
🔵 Kai: Ya veo, hasta "se puede saber la proporción" lo entiendo con las matemáticas actuales, pero "eso se convierte en densidad de probabilidad" requiere la interpretación física.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la razón física por la que la suma \(\sum_n\) de las series de Fourier se convierte en \(\int dk\) en la transformada de Fourier?
Respuesta
Las series de Fourier tratan funciones de período \(L\), por lo que los números de onda permitidos son discretos: \(k_n = 2\pi n/L\). Al hacer \(L \to \infty\), la separación entre números de onda \(\Delta k = 2\pi/L \to 0\) y la suma discreta pasa a ser una integral continua. Físicamente, esto corresponde a que en un espacio infinitamente extenso se permiten todos los números de onda (momentos).
📝 Ejercicios:
- Calcula la transformada de Fourier de la función gaussiana \(f(x) = e^{-ax^2}\) (\(a > 0\)) → Problema M-2. Transformada de Fourier de la función gaussiana y la igualdad de Parseval
C.4 Igualdad de Parseval — Expresión matemática de la conservación de la energía¶
🟡 Lina: A continuación mostraré una propiedad importante de la transformada de Fourier. Se llama igualdad de Parseval y es un teorema que dice: "ya sea que calcules en el espacio de posiciones o en el espacio de números de onda, la norma (la integral del cuadrado del módulo) no cambia".
🔵 Kai: ¿Las variables de integración son diferentes en ambos lados, pero el valor es el mismo?
🟡 Lina: Sí. Físicamente, esto significa que "la probabilidad total de encontrar la partícula en algún lugar" da lo mismo si se calcula en el espacio de posiciones o en el espacio de momentos. Que la condición de normalización de la función de onda sea consistente en ambas representaciones se debe precisamente a esta igualdad.
Derivación¶
🟡 Lina: Lo demostraremos con la convención (b) (ecuaciones (C.16), (C.17)). Primero reescribimos el lado izquierdo:
La estrategia es "sustituir tanto \(f(x)\) como \(f(x)^*\) por su representación en el espacio de números de onda (fórmula de transformada inversa) y ejecutar primero la integral en \(x\)". Así aparecerá la función δ y al final solo quedará la integral de \(|\tilde{f}(k)|^2\). Hagámoslo concretamente. Sustituimos en \(f(x)\) y \(f(x)^*\) sus respectivas transformadas inversas de Fourier. Para \(f(x)\) usamos directamente la ecuación (C.17): \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{f}(k)\,e^{ikx}\,dk\). Para \(f(x)^*\) usamos el conjugado complejo de la ecuación (C.17). Al tomar el conjugado complejo: \(f(x)^* = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{f}(k)^*\,e^{-ikx}\,dk\). ¿Por qué? Porque el conjugado complejo de toda la integral es la integral del conjugado complejo del integrando (\([\int h(k)\,dk]^* = \int h(k)^*\,dk\)). Esta es la versión continua de la propiedad "el conjugado complejo de una suma es la suma de los conjugados complejos" — así como \((z_1 + z_2)^* = z_1^* + z_2^*\), para la integral (suma infinita) basta tomar el conjugado complejo de cada integrando. Y \([\tilde{f}(k)\,e^{ikx}]^* = \tilde{f}(k)^*\,e^{-ikx}\) — \(\tilde{f}(k)\) es en general complejo así que lleva conjugado, y el conjugado de \(e^{ikx}\) es \(e^{-ikx}\) (la \(i\) del exponente cambia a \(-i\)). \(1/\sqrt{2\pi}\) es real y queda igual.
🔵 Kai: Aquí tengo una duda: al multiplicar \(f(x)^*\) por \(f(x)\), ambos contienen \(\int dk\). ¿Está bien usar la misma variable \(k\) en ambos?
🟡 Lina: Buena pregunta. Cuando multiplicas dos integrales separadas, necesitas poner nombres diferentes a las variables de integración de cada una. Por ejemplo, \(\left(\int_0^1 k\,dk\right)\times\left(\int_0^1 k\,dk\right)\) es \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\), pero si escribes con la misma \(k\) una sola integral doble \(\int_0^1\int_0^1 k \cdot k\,dk\,dk\), queda ambiguo si las dos \(k\) son la misma variable o variables diferentes. Por eso renombramos una como \(k'\) y escribimos \(\int_0^1\int_0^1 k \cdot k'\,dk\,dk'\). Así queda claro que "\(k\) y \(k'\) se mueven independientemente".
🔵 Kai: Claro, si tienen el mismo nombre no se sabe si "se mueven juntas" o "se mueven independientemente".
🟡 Lina: Exacto. Por eso renombramos la variable de integración del lado de \(f(x)^*\) como \(k'\): \(f(x)^* = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{f}(k')^*\,e^{-ik'x}\,dk'\). Sustituyendo:
Intercambiamos el orden de integración y ejecutamos primero la integral en \(x\).
🔵 Kai: Un momento, ¿se puede intercambiar el orden de las integrales?
🟡 Lina: Buena pregunta. En integrales dobles (o triples), si el integrando es "suficientemente bien comportado" — concretamente, si la integral de su valor absoluto es finita — entonces se puede intercambiar el orden de integración sin cambiar el resultado. Esto es el teorema de Fubini. Intuitivamente, es la misma razón por la que el área de un rectángulo es la misma si "cortas horizontalmente y sumas" o si "cortas verticalmente y sumas". Las funciones que aparecen en física suelen cumplir esta condición, así que puedes intercambiar tranquilamente.
La integral dentro de los corchetes no es otra cosa que la representación integral de Fourier de la función δ (una relación del mismo tipo que la ecuación (C.30) — en (C.30) la variable de integración es \(k\) y el argumento es \(x-x'\), mientras que aquí la variable de integración es \(x\) y el argumento se ha sustituido por \(k-k'\)).
🔵 Kai: ¡Eh! ¿Se puede usar la función δ si aún no la hemos definido?
🟡 Lina: Buena objeción. Aquí no usamos la definición formal de la función δ. En su lugar, usamos directamente un hecho ya establecido en la sección C.3: "si transformas con la ecuación (C.16) y luego aplicas la transformada inversa (C.17), recuperas la función original".
Hagámoslo concretamente. Al sustituir la fórmula de la transformada inversa en \(\int|f(x)|^2\,dx\) y ejecutar primero la integral en \(x\), aparece la integral:
Consideremos el caso \(k \neq k'\). Como \(e^{i(k-k')x} = \cos((k-k')x) + i\sin((k-k')x)\), tanto \(\cos\) como \(\sin\) oscilan con frecuencia constante respecto a \(x\). Al integrar \(x\) de \(-\infty\) a \(+\infty\), las crestas positivas y los valles negativos se alternan infinitamente y se cancelan completamente — el mismo principio que cuando dijimos en la sección C.1 que "integrar \(\cos\) a lo largo de un número entero de períodos da cero". En cambio, cuando \(k = k'\), tenemos \(e^0 = 1\) que no oscila, así que estamos integrando la constante \(1\) de \(-\infty\) a \(+\infty\), lo cual diverge. Es decir, tiene la propiedad de ser "infinito solo en \(k = k'\), y cero en el resto".
🔵 Kai: Entiendo que las oscilaciones se cancelan. ¿Pero por qué si se hace "infinito" en \(k = k'\), al final se obtiene un resultado finito?
🟡 Lina: Lo que pasa es que no es simplemente "infinito": junto con el coeficiente \(1/(2\pi)\), el "área" queda ajustada para ser exactamente \(1\) — esta es la esencia de la función δ que definiremos en la sección C.6, y funciona correctamente como un filtro que "selecciona solo \(k' = k\)".
¿Por qué podemos usar esta propiedad? Porque en la sección C.3 ya establecimos que la transformada de Fourier y su inversa son operaciones inversas entre sí (transformar con (C.16) y luego aplicar la inversa (C.17) devuelve la \(f(x)\) original). Escribiendo este hecho "de vuelta al original" en forma de ecuación: \(f(x) = \frac{1}{2\pi}\int\left[\int f(x')\,e^{-ikx'}\,dx'\right]e^{ikx}\,dk\). Si intercambiamos el orden de integración: \(f(x) = \int f(x')\left[\frac{1}{2\pi}\int e^{ik(x-x')}dk\right]dx'\). Para que esta ecuación se cumpla para cualquier \(f\), lo que está entre corchetes debe ser un filtro que "solo contribuye cuando \(x' = x\) y es cero en caso contrario" — si no fuera así, el lado derecho devolvería un valor diferente de \(f(x)\). Es decir, antes de ponerle nombre a la función δ, esta propiedad de "seleccionar" ya está garantizada como resultado de la sección C.3. No hay razonamiento circular.
🔵 Kai: ¡Eso es exactamente la función δ que aparecerá después!
🟡 Lina: ¡Exactamente! Por eso en la sección C.6 le pondremos el nombre \(\delta(k-k')\) a este objeto con esa propiedad. Ahora estamos en la situación de "aún no tiene nombre pero su propiedad ya está establecida".
⚪ Mei: Es decir, ahora usamos el hecho de que "las oscilaciones se cancelan y solo queda \(k = k'\)" para avanzar, y después de definir formalmente la función δ en la sección C.6, el significado de esta ecuación quedará completamente claro.
🟡 Lina: Exacto. Escribiendo simbólicamente esta propiedad de "solo queda \(k = k'\)":
(La definición formal de la función δ está en la sección C.6, y la derivación rigurosa de esta ecuación en la ecuación (C.30) de la sección C.7.) Por esta propiedad, en la integral en \(k'\) solo sobrevive \(k' = k\):
En la segunda igualdad usamos la propiedad de "solo queda \(k' = k\)" para la integral en \(k'\). Al integrar \(\delta(k - k')\) respecto a \(k'\), se fija \(k' = k\), por lo que \(\tilde{f}(k')^*\) se convierte en \(\tilde{f}(k)^*\), y en la integral restante en \(k\) se integra \(\tilde{f}(k)^*\,\tilde{f}(k) = |\tilde{f}(k)|^2\).
🔵 Kai: ¡Qué bonito, solo quedó la integral de \(|\tilde{f}(k)|^2\)!
⚪ Mei: La transformada de Fourier es una transformación que "conserva la norma". Que dé el mismo valor calculando en el espacio de posiciones o en el espacio de números de onda es una propiedad muy elegante.
🟡 Lina: Así es. De hecho, esto tiene la misma estructura que la transformación unitaria que aprendimos en Apéndice B. Una transformación unitaria era "una transformación que no cambia la norma (el módulo)". La transformada de Fourier es exactamente un operador unitario en el espacio de Hilbert de dimensión infinita. Lo que aprendimos en dimensión finita — "transformación unitaria = conservación de la norma" — se cumple tal cual en el espacio de funciones.
⚪ Mei: Es decir, la "transformación unitaria = conservación de la norma" del apéndice B se cumple también en dimensión infinita. En dimensión finita, la condición para la conservación de la norma era que la matriz de cambio de base \(U\) satisficiera \(U^\dagger U = I\). La transformada de Fourier es la versión en dimensión infinita: el "cambio de base de la base de posición a la base de número de onda" conserva la norma — por eso los resultados de los cálculos de observables son iguales en cualquier representación.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es el hecho matemático clave (ecuación (C.19)) que se usa en la demostración de la igualdad de Parseval?
Respuesta
La clave es la representación integral de Fourier de la función δ: \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(k-k')x}\,dx = \delta(k-k')\). Gracias a esto, tras ejecutar la integral en \(x\), la integral en \(k'\) es "seleccionada" por la función δ y desaparece, quedando finalmente solo la integral de \(|\tilde{f}(k)|^2\).
Forma más general: relación de Parseval¶
🟡 Lina: De forma más general, una igualdad similar se cumple para el "producto interno" de dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\):
La demostración sigue exactamente los mismos pasos que para la ecuación (C.18). A esto también se le llama relación de Parseval (Parseval's relation).
🔵 Kai: Si se conserva el producto interno... ah, ¿entonces también se conserva la ortogonalidad? ¿Dos funciones ortogonales en el espacio de posiciones también son ortogonales en el espacio de números de onda?
🟡 Lina: Exacto. Por la ecuación (C.20), \(\int f^* g\,dx = \int \tilde{f}^*\tilde{g}\,dk\), así que si el lado izquierdo es cero (ortogonalidad en el espacio de posiciones), el lado derecho también es cero (ortogonalidad en el espacio de números de onda). Que en mecánica cuántica la propiedad "estados propios de diferente energía son ortogonales" se cumpla en cualquier representación se debe a este teorema.
✅ Verificación de comprensión: Explica físicamente por qué la igualdad de Parseval es importante en mecánica cuántica.
Respuesta
Garantiza que la condición de normalización de la función de onda \(\int |\psi(x)|^2\,dx = 1\) da el mismo valor en la representación de momento: \(\int |\tilde{\psi}(k)|^2\,dk = 1\). Es decir, la exigencia física de que "la probabilidad total de que la partícula exista en algún lugar es 1" se cumple sin contradicción tanto en la representación de posición como en la de momento.
C.5 Teorema de convolución — Dualidad entre producto y convolución¶
🟡 Lina: Otra propiedad poderosa de la transformada de Fourier es el teorema de convolución (convolution theorem). Primero definamos la convolución (convolution).
🔵 Kai: ¿Es una operación de "multiplicar desplazando e integrar"?
🟡 Lina: Sí. Un ejemplo cotidiano es el "desenfoque" (blur) en el procesamiento de imágenes. Para cada píxel, se toma el valor promedio ponderado con los píxeles circundantes usando una "función de peso del desenfoque" — eso corresponde a convolucionar \(f\) con \(g\). En procesamiento de señales es "filtrado", en teoría de probabilidades es "la distribución de la suma de dos variables aleatorias independientes" — es una operación muy fundamental.
✅ Verificación de comprensión: Enuncia la definición de la convolución \((f*g)(x)\) y explica intuitivamente qué hace esta operación.
Respuesta
Se define como \((f*g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x')\,g(x-x')\,dx'\). Intuitivamente, se multiplica \(g\) desplazada en \(x'\), es decir \(g(x-x')\), por \(f(x')\) y se integra sobre todo el espacio; corresponde a "sumar \(f\) ponderada por \(g\) mientras se desplaza".
Enunciado del teorema¶
🟡 Lina: El teorema de convolución se enuncia así:
La convolución en el espacio de posiciones se convierte en un simple producto en el espacio de números de onda.
En la convención (b):
(El \(\sqrt{2\pi}\) aparece porque la convención (b) incluye \(1/\sqrt{2\pi}\) en la transformada. Surge naturalmente en la derivación.)
Recíprocamente, el producto en el espacio de posiciones se convierte en una convolución en el espacio de números de onda:
Demostremos esta primera — con el mismo enfoque que la ecuación (C.22), sustituyendo en la definición de la transformada de Fourier e intercambiando el orden de integración. El punto de partida es:
Aquí sustituimos \(g(x)\) por su transformada inversa de Fourier, ecuación (C.17) (sustituir \(f\) daría el mismo resultado final — mediante el cambio de variable \(u = x - x'\) en la definición de convolución se obtiene \((f*g)(x) = \int f(x-u)\,g(u)\,du = (g*f)(x)\), así que los roles de \(f\) y \(g\) son intercambiables, y \(\tilde{f}*\tilde{g} = \tilde{g}*\tilde{f}\). Elegimos sustituir \(g\) porque la integral en \(x\) resultante, \(f(x)\,e^{-i(k-k')x}\), se lee directamente como \(\tilde{f}(k-k')\), dando mejor visibilidad): \(g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{g}(k')\,e^{ik'x}\,dk'\). Entonces:
Intercambiando el orden de integración en \(x\) y \(k'\), y agrupando los exponentes \(e^{ik'x}\cdot e^{-ikx} = e^{-i(k-k')x}\):
🔵 Kai: Lo que está entre corchetes se parece a la transformada de Fourier de \(f\), pero con el número de onda siendo \(k - k'\) en lugar de \(k\).
🟡 Lina: Exacto. Sustituyendo \(k-k'\) por el número de onda en la definición (C.16): \(\tilde{f}(k-k') = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x)\,e^{-i(k-k')x}\,dx\), así que lo que está entre corchetes es \(\sqrt{2\pi}\,\tilde{f}(k-k')\). Sustituyendo:
La integral del lado derecho es exactamente la definición de convolución (C.21) (solo reemplazando \(x\) por \(k\) y \(x'\) por \(k'\)), así que se escribe como \((\tilde{f}*\tilde{g})(k)\). Por tanto queda demostrado que \(\widetilde{(f \cdot g)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\tilde{f}*\tilde{g})(k)\).
⚪ Mei: La ecuación (C.22) es "convolución → producto" y la ecuación (C.23) es "producto → convolución". Es decir, la transformada de Fourier intercambia "producto" y "convolución". Una relación simétrica que se cumple en ambas direcciones.
Derivación (demostración de la ecuación (C.22))¶
🟡 Lina: Demostremos la ecuación (C.22). Sustituimos la ecuación (C.21) en la definición de \(\widetilde{(f*g)}(k)\):
Aquí intercambiamos el orden de integración en \(x\) y \(x'\).
🔵 Kai: Otra vez intercambiando el orden de las integrales. ¿Es el teorema de Fubini de la sección C.4?
🟡 Lina: Sí, la misma razón. Si el integrando es suficientemente bien comportado, intercambiar el orden da el mismo resultado. Al intercambiar, sacamos \(f(x')\) fuera:
A continuación, en la integral en \(x\) dentro de los corchetes, hacemos el cambio de variable \(u = x - x'\) (\(x = u + x'\), \(dx = du\)). Fijando \(x'\) y variando \(x\) de \(-\infty\) a \(+\infty\), \(u = x - x'\) también varía de \(-\infty\) a \(+\infty\), así que el rango de integración en \(u\) sigue siendo \((-\infty, +\infty)\):
Aquí separamos el exponente. Como \(e^{-ik(u+x')} = e^{-iku}\cdot e^{-ikx'}\), \(e^{-ikx'}\) es una constante respecto a la integral en \(u\) y se puede sacar fuera:
⚪ Mei: La parte de la integral de \(g\) ya no depende de \(x'\), así que también se puede sacar fuera de la integral en \(x'\).
🟡 Lina: Exacto. El contenido de los corchetes \(\int g(u)\,e^{-iku}\,du\) no depende de \(x'\), así que se saca fuera de la integral en \(x'\):
Revisando la definición de la convención (b) (ecuación (C.16)): \(\tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x')\,e^{-ikx'}\,dx'\), multiplicando ambos lados por \(\sqrt{2\pi}\):
Análogamente \(\int_{-\infty}^{\infty} g(u)\,e^{-iku}\,du = \sqrt{2\pi}\,\tilde{g}(k)\). Sustituyendo:
(Como \((\sqrt{2\pi})^2 = 2\pi\), tenemos \(\frac{2\pi}{\sqrt{2\pi}} = \sqrt{2\pi}\).)
🔵 Kai: ¡Es muy conveniente que una operación complicada como la convolución se convierta en una simple multiplicación al hacer la transformada de Fourier!
🟡 Lina: Sí. La técnica de usar la transformada de Fourier para convertir "derivadas → multiplicaciones" al resolver ecuaciones diferenciales será muy útil a partir de Cap. 7.
✅ Verificación de comprensión: Explica por qué se puede decir que el teorema de convolución es "conveniente para resolver ecuaciones diferenciales". (Pista: la transformada de Fourier de \(f'(x)\) es \(ik\tilde{f}(k)\))
Respuesta
La derivada \(d/dx\) se convierte en la multiplicación por \(ik\) bajo la transformada de Fourier. Por tanto, las ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas en el espacio de números de onda, lo que las hace mucho más fáciles de resolver. Tras obtener la solución, se aplica la transformada inversa de Fourier para obtener la solución en el espacio de posiciones.
📝 Ejercicios:
- Demuestra que la transformada de Fourier de \(f'(x)\) es \(ik\tilde{f}(k)\) (usa integración por partes) → Problema M-5. Propiedad de la derivada en la transformada de Fourier
C.6 Función δ de Dirac — Definición, propiedades y significado físico¶
🟡 Lina: Aquí llegamos al corazón de este capítulo. Vamos a definir correctamente la función δ que usamos "de forma anticipada" en la demostración de la igualdad de Parseval.
🔵 Kai: La función δ es esa que es "infinita en un punto y cero en el resto", ¿verdad?
🟡 Lina: Como imagen es así, pero estrictamente no es una "función" en el sentido usual. La función δ de Dirac es un objeto matemático definido no por "su valor en cada punto" sino por "el resultado de multiplicarla por otra función e integrar", y se llama distribución (distribution) o función generalizada. Es decir, la pregunta "¿cuál es el valor de \(\delta(x)\) en \(x = 0\)?" no tiene sentido; lo que la define es la propiedad "si multiplicas \(\delta(x)\) por \(f(x)\) e integras, obtienes \(f(0)\)".
Definición¶
🟡 Lina: La función δ se define por la siguiente propiedad:
Para cualquier función \(f(x)\) "suficientemente suave", esta igualdad define \(\delta(x-a)\). A esto se le llama propiedad de selección (sifting property).
⚪ Mei: Es decir, la función δ actúa como un filtro que "extrae el valor de \(f\) en \(x = a\)".
🟡 Lina: Sí. Formalmente, si ponemos \(f(x) = 1\) (constante \(1\) en un entorno de \(x = a\)):
"La integral sobre todo el espacio es 1". Intuitivamente, es "un pico agudo con área 1 pero ancho cero y altura infinita".
🔵 Kai: ¿Eso es realmente una "función"? Una función que toma un valor infinito en un solo punto...
🟡 Lina: Observación aguda. Estrictamente, la función δ no es una función en el sentido usual, sino un objeto matemático llamado distribución (función generalizada). Pero en física, basta imaginarla como un "límite" de la siguiente forma.
✅ Verificación de comprensión: ¿Por qué se dice que la función δ de Dirac no es una "función" en el sentido usual?
Respuesta
Porque la función δ no se define por "su valor en cada punto" sino por "el resultado de multiplicarla por otra función e integrar" (propiedad de selección \(\int f(x)\delta(x-a)dx = f(a)\)), siendo un objeto matemático (distribución). Preguntar "¿cuánto vale \(\delta(0)\)?" no tiene sentido.
Representaciones de la función δ como límite¶
🟡 Lina: La función δ se puede entender como "el límite de una sucesión de funciones cada vez más estrechas". Por ejemplo, la sucesión de funciones gaussianas:
Cuando \(\epsilon \to 0\), esta gaussiana se vuelve cada vez más aguda y alta, pero su área permanece siempre igual a \(1\).
🔵 Kai: ¿Cómo se sabe que el área siempre es 1?
🟡 Lina: Usando la fórmula de la integral gaussiana \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}\,dt = \sqrt{\pi}\). Con el cambio de variable \(t = x/\epsilon\): \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/\epsilon^2}\,dx = \epsilon\sqrt{\pi}\), así que la integral de \(\delta_\epsilon(x)\) es \(\frac{1}{\epsilon\sqrt{\pi}}\cdot\epsilon\sqrt{\pi} = 1\). Para cualquier valor de \(\epsilon\), el área es \(1\). El límite es la función δ:
🔵 Kai: Ya veo, es la imagen de una campana de ancho \(\epsilon\) que se convierte en una "aguja" cuando \(\epsilon \to 0\).
🟡 Lina: Comprueba esa imagen en la Fig. C.2「Función delta de Dirac como límite de funciones gaussianas」. Al reducir \(\epsilon\), el pico se vuelve cada vez más agudo pero el área se mantiene siempre en \(1\) — esa es la esencia de la función δ.
Fig. C.2: Función delta de Dirac como límite de funciones gaussianas. La función δ se define como el límite de estrechar el ancho \(\epsilon\) de una gaussiana. Para cualquier \(\epsilon\), el valor de la integral se mantiene en 1, y en el límite \(\epsilon\to 0\) se obtiene una función singular que "solo es infinita en \(x=0\)". Una herramienta universal para representar "puntos" en física.
🟡 Lina: También se puede obtener el mismo límite con sucesiones de funciones rectangulares o lorentzianas:
Sea cual sea la sucesión que se use, se obtiene un límite que satisface la propiedad de selección (C.24).
Propiedades básicas de la función δ¶
🟡 Lina: Resumamos las propiedades importantes de la función δ:
(1) Propiedad de selección (recordatorio):
(2) Paridad (función par):
(3) Escalado:
La paridad (C.28a) puede verse como el caso especial \(a = -1\) de la regla de escalado (C.28b).
(4) Función compuesta:
Aquí los \(x_i\) son las raíces simples de \(g(x) = 0\) — es decir, raíces que satisfacen \(g'(x_i) \neq 0\). En el instituto aprendiste las "raíces dobles" de ecuaciones de segundo grado, ¿verdad? Eran los casos en que la parábola era tangente al eje \(x\). Aquí se aplica la misma idea: si \(g'(x_i) \neq 0\), el gráfico de \(y = g(x)\) "cruza" el eje \(x\) (raíz simple); si \(g'(x_i) = 0\), solo "toca" el eje (raíz múltiple). Por ejemplo, para \(g(x) = x^2 - 1\), en \(x = \pm 1\) tenemos \(g'(\pm 1) = \pm 2 \neq 0\), así que cruza — son raíces simples. En cambio, para \(g(x) = x^2\) en \(x = 0\), \(g'(0) = 0\) y el gráfico solo toca el eje. En estos casos de raíz múltiple, \(1/|g'(x_i)|\) diverge y la fórmula no se puede usar directamente (se necesita un desarrollo de orden superior. En los problemas de física casi siempre se trata de raíces simples, así que no te preocupes).
🔵 Kai: ¿Cómo se deriva esto?
🟡 Lina: Se puede entender como una generalización de la regla de escalado (C.28b). Recuerda la propiedad de selección de la función δ — \(\delta(\text{algo})\) solo contribuye a la integral en los puntos donde "algo \(= 0\)". Así que \(\delta(g(x))\) solo contribuye en los puntos donde \(g(x) = 0\), es decir, en cada raíz \(x_i\).
🔵 Kai: ¿Quieres decir que solo el "entorno" de las raíces es relevante?
🟡 Lina: Exacto. Al calcular \(\int f(x)\,\delta(g(x))\,dx\), la región donde \(g(x) \neq 0\) no afecta porque δ es cero ahí. Lo que cuenta es solo el "entorno inmediato" de cada raíz \(x_i\). Por eso podemos dividir la integral en los entornos de cada raíz: \(\int = \sum_i \int_{\text{entorno de }x_i}\).
En el entorno de cada raíz podemos aproximar \(g(x)\) linealmente — la misma idea de la "ecuación de la recta tangente" del instituto. Veamos primero un ejemplo concreto para tomar intuición. Si \(g(x) = x^2 - 1\), las raíces son \(x = 1\) y \(x = -1\). Cerca de \(x = 1\): \(g(x) = x^2 - 1 \approx 2(x - 1)\) (pendiente de la tangente \(g'(1) = 2\)).
⚪ Mei: Como la función δ solo "ve" el entorno inmediato de \(x = 1\), esta aproximación lineal es suficiente.
🟡 Lina: Exacto. En general, aproximando \(g(x)\) linealmente cerca de \(x_i\): \(g(x) \approx g(x_i) + g'(x_i)(x - x_i)\) (la misma forma que la ecuación de la tangente \(y \approx y_0 + f'(x_0)(x - x_0)\) del instituto). Como \(g(x_i) = 0\) (definición de raíz): \(g(x) \approx g'(x_i)(x - x_i)\). ¿Por qué basta la aproximación lineal? Porque la función δ solo recoge contribuciones de un entorno de \(x_i\) de ancho que tiende a cero. Dentro de ese "ancho cercano a cero", los términos de orden superior \(g''(x_i)(x-x_i)^2/2 + \cdots\) son despreciablemente pequeños comparados con el término de primer orden en \((x-x_i)\), así que la aproximación lineal es suficiente. Entonces \(\delta(g(x)) \approx \delta(g'(x_i)(x - x_i))\), y aplicando la regla de escalado (C.28b) con \(a = g'(x_i)\) obtenemos \(\frac{1}{|g'(x_i)|}\delta(x - x_i)\). Sumando las contribuciones de todas las raíces se obtiene la ecuación (C.28c).
🔵 Kai: Entiendo, como la función δ es un "filtro de ancho cero", cerca de las raíces la aproximación lineal no introduce error.
🟡 Lina: Exacto. Veamos un ejemplo concreto. Para \(\delta(x^2 - 1) = \delta((x-1)(x+1))\), tenemos \(g(x) = x^2 - 1\) con raíces \(x = \pm 1\). Como \(g'(x) = 2x\): \(|g'(1)| = 2\), \(|g'(-1)| = 2\). Por tanto \(\delta(x^2-1) = \frac{1}{2}\delta(x-1) + \frac{1}{2}\delta(x+1)\).
⚪ Mei: La contribución de cada raíz está ponderada por \(1/|g'|\). Las raíces donde el gráfico cruza con mayor pendiente contribuyen menos — es como si el "área" de la función δ se diluyera allí.
(5) Producto con \(x\):
🔵 Kai: ¿Por qué se cumple la ecuación (C.28d)? Si \(\delta(x)\) es infinito en \(x = 0\), ¿al multiplicar por \(x\) da cero?
🟡 Lina: El significado como distribución es "la integral de \(x\,\delta(x)\) con cualquier \(f(x)\) es cero". Si consideramos \(h(x) = x\,f(x)\) como un todo, por la propiedad de selección (C.24):
Es decir, como \(\delta(x)\) extrae el valor en \(x = 0\), el factor \(x\) da \(0\).
🔵 Kai: ¿Cómo se entiende intuitivamente el escalado de la ecuación (C.28b)?
🟡 Lina: \(\delta(ax)\) tiene el pico en \(x = 0\) igual que \(\delta(x)\), pero está "comprimida" por un factor \(a\). Para mantener el área en \(1\), la altura debe multiplicarse por \(1/|a|\). Se puede verificar con el cambio de variable \(u = ax\). Como \(du = a\,dx\), tenemos \(dx = du/a\). Si \(a > 0\), \(u = ax\) se mueve en la misma dirección que \(x\), así que cuando \(x: -\infty \to +\infty\), también \(u: -\infty \to +\infty\) y el rango de integración no cambia. Sustituyendo \(dx = du/a\): \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(u/a)\,\delta(u)\,\frac{du}{a}\). Por la propiedad de selección (C.24), \(\delta(u)\) selecciona \(u = 0\), así que \(f(u/a)\big|_{u=0} = f(0)\), y el resultado es \(= \frac{f(0)}{a} = \frac{f(0)}{|a|}\) (como \(a > 0\), \(a = |a|\)).
Para el caso \(a < 0\) se necesita un poco más de cuidado. Con \(u = ax\) y \(a < 0\), cuando \(x\) va de \(-\infty\) a \(+\infty\), \(u\) va de \(+\infty\) a \(-\infty\) (se invierte la dirección). Al hacer el cambio de variable:
Usando la propiedad de la integral definida \(\int_b^a (\cdots)\,du = -\int_a^b (\cdots)\,du\) para intercambiar los límites: \(= -\int_{-\infty}^{+\infty}f(u/a)\,\delta(u)\,\frac{du}{a}\). Agrupando los factores que preceden la integral: \((-1) \times \frac{1}{a}\). Como \(a < 0\), escribimos \(a = -|a|\), así que \((-1) \times \frac{1}{a} = \frac{-1}{a} = \frac{-1}{-|a|} = \frac{1}{|a|}\). Finalmente:
En resumen, tanto para \(a > 0\) como para \(a < 0\), el resultado final es el mismo:
Por otro lado, la integral de \(\frac{1}{|a|}\delta(x)\) con \(f(x)\) también da \(\int f(x)\cdot\frac{1}{|a|}\delta(x)\,dx = \frac{f(0)}{|a|}\). Como ambas coinciden, se cumple la ecuación (C.28b).
⚪ Mei: Entiendo, la regla de escalado refleja la intuición de "al comprimir, la altura cambia para conservar el área", y coincide con el cálculo por cambio de variable.
Derivada de la función δ¶
🟡 Lina: También se puede definir la "derivada" \(\delta'(x)\) de la función δ. En forma de integración por partes:
🔵 Kai: Al derivar se extrae no el valor de \(f\) sino su derivada. ¿El signo menos es por la integración por partes?
🟡 Lina: Sí. Formalmente, integrando por partes:
El término de frontera se anula porque δ es cero en el infinito.
✅ Verificación de comprensión: Calcula \(\int_{-\infty}^{\infty}(3x^2 + 2x - 1)\,\delta(x - 2)\,dx\).
Respuesta
Por la propiedad de selección: \(f(2) = 3(4) + 2(2) - 1 = 12 + 4 - 1 = 15\).
📝 Ejercicios:
- Calcula \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,\delta'(x)\,dx\) → Problema B-7. Evalúa la siguiente integral utilizando la representación de Fourier de la función δ (ecuación (C.19))
C.7 La función δ como suma de un sistema completo — Representación integral de Fourier y caso de base discreta¶
🟡 Lina: Para terminar, veamos la profunda relación entre la función δ y los "sistemas completos". Esta es la forma de la función δ que se usa con mayor frecuencia en mecánica cuántica.
Representación integral de Fourier¶
🟡 Lina: Ya la usamos en la ecuación (C.19), pero vamos a derivarla correctamente. Sustituyendo la ecuación (C.16) en la transformada inversa (C.17):
Intercambiando el orden de integración y reorganizando:
Para que esta ecuación se cumpla para cualquier \(f(x)\), lo que está entre corchetes debe ser \(\delta(x - x')\). Por tanto:
🔵 Kai: ¡¿La función δ es "la suma de todas las ondas planas de todos los números de onda con igual peso"?!
🟡 Lina: ¡Sí! Intuitivamente, \(e^{ik(x-x')}\) siempre vale \(1\) cuando \(x = x'\), así que todas las ondas interfieren constructivamente. Cuando \(x \neq x'\), las fases son diferentes y se cancelan. El resultado es un pico agudo solo en \(x = x'\).
🔵 Kai: ¿Es el mismo principio que la interferencia en el experimento de la doble rendija? Las fases se alinean en ciertos puntos y se refuerzan, y donde no se alinean se cancelan.
🟡 Lina: Hermosa analogía. En la doble rendija es la interferencia de 2 ondas, pero aquí interfieren infinitas ondas planas. El principio es el mismo: "si las fases se alinean hay refuerzo constructivo, si están desordenadas se cancelan". La interferencia última, con un número infinito de rendijas, crea la función δ. Comprobémoslo con las ecuaciones. Si \(x = x'\), entonces \(e^{ik(x-x')} = e^0 = 1\) y el integrando es la constante \(1\), así que la integral diverge al integrar \(k\) sobre un rango infinito — esto es el "pico infinito". Si \(x \neq x'\), \(e^{ik(x-x')}\) oscila respecto a \(k\) y se cancela dando cero. Efectivamente se reproduce la propiedad de la función δ de "ser no nula solo en \(x = x'\)".
⚪ Mei: Es decir, en \(x = x'\) donde las fases se alinean, todas las ondas interfieren constructivamente y divergen, mientras que en \(x \neq x'\) donde las fases son diferentes, se cancelan y dan cero — la explicación intuitiva de Lina se refleja directamente en las ecuaciones.
🟡 Lina: Exacto. La ecuación (C.30) se llama representación integral de Fourier de la función δ y se usa por todas partes en mecánica cuántica.
Caso de base discreta — Relación de completitud¶
🟡 Lina: No solo con la base continua \(\{e^{ikx}\}\), sino también con bases ortonormales discretas \(\{\phi_n(x)\}\) aparece la misma estructura.
Como aprendimos en Apéndice B, si hay una base ortonormal completa \(\{\phi_n(x)\}\), cualquier función se puede expandir:
(El rango de integración es todo el dominio donde está definida la función. Si es todo el espacio, \((-\infty, \infty)\); si es un intervalo finito \([0, a]\), ese intervalo. En las ecuaciones siguientes se integra sobre el mismo dominio.)
Sustituyendo \(c_n\) (la variable de integración en \(c_n\) es \(x'\), diferente de la \(x\) del resultado de la expansión):
Expandiendo cada término: \(\sum_n \phi_n(x)\int \phi_n(x')^*\,f(x')\,dx'\). Como \(\phi_n(x)\) no depende de \(x'\), se puede meter dentro de la integral: \(\sum_n \int \phi_n(x)\,\phi_n(x')^*\,f(x')\,dx'\). Además, intercambiando el orden de la suma y la integral:
🔵 Kai: Ah, \(f(x')\) quedó fuera y lo que está entre corchetes contiene "solo información de la base".
🟡 Lina: Sí. En la segunda igualdad intercambiamos el orden de la suma y la integral y factorizamos \(f(x')\). En la sección C.5 explicamos el intercambio del orden de integrales; aquí es el intercambio de una "suma infinita" y una "integral". La idea es la misma — sumar los términos \(\phi_n(x)\int\phi_n(x')^*f(x')\,dx'\) o construir primero \(\sum_n \phi_n(x)\phi_n(x')^*\) y luego integrar en \(x'\) da el mismo resultado para funciones suficientemente bien comportadas. Como esto se cumple para cualquier \(f(x)\):
🔵 Kai: ¡La "completitud" de la base ortonormal se expresa con la función δ!
🟡 Lina: Sí. La ecuación (C.31) se llama relación de completitud (completeness relation). Que "la base sea completa" significa precisamente que esta igualdad se cumple.
Ejemplo concreto: autofunciones del pozo infinito¶
🟡 Lina: Veamos un ejemplo concreto. Como base ortonormal para expandir funciones definidas en el intervalo \([0, a]\) que se anulan en ambos extremos (\(f(0) = f(a) = 0\)):
Estas son también las autofunciones del "potencial de pozo infinito" que estudiaremos más adelante, pero por ahora míralas simplemente como un "sistema completo ortonormal en el intervalo \([0, a]\)". Se cumple la relación de completitud:
⚪ Mei: La versión continua de la ecuación (C.30) y la versión discreta de la ecuación (C.32), ambas tienen la misma estructura: "sumar todas las funciones de base da la función δ".
🟡 Lina: Exactamente. En mecánica cuántica:
- Espectro continuo (estados propios de momento de la partícula libre, etc.) → tipo ecuación (C.30)
- Espectro discreto (estados propios de energía de estados ligados, etc.) → tipo ecuación (C.31)
Estas son las dos caras de la "completitud". Cuando aprendas la notación de Dirac en Cap. 11, estas se escribirán de forma unificada como:
🔵 Kai: ¿Qué son esos \(|\phi_n\rangle\) y \(\langle\phi_n|\)? ¿Es simplemente la ecuación (C.31) reescrita con otros símbolos?
🟡 Lina: Buena intuición. Exactamente eso. Escribir \(\phi_n(x)\) como \(|\phi_n\rangle\) y \(\phi_n(x')^*\) como \(\langle\phi_n|\) es la notación de Dirac. La estudiaremos en detalle en Cap. 11; por ahora basta saber que "existe una notación conveniente que unifica lo discreto y lo continuo".
🔵 Kai: Ya veo, es simplemente reescribir la ecuación (C.31) con otros símbolos. Pero una cosa que me intriga: en el caso continuo \(\int |k\rangle\langle k|\,dk\), ¿cómo es el "producto interno" entre los \(|k\rangle\)? En el caso discreto teníamos la ortonormalidad \(\int \phi_m(x)^* \phi_n(x)\,dx = \delta_{mn}\), pero en el continuo, ¿qué pasa?
🟡 Lina: Pregunta perspicaz. En el caso continuo: \(\langle k|k'\rangle = \delta(k - k')\), es decir, la delta de Kronecker se reemplaza por la función δ de Dirac. Pero esto es tema de Cap. 11, así que por ahora solo tenlo en mente como "existe esa extensión".
🔵 Kai: Ah, en el discreto es \(\delta_{mn}\) y en el continuo es \(\delta(k - k')\). Me preguntaba por qué ambas se llaman "delta", pero resulta que una es la versión continua de la otra. Pero \(\delta_{mn}\) vale "0 o 1", un valor finito, mientras que \(\delta(k-k')\) es "infinito o cero". Parecen cosas totalmente diferentes, pero cumplen el mismo papel... qué extraño.
🟡 Lina: Buena observación. El punto es "con qué se combinan". \(\delta_{mn}\) se combina con una suma \(\sum_n\): \(\sum_n c_n \delta_{mn} = c_m\) para seleccionar un término. \(\delta(k-k')\) se combina con una integral \(\int dk'\): \(\int \tilde{f}(k')\delta(k-k')\,dk' = \tilde{f}(k)\) para seleccionar un punto. En el caso discreto, para "seleccionar un término" basta con el valor \(1\); pero en el caso continuo, para "seleccionar un punto" se necesita una altura infinita — porque la integral es "ancho × altura", y para obtener una contribución finita de un punto de ancho cero, la altura debe ser infinita.
⚪ Mei: El mismo patrón de la suma discreta convirtiéndose en integral continua aparece también en la expresión de la ortogonalidad. En la sección C.1 usamos la ortogonalidad de \(\cos\) para "extraer" los coeficientes de Fourier, y en la sección C.4 la función δ "seleccionó" \(k' = k\) — todo es el mismo principio: "al tomar el producto interno con una base ortogonal, solo queda uno", en su versión discreta y continua.
🟡 Lina: Así es. Piénsalo como que la delta de Kronecker "asciende" a delta de Dirac. La transición de lo discreto a lo continuo aparece consistentemente tanto en la expansión en bases como en la expresión de la ortogonalidad.
Otras representaciones integrales de la función δ¶
🟡 Lina: Para terminar, resumamos otras representaciones integrales de la función δ que se usan frecuentemente, además de la ecuación (C.30):
(1) Representación integral de Fourier (recordatorio):
(2) Representación mediante función seno:
(3) Representación a partir de series de Fourier (período \(L\)):
El lado derecho es en realidad una función de período \(L\), con picos de función δ en cada punto \(x = 0, \pm L, \pm 2L, \ldots\). Si nos restringimos al rango \(|x| < L/2\), solo se incluye el pico en \(x = 0\), así que coincide con \(\delta(x)\) en ese rango.
🔵 Kai: ¿La ecuación (C.34) es la integral de la ecuación (C.33) truncada al rango finito \([-N, N]\)?
🟡 Lina: ¡Exacto!
Converge a la función δ cuando \(N \to \infty\).
🔵 Kai: ¿La ecuación (C.35) realmente satisface la propiedad de selección? Me pregunto cómo se verifica...
🟡 Lina: Buena pregunta. El método de verificación es el mismo de siempre — multiplicar ambos lados por \(f(x)\) e integrar. Hagámoslo. Multiplicando ambos lados de la ecuación (C.35) por \(f(x)\) e integrando de \(-L/2\) a \(L/2\): el lado izquierdo, por la propiedad de selección, es \(\int_{-L/2}^{L/2} \delta(x) f(x)\,dx = f(0)\). El lado derecho es \(\frac{1}{L}\sum_n \int_{-L/2}^{L/2} f(x)\,e^{i\frac{2\pi n}{L}x}\,dx\).
⚪ Mei: El lado derecho \(\int_{-L/2}^{L/2} f(x)\,e^{i\frac{2\pi n}{L}x}\,dx\) se parece al \(c_n\) de la ecuación (C.11), pero con el signo del exponente invertido.
🟡 Lina: Buena observación. Recordando la ecuación (C.11): \(c_n = \frac{1}{L}\int f(x)\,e^{-ik_n x}\,dx\), si reemplazamos \(n\) por \(-n\): \(c_{-n} = \frac{1}{L}\int f(x)\,e^{+ik_n x}\,dx\). Cada término del lado derecho \(\frac{1}{L}\int f(x)\,e^{i\frac{2\pi n}{L}x}\,dx\) es exactamente \(c_{-n}\). Es decir, el lado derecho es \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{-n}\). Pero como el rango de la suma va de \(-\infty\) a \(+\infty\), reemplazar \(n\) por \(-n\) no cambia el rango. Por tanto \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\). Por otro lado, poniendo \(x = 0\) en la ecuación (C.10): \(f(0) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\). Así que el lado derecho también es igual a \(f(0)\). Todo es consistente.
🔵 Kai: Como el rango de la suma es simétrico de \(-\infty\) a \(+\infty\), renombrar \(n\) no cambia nada. Ya veo.
✅ Verificación de comprensión: Enuncia el significado físico de la relación de completitud \(\sum_n \phi_n(x)\phi_n(x')^* = \delta(x-x')\).
Respuesta
Significa que la base \(\{\phi_n\}\) es "completa", es decir, que cualquier función puede expandirse en esta base. Si la base fuera incompleta (si faltaran algunos \(\phi_n\)), la suma no daría \(\delta(x-x')\) y existirían funciones que no podrían representarse con esa expansión.
📝 Ejercicios:
- Grafica la ecuación (C.34) para \(N = 5, 20, 100\) y verifica cómo se aproxima a la función δ a medida que \(N\) aumenta → Problema M-4. Representación integral de Fourier de la función δ
Resumen — Lista de fórmulas principales del capítulo¶
🟡 Lina: Para terminar, dejo aquí una lista de las fórmulas principales introducidas en este apéndice. Cuando las necesites en el texto principal, vuelve aquí para consultarlas.
Tabla C.2: Lista de fórmulas principales del Apéndice C
| Nombre | Fórmula | Ec. |
|---|---|---|
| Serie de Fourier (forma real) | \(f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right) + b_n\sin\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)\right]\) | (C.5) |
| Serie de Fourier compleja | \(f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\,e^{ik_n x}\) | (C.10) |
| Transformada de Fourier (conv. simétrica) | \(\tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x)\,e^{-ikx}\,dx\) | (C.16) |
| Transformada inversa de Fourier | \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{f}(k)\,e^{ikx}\,dk\) | (C.17) |
| Igualdad de Parseval | \(\int\lvert f(x)\rvert^2\,dx = \int\lvert \tilde{f}(k)\rvert^2\,dk\) | (C.18) |
| Teorema de convolución | \(\widetilde{(f*g)}(k) = \sqrt{2\pi}\,\tilde{f}(k)\,\tilde{g}(k)\) | (C.22) |
| Propiedad de selección de δ | \(\int f(x)\,\delta(x-a)\,dx = f(a)\) | (C.24) |
| Representación de Fourier de δ | \(\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int e^{ikx}\,dk\) | (C.33) |
| Relación de completitud (discreta) | \(\sum_n \phi_n(x)\,\phi_n(x')^* = \delta(x-x')\) | (C.31) |
Adelanto del próximo capítulo¶
🟡 Lina: En este capítulo organizamos las matemáticas de la "expansión en bases continuas" — el análisis de Fourier y la función δ. En el siguiente Apéndice D trataremos el formalismo lagrangiano y hamiltoniano y la cuantización canónica. Partiendo del principio variacional de la mecánica clásica, veremos de dónde viene la receta de "reemplazar coordenadas y momentos por operadores" para cuantizar.
🔵 Kai: ¿El "principio de mínima acción" de la mecánica se conecta con la mecánica cuántica?
🟡 Lina: Sí. La estructura de las ecuaciones canónicas de Hamilton conduce naturalmente a la relación de conmutación \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\) de la mecánica cuántica. El "origen" de la relación de conmutación que introdujimos de forma axiomática en Cap. 8 emerge naturalmente de los corchetes de Poisson de la mecánica clásica.
⚪ Mei: El punto de conexión entre mecánica clásica y mecánica cuántica. Suena interesante.
Problemas de práctica¶
📝 Ejercicios:
- Calcula los coeficientes de Fourier \(a_n, b_n\) de \(f(x) = x\) en el intervalo \([0, L]\) → Problema M-1. Determinar los coeficientes de Fourier y de una función definida en el intervalo y escribir la serie de Fourier (ecuación (C.5
- Calcula la transformada de Fourier de la función gaussiana \(f(x) = e^{-ax^2}\) (\(a > 0\)) → Problema M-2. Transformada de Fourier de la función gaussiana y la igualdad de Parseval
- Grafica la ecuación (C.34) para \(N = 5, 20, 100\) y verifica cómo se aproxima a la función δ a medida que \(N\) aumenta → Problema M-4. Representación integral de Fourier de la función δ
- Demuestra que la transformada de Fourier de \(f'(x)\) es \(ik\tilde{f}(k)\) (usa integración por partes) → Problema M-5. Propiedad de la derivada en la transformada de Fourier
- Calcula \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,\delta'(x)\,dx\) → Problema B-7. Evalúa la siguiente integral utilizando la representación de Fourier de la función δ (ecuación (C.19))
Referencias¶
- Hiroo Katsuhiko "趣味で量子力学" — Capítulo 5 "Análisis de Fourier". Se consultó el desarrollo desde series de Fourier hasta la transformada de Fourier, y la discusión de la expansión en series de Fourier de la función δ.
- D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. — Cap. 2–3, discusión de partículas libres y paquetes de ondas, y la organización de las propiedades de la función δ en el tratamiento del potencial delta.
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